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2014届高考数学一轮复习 第60讲《直线与圆锥曲线的位置关系》热点针对训练 理


第十单元

解析几何

第60讲 直线与圆锥曲线的位置关系 2 1.过点(0,2)与抛物线 y =8x 只有一个公共点的直线有( C ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.无数条 解析:易知 y 轴与抛物线切于原点满足条件;直线 y=2 与抛物线的对称轴平行也满足 条件;另外画出图形,易知有一条直线与抛物线切于 x 轴上方,故这样的直

线有 3 条.选 C. 2 2 x y 2.直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系为( A ) 9 4 A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 2 2 x y 3.(2013?湖北省武昌区元月调研)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,若 a b 过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线的右支有两个交点,则此双曲线离心率的取值范围 是( A ) A.(1,2) B.(1,2 ] C.[2,+∞) D.(2,+∞) 解析:双曲线渐近线斜率小于直线的斜率, b 即 <tan 60°= 3, a c b 2 所以双曲线的离心率 e= = 1+? ? <2, a a 即 1<e<2,故选 A. 2 4.(2012?安徽卷)过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 O 是原 点,若|AF|=3,则△AOB 的面积为( C ) 2 A. B. 2 2 3 2 D.2 2 2 解析:设∠AFx=θ (0<θ <π )及|BF|=m, 则点 A 到准线 l:x=-1 的距离为 3, 1 得 3=2+3cos θ ?cos θ = . 3 2 3 又 m=2+mcos(π - θ )?m= = , 1+cos θ 2

C.

1 1 3 2 2 3 2 △AOB 的面积为 S= ?|OF|?|AB|sin θ = ?1?(3+ )? = ,故选 C. 2 2 2 3 2 2 2 x y 5.(2012?长春市第四次调研)若椭圆 + =1 与直线 x+2y-2= 0 有两个不同的交 3 m 1 点,则 m 的取值范围是 ( ,3)∪(3,+∞) . 4

?x +y =1 ? 解析:由? 3 m ?x+2y-2=0 ?
(3+4m)y -8my+m=0,
2

2

2

消去 x 并整理得

1

?m≠3 ? 根据条件得?m>0 ?Δ =64m2-4m? 4m+3? >0 ?



1 解得 <m<3 或 m>3. 4 2 6.(2012?浙江省杭州市 5 月份押题)过抛物线 y =2px(p>0)焦点的直线与抛物线交 1 3± 5 于 A、B 两点,|AB|=3,且 AB 中点的纵坐标为 ,则 p 的值为 . 2 4 p 解析:设直线方程为 x=my+ , 2 2 2 代入抛物线方程得 y -2mpy-p =0, ?yA+yB=2mp=1 ? 则? , 2 ? ?yAyB=-p 又|A B|= 1+m ? ? yA+yB? -4yA?yB 2 2 = 1+m ? 1+4p , ?2mp=1 3± 5 即? ? p= . 2 2 4 ? 1+m ? 1+4p =3 7.(2012?安徽省蚌埠市 3 月第二次质检)已知两定点 M(-2,0),N(2,0),若直线上 存在点 P,使得|PM|-|PN|=2,则称该直线为“A 型直线”,给出下列直线:①y=x+1; ②y= 3x+2;③y=-x+3;④y=-2x.其中是“A 型直线”的序号是 ①③ . 2 y 2 解析:由条件知考虑给出直线与双曲线 x - =1 右支的交点情况,作图易知①③直线 3 与双曲线右支有交点,故填①③. 2 2 8.椭圆 ax +by =1 与直线 x+y-1=0 相交于 A、 两点, 是线段 AB 的中点. B C 若|AB| 2 =2 2,直线 OC 的斜率 为 ,求椭圆的方程. 2 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆的方程并作差, 得 a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0. y1-y2 y1+y2 2 而 =-1, =kOC= , x1-x2 x1+x2 2 代入上式可得 b= 2a. 又|AB|= 2|x2-x1|=2 2,即|x2-x1|=2, 2 其中 x1、x2 是方程(a+b)x -2bx+b-1=0 的两根, 2b 2 b-1 2 则|x2-x1| =( ) -4? =4, a+b a+b 1 2 将 b= 2a 代入,得 a= ,b= , 3 3 x 2 2 所以所求椭圆的方程是 + y =1. 3 3
2 2 2

9.(2013?西城二模)已知抛物线 y =4x 的焦点为 F,过点 F 的直线交抛物线于 A,B
2

2

两点. → → (1)若 AF=2FB,求直线 AB 的斜率; (2)设点 M 在线段 AB 上运动,原点 O 关于点 M 的对称点为 C,求四边形 OACB 面积的最 小值. 解析:(1)依题意 F(1,0),设直线 AB 方程为 x=my+1, 2 将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立,消去 x 得 y -4my-4=0,设 A(x1,y1),B(x2, y2), 所以 y1+y2=4m,y1y2=-4,① → → 因为AF=2FB,所以 y1=-2y2,② 2 联立①和②,消去 y1,y2,得 m=± , 4 所以直线 AB 的斜率是±2 2. (2)由点 C 与原点 O 关于点 M 对称,得 M 是线段 OC 的中点,从而点 O 与点 C 到直线 AB 的距离相等,所以四边形 OACB 的面积等于 2S△AOB, 1 因为 2S△AOB=2 ? ?|OF|?|y1-y2| 2 = ? y1+y2? -4y1y2=4 1+m . 所以 m=0 时,四边形 OACB 的面积最小,最小值是 4.
2 2

3


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