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特级数学名师珍藏题第12讲 排列组合、二项式定理、概率与统计经典精讲 课后练习


第 12 讲 排列组合、二项式定理、概率与统计经典精讲
主讲教师:陈孟伟 北京八中数学特级教师 题一:把座位编号为 1、2、3、4、5、6 的六张观看《孔子》的电影票全部分给甲、乙、丙、 丁四个人,每人至少一张,至多两张,且分得的票必须是连号,那么不同的分法种数是 _________ 题二:把座位编号为 1,2,3,4,5,6 的六张同排的电影票全部分给四个人,每人至少

分 一张,至多分二张,且这两张票必须相隔一个数,则不同的分法种数是__ ____. 题三:由 1,2,3,4,5 组成的五位数中,恰有 2 个数位上的数字重复且十位上的数字小于 百位上的数字的五位数的个数是 ____. 题四:用 5,6,7,8,9 组成没有重复数字的五位数,其中两个偶数数字之间恰有一个奇数 数字的五位数的个数是 ____. 题五:某工厂将甲、 乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间, 每个车间至少分配一名员 工,若甲、乙两名员工必须分到同一个车间,则不同分法的种数为 ____. 题六:将编号为①②③④的四个小球放到三个不同的盒子内, 每个盒子至少放一个小球, 且 编号为①②的小球不能放到同一个盒子里,则不同放法的种数为 ____. 题七:若(x-m) 8=a 0+a1 x+a2 x 2+…+a8 x 8,其中 a 5=56, 则 a 0+a 2+a 4+a 6+a 8=________. 题八:若多项式 x5 +x1 0 =a 0 +a 1 (x+1)+a 2 (x+1) 2 +…+a 9 (x+1)9 +a 1 0 (x+1)1 0 , 则 a 4 =______. 题九: (x ? ) 5 (x∈R)展开式中 x 3 的系数为 10,则实数 a 等于________. 题十: 2 已知( x- 2) n (n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 10∶1. x (1)求展开式中各项系数的和;
3

a x

(2)求展开式中含 x 2 的项; (3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.

题十一:某班 50 名学生的一次英语听力测试成绩分布如表所示(满分 10 分): 成绩(分) 人数(人) 0 0 1 0 2 0 3 1 4 0 5 1 6 1 7 5 ) 8 4 9 11 10 27

这次听力测试成绩的众数、中位数和平均数的和是(

A.27 分

B.28 分

C.29 分

D.30 分

题十二:8 名学生在一次数学测试中的成绩为 80,82,79,69,74,78,x,81,这组成绩 的平均数是 77,则 x 的值为 . 题十三:已知一个样本中各个个体的值由小到大依次为:4,6,8,9,x,y,11,12,14, 16,且中位数为 10,要使该样本的方差最小,则 x y = . 题十四:样本中共有四个个体,其值分别为 1,2,3,a,若该样本的平均值为 1, 则样本标准差为 . 题十五:从某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布 直方图由图中数据可知身高在[120,130]内的学生人数为 .

题十六:从某校随机抽取了 100 名学生,将他们的体重(单位:kg)数据绘制成频率分布直 方图(如图),由图中数据可知 m= ,所抽取的学生中体重在 45~50kg 的人数 是 .

题十七:已知函数 f (x)=ax2-bx+1, 若 a 是从区间 [0,2]上任取的一个数, b 是从区间 [0,2] 上任取的一个数,则此函数在 [1,+∞)递增的概率为________. 题十八:小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若 此点到圆心的距离大于

1 1 ,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于 ,则去打篮球; 2 4


否则,在家看书.则小波周末不在家看书的概率为

?1? ?1? π ? ? ? ?π -? ? ?π 13 ?4? ?2? 详解:方法一:不在家看书的概率 ? ? . π 16
题十九:甲,乙两人射击,每次射击击中目标的概率分别是

2

2

1 1 , .现两人玩射击游戏, 3 4

规则如下:若某人某次射击击中目标,则由他继续射击,否则由对方接替射击.甲、乙两人 共射击 3 次,且第一次由甲开始射击.假设每人每次射击击中目标与否均互不影响. (Ⅰ)求 3 次射击的人依次是甲、甲、乙,且乙射击未击中目标的概率; (Ⅱ)求乙至少有 1 次射击击中目标的概率.

题二十:甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是

2 3 和 ,假设两人每次射击是否 3 4

击中目标相互之间没有影响. (Ⅰ)求甲射击 5 次,有两次未击中目标的概率; (Ⅱ)假设某人连续 2 次未击中目标,则终止其射击,求乙恰好射击 5 次后,被终止射击的 概率.

第 12 讲
题一:144.

排列组合、二项式定理、概率与统计经典精讲

详解:先将票分为符合条件的 4 份;由题意,4 人分 6 张票,且每人至少一张,至多两张,则两人一张,2 人 2 张,且分得的票必须是连号,相当于将 1、2、3、4、5、6 这六个数用 3 个板子隔开,分为四部分且不 存在三连号;易得在 5 个空位插 3 个板子,共有 C5
4 3

? 10 种情况,但其中有四种是 1 人 3 张票的,故有

10?4=6 种情况符合题意,再对应到 4 个人,有 A 4 ? 24 种情况; 则共有 6× 24=144 种情况. 题二:96. 详解:由题意知本题是一个分步计数问题,先 4 个人中选 2 人,这 2 人每人会拿到 2 张票有 C4
2

? 6 ,编

号为 1~6 的电影票按连续编号可以分为:13,24,35,46 共 4 组.被选出的 2 人分别可以从这 4 组中人 选一组, 第 1 人有 4 种选法, 若第一个人选择 13, 则第二个人就不能选择 35, 第 2 人有 2 种选法, 则有 4× 2=8, 剩余的 2 人 2 张票有 2 种结果,∴总的分法有 6× 8× 2=96 种.

题三:540. 详解:从 5 个位中任意取 2 个位,使这两个位上的数字相同(这 2 个位不能是十位和百位) ,共有( C5 ?1)
2

× 5=45 种方法,其余的 3 个位从剩余的 4 个数种选 3 个填上,共有 数位上的数字重复的五位数的个数是 45× A 4 . 由于十位上的数字小于百位上的数字的五位数占总数的一半,
3

A3 4 种方法,恰有 2 个

故满足条件的五位数的个数是(45× A 4 )÷ 2=540,故答案为 540.

3

题四:36. 详解:如图所示:

从 5、7、9 三个奇数中任选一个放在 6 与 8 之间, 可用 C 3 中选法,而 6 与 8 可以交换位置有
1

A2 2 种方法, A3 3 种方法,

把 6 与 8 及之间的一个奇数看做一个整体与剩下的两个奇数全排列共有

利用乘法原理可得两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是
2 3 C1 3 ? A 2 ? A 3 =36.

题 五 : 36. 详解:把甲、乙两名员工看做一个整体,5 个人变成了 4 个,再把这 4 个人分成 3 部分,每部分至少一人, 共有 C 4 种方法,再把这 3 部分人分到 3 个为车间,有 为C 4 ?
2 2

A3 3 种方法,根据分步计数原理,不同分法的种数

A3 3 =36.

题六:30. 详解:由题意知 4 个小球有 2 个放在一个盒子里的种数是 C 4 ,把这两个作为一个元素同另外两个元素在 三个位置排列,有
3 A3 3 种结果,而①②好小球放在同一个盒子里有 A 3 =6 种结果,∴编号为①②的小球不 2

放到同一个盒子里的种数是 C 4 ?

2

A3 3 ?6=30.

题七:128. 详解:由已知条件可得 a5= C 8 · (-m)3=-56m 3=56,解得 m=-1, 所以(x-m)8=(x+1)8,所以 a 0+a 2+a 4+a 6+a 8=27=128.
3

题八:205. 详解:以 x?1 代 x 可得(x?1)5 +(x?1)1 0 =a 0 +a 1 x+a2 x 2 +…+a 9 x 9 +a 1 0 x 1 0 , 则 a 4 为左边 x 4 的系数,左边 x 4 的系数为 ?C5
1 6 ? C10 ? 205 .

题九:2. 详解: Tr ?1

a r r ? C 5 x 5? r ( ) r ? C 5 x 5? 2 r a r , x
1

∴5-2r=3,∴r =1,∴ C5 · a=10,∴a=2.

3

题十:(1)1; (2)-16 x 2 ; (3)1 120 x
4 4

?6



详解:由题意知,第五项系数为 Cn (?2) , 第三项的系数为 Cn (?2) ,则有
2 2
4 Cn (?2)4 10 ? , 2 Cn (?2)2 1

化简得 n2-5n-24=0,解得 n=8 或 n=-3(舍去). (1)令 x=1 得各项系数的和为(1-2)8=1. (2)通项公式 Tk ?1 = C8
k 8
k

( x )8 ? k ? ( ?
,令

2 k ) x2

=C

(?2) ? x
k
3

8? k ?2k 2

8-k 3 -2k= ,则 k=1, 2 2

故展开式中含
3

x 2 的项为

T2=-16

x2 .

(3)设展开式中的第 k 项,第 k+1 项,第 k+2 项的系数绝对值分别为
k ?1 k ?1 C8 ? 2k ?1 , C8k ? 2k , C8 ? 2k ?1 ,

若第 k+1 项的系数绝对值最大,则

k ?1 k ?1 k k ? ?C8 ? 2 ? C8 ? 2 ? k ?1 k ?1 k k ? ?C8 ? 2 ? C8 ? 2

解得 5 ?

k ? 6.
?11

又 T6 的系数为负,∴系数最大的项为 T7=1 792 x

. .

由 n=8 知第 5 项二项式系数最大,此时 T5=1 120 x

?6

题十一:C. 详解:在这一组数据中 10 出现次数最多,故众数是 10; 这组数据的中位数是(10+10)÷ 2=10(分) ; 平均数是(3+5+6+7× 5+8× 4+9× 11+10× 27)÷ 50=9(分) ,这次听力测试成绩的众数、中位数和平均 数的和是 10+10+9=29(分) ;故选 C.

题十二:73. 详解:根据平均数的性质,可将平均数乘以 8 再减去剩余 7 名学生的成绩,即可求出 x 的值.依题意得:x =77× 8?80?82?79?69?74?78?81=73.

题十三:100. 详解:∵个体的值由小到大依次为 4,6,8,9,x,y,11,12,14,16,且总体的中位数为 10,∴x+y=20, ∴这组数据的平均数是(4+6+8+9+x+y+11+12+14+16)÷ 10=10,要使总体方差最小, 即(x?10)2+(y?10)2 最小. 又∵(x?10)2+(y?10)2=(x?10)2 +(20?x?10)2 =2(x?10)2, ∴当 x=10 时, (x?10)2+(y?10)2 取得最小值. 又∵x+y=20,∴x=10,y=10.x y=100, 故答案为:100.

题十四:

14 . 2

详解:由题意知(a+1+2+3)÷ 4=1,解得 a ? ?2 , ∴样本标准差为 S ?

1 14 14 [(?2 ? 1) 2 ? (1 ? 1) 2 ? (2 ? 1) 2 ? (3 ? 1) 2 ] ? ? . 4 4 2

题十五:30.

详解:由图知, (0.035+a+0.020+0.010+0.005)× 10=1,解得 a=0.03, ∴身高在[120,130]内的学生人数在样本的频率为 0.03× 10=0.3, 故身高在[120,130]内的学生人数为 0.3× 100=30.

题十六:0.1;50. 详解:由频率分步直方图知, (0.02+m+0.06+0.02)× 5=1,∴m=0.1, ∴所抽取的体重在 45~50kg 的人数是 0.1× 5× 100=50 人, 故答案为:0.1;50.

3 题十七: . 4 详解:∵f (x)=ax 2-bx+1 在 [1,+∞)上递增, -b ∴- ≤1,即 2a ≥ b. 2a 0≤a≤2 ? ? 由题意得?0≤b≤2, ?2a≥b ?

画出图示得阴影部分面积.

1 2×2- ×2×1 2 3 ∴概率为 P = = . 2×2 4

题十八:

13 16


2 2

?1? ?1? π ? ? ? -π ? ? ? ?2? ? 4 ? ? 13 . 方法二:不在家看书的概率=1—在家看书的概率=1— π 16
1 2 ; (Ⅱ) . 6 9
1 2 3 1 ? ? ? ? ; 3 3 4 6

题十九:(Ⅰ)

详解: (Ⅰ)记“3 次射击的人依次是甲、甲、乙,且乙射击未击中目标”为事件 A. 由题意,得事件 A 的概率 P ( A)

(Ⅱ)记“乙至少有 1 次射击击中目标”为事件 B, 事件 B 包含以下两个互斥事件: 1 事件 B1 :三次射击的人依次是甲、甲、乙,且乙击中目标, 其概率为 P ( B1 )

1 2 1 1 ? ? ? ? ; 3 3 4 18 2 1 1 ? ? . 3 4 6

2 事件 B2 :三次射击的人依次是甲、乙、乙,其概率为 P( B2 ) ? 所以事件 B 的概率为 P ( B1 ) ? P( B2 )

?

2 . 9

所以事件“乙至少有 1 次射击击中目标”的概率为 题二十:(1)

2 . 9

80 45 ; (2 ) . 243 1024

详解: (I)设“甲射击 5 次,有两次未击中目标”为事件 A,则 P ( A) 答:甲射击 5 次,有两次未击中目标的概率为

2 1 80 ? C52 ( )3 ( ) 2 ? . 3 3 243

80 . 243

(II)设“乙恰好射击 5 次后,被终止射击”为事件 C,由于乙恰好射击 5 次后被终止射击,所以必然是最后 两次未击中目标,第一次及第二次至多有一次未击中目标, 则 P(C ) ? [( )

3 4

2

?C ( 4) ? ( 4 )] ? 4 ? ( 4 )
1 2

3

1

3 1

2

?

45 . 1024

答:乙恰好射击 5 次后,被终止射击的概率为

45 . 1024


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