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2016年福建省宁德市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(解析版)


2016 年福建省宁德市高考数学模拟试卷(理科) (5 月份)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z=1+i,则 的值等于( )

A.i B.﹣i C.1 D.﹣1 2.设全集 U={0,1,2},A={x|x2+ax+b=0},若?UA={0,1}

,则实数 a 的值为( A.2 B.﹣2 C.4 D.﹣4 3.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输入的 n=3,则输出的结果为(

) )

A.6

B.7

C.8

D.9 )

4. Sn 是等比数列{an}的前 n 项和, S4, S3 成等差数列, 若 S2, 则数列{an}的公比 q 等于 ( A. B.2 C.﹣2 D.

5.已知双曲线的离心率为 是( A.x2﹣ ) =1 B.x2﹣

,一个焦点到一条渐近线的距离为 2,则该双曲线的方程可以

=1

C.

=1 D.

=1

6.设 x,y 满足条件

且 z=x+y+a(a 为常数)的最小值为 4,则实数 a 的值

为( A.

) B.2 C.4 D.5

7.现有 A,B 两个箱子,A 箱装有红球和白球共 6,B 箱装有红球 4 个、白球 1 个、黄球 1 个.现甲从 A 箱中任取 2 个球,乙从 B 箱中任取 1 个球.若取出的 3 个球恰有两球颜色相 同,则甲获胜,否则乙获胜.为了保证公平性,A 箱中的红球个数应为( )
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A.2

B.3

C.4

D.5 )在(0,π)上是减函数;命题 q:“a= ”是“直线 x= 为

8.已知命题 p:y=sin(x﹣

曲线 f(x)=sinx+acosx 的一条对称轴”的充要条件.则下列命题为真命题的是( ) A.p∧q B.¬p∧¬q C.¬p∧q D.p∧¬q 9.在空间直角坐标系 O﹣xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2) , (2,0,0) , (2,1,1) , (0,1,1) .若画该四面体三视图时,正视图以 zOy 平面为投影面,则得到的 侧视图是( )

A.

B.

C.

D.

10.过抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点 F 且倾斜角为 45°的直线交 C 于 A,B 两点,若以 AB 为直径的圆被 x 轴截得的弦长为 16 ,则 p 的值为( ) A.8 B.8 C.12 D.16 11.已知四面体 ABCD 的一条棱长为 a,其余各棱长均为 2 ,且所有顶点都在表面积为 20π 的球面上,则 a 的值等于( ) A.3 B.2 C.3 D.3 12.已知点 A(1,1) ,点 P 在曲线 f(x)=x3﹣3x2+3x(0≤x≤2)上,点 Q 在直线 y=3x ﹣14 上,M 为线段 PQ 的中点,则|AM|的最小值为( ) A. B. C. D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知△ABC 为等边三角形, 在 方向上的投影为 2, 14. (1+2x) (x+ )5 展开式中 x 的系数为______.

=3

,则

=______.

15.已知函数 f(x)=

若函数 g(x)=f(x)﹣x 恰有两个零点,

则实数 a 的取值范围是______. 16.若数列{an}满足 + +…+ = ﹣ ,且对任意的 n∈N*,存在 m∈N*,使

得不等式 an≤am 恒成立,则 m 的值是______. 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.如图,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=b(sinC+cosC) . ABC (Ⅰ)求∠ ; (Ⅱ)若∠A= ,D 为△ABC 外一点,DB=2,DC=1,求四边形 ABDC 面积的最大值.

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18.某职业学校有 2000 名学生,校服务部为了解学生在校的月消费情况,随机调查了 100 名学生,并将统计结果绘成直方图如图: (Ⅰ)试估计该校学生在校月消费的平均数; (Ⅱ)根据校服务部以往的经验,每个学生在校的月消费金额 x(元)和服务部可获得利润

y(元) ,满足关系式:

根据以上抽样调查数据,将频率视为概

率,回答下列问题: (ⅰ)对于任意一个学生,校服务部可获得的利润记为 ξ,求 ξ 的分布列及数学期望. (ⅱ)若校服务部计划每月预留月利润的 ,用于资助在校月消费低于 400 元的学生,那么 受资助的学生每人每月可获得多少元?

19.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD∥BC,PA=3,AD=4,AC=2 ∠ADC=60°,E 为线段 PC 上一点,且 =λ . (Ⅰ)求证:CD⊥AE; (Ⅱ) 若平面 PAB⊥平面 PAD, 直线 AE 与平面 PBC 所成的角的正弦值为



, 求 λ 的值.

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20.已知点 F(1,0) ,点 P 在圆 E: (x+1)2+y2=16 上,线段 PF 的垂直平分线交 PE 于点 M.记点 M 的轨迹为曲线 Γ.过 x 轴上的定点 Q(m,0) (m>2)的直线 l 交曲线 Γ 于 A, B 两点. (Ⅰ)求曲线 Γ 的方程; (Ⅱ)设点 A 关于 x 轴的对称点为 A′,证明:直线 A′B 恒过一个定点 S,且|OS|?|OQ|=4. 21.已知函数 f(x)=﹣ +(a﹣1)x+lnx.

(Ⅰ)若 a>﹣1,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 a>1,求证: (2a﹣1)f(x)<3ea﹣3. 四.请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时 请写清题号.[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,已知⊙A 和⊙B 的公共弦 CD 与 AB 相交于点 E,CB 与⊙A 相切,⊙B 半径为 2, AE=3. (Ⅰ)求弦 CD 的长; (Ⅱ)⊙B 与线段 AB 相交于点 F,延长 CF 与⊙A 相交于点 G,求 CG 的长.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C: (α 为参数) ,以坐标原点 O 为

极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求曲线 C 的极坐标方程; (Ⅱ)若点 A,B 为曲线 C 上的两点,且 OA⊥OB,求|OA|?|OB|的最小值. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|2x+1|﹣|x﹣a|(a>0) . (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)≤x 的解集; (Ⅱ)当 x≤﹣ 时,不等式 f(x)+t2+2t+3≥0 对任意 t∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围.

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2016 年福建省宁德市高考数学模拟试卷 (理科) (5 月份)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z=1+i,则 A.i B.﹣i C.1 的值等于( D.﹣1 )

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】把 z=1+i 代入 【解答】解:∵数 z=1+i, ∴ 故选:A. 2.设全集 U={0,1,2},A={x|x2+ax+b=0},若?UA={0,1},则实数 a 的值为( A.2 B.﹣2 C.4 D.﹣4 【考点】补集及其运算. 【分析】根据补集关系确定方程有两个相等的实根 2,进行求解即可. 【解答】解:∵?UA={0,1}, ∴A={2},即方程 x2+ax+b=0 有两个相等的实根 2, 则﹣ =2,即 a=﹣4, 故选:D. 3.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输入的 n=3,则输出的结果为( ) ) = , ,然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

A.6

B.7

C.8

D.9
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【考点】程序框图. 【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算变量 n 的值,满足条 件时退出循环,输出相应的 i 的值,模拟程序的运行过程,可得答案; 【解答】解:模拟执行程序,可得 n=3,i=0 不满足条件 n 是偶数,n=10,i=1 不满足条件 n=1,执行循环体,满足条件 n 是偶数,n=5,i=2 不满足条件 n=1,执行循环体,不满足条件 n 是偶数,n=16,i=3 不满足条件 n=1,执行循环体,满足条件 n 是偶数,n=8,i=4 不满足条件 n=1,执行循环体,满足条件 n 是偶数,n=4,i=5 不满足条件 n=1,执行循环体,满足条件 n 是偶数,n=2,i=6 不满足条件 n=1,执行循环体,满足条件 n 是偶数,n=1,i=7 满足条件 n=1,退出循环,输出 i 的值为 7. 故选:B, 4. Sn 是等比数列{an}的前 n 项和, S4, S3 成等差数列, 若 S2, 则数列{an}的公比 q 等于 ( A. B.2 C.﹣2 D. )

【考点】等比数列的通项公式. 【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式、前 n 项和公式即可得出. 【解答】解:∵S2,S4,S3 成等差数列, ∴2S4=S3+S2, ∴2a1(1+q+q2+q3)=a1(2+2q+q2) , 化为:1+2q=0,解得 q=﹣ . 故选:D. 5.已知双曲线的离心率为 是( A.x2﹣ ) =1 B.x2﹣ =1 C. =1 D. =1 ,一个焦点到一条渐近线的距离为 2,则该双曲线的方程可以

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据一个焦点到一条渐近线的距离为 2,离心率的值,建立方程关系求出 a,b 的 值即可得到结论. 【解答】解:设双曲线的一个焦点为 F(c,0) ,双曲线的一条渐近线为 y= ay=0, 所以焦点到渐近线的距离 d= =2, ,取 bx﹣

∵离心率 e= = 则 c2=a2+b2,

,∴c=



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即 3a2=a2+4, 即 2a2=4,则 a2=2, 则该双曲线的方程可以是 故选:C. =1,

6.设 x,y 满足条件

且 z=x+y+a(a 为常数)的最小值为 4,则实数 a 的值

为( A.

) B.2 C.4 D.5

【考点】简单线性规划. 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解, 联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案. 【解答】解:由约束条件作出可行域如图, 化目标函数 z=x+y+a 为 y=﹣x+z﹣a, 由图可知,当直线 y=﹣x+z﹣a 过点 A(2,0)时,直线在 y 轴上的截距最小, z 有最小值为 2+0+a=4,即 a=2. 故选:B.

7.现有 A,B 两个箱子,A 箱装有红球和白球共 6,B 箱装有红球 4 个、白球 1 个、黄球 1 个.现甲从 A 箱中任取 2 个球,乙从 B 箱中任取 1 个球.若取出的 3 个球恰有两球颜色相 同,则甲获胜,否则乙获胜.为了保证公平性,A 箱中的红球个数应为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【考点】概率的意义. 【分析】取出的 3 个球中有两个颜色相同包括:从 A 箱取出 2 个红球从 B 箱中取出的是白 球或黄球;从 A 箱取出的是白球从 B 箱中取出红球或黄球;从 A 箱中取出一个红球一个白 球从 B 箱中取出是黄球,这个事件的概率是 . 【解答】解:设 A 箱中有 x 个红球,则有(6﹣x)个白球,从 6 个球任取 2 个共有 C62=15 种, 取出的 3 个球中有两个颜色相同包括:

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从 A 箱取出 2 个红球从 B 箱中取出的是白球或黄球,其概率为

× ×2,

从 A 箱取出的是白球从 B 箱中取出红球或黄球,其概率为

×( + ) ,

从 A 箱中取出一个红球一个白球从 B 箱中取出是黄球,期概率为

×( + ) ,



× ×2+

×( + )+

×( + )= ,

解得 x=5, 故答案为:5.

8.已知命题 p:y=sin(x﹣

)在(0,π)上是减函数;命题 q:“a=

”是“直线 x= )



曲线 f(x)=sinx+acosx 的一条对称轴”的充要条件.则下列命题为真命题的是( A.p∧q B.¬p∧¬q C.¬p∧q D.p∧¬q 【考点】复合命题的真假. 【分析】分别判断出 p,q 的真假,从而判断出复合命题的真假. 【解答】解:∵0<x<π,∴﹣ ∴y=sin(x﹣ <x﹣ < ,

)在(0,π)上是增函数,

命题 p 是假命题; 若 a= ,则 f(x)=sinx+ =kπ+ cosx=2( sinx+ cosx)=2sin(x+ ) ,

对称轴 x+ 若直线 x= 则 f(

,∴x=kπ+

,是充分条件,

为曲线 f(x)=sinx+acosx 的一条对称轴, +x) 当 x= 即 f(0)=f( , )

﹣x)=f( )=

∴f(0)=a=f(

+ ,解得 a=

故命题 q 是真命题; 则命题¬p∧q 是真命题, 故选:C. 9.在空间直角坐标系 O﹣xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2) , (2,0,0) , (2,1,1) , (0,1,1) .若画该四面体三视图时,正视图以 zOy 平面为投影面,则得到的 侧视图是( )

第 8 页(共 23 页)

A.

B.

C.

D.

【考点】简单空间图形的三视图. 【分析】由题意,利用空间直角坐标系,借助于正方体在坐标系中画出几何体,再画出它的 侧视图. 【解答】解:由题意,画出直角坐标系,在坐标系中各点对应位置如图①所示;

以平面 zOy 为投影面,得到的侧视图如图②所示:

故选:C. 10.过抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点 F 且倾斜角为 45°的直线交 C 于 A,B 两点,若以 AB 为直径的圆被 x 轴截得的弦长为 16 ,则 p 的值为( ) A.8 B.8 C.12 D.16 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】求得抛物线的焦点,设出直线 AB 的方程,代入抛物线的方程,运用韦达定理和抛 物线的定义,根据以 AB 为直径的圆被 x 轴截得的弦长为 16 ,即可得到所求值. 【解答】解:抛物线 y2=2px 的焦点 F 为( ,0) , 设直线 AB 的方程为 y﹣0=x﹣ , 即为 y=x﹣ ,代入抛物线的方程,可得 x2﹣3px+ 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2=3p,x1x2= =0, ,

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∴y1+y2=2p 由抛物线的定义可得,|AB|=x1+x2+p=4p. ∵以 AB 为直径的圆被 x 轴截得的弦长为 16 ∴4p2=(8 )2+p2,∴p=8 故选:A.



11.已知四面体 ABCD 的一条棱长为 a,其余各棱长均为 2 20π 的球面上,则 a 的值等于( ) A.3 B.2 C.3 D.3

,且所有顶点都在表面积为

【考点】球内接多面体. 【分析】由题意画出几何体的图形,推出四面体的外接球的球心的位置,利用球的半径建立 方程,即可求出 a 的值. 【解答】解:表面积为 20π 的球的半径为 . 画出几何体的图形,BC=a,BC 的中点为 O,连接 AO,DO,则 AO⊥BC,DO⊥BC, ∴BC⊥平面 AOD, 取 AD 的中点 E,则 OE⊥AD,球的球心在 AD 的中点 E 与 O 的连线上, 设球心为 G, ∵OA=OD= ,AD=2 ,

∴OE=

设球的半径为 R,GE=x,则 R2=5=3+x2= ∴x= ,a=3 故选:C. .

+(

﹣x)2,

12.已知点 A(1,1) ,点 P 在曲线 f(x)=x3﹣3x2+3x(0≤x≤2)上,点 Q 在直线 y=3x ﹣14 上,M 为线段 PQ 的中点,则|AM|的最小值为( ) A. B. C. D.

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.

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【分析】求出 f(x)的导数,令导数为 3,求得切线的方程,以及中点 M 所在直线的方程, 运用点到直线的距离公式求出 A 到它们的距离,即可得到最小值. 【解答】解:f(x)=x3﹣3x2+3x 的导数为 f′(x)=3x2﹣6x+3, 令 f′(x)=3,解得 x=0 或 2, 可得与直线 y=3x﹣14 平行, 且与 y=f(x)图象相切的直线为 y=3x 或 y=3x﹣4, 可得中点 M 所在直线的方程为 y=3x﹣7 或 y=3x﹣9, 由图象可得 A 到直线 y=3x﹣7 的距离为 A 到直线 y=3x﹣9 的距离为 即有|AM|的最小值为 故选:B. , = . = ,

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知△ABC 为等边三角形, 在 方向上的投影为 2, 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】 先由, 在

=3

,则

= 4 .

方向上的投影为 2, 求出三角形的边长为 4, 再根据

= (



即可求出答案. 【解答】解:∵△ABC 为等边三角形, ∴| |=2, ∴AB=AC=BC=4, ∴ =( ) =( ﹣



方向上的投影为 2,

)?

= |

|2﹣

?

= ×42﹣4×4× =4,

故答案为:4

14. (1+2x) (x+ )5 展开式中 x 的系数为 40 .
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【考点】二项式系数的性质. 【分析】展开式的 x 项来源于第一个括号的 1 和 m=(x+ )5 展开式的 x 项的乘积或第一 个括号的 2x 和 m=(x+ )5 展开式的常数项的乘积,分别由 m 的展开式可得. 【解答】解:展开式的 x 项来源于第一个括号的 1 和 m=(x+ )5 展开式的 x 项的乘积 或第一个括号的 2x 和 m=(x+ )5 展开式的常数项的乘积, 又 m=(x+ )5 的通项为 Tk+1= x5﹣k( )k=2k? x5﹣2k,

令 5﹣2k=1 可得 k=2,故 m 展开式中含 x 的项为 40x, 令 5﹣2k=0 可得 k= ?Z,故 m 展开式中无常数项, ∴原式展开式中 x 的系数为 40, 故答案为:40.

15.已知函数 f(x)=

若函数 g(x)=f(x)﹣x 恰有两个零点,

则实数 a 的取值范围是 【考点】函数的图象;函数零点的判定定理.



【分析】画出函数 f(x)=

的图象,若函数 g(x)=f(x)﹣x 恰

有两个零点,则函数 f(x)的图象与函数 y=x 的图象有且只有两个交点,数形结合可得答 案.

【解答】解:函数 f(x)=

的图象如下图所示:

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当 x>0 时,函数 f(x)的图象与函数 y=x 的图象有且只有一个交点, 即函数 g(x)=f(x)﹣x 恰有一个零点, 故 x≤0 时,函数 g(x)=f(x)﹣x 也恰有一个零点, 即 x≤0 时,函数 f(x)的图象与函数 y=x 的图象有且只有一个交点, 故 a>0,y=x 与 y=﹣x2+a 相切, 解得:a=﹣ , 故实数 a 的取值范围是: 故答案为: ,

16.若数列{an}满足

+

+…+

= ﹣

,且对任意的 n∈N*,存在 m∈N*,使

得不等式 an≤am 恒成立,则 m 的值是 5 . 【考点】数列与不等式的综合. 【分析】通过作差可知数列{an}的通项公式,计算出数列的前几项即可判断出数列的变化规 律,进而即得结论. 【解答】解:∵ + +…+ = ﹣ ,

∴当 n≥2 时,

+

+…+

= ﹣



两式相减得:

=



=



∴an=(2n﹣1)?

(n≥2) ,
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又∵

= ﹣

=﹣

不满足上式,

∴an=



∵a2=

,a3=

,a4=

,a5=

,a6=



且易知从第六项开始数列递减, ∴m=5, 故答案为:5. 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.如图,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=b(sinC+cosC) . (Ⅰ)求∠ABC; (Ⅱ)若∠A= ,D 为△ABC 外一点,DB=2,DC=1,求四边形 ABDC 面积的最大值.

【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】 (Ⅰ)利用正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简已知可得 cosBsinC=sinBsinC, 结合 sinC≠0,可求 tanB=1,结合范围 B∈(0,π) ,即可求得 B 的值. 2 2 2 (Ⅱ)由已知利用余弦定理可得 BC =1 +2 ﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD,由已知及(Ⅰ)可 知 ,利用三角形面积公式可求 S△ ABC,S△ BDC,从而可求 , 根据正弦函数的性质即可得解四边形 ABDC 面积的最 大值. 【解答】 (本题满分为 12 分) 解: (Ⅰ)在△ABC 中,∵a=b(sinC+cosC) , ∴sinA=sinB(sinC+cosC) ,… ∴sin(π﹣B﹣C)=sinB(sinC+cosC) , ∴sin(B+C)=sinB(sinC+cosC) ,… ∴sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC,… ∴cosBsinC=sinBsinC, 又∵C∈(0,π) ,故 sinC≠0,… … ∴cosB=sinB,即 tanB=1. 又∵B∈(0,π) , ∴ . …
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(Ⅱ)在△BCD 中,DB=2,DC=1, ∴BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD. … 又 ,由(Ⅰ)可知 ,

∴△ABC 为等腰直角三角形,… ∴ 又∵ ∴ ∴当 ,… . 时,四边形 ABDC 的面积有最大值,最大值为 … .… ,…

18.某职业学校有 2000 名学生,校服务部为了解学生在校的月消费情况,随机调查了 100 名学生,并将统计结果绘成直方图如图: (Ⅰ)试估计该校学生在校月消费的平均数; (Ⅱ)根据校服务部以往的经验,每个学生在校的月消费金额 x(元)和服务部可获得利润

y(元) ,满足关系式:

根据以上抽样调查数据,将频率视为概

率,回答下列问题: (ⅰ)对于任意一个学生,校服务部可获得的利润记为 ξ,求 ξ 的分布列及数学期望. (ⅱ)若校服务部计划每月预留月利润的 ,用于资助在校月消费低于 400 元的学生,那么 受资助的学生每人每月可获得多少元?

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【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (Ⅰ)由频率分布直方图能求出学生月消费的平均数. (Ⅱ) (ⅰ)月消费值落入区间[200,400) 、[400,800) 、[800,1200]的频率分别为 0.05、 0.80、0.15,分别求出相应的概率,由此能求出 ξ 的分布列和 Eξ. (ii)先求出服务部的月利润,再求出受助学生人数,由此能求出每个受助学生每月可获得 多少元. 【解答】解: (Ⅰ)由频率分布直方图得学生月消费的平均数: … =680… (Ⅱ) (ⅰ)月消费值落入区间[200,400) 、[400,800) 、[800,1200]的频率分别为 0.05、 0.80、0.15, ∴P(ξ=20)=0.05, P(ξ=40)=0.80, P(ξ=80)=0.15, ∴ξ 的分布列为: ξ 20 40 80 P 0.05 0.80 0.15 Eξ=20×0.05+40×0.80+80×0.15=45. (ii)服务部的月利润为 45×2000=90000(元) , 受助学生人数为 2000×0.05=100, 每个受助学生每月可获得 90000× ÷100=200(元) .

19.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD∥BC,PA=3,AD=4,AC=2 ∠ADC=60°,E 为线段 PC 上一点,且 =λ . (Ⅰ)求证:CD⊥AE; (Ⅱ) 若平面 PAB⊥平面 PAD, 直线 AE 与平面 PBC 所成的角的正弦值为



, 求 λ 的值.

【考点】直线与平面所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系. 【分析】 (I) 由 PA⊥平面 ABCD 得出 PA⊥CD, 在△ACD 中使用正弦定理可得∠ACD=90°, 故而 CD⊥平面 PAC,于是 CD⊥AE; (II)由面面垂直可得 AB⊥AD,以 A 为原点建立空间直角坐标系,求出 和平面 PBC 的 法向量 ,则|cos< >|= ,列方程解出 λ 即可. ,∠ADC=60°,

【解答】证明: (Ⅰ)在△ADC 中,AD=4,

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由正弦定理得:

,即

,解得 sin∠ACD=1,

∴∠ACD=90°,即 DC⊥AC. ∵PA⊥平面 ABCD,CD? 平面 ABCD, ∴DC⊥PA. 又 AC∩PA=A,AC? 平面 PAC,PA? 平面 PAC, ∴CD⊥平面 PAC.∵AE? 平面 PAC, ∴CD⊥AE. (Ⅱ)∵PA⊥平面 ABCD,AB? 平面 ABCD,AD? 平面 ABCD, ∴PA⊥AB,PA⊥AD.∴∠BAD 即为二面角 B﹣PA﹣D 的平面角. ∵平面 PAB⊥平面 PAD,∴∠BAD=90°. 以 A 为原点,以 AB,AD,AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系如图 所示, 则 , . ∴ =( ,3λ,﹣3λ) ,∴ = =( ,3,﹣3). =( , =(0,0,3) .

,3λ,3﹣3λ) .

设平面 PBC 的法向量为 =(x,y,z) ,则



,令

,得 =(

,0,1) .

设直线 AE 与平面 PBC 所成的角为 θ,则 ,







20.已知点 F(1,0) ,点 P 在圆 E: (x+1)2+y2=16 上,线段 PF 的垂直平分线交 PE 于点 M.记点 M 的轨迹为曲线 Γ.过 x 轴上的定点 Q(m,0) (m>2)的直线 l 交曲线 Γ 于 A, B 两点. (Ⅰ)求曲线 Γ 的方程; (Ⅱ)设点 A 关于 x 轴的对称点为 A′,证明:直线 A′B 恒过一个定点 S,且|OS|?|OQ|=4.
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【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质. 【分析】 (I)利用垂直平分线的性质、椭圆的定义即可得出. (Ⅱ)由椭圆的对称性可得,定点 S 必在 x 轴上.设直线 l 的方程为 y=k(x﹣m) ,A(x1, y1) ,B(x2,y2) ,直线 A'B 与 x 轴的交点为 S(s,0)则 A'(x1,﹣y1) ,直线方程与椭圆 2 2 2 2 2 方程联立可得: (3+4k )x ﹣8k mx+4k m ﹣12=0,利用根与系数的关系,及其 A',B,S 三点共线,进而得出. 【解答】解: (Ⅰ)由题意可知,|MP|=|MF|,∴|ME|+|MF|=4, ∵|ME|+|MF|>|EF|, ∴点 M 的轨迹是以点 F(1,0)和 E(﹣1,0)为焦点,2a=4 的椭圆, ∴ ,

∴曲线 Γ 的方程为



(Ⅱ)由椭圆的对称性可得,定点 S 必在 x 轴上.设直线 l 的方程为 y=k(x﹣m) ,A(x1, y1) ,B(x2,y2) ,直线 A'B 与 x 轴的交点为 S(s,0)则 A'(x1,﹣y1) , ∴ =(x1﹣s,﹣y1) , =(x2﹣s,y2) ,



得, (3+4k2)x2﹣8k2mx+4k2m2﹣12=0,

△>0,即(4﹣m2)k2+3>0,





当 k≠0 时,由 A',B,S 三点共线,可得(x1﹣s)y2+(x2﹣s)y1=0, 即 k(x1﹣s) (x2﹣m)+k(x2﹣s) (x1﹣m)=0,2x1x2﹣(s+m) (x1+x2)+2sm=0, ∴ ,







,即

,k=0 时,直线 A'B 与 x 轴重合,过点 ,且 =4.



综上述,直线 A'B 恒过一个定点

21.已知函数 f(x)=﹣

+(a﹣1)x+lnx.

(Ⅰ)若 a>﹣1,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 a>1,求证: (2a﹣1)f(x)<3ea﹣3.
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【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (Ⅰ)求导,令 f′(x)=0,解得 x1、x2,再进行分类讨论,利用导数大于 0,求得 函数的单调增区间;利用导数小于 0,求得函数的单调减区间; (Ⅱ)a>1,由函数单调性可知,f(x)在 x=1 取极大值,也为最大值,f(x)max= a﹣1, 因此(2a﹣1)f(x)≤(2a﹣1) ( a﹣1) ,构造辅助函数 g(a)= ,

求导,求出 g(a)的单调区间及最大值 可证明(2a﹣1)f(x)<3ea﹣3. 【解答】解: (Ⅰ)f(x)=﹣



< =3,可知 g(a)<3,ea﹣3>0,即

+(a﹣1)x+lnx,x>0

则 f′(x)=﹣ax+(a﹣1)+ =



令 f′(x)=0,解得 x1=1,x2=﹣ , 当﹣ >1,解得﹣1<a<0, ∴﹣1<a<0,f′(x)>0 的解集为(0,1) , (﹣ ,+∞) , f′(x)<0 的解集为(1,﹣ ) , ∴函数 f(x)的单调递增区间为: (0,1) , (﹣ ,+∞) , 函数 f(x)的单调递减区间为(1,﹣ ) ; 当﹣ <1,解得 a>0, ∴a>0,f′(x)>0 的解集为(0,1) , f′(x)<0 的解集为(1,+∞) ; ∴当 a>0,函数 f(x)的单调递增区间为(0,1) , 函数 f(x)的单调递减区间为(1,+∞) ; 综上可知:﹣1<a<0,函数 f(x)的单调递增区间为: (0,1) , (﹣ ,+∞) ,函数 f(x) 的单调递减区间为(1,﹣ ) ; a>0,函数 f(x)的单调递增区间为(0,1) ,函数 f(x)的单调递减区间为(1,+∞) ; a 1 f x 0 1 (Ⅱ)证明:∵ > ,故由(Ⅰ)可知函数 ( )的单调递增区间为( , )单调递减区间 为(1,+∞) , ∴f(x)在 x=1 时取最大值,并且也是最大值,即 f(x)max= a﹣1, 又∵2a﹣1>0,
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∴(2a﹣1)f(x)≤(2a﹣1) ( a﹣1) ,

设 g(a)=

,g′(a)=﹣

=﹣



∴g(a)的单调增区间为(2, ) ,单调减区间为( ,+∞) ,

∴g(a)≤g( )=

=



∵2 ∴

>3, < =3,

∴g(a)<3, ea﹣3>0, ∴(2a﹣1)f(x)<3ea﹣3. 四.请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时 请写清题号.[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,已知⊙A 和⊙B 的公共弦 CD 与 AB 相交于点 E,CB 与⊙A 相切,⊙B 半径为 2, AE=3. (Ⅰ)求弦 CD 的长; (Ⅱ)⊙B 与线段 AB 相交于点 F,延长 CF 与⊙A 相交于点 G,求 CG 的长.

【考点】与圆有关的比例线段;相似三角形的性质. 【分析】 (Ⅰ)连结 CA,由圆的切线的性质、对称性,根据射影定理求出 BE,再根据勾股 定理,继而得出弦 CD 的长; (Ⅱ)在△CEF 中,求出 EF,CF 的长,根据勾股定理求出 AC,设⊙A 与直线 AB 相交于 M,N 两点,分别求出 AF,MF,NF,根据相交弦定理求得 CF?FG,得出 FG,继而求得 CG 的值. 【解答】解: (Ⅰ)证明:连结 CA,则 CA⊥CB, ∵由圆的对称性知 CD⊥AB, ∴由射影定理得:BC2=BE?BA=BE?(BE+EA) , 2 ∴2 =BE?(BE+3) ,∴BE=1; ∴在 Rt△BEC 中, ∴ . (Ⅱ)在△CEF 中, ,

,EF=BF﹣BE=1,
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∴CF=2, 在△ACE 中, .

设⊙A 与直线 AB 相交于 M,N 两点, AF=AE﹣EF=3﹣1=2, ∵由相交弦定理得 CF?FG=FM?NF=(2 ∴FG=4, ∴CG=4+2=6.

, +2)?(2

﹣2)=8,

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C: (α 为参数) ,以坐标原点 O 为

极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求曲线 C 的极坐标方程; (Ⅱ)若点 A,B 为曲线 C 上的两点,且 OA⊥OB,求|OA|?|OB|的最小值. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)曲线 C: (α 为参数) ,利用平方关系可得曲线 C 的普通方程.把

x=ρcosθ,y=ρsinθ,代入曲线 C 的极坐标方程. (2)由对称性,设点 A、B 的极坐标分别为(ρ1,θ) , 代入极坐标方程化简利用三角函数的值域即可得出. 【解答】解: (1)曲线 C: ∵x=ρcosθ,y=ρsinθ, ∴曲线 C 的极坐标方程为 . (α 为参数) ,可得曲线 C 的普通方程为 . ,其中 ,

(2)由对称性,设点 A、B 的极坐标分别为(ρ1,θ) ,

,其中





=



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当且仅当 sin22θ=1 即

,|OA|?|OB|取到最小值



[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|2x+1|﹣|x﹣a|(a>0) . (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)≤x 的解集; (Ⅱ)当 x≤﹣ 时,不等式 f(x)+t2+2t+3≥0 对任意 t∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式. 【分析】 (1)将 a=1 代入 f(x) ,通过讨论 x 的范围,求出不等式的解集即可; (2)求出 f (x)的最小值,根据函数恒成立求出 a 的范围即可. 【解答】解: (1)当 a=1 时,f(x)≤x 化为|2x+1|﹣|x﹣1|≤x,… 当 当 ,不等式化为 2x+2≥0,解得 ,不等式化为 2x≤0,解得 ;… ; …

当 x≥1,不等式化为 2≤0,无解;… 所以 f(x)≤x 解集为{x|﹣1≤x≤0}. … (2)∵当 ∴ ∵t2+2t+3=(t+1)2+2≥2,… 要使当 则当 ∴ ∴ . … 时 f(x)+t2+2t+3≥0 对任意 t∈R 恒成立, 时 f(x)+2≥0 恒成立,… ,又由已知 a>0 时 f(x)=﹣2x﹣1﹣(a﹣x)=﹣x﹣a﹣1, . …

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2016 年 9 月 20 日

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