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2013效实中学数学理试题


宁波效实中学

二零一二学年度 第 一 学 期

高三数学(理)期中试卷

说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 100 分. 第Ⅰ卷(选择题 共 30 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ?

{x ? R | log2 x ? 0}, B ? {x ? R | x2 ? x ? 2 ? 0} ,则 A ? B ? (A) (?1, 2) 2.已知 sin(? ? ? ) ? ?2sin( (A) ? (B) (?1, ??) (C) (?1,1) (D) (1, 2)

?
2

? ? ) ,则 sin 2? 等于 2 5
(C)

4 5

(B) ?

3.若向量 a, b 满足 a ? 1, b ? (A)

? ?

?

?

? ? ? ? ? 2 ,且 a ? (a ? b) ,则 a 与 b 的夹角为
2? 3
(C)

2 5

(D)

4 5
5? 6

? 2

(B)

3? 4

(D)

4.等差数列 {an } 的公差 d ? 0 ,且 a1 , a3 , a4 成等比数列, Sn 是数列 {an } 的前 n 项和, 则

S4 ? S2 的值为 S5 ? S3
(B)

(A) 3

5 7

(C)

7 5

(D) 1

5.函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 4ln x 的单调递增区间是 (A) (??, ?1),(0, 2) (B) (?1,0),(2, ??) (C) (0, 2) 6. 已知函数 f ( x) ? sin(? ? 2x), g ( x) ? 2cos x ,则下列结论正确的是
2

(D) (2, ??)

(A)函数 f ( x ) 在区间 [

? ?

, ] 上为增函数 4 2

(B) 函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的最小正周期为 2? (C) 函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的图象关于直线 x ? (D) 将函数 f ( x ) 的图象向右平移 象 7.已知 a ? b ? 2 .现有下列不等式:① b ? 3b ? a ;② 1 ?
2

?
8

对称

? 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 g ( x) 的图 2
4 2 2 ? ? ;③ ab ? a ? b ; ab a b
(D) ③④

④ log a 3 ? logb 3 .其中正确的是 (A) ①② (B) ①③ (C) ②④

??? ? ???? ??? ??? ? ? AB AC O 8. 是 ?ABC 所在平面内一点, 动点 P 满足 OP ? OA ? ? ( ??? ? ???? ), ? ? 0 , ? AB sin B AC sin C
则动点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的 (A) 内心 (B) 外心 (C) 重心 (D) 垂心

9.若关于 x 的不等式 x 2 ? | x ? a |? 2 至少有一个正数解,则实数 a 的取值范围是

9 9 9 (C) ( ? , ) 4 4 4 10.如图放置的正方形 ABCD, AB ? 1. A, D 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴(含原点) ??? ??? ? ? 上滑动,则 OC ? OB 的最大值是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 2
(A) (?2, 2) (B) ( ?2, )

(D) ( ?

9 , 2) 4

第 10 题图

第Ⅱ 卷(非选择题 共 70 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分. 11.复数 z 满足 ( z ? 2)(1 ? i) ? 1 ? i ,其中 i 是虚数单位,则复数 z ? 12.在 ( x2 ? x ? 1)( x ?1)5 的展开式中,含 x 项的系数是
5









13.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )

( A ? 0, ? ? 0)
▲ .

的部分图象如右图,则 f (? ) ?

? x ? 3x , x ? 0, ? 14.若函数 f ( x) ? ? 1 3 ? x ? 4 x ? a, x ? 0 ?3 在其定义域 R 上有且只有一个零点, 则实数 a 的取值范围是 ▲ .

第 13 题图

15 . 在 ?ABC 中 , a, b, c 分 别 为 角 A, B, C 所 对 的 边 , AD 为 BC 边 上 的 高 . 已 知

cosC ?

5 , 5
a 1 4 AB ? AC ,则 ? 5 5 b
▲ .

且 AD ?

16.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边,若 a cos B ? b cos A ? 则 tan(A ? B) 的最大值为 ▲ .

3 c, 5

1 1 ? a an?1 1 1 * 17. 设正整数数列 ?an ? 满足: 2 ? 4 , 且对于任何 n ? N , 2 ? 有 a ? n ? 2? , an ?1 1 ? 1 an n n ?1
则 a10 ? ▲ .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 49 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 9 分)已知函数 f ( x) ? 3cos 象 如图所示,点 A 为图象的最高点, B, C 为图象与 x 轴的交点,且三角形 ABC 的面积 为
2

?x
2

?

3 3 sin ? x ? (? ? 0) 在一个周期内的图 2 2

3 ?. 4
(I)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的值域; (II)若 f ( x0 ) ?

4 ? ? ? 3, x0 ? ( , ) ,求 f ( x0 ? ) 的值. 5 12 3 6

第 18 题图

19.(本题满分 9 分)用 0,1, 2,3, 4,5 这六个数字,组成四位数. (I)可以组成多少没有重复数字的四位数? (II)可组成多少个恰有两个相同数字的四位数?

20. (本题满分 10 分)在 ?ABC 中,a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边, 向量 m ? (2a ? c, b) ,

n ? (cosB, cosC) ,且 m, n 垂直.
(I)确定角 B 的大小; (II)若 ?ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D ,且 BD ? 1 ,设 BC ? x, BA ? y , 试确定 y 关于 x 的函数式,并求边 AC 长的取值范围.

?an ? c, an ? 3, ? 21.(本题满分 11 分)已知以 a1 为首项的数列 {an } 满足 an ?1 ? ? a n ? d , an ? 3. ? (I)当 a1 ? 1, c ? 1, d ? 3 时,求数列 {an } 的通项公式; (II)当 0 ? a1 ? 1, c ? 1, d ? 3 时,试用数列 a1 表示数列 {an } 前 100 项的和 S100 ; 1 1 (III)当 0 ? a1 ? (m ? N*), c ? 时,正整数 d ? 3m 时, m m 1 1 1 1 证明:数列 a2 ? , a3m ? 2 ? , a6 m ? 2 ? , a9 m ? 2 ? 成等比数列的充要条件是 d ? 3m . m m m m

22.(本题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 1, x ? R , a ? R . (Ⅰ 设对任意 x ? (??,0] , f ( x) ? x 恒成立,求 a 的取值范围; )
3 2

(Ⅱ 是否存在实数 a ,使得满足 f ' (t ) ? 4t ? 2a ln t 的实数 t 有且仅有一个? ) 若存在,求出所有这样的 a ;若不存在,请说明理由.
2

宁波效实中学
一、选择题 (1)D. (2) A. 二、填空题

二○一二学年度 第 一 学 期

高三数学(理)期中试卷答案
(6)C. (7)B. (8)C. (9)B. (10) D.

(3)C.

(4) A. (5) D.

(11) 2 ? i (12)6 (13) ? 2 (14) a ? 三、解答题

16 (15) 3

3 (17) 100 . ks5u 5 (16) 4

(18)(I) f ( x) ? 3 sin(? x ? ? ), 又 S?ABC ? 1 3 | BC |? 3 ? , | BC |? ? ? 2? ,则 ? ? 2 。 3 2 ? 2 4 ? 值域是 则 f ( x) ? 3 sin(2 x ? ), [? 3, 3] ;ks5u 3
5?

(II)由 f ( x0 ) ? 4 3 得 sin(2 x0 ? ? ) ? 4 , 5 3 5 ? ? ? ? ? 3 ? ? x0 ? ,? ? 2 x0 ? ? ? , 得 cos(2 x0 ? ) ? ? , 则 ks5u 12 3 2 3 3 5 ? ? ? ? f ( x ? 1 )? 3 s i n [0 2? x ( ? ) ? ] 3 [0 s i? ( 2 x n ? c o s0 ) x 0 6 3 3 3

?c o s ( 2 3 3

?

? 4 3? 9
?

) s。 in 10

]

? 9?
1 3 (19)(I) A5 A5 ? 300 ; 2 2 (II)①0 重复: C3 A5 ? 60 ; 2 1 1 2 ②其他数重复: (i)有 0: C5 C2 A3C3 ? 180 3 1 2 2 (ii)无 0: C5 C3C4 A2 ? 360 ;ks5u

—4?

所以 60+180+360=600 个。 (20)(I)由 (2sin A ? sin C)cos B ?sin Bcos C ?0 得 2sin A(cos B ? 1) ? 0 , 1 ? A, B ? (0, ? ),? sin A ? 0, 则 cos B ? ? , B ? 120?. 2 (II)由 S?ABC ? S?ABD ? S?BDC 得 x ? y ? xy , 则y? x
x ?1 ,x ? 1,?) . ( +
—4?

—9?

由 AC 2 ? x 2 ? y 2 ? xy ? ( x ? y ) 2 ? xy ? ( x ? y ) 2 ? ( x ? y ) ? ( x ? y ? 1 ) 2 ? 1 , 2 4 ( x ? y ) 2 ,得 x ? y ? 4 ,? AC ?[2 3, ??) x ? y ? xy ? 4 (21)(I)由题意得:
?1, n ? 3k ? 2, ? an ? ?2, n ? 3k ? 1, k ? N * ?3, n ? 3k . ?
—2? ks5u

—10?

(II)当 0 ? a1 ? 1时, a2 ? a1 ? 1, a3 ? a1 ? 2 , a4 ? a1 ? 3 , a5 ? a1 ? 1 , a6 ? a1 ? 2 , a7 ? a1 ? 3 3 3 3
a3k ?1 ? a1 a a ? 1 , a3k ? k 1 1 ? 2 , a3k ?1 ? k 1 1 ? 3 ,ks5u 3k ?1 3? 3?

S1 0 0? a ? (a ? a ?3a ) ?4(a ? a ? a6 ) ? ? ? (a ? a 9 8? a 9 )9 1 2 5 7 a a1 ? a1 ? (3a1 ? 6) ? (a1 ? 6) ? ( 1 ? 6) ? ? ? ( 31 ? 6) 3 3 1 3 ? 32 3 ] ? 6 ? 33 ? a1 [11 ? 1 ] ? 198. ? a1[1 ? 1 2 331 1? 3

ks5u

100

—6?

(3) (i)当 d ? 3m 时, a2 ? a1 ? 1 ; m
a3m ? a1 ? a6 m ? 3m ? 1 1 1 a ? a1 ? 3 ? ? 3 ? a1 ? 3 ? a3m ?1 a3m ? 2 ? ? 1 ks5u m m m 3m

a1 1 a a 1 ? ? 3 ? 3 ? 1 ? 3 ? a6 m ?1 , a6 m ? 2 ? 1 2 ? , 3m m 3m 9m m

a9 m

a1 ?3 2 a1 a1 3m ? 2 1 a 1 ? a6 m ? 2 ? ? ? 3? ? 3 ? ? 3 ? a9 m ?1 , a9 m?2 ? 9m ? 13? 2 2 m 9m m 9m 3m 27m m

综上所述,当 d ? 3m ,数列 a2 ? 1 , a3m ? 2 ? 1 , a6 m ? 2 ? 1 , a9 m ? 2 ? 1 是公比为 1 的等比数 m m m m 3m 列.

1 ?3 a1 ? 3 a1 ? 3 m 1 1 (ii)假设 d ? 3m ? 1 时, a3m?1 ? a1 ? 3 ? (3,3 ? ), a3m? 2 ? ? ? ? , m d 3m ? 1 3m ? 1 m

? a3m ? 2 ? (0,

1 ) m

又 a6 m ?1 ? a3m ? 2 ? 3m ? 1 ? (3 ? 1 ,3) ,? a6 m ? 2 ? a6 m ?1 ? 1 ? 3 ? a1 ? 3 ? (3,3 ? 1 ) m m m d m
a6 m ?3 ? a2 ? a6 m? 2 1 3m ? 1 1 ? (0, ) , a9 m ? 2 ? a6 m ?3 ? ? (3 ? ,3) d m m m

1 1 1 1 ? 0, a3m ? 2 ? ? 0, a6 m ? 2 ? ? 0, a9 m ? 2 ? ? 0 , m m m m 1 1 1 1 , a3 ? 2 ? , a m ? 2? , a m9? ? 不成等比数列。所以假设不成立, ? d ? 3m 。 m 6 2 m m m m
— 11?

a2 ?

? 命题得证 (22)(Ⅰ)法一: 由 f (?1) ? ?1 得 ? 2 ? a ? ?1 ,即 a ? 1 ;
2 2 又当 a ? 1 时, ax ? x ,因为 x ? 0 ,则 x ? 1 ? 0 ,于是

f ( x) ? x ? x 3 ? ax2 ? 1 ? x ? x 3 ? x 2 ? 1 ? x ? ( x ? 1) 2 ( x ? 1) ? 0 ,ks5u 即 f ( x) ? x 恒成立,故 a 的取值范围是 (??,1] . 法二:当 x ? 0 时, f (0) ? ?1 ? 0 ,此时 a ? R ;

当 x ? 0 时, f ( x) ? x 等价于 a ? ? x ? 令 g ( x) ? ? x ?

1 1 ? 。 x x2

1 1 ? , x ? 0, x x2 1 2 x 3 ? x ? 2 ( x ? 1)(x 2 ? x ? 2) 由 g ' ( x) ? ?1 ? 2 ? 3 ? , ? x x ? x3 ? x3 因为 x 2 ? x ? 2 ? 0 , ? x 3 ? 0 , 所以 g ' ( x) ? 0 ? x ? ?1 , g ' ( x) ? 0 ? ?1 ? x ? 0 ,
于是 g (x) 在 (??,?1) ?, (?1,0) ? ,从而 g ( x)最小 =g (?1) ? 1 ,所以 a ? 1 . 综上, a 的取值范围是 (??,1] . (Ⅱ)假设存在,由 f ' (t ) ? 4t ? 2a ln t 等价于 t ? 2a ln t ? 2at ? 0 ,
2

—4?
2

令 h(t ) ? t 2 ? 2a ln t ? 2at , t ? 0 ,则 h' (t ) ? 2t ? 2a ? 2a ? 2 (t 2 ? at ? a) 。 (ⅰ)若 a ? 0 ,则 t ? 0 ,舍去;
t t

(ⅱ)若 a ? 0 , h(t ) ? 0 即 t 2 ? 2a ln t ? 2at ? 0 ,变形得

1 t (t ? 2a ) ? ln t ,ks5u 2a

? 函数 y ?

1 t (t ? 2a), (a ? 0) 与 y ? ln t 的图象只有一个交点 t 0 , 2a 且 t0 ? 0 ,所以存在惟一正数 t 0 ,使 h(t0 ) ? 0 ,因此 a ? 0 符合; —4?
则 h' (t ) ? 0 ? 0 ? x ? t 0 , h' (t ) ? 0 ? x ? t 0 , 得 h(t ) 在 (0, t 0 ) ?, (t 0 ,??) ? ,

2 (ⅲ)若 a ? 0 ,此时必存在使 t ? at ? a ? 0 的正根 t ,记这个正根为 t 0 ,

从而 h(t ) 最小值为 h(t 0 ) ,因为满足 f ' (t ) ? 4t 2 ? 2a ln t 的实数 t 有且仅有一个, 所以 h(t 0 ) ? 0 ,

?t 2 ? at0 ? a ? 0 由? 0 得 at0 ? a ? 2a ln t 0 ? 2at0 ,即 2 ln t 0 ? t 0 ? 1 ? 0 , ? ??2a ln t0 ? 2at0 ? 0 ? 2 记 u(t 0 ) ? 2 ln t 0 ? t 0 ? 1 ,t 0 ? 0 , u ' (t 0 ) ? 由 ? 1 ? 0 可知 u(t 0 ) ? 2 ln t 0 ? t 0 ? 1 为增 t0
函数,因为 u(1) ? 2 ln1 ? 1 ? 1 ? 0 , u (t0 ) ? 0 , 所以有且仅有惟一正数 t 0 ? 1 ,代入 1 2 t0 ? at0 ? a ? 0 得 a ? . 2 综上,这样的实数 a 存在,且 a ? 0 或 a ? 1 .
2

—10?


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