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下学期高一年级第三次月考数学试卷


下学期高一年级第三次月考数学试卷
考生注意: 1、 试卷所有答案都必须写在答题卷上。 2、 答题卷与试卷在试题编号上是一一对应的,答题时应特别注意,不能错位。 3、 考试时间为 120 分钟,试卷满分为 150 分。

一、选择题: (本大题共有 10 题,每 题 5 分,共 50 分) 1. 下列语句中,是赋值语句的为( ) A. m+n=3 B.

3=i C. i=i? +1 解:根据题意, A:左侧为代数式,故不是赋值语句 B:左侧为数字,故不是赋值语句 C:赋值语句,把 i2+1 的值赋给 i. D:为用用两个等号连接的式子,故不是赋值语句 故选 C.

D. i=j=3

2. 已知 a1,a2∈(0,1) ,记 M=a1a2,N=a1+a2-1,则 M 与 N 的大小关系是( ) A.M>N B. M<N C. M=N D. 无法确定 解:由 M-N=a1a2-a1-a2+1 =(a1-1) (a2-1)>0, 故 M>N, 故选 B.

3. 甲、乙两名同学在 5 次体育测试中的成绩统计如茎叶图所示,若甲、乙两人的平均成绩 分别是 X 甲,X 乙,则下列结论正确的是( ) A.X 甲<X 乙;乙比甲成绩稳定 B.X 甲 >X 乙;甲比乙成绩稳定 C.X 甲<X 乙;甲比乙成绩稳定 D.X 甲 >X 乙;乙比甲成绩稳定 解:由茎叶图可知,甲的成绩分别为:72,77,78,86,92,平均成绩为:81;

1

乙的成绩分别为:78,82,88,91,95,平均成绩为:86.8, 则易知 X 甲<X 乙; 从茎叶图上可以看出乙的成绩比较集中,分数分布呈单峰, 乙比甲成绩稳定. 故选 A.

4. 将两个数 a=5,b=12 交换为 a=12,b=5,下面语句正确的一组是(



A.

B.

C.

D.

解:先把 b 的值赋给中间变量 c,这样 c=12,再把 a 的值赋给变量 b,这样 b=5, 把 c 的值赋给变量 a,这样 a=12. 故选:D 5. 将参加夏令营的 500 名学生编号为:001,002,…,500. 采用系统抽样的方法抽取一个 容量为 50 的样本,且样本中含有一个号码为 003 的学生,这 500 名学生分住在三个营区, 从 001 到 200 在第一营区,从 201 到 355 在第二营区,从 356 到 500 在第三营区,三个营区 被抽中的人数分别为( ) A. 20,15,15 B. 20,16,14 C. 12,14,16 D. 21,15,14 解:系统抽样的分段间隔为

500 =10, 50

在随机抽样中,首次抽到 003 号,以后每隔 10 个号抽到一个人, 则分别是 003、013、023、033 构成以 3 为首项,10 为公差的等差数列, 故可分别求出在 001 到 200 中有 20 人, 在 201 至 355 号中共有 16 人,则 356 到 500 中有 14 人. 故选:B. 6. 如图给出的是计算

1 1 1 1 + + +…+ 的值的一个框图, 2 4 6 20


其中菱形判断框内应填入的条件是(

2

A. i>10 C. i>11 解:∵S=

B. i<10 D. i<11

1 1 1 1 1 + + +…+ ,并由流程图中 S=S+ 2 4 6 20 2i

循环的初值为 1, 终值为 10,步长为 1, 所以经过 10 次循环就能算出 S=

1 1 1 1 + + +…+ 的值, 2 4 6 20

故 i≤10,应不满足条件,继续循环 所以 i>10,应满足条件,退出循环 判断框中为:“i>10?”. 故选 A. 7.设 a、b 是正实数, 给定不等式:① ab > ④ab+

2 ab 2 2 2 ;②a>|a-b|-b;③a +b >4ab-3b ; a?b
) C. ②③ D. ②④

2 >2,上述不等式中恒成立的序号为( ab
B. ①④

A. ①③ 解:∵a、b 是正实数, ∴①a+b≥2 ab ?1≥

2 ab 2 ab ? ab ≥ .当且仅当 a=b 时取等号,∴①不恒成立; a?b a?b

②a+b>|a-b|?a>|a-b|-b 恒成立; ③a2+b2-4ab+3b2=(a-2b)2≥0,当 a=2b 时,取等号,例如:a=1,b=2 时,左边=5,右 边=4×1×2-3×22=-4∴③不恒成立; ④ab+

2 2 ≥ 2 ab =2 2 >2 恒成立. ab ab

答案:D

?a+b?2 8.已知 x>0,y>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,则 cd 的最小
值是( A.0 ). B.1 C.2 D.4

3

?a+b?2 ?x+y?2 ?2 xy?2 解析 由题知 a+b=x+y,cd=xy,x>0,y>0,则 cd = xy ≥ xy =4,当
且仅当 x=y 时取等号. 答案 D

9. 在△ABC 中,三边 a、b、c 成等比数列,角 B 所对的边为 b,则 cos2B+2cosB 的最小值为 ( ) A. ?

3 2

B.-1

C.

1 2

D.1

解:∵a、b、c,成等比数列, ∴b2=ac,

∴cosB=

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2 ac ? ac 1 = ≥ = . 2ac 2 2ac 2ac

∴cos2B+2cosB=2cos2B+2cosB-1 =2(cosB+

1 2 3 )- , 2 2

∴当 cosB= 故选 C.

1 3 1 时,cos2B+2cosB 取最小值 2- = . 2 2 2

10. 给出数列 ,

1 1

1 2 1 2 3 1 2 k , , , , ,…, , ,…, ,…,在这个数列中,第 2 1 3 2 1 k k ?1 1
) C.5000 D.5001

50 个值等于 1 的项的序号是( A.4900 B.4901 解:值等于 1 的项只有 ,

1 1

2 3 , ,… 2 3 50 50

所以第 50 个值等于 1 的应该是

那么它前面一定有这么多个项:
4

分子分母和为 2 的有 1 个:

1 1 1 2 , 2 1 1 2 3 , , 3 2 1

分子分母和为 3 的有 2 个:

分子分母和为 4 的有 3 个: …

分子分母和为 99 的有 98 个:

1 2 98 , ,…, 98 97 1 2 3 49 ,…, ,…, . 51 98 97

分子分母和为 100 的有 49 个:,

所以它前面共有(1+2+3+4+…+98)+49=4900 所以它是第 4901 项. 故选 B.

二、填空题: (本大题共有 5 题,每 题 5 分,共 25 分) 11. 已知 x、y 的取值如下表: x y 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7

从散点图分析,y 与 x 线性相关,且回归方程为 y=0.95x+a,则 a= 解:点( x , y ) 在回归直线上, 计算得 x = 2 , y = 4.5 ; 代入得 a=2.6; 故答案为 2.6. 12. 已知函数 f(x)= ?

? x ? 2, x ? 0 2 ,则不等式 f(x)≥x 的解集是 ?? x ? 2, x ? 0

5

解:①当 x≤0 时;f(x)=x+2,∵f(x)≥x2,∴x+2≥x2,x2-x-2≤0,解得,-1≤x≤2,∴-1≤x≤0; ②当 x>0 时;f(x)=-x+2,∴-x+2≥x2,解得,-2≤x≤1,∴0≤x≤1, 综上①②知不等式 f(x)≥x2 的解集是:[-1,1]. 13. 如果运行下面程序之后输出 y 的值是 9,则输入 x 的值是 输入 x If x<0 Then y=(x+1)*(x+1) Else y=(x-1)*(x-1) End if 输出 y End 解:根据条件语句可知是计算 y= ?

?( x ? 1)( x ? 1), x ? 0 ?( x ? 1)( x ? 1), x ? 0

当 x<0,时(x+1)(x+1)=9,解得:x=-4 当 x≥0,时(x-1)(x-1)=9,解得:x=4 答案:-4 或 4 14. 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、C、若( 3 b-c)cosA=acosC,则 cosA= 解:由正弦定理,知 由( 3 b-c)cosA=acosC 可得 ( 3 sinB-sinC)cosA=sinAcosC, ∴ 3 sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA =sin(A+C)=sinB,

6

∴cosA=

3 3 .故答案为: 3 3

15. 设 a+b=2,b>0,则

a 1 + 的最小值为 b 2a

解:∵a+b=2,∴ ∴

a?b = 1, 2

a a 1 a b + = + + , 2a b 4a 4a b a b + ≥1(当且仅当 b2=4a2 时取等号), 4a b

∵b>0,|a|>0,∴



a 1 a + ≥ +1, 2a b 4a a 1 3 + 的最小值为 . 4 2a b

故当 a<0 时, 故答案为:

3 . 4

三、解答题 (本大题共有 6 题,共 75 分) 2 16. 已知关于 x 的不等式 x -4x-m<0 的解集为非空集{x|n<x<5} (1)求实数 m 和 n 的值 2 (2)求关于 x 的不等式 loga(-nx +3x+2-m)>0 的解集. 解:(1)由题意得:n 和 5 是方程 x2-4x-m=0 的两个根(2 分)

?n ? 5 ? 4 (3 分) ? ?5n ? ?m ?n ? ?1 (1 分) ? ?m ?5
(2)1°当 a>1 时,函数 y=logax 在定义域内单调递增 由 loga(-nx2+3x+2-m)>0

7

得 x2+3x-3>1(2 分) 即 x2+3x-4>0 x>1 或 x<-4(1 分) 2°当 0<a<1 时,函数 y=logax 在定义域内单调递减 由:loga(-nx2+3x+2-m)>0 得: ?

? x 2 ? 3x ? 3 ? 1
2 ? x ? 3x ? 3 ? 0

(2 分)

?4 ? x ? 1 ? ? 即? ?3 ? 21 ?3 ? 21 (1 分)(1 分) 或x ? ?x ? ? 2 2
∴当 a>1 时原不等式的解集为:(-∞,-4)∪(1,+∞), 当 0<a<1 时原不等式的解集为: (?4,

?3 ? 21 ?3 ? 21 ) ( ,1) (1 分) 2 2

17. 某校高一学生共有 500 人,为了了解学生的历史学习情况,随机抽取了 50 名学生,对 他们一年来 4 次考试的历史平均成绩进行统计, 得到频率分布直方图如图所示, 后三组频数 成等比数列. (1)求第五、六组的频数,补全频率分布直方图; (2)若每组数据用该组区间中点值作为代表(例如区间[70,80)的中点值是 75),试估 计该校高一学生历史成绩的平均分; (3)估计该校高一学生历史成绩在 70~100 分范围内的人数.

解:(1)设第五、六组的频数分别为 x,y

8

由题设得,第四组的频数是 0.024×10×50=12 则 x2=12y,又 x+y=50-(0.012+0.016+0.03+0.024)×10×50 即 x+y=9 ∴x=6,y=3

补全频率分布直方图 (2)该校高一学生历史成绩的平均分

x = 10 (45×0.012+55×0.016+65×0.03+75×0.024+85×0.012+95×0.006)=67.6
(3)该校高一学生历史成绩在 70~100 分范围内的人数: 500×(0.024+0.012+0.006)×10=210

18. 根据如图所示的程序框图,将输出的 x,y 依次记为 x1,x2,…,x2013,y1,y2…y2013, (1)求出数列{xn},{yn}(n≤2013)的通项公式; (2)求数列{xn+yn}(n≤2013)的前 n 项的和 Sn. 解:(1)由程序框图可得到数列{xn}是首项为 2, 公差为 3 的等差数列,∴xn=3n-1,(n≤2013). 数列{yn+1}是首项为 3 公比为 2 的等比数列, ∴yn+1=3?2n-1,∴yn=3?2n-1-1,(n≤2013). (Ⅱ)∵xn+yn=3n-1+3?2n-1-1=,(n≤2013). ∴Sn=(2+5+…+3n-1)+(3+6+…+3?2n-1)-n

9

(2 ? 3n ? 1) n 3n 2 ? n ? 6 n n = +3?2 -3-n=3?2 + (n≤2013). 2 2
19. 在△ABC 中,∠B=45°,AC= 10 ,cosC= (1)求 BC 的长; (2)若点 D 是 AB 的中点,求中线 CD 的长度. 解:(1)由 cosC =

2 5 , 5

2 5 5 得 sinC = 5 5 2 3 10 (cosC+sinC) = 2 10

sinA =sin(180° ? 45° ? C) =

由正弦定理知 BC =

AC 10 3 10 ? sinA = ? =3 2 sinB 10 2 2
BD =

(2)AB =

AC 10 5 ? sinC = ? = 2, sinB 2 5 2

1 AB = 1 2

由余弦定理知 CD =

BD2 ? BC 2 ? 2BD BC cos B = 1 ? 18 ? 2 1 3 2

2 = 13 2

20. 某森林出现火灾,火势正以每分钟 100 m 的速度顺风蔓延,消防站接到警报立即派消 防员前去,在火灾发生后五分钟到达救火现场,已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火 50 m ,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟 125 元,另附加每次救火所耗损 的车辆、器械和装备等费用平均每人 100 元,而烧毁 1 m 森林损失费为 60 元,问应该派多 少消防员前去救火,才能使总损失最少? 解:设派 x 名消防员前去救火,用 t 分钟将火扑灭,总损失为 y 元,则 t=
2 2

2

5 ?100 10 = , 50 x ? 100 x ? 2

y=灭火材料、劳务津贴+车辆、器械、装备费+森林损失费

10

=125tx+100x+60(500+100t) =125x?

10 60000 +100x+30000+ x?2 x?2 x?2?2 60000 +100(x-2+2)+30000+ x?2 x?2 62500 x?2

y=1250?

=31450+100(x-2)+

≥31450+2 100 ? 62500 =36450, 当且仅当 100(x-2)=

62500 , x?2

即 x=27 时,y 有最小值 36450. 答:应该派 27 名消防员前去救火,才能使总损失最少,最少损失为 36450 元.

21. 各项为正数的数列{an}满足 an = 4S n ? 2a n ? 1 (n∈N ),其中 Sn 为{an}前 n 项和.
*

2

(1)求 a1,a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)是否存在正整数 m、n,使得向量 an =(2an+2,m)与向量 bn =(? an+5,3+an)垂直?说 明理由. 解:(1)当 n=1 时, a1 = 4S 1 ? 2a 1 ? 1 ,化简得(a 1 ? 1) 2 = 0 ,解之得 a1=1 当 n=2 时, a2 = 4S 2 ? 2a 2 ? 1=4(a1+a2)-2a2-1 将 a1=1 代入化简,得 a 2 2 ? 2a 2 ? 3 = 0 ,解之得 a2=3 或-1(舍负) 综上,a1、a2 的值分别为 a1=1、a2=3; (2)由 an = 4S n ? 2a n ? 1 …①, an ?1 = 4S n+1 ? 2a n+1 ? 1 …② ②-①,得 an ?1 ? an = 4a n+1 ? 2a n+1 +2a n = 2(a n+1 +a n ) 移项,提公因式得(an+1+an)(an+1-an-2)=0
11
2 2 2 2 2 2

∵数列{an}的各项为正数, ∴an+1+an>0,可得 an+1-an-2=0 因此,an+1-an=2,得数列{an}构成以 1 为首项,公差 d=2 的等差数列 ∴数列{an}的通项公式为 an=1+2(n-1)=2n-1; (3)∵向量 an =(2an+2,m)与向量 bn =(-an+5,3+an) ∴结合(2)求出的通项公式,得 an =(2(2n+3),m), bn =(-(2n+9),2n+2) 若向量 an ⊥ bn ,则 an ? bn =-2(2n+3)(2n+9)+m(2n+2)=0 化简得 m=4(n+1)+16+ ∵m、n 是正整数, ∴当且仅当 n+1=7,即 n=6 时,m=45,可使 an ⊥ bn 符合题意 综上所述,存在正整数 m=45、n=6,能使向量 an =(2an+2,m)与向量 bn =(-an+5,3+an) 垂直.

7 n ?1

12


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