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浦东新王牌 周末小班资料 高一数学同步提高课程


龚 Y 老师

高一数学

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函数综合训练
函数综合题汇编

m ?1 ? , x ? ? ,5? , 其中 m 是不等于零的常数, x ?4 ? (1) 、 (理)写出 h?4 x ? 的定义域(2 分) ; (文) m ? 1 时,直接写出 h?x ? 的值域(4 分) (2) 、 (文、理)求 h?x ? 的单调递增区间(理 5 分,文 8 分) ;
1、设 h? x ? ? x ? (3) 、 已 知 函 数 f ( x) ( x ?[a, b]) , 定 义 : f1 ( x) ? min{ f (t ) | a ? t ? x} ( x ?[a, b]) , 其中,min{ f ( x) | x ? D} 表示函数 f ( x) 在 D 上的最小 f 2 ( x) ? max{ f (t ) | a ? t ? x} ( x ?[a, b]) . 值, max{ f ( x) | x ? D} 表示函数 f ( x) 在 D 上的最大值.例如: f ( x) ? cos x , x ? [0, ? ] ,则 , f1 ( x) ? cos x, x ? [0,? ] , f 2 ( x) ? 1, x ?[0, ? ] ( 理 ) 当 m ? 1 时 , 设 M ?x ? ?

t ? M1?x? ? M 2 ?x? ? n 恒成立,求 t , n 的取值范围(11 分) ;

h?x ? ? h?4 x ? h?x ? ? h?4 x ? , 不 等 式 ? 2 2

2.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 5 分,第(3) 小题满分 7 分. 已知函数 f ( x) ? log4 (4x ? 1) ? (k ?1) x ( x ? R )为偶函数. (1)求常数 k 的值; (2)当 x 取何值时函数 f ( x ) 的值最小?并求出 f ( x ) 的最小值;

( a ?2 (3)设 g (x) ? log 4

x

4 ? a ) (a ? 0) ,试根据实数 a 的取值,讨论函数 f ( x ) 与 g ( x) 3

的图像的公共点个数.

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1 1 3.已知函数 f(x)=2+ ? 2 ,实数 a ? R 且 a ? 0 。 a a x

(1)设 mn ? 0 ,判断函数 f ( x) 在 [m, n] 上的单调性,并说明理由; (2)设 0 ? m ? n 且 a ? 0时, f(x)的定义域和值域都是 [m, n] ,求 n ? m 的最大值; (3) 若不等式 | a2 f ( x) |? 2 x 对 x ? 1 恒成立,求 a 的范围;

4.已知函数 f ( x) ? 2x ? 2? x a (常数 a ? R ) . (1)若 a ? ?1 ,且 f ( x) ? 4 ,求 x 的值; (2)若 a ? 4 ,求证函数 f ( x) 在 [1, ??) 上是增函数; (3)若存在 x ?[0,1] ,使得 f (2x) ? [ f ( x)]2 成立,求实数 a 的取值范围.

5. (本题满分 16 分)已知:函数 f(x)=x? +(a+l)x+lg|a+2|,g(x)=(a+1)x,(a∈R,a≠-2). (1)若函数 f(x)和 g(x)在区间[ lg|a +2|, (a+1)?]上都是减函数,求 a 的取值范围; (2)在(1)的条件下,比较 f(l)与

1 的大小,写出理由. 6

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6. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 7 分. 设 a ? 1 ,函数 f ( x) 的图像与函数 y ? 4 ? a| x?2| ? 2 ? a x?2 的图像关于点 A(1 , 2) 对称. (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? m 有两个不同的正数解,求实数 m 的取值范围; (3)设函数 g ( x) ? f (? x) , x ? [?2 , ? ?) , g ( x) 满足如下性质:若存在最大(小) 值,则最大(小)值与 a 无关.试求 a 的取值范围.

7. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? 1 ?

2 ( t 是常实数) . 2 ?t
x

(1)若函数的定义为 R,求 y ? f ( x) 的值域;
(2)若存在实数 t 使得 y ? f ( x) 是奇函数,证明 y ? f ( x) 的图像在 g ( x) ? 2
x ?1

?1图

像的下方.

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8.定义:如果函数 y ? f ( x)在定义域内给定区间[a,b]上存在x0(a ? x0 < b),满足
f ( x0 ) ? f (b) ? f (a ) ,则称函数 y ? f ( x) 是 [a,b] 上的“平均值函数” , x0 是它的 b?a

一个均值点.如 y ? x4是[?11] ,上的平均值函数,0 就是它的均值点. (1)判断函数 f ( x) ? ? x2 ? 4 x 在区间 [0, 求出它的均 9] 上是否为平均值函数?若是, 值点;若不是,请说明理由; (2)若函数 f ( x) ? ? x2 ? mx ?1是区间[?11] , 上的平均值函数,试确定实数 m 的取值 范围.

9. 设 f ( x) 为 定 义 域 为 R 的 函 数 , 对 任 意 x ? R , 都 满 足 : f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,

f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? 3 x ? 3? x. (1)请指出 f ( x) 在区间 [ ?1,1] 上的奇偶性、单调区间、最大(小)值和零点,并运用相关
定义证明你关于单调区间的结论; (2)试证明 f ( x) 是周期函数,并求其在区间 [2k ? 1,2k ](k ? Z) 上的解析式.

10. 已知函数 f ( x) ? x ? (a ? 1) x ? lg | a ? 2 | (a ? R, 且a ? ?2) .
2

(1)写出一个奇函数 g ( x) 和一个偶函数 h( x) ,使 f ( x) = g ( x) + h( x) ; (2)对(1)中的 g ( x) . 命题 P:函数 f ( x) 在区间 [(a ? 1) ,??) 上是增函数;命题 Q:
2

函数 g ( x) 是减函数;如果命题 P、Q 有且仅有一个是真命题,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,求 f ( 2) 的取值范围.

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11. 已知函数 f ( x ) ,如果存在给定的实数对( a, b ) ,使得 f (a ? x) ? f (a ? x) ? b 恒成立, 则称 f ( x ) 为“S-函数”. (1)判断函数 f1( x) ? x, f 2 ( x) ? 3x 是否是“S-函数” ; (2)若 f 3 ( x) ? tan x 是一个“S-函数” ,求出所有满足条件的有序实数对 (a, b) ; (3)若定义域为 R 的函数 f ( x ) 是“S-函数” ,且存在满足条件的有序实数对 (0, 1) 和 当 x ?[0, 1] 时,f ( x) 的值域为 [1, 2] , 求当 x ?[?2012 , 2012 ] 时函数 f ( x ) (1, 4) , 的值域.

12.(本题 18 分)在 R+上的递减函数 f(x)同时满足:(1)当且仅当 x?M 的集合为[0, 2];(2)f(

R+时,函数值 f(x)

1 )=1;(3)对 M 中的任意 x1、x2 都有 f(x1?x2)= f(x1)+ f(x2);(4)y=f(x)在 M 2

上的反函数为 y=f–1(x). (1)求证:

1 1 ?M,但 ?M; 4 8 1 . 2

(2)求证:f–1(x1)? f–1(x2)= f–1(x1+x2); (3)解不等式:f–1(x2–x)? f–1(x–1)≤

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上海市高考模拟试题汇编—函数
1. (上海市 2009 届高三年级十四校联考数学理科卷 13)下列四个函数中,图像如右图所示 的只能是 ( ) A. y ? x ? lg x B. y ? x ? lg x C. y ? ? x ? lg x D. y ? ? x ? lg x

2. (上海虹口区 08 学年高三数学第一学期期末试卷 14)已知: f ( x ) 是 R 上的奇函数, 且满足 f ( x ? 4) ? f ( x ) , 当 x ? (0, 2) 时, f ( x ) ? x ? 2 ,则 f (7) ? A. 3 B. ? 3 C. 1 D. ? 1 ( )

? 3 x ?1 , x ? 0, 3. ( 2009 年上海市普通高等学校春季招生考试 13 )已知函数 f ( x) ? ? 若 ?log2 x, x ? 0.
f ? x0 ? ? 3 ,则 x0 的取值范围是
(A)x0 ? 8 . (B)x0 ? 0 或 x0 ? 8 . [答] ( ) (D)x0 ? 0 或 0 ? x 0 ? 8 .

(C) 0 ? x0 ? 8 .

4. (上海市宝山区 2008 学年高三年级第一次质量调研 16)已知图 1 中的图像对应的函数为

y ? f ( x) , 则 图 2 中 的 图 像 对 应 的 函 数 在 下 列 给 出 的 四 式 中 , 只 可 能 是
( ) B. y ?| f ( x ) |
y

A. y ? f (| x |)

C. y ? f ( ? | x |)
y

D. y ? ? f (? | x |)

O

x

O

x

图1

图2

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5. (上 海 市 高 考 模 拟 试 题

1 6 )定义域和值域均为 ?? a, a ? (常数 a ? 0 )的函数

y ? f ?x ?和 y ? g ?x ? 的图像如图所示,给出下列四个命题:
(1)方程 f ?g ?x ?? ? 0 有且仅有三个解; (2)方程 g? f ?x ?? ? 0 有且仅有三个解; (3)方程 f ? f ?x ?? ? 0 有且仅有九个解; (4)方程 g?g ?x ?? ? 0 有且仅有一个解。 那么,其中正确命题的个数是( (A)1 (B)2 ) (C)3

(D)4

6.(上海市八校 2008 学年第一学期高三数学考试试卷 16)在一次研究性学习中,老师给出 函数 f ( x) ?

x ( x ? R) ,三位同学甲、乙、丙在研究此函数时给出命题: 1? x

甲:函数 f ( x ) 的值域为 ??1,1? ; 乙:若 x1 ? x2 ,则一定有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;

丙:若规定

f1 ( x) ? f ( x), f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ,则 f n ( x) ?

x 1? n x


对任意 n ? N 恒

?

成立。 你认为上述三个命题中不正确的个数有-----------------( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

7. 已 知 函 数 y ? f ( x ) 的 定 义 域 为 D , 若 对 于 任 意 的 x1 , x2 ? D( x1 ? x2 ) , 都 有

f(

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? , 则称 y ? f ( x ) 为 D 上的凹函数.由此可得下列函数中凹函 2 2
( B. y ? )

数为 A. y ? log 2 x

x

C. y ? x

2

D. y ? x

3

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8. (静安区部分中学 08-09 学年度第一学期期中数学卷第 14 题)函数 f ( x) ? 2

|log 2 x|

? x?

1 的 x

大致图像为
y



) .
y y y

1

1 1
x

1 1 (B)
x

1 1 (C)
x

O

O

O

O

(A)

1 (D)

x

9. (上 海 市 高 考 模 拟 试 题 1 4 )函数 f ?x ? ? (A)在 ?? 1,1? 上单调递增 (C)在 ?? 1,1? 上单调递减

x 1? x2





(B)在 ?? 1,0? 上单调递增,在 ?0,1? 上单调递减 (D)在 ?? 1,0? 上单调递减,在 ?0,1? 上单调递增

10. 已知对于任意实数 x ,函数 f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x) . 若方程 f ( x) ? 0 有 2009 个实数解, 则这 2009 个实数解之和为 .

11.(上海市八校 2008 学年第一学期高三数学考试试卷 8)设

f ( x) 是定义在 R 上且以 3 为

周期的奇函数,若 是 .

f (1) ? 1



f (2) ?

2a ? 3 ,则实数 a 的取值范围 a ?1

12 . (上海市八校 2008 学年第一学期高三数学考试试卷 12 )若对任意 x ? A, y ? B , ( A ? R, B ? R ) 有唯一确定的 f ( x, y ) 与之对应, 则称 f ( x, y ) 为关于 x , y 的二元函 数。 定义:满足下列性质的二元函数 f ( x, y ) 为关于实数 x , y 的广义“距离”: (1)非负性: (2)对称性:

f ( x, y) ? 0 ,当且仅当 x ? y 时取等号;
f ( x, y) ? f ( y, x) ;

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(3)三角形不等式:

f ( x, y) ? f ( x, z) ? f ( z, y) 对任意的实数 z 均成立.

给出三个二元函数:①

f ( x, y) ? ( x ? y)2 ; ② f ( x, y) ? x ? y ; ③

f ( x, y) ?

x? y .

请选出所有能够成为关于 x , y 的广义“距离”的序号_______________. 13.(上海市长宁区 2008 学年高三年级第一次质量调研 12)设函数

ax f ( x) ? (a ? 0, a ? 1),[m ] 表示不超过实数 m 的最大整数,则函数 1? ax

1 1 g( x ) ? [ f ( x ) ? ] ? [ f ( ? x ) ? ] 的值域为______________. 2 2
14. (上海市黄浦区 2008 学年高三年级第一次质量调研 11) 函数 y ? f ( x ) 是定义域为 R 的
x 奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? x 3 ? 2 ? 1 ,则函数的解析式 f ( x ) ? ________________. 1

15.(08 年上海市部分重点中学高三联考 10)设定义在 R 的函数 f ( x) 同时满足以下条件: ① f ( x) ? f (? x) ? 0 ;② f ( x) ? f ( x ? 2) ; ③当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 2 x ? 1 。则 f ( ) ? f (1) ? f ( ) ? f (2) ? f ( ) ? _____________ 16. (上海虹口区 08 学年高三数学第一学期期末试卷 10) 已知: t 为常数,函数

1 2

3 2

5 2

y ?| x 2 ? 2 x ? t | 在区间 [0, 3] 上的最大值为 3 ,则实数 t ? _____.
? x, x ? P ,其中 P、 M 为 f ( x) ? ? ? ? x, x ? M

17

(上海徐汇等区第一学期期末质量抽查第 12 题)函数

实数集 R 的现,两个非空子集,又规定

A ? { y | y ? f ( x ), x ? P }, B ? { y | y ? f ( x ), x ? M } ,给出下列三个判断:
① 若P ③ 若P

M ? ? ,则 A M ? R ,则 A

B ? ? ;② 若P

M ? R ,则 A

B ? R;

B ? R .其中错误的判断是___________(只需填写序号).

18 2008 学年度第一学期上海市普陀区高三年级质量调研第 4 题) 设定义在 R 上的函数 f ? x ? 满
足 f ? x ? ? f ? x ? 2? ? 3 ,若 f ?1? ? 2 ,则 f ? 2009? ?

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19 (上海市静安区 2008 学年高三年级第一次质量调研第 10 题)已知周期为 2 的偶函数
f ( x ) 的定义域是实数集 R ,且当 x ? [0,1] 时,

f ( x ) ? log2 (2 ? x ) ,则当 x ? [2007, 2009] 时, f ( x ) ? ____________.
20 (静安区部分中学 08-09 学年度第一学期期中数学卷第 9 题)已知 f ( x) ? log 1 x 的反函数
2

为f

?1

( x) ,若 f ?1 (a ) ? f ?1 (b) ?

1 ,则 f (a ? b) ? 4

.答案: ?1

21 (南汇区 2008 学年度第一学期期末理科第 8 题)函数 f ( x) ? x ? lg( x ? 2) ? 1的图象与

x 轴的交点个数有

个.

22 (南汇区 2008 学年度第一学期期末理科第 9 题)若一系列函数的解析式相同,值域相同 但定义域不同, 则称这些函数为 “孪生函数” , 那么函数解析式为 y ? 2 x 2 ? 1 , 值域为 ?3,19? 的“孪生函数”共有 个.

23. ( 浦 东 新 区 2008 学 年 度 第 一 学 期 期 末 质 量 抽 测 卷 数 学 理 科 第 11 题 ) 对 于 函 数
,若存在闭区间 f ( x) ? mx ? x 2 ? 2 x ? n ( x ? [?2,??) ) 使得对任意 x ? [a, b] , 恒有 f ( x) = c( c 为实常数) , 则实数 m, n [ a, b]? ? [?2,??) ( a ? b) , 的值依次 为 .. .

24. 已知 a 为实数, f ( x ) ? a ?

2 ( x ? R ). 2 ?1
x

(1)求证:对于任意实数 a , y ? f ( x ) 在 (??, ??) 上是增函数; (2)当 f ( x ) 是奇函数时,若方程 f ?1 ( x) ? log2 ( x ? t ) 总有实数根,求实数 t 的取值范围.

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25. 某学校要建造一个面积为 10000 平方米的运动场。如图,运动场是由一个矩形 ABCD 和 分别以 AD、BC 为直径的两个半圆组成。跑道是一条宽 8 米的塑胶跑道,运动场除跑道外, 其他地方均铺设草皮。 已知塑胶跑道每平方米造价为 150 元,草皮每平方米造价为 30 元 (1) 设半圆的半径 OA= r (米),试建立塑胶跑道 面积 S 与 r 的函数关系 S( r ) (2) 由于条件限制 r ??30,40? ,问当 r 取何值时,运动场 造价最低?(精确到元)

4 x 2 ? 12 x ? 3 , x ? [0,1] ,求函数 f ( x ) 的单调区间和值域; 26.(1)已知: f ( x ) ? 2x ? 1
(2) a ? 1 , 函数 g( x ) ? x 3 ? 3a 2 x ? 2a, x ? [0,1], 判断函数 g ( x ) 的单调性并予以证明; (3)当 a ? 1 时,上述(1)、(2)小题中的函数 f ( x )、g( x ) ,若对任意 x1 ? [0,1] ,总存 在 x2 ? [0,1] ,使得 g( x2 ) ? f ( x1 ) 成立,求 a 的取值范围.

27. 已知函数 f ( x) ? ax ? | x | ?2a ? 1 ( a 为实常数) .
2

(1)若 a ? 1 ,作函数 f ( x) 的图像; (2)设 f ( x) 在区间 [1 , 2] 上的最小值为 g (a ) ,求 g (a ) 的表达式; (3)设 h( x ) ?

f ( x) ,若函数 h( x) 在区间 [1 , 2] 上是增函数,求实数 a 的取值范围. x

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28.设函数 f ( x) ? x 2 ? | 2 x ? a | ( x ? R, a 为实数). (1)若 f ( x ) 为偶函数,求实数 a 的值; (2)设 a ? 2 ,求函数 f ( x ) 的最小值.

29.设函数 y ? f ( x), x ? R . (1)若函数 y ? f ( x) 为偶函数并且图像关于直线 x ? a(a ? 0) 对称,求证:函数
y ? f ( x) 为周期函数.

(2)若函数 y ? f ( x) 为奇函数并且图像关于直线 x ? a(a ? 0) 对称,求证:函数
y ? f ( x) 是以 4 a 为周期的函数.

(3)请对(2)中求证的命题进行推广,写出一个真命题,并予以证明.

30. 已知函数 f ?x ? ?

x 2 ? 1 ? ax ,其中 a ? 0 .

(1)若 2 f (1) ? f (?1) ,求 a 的值; (2)证明:当且仅当 a ? 1 时,函数 f ( x) 在区间 [0,??) 上为单调函数; (3)若函数 f ( x) 在区间 [1,??) 上是增函数,求 a 的取值范围.


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