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北京市东城区2015-2016学年高二下学期期末考试数学(理)试题


北京市东城区 2015-2016 学年下学期高二期末考试 数学试卷(理科)
本试卷共 100 分,考试时长 120 分钟。 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B). 如果事件 A, B 相互独立,那么 P(A· B)=P(A)· P(B).
? ? ?

若 ( x1 , y1 ) , …, 则b ? (

x2 , y2 ) , ( xn , yn ) 为样本点,y ? b x ? a 为回归方程,

?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( xi ? x)
i ?1

n


2

a ? y ?b x , 其 中 x ?

?

?

1 n 1 n , x y ? ?i ? yi . n i ?1 n i ?1

K2 ?

n(ad ? bc)2 , 其 中 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

n ? a ? b ? c ? d 为样本容量。
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1. 设复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i ,则 z= A. ?1 ? i B. ?1 ? i C. 1 ? i D. 1 ? i

2. 下列四个命题中的真命题为 A. ?x0 ? Z ,1 ? 4x0 ? 3 C. ?x ? R, x ? 1 ? 0
2

B. ?x0 ? Z ,5x0 ? 1 ? 0 D. ?x ? R, x ? x ? 2 ? 0
2

3.

? (2x ? 3x )dx ?
2 0

1

A. -6

B. -1
2 n?1

C. 0

D. 1

4. 用数学归纳法证明“ 1 ? 2 ? 2 ? ?2 立,则当 n ? k ? 1 时应得到 A. 1 ? 2 ? 2 ? ? 2
2 2 k ?2

第二步假设 n ? k 时等式成 ? 2n ?1(n ? N ?) ”的过程中,

? 2k ?1 ? 2k ?1 ? 1
k ?1

B. 1 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2
k

? 2k ? 1 ? 2k ?1

C. 1 ? 2 ? 2 ? ? 2
2 2

k ?1 k ?1

? 2k ?1 ? 2k ?1 ? 1 ? 2k ? 2k ? 1 ? 2k
2

D. 1 ? 2 ? 2 ? ? 2

5. “ a ? ?2 ”是“复数 z ? (a ? 4) ? (a ?1)i( a ? R) 为纯虚数”的 A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 6. 函数 y ? B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

ex 在 x ? 1 处的导数等于 x

A. 0

B. 1

C. e

D. 2e

7. 某人有 3 个电子邮箱,他要发 5 封不同的电子邮件,则不同的发送方法有 A. 8 种 B. 15 种 C. 3 种
5

D. 5 种

3

8.高二第二学期期中考试,按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计人数后,得 到 2× 2 列联表,则随机变量 K 的观测值为 班级与成绩统计表 优秀 甲班 乙班 总计 A. 0.600 11 8 19 B. 0.828 不优秀 34 37 71 C. 2.712 D. 6.004 总计 45 45 90
2

9. 甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采用五局三胜制,无论哪一方先胜三局比赛结束,假定甲每 局比赛获胜的概率均为

2 ,则甲以 3:1 的比分获胜的概率为 3 8 27
C.

A.

64 81

B.

4 9

D.

8 9

10. 为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息。 设定原信息为 a0 a1a2 , 其中 ai ??0,1 传输信息为 h0 a0 a1a2 h1 , h0 ? a0 ? a1 , h1 ? h0 ? a2 , ? (i ? 0,1, 2) ,

? 运算规则为: 0 ? 0 ? 0,0 ?1 ? 1,1 ? 0 ? 1,1 ?1 ? 0 .例如原信息为 111,则传输信息为 01111. 传
输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列信息一定有误的是 A. 11010 B. 01100 C. 10111 D. 00011

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 11. 二项式 ( x ?

1 6 ) 展开式中的常数项为_________. 2x

12. 曲线 y ? sin x(0 ? x ? ? ) 与 x 轴围成的封闭区域的面积为_______________. 13. 已知变量 x,y 具有线性相关关系,测得(x,y)的一组数据如下:(0,1),(1,2),(2,4), (3,5),其回归方程为 y ? 1.4 x ? a ,则 a 的值是___________. 14. 已知离散型随机变量 X 的分布列如下表: X P -1 a 0 b 1 c 2
? ?
?

1 12

若 E(X)=0,D(X)=1,则 a=___________,b=_____________. 15. 甲公司生产某种产品,固定成本为 20000 元,每生产 1 件产品,成本增加 100 元,已知总收

益R (单位: 元) 与年产量 x 件产品的关系是 R( x) ? ? 件时,总利润(利润=收益—成本)最大.

1 2 ? ?400 x ? x , 0 ? x ? 400, 则年产量为________ 2 ? ?80000, x ? 400,

16. 已知两个正数 a,b,可按规则 c ? ab ? a ? b 扩充为一个新数 c,在 a,b,c 三个数中取两个 较大的数,按上述规则扩充得到一个新数,依次下去,将每扩充一次得到一个新数称为一次操作. (1)若 a=1,b=3,按上述规则操作三次,扩充所得的数是_____________; (2)若 p>q>0,经过 6 次操作后扩充所得的数为 (q ? 1)m ( p ? 1)n ?1(m,n 为正整数),则 m, n 的值分别为____________.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 52 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的五位数。 (I)能够组成多少个奇数? (II)能够组成多少个 1 和 3 不相邻的正整数? (III)能够组成多少个 1 不在万位,2 不在个位的正整数? 18. (本小题满分 10 分) 已知命题 p: 方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的正实数根; 命题 q: 方程 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0
2

无实数根.若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求 m 的取值范围。 19.(本小题满分 10 分) 某校高一年级开设 A,B,C,D,E 五门选修课,每位同学须彼此独立地选三门课程,其中甲 同学必选 A 课程,不选 B 课程,另从其余课程中随机任选两门课程.乙、丙两名同学从五门课程中随 机任选三门课程. (I)求甲同学选中 C 课程且乙同学未选中 C 课程的概率; (II)用 X 表示甲、乙、丙选中 C 课程的人数之和,求 X 的分布列和数学期望. 20. (本小题满分 11 分) 已知函数 f ( x) ? a ln(2 x ? 1) ? bx ? 1 . (I)若 y ? f ( x) ,在 x=1 处取得极值,且曲线 y ? f ( x) 在点(0,f(0))处的切线与直线

2 x ? y ? 3 ? 0 平行,求 a 的值;
(II)若 b ?

1 ,讨论 f ( x ) 的单调性. 2

21.(本小题满分 11 分) 定义在 D 上的函数 f ( x ) ,若满足: ?x ? D, ?M ? 0 ,都有 | f ( x) |? M 成立,则称 f ( x ) 是 D

上的有界函数,其中 M 称为函数 f ( x ) 的上界. (I)设 f ( x ) ? 合; (II)若函数 g ( x) ? 1 ? 2x ? a ? 4x 在 x ? ?0, 2? 上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范 围.

x ? 1 1? ,证明: f ( x ) 在 ? ? , ? 上是有界函数,并写出 f ( x ) 所有上界的值的集 x ?1 ? 2 2?

参考答案
一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1. B 2. D 3.C 4.D 5.A 6.A 7.C 8.A 9.B 10.C

二、填空题(共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 11. ? 14.

5 2 1 4

12. 2 15. 300

13. 0.9 16. 255 8.13

5 12

三、解答题(共 5 小题,共 52 分) 17. (本小题满分 10 分) 解:(I)奇数共有 C12 ? C13 ? A33 ? 36 个.…………………………3 分 (II)1 和 3 不相邻,共有 C16 ? A22 ? A33 ? C13 ? A22 ? A22 ? 60 个。………………6 分 (III)1 不在万位,2 不在个位,共有 A44 ? C12 ? C13 ? A33 ? 60 个.……………………10 18. (本小题满分 10 分) 解:因为命题 p:方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的正实数根,
2

设方程的两根为 x1 , x2 ,

??1 ? 0, ? 则 ? x1 ? x2 ? ? m ? 0, ? x x ? 1 ? 0, ? 1 2
所以命题 p: m ? ?2 .…………………………3 分 因为命题 q:方程 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实数根,

?2 ? 16(m ? 2)2 ?16 ? 0 ,
所以命题 q: ?3 ? m ? ?1 .……………………5 分 若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题, 则 p 真 q 假,则 m ? ?3 ;…………………………7 分 p 假 q 真,则 ?2 ? m ? ?1 .………………………………9 分 综上, m ? ?3 或 ?2 ? m ? ?1 。………………………………10 分 19. (本小题满分 10 分) 解: (I)设事件 A 为“甲同学选中 C 课程”,事件 B 为“乙同学选中 C 课程”. 则 P( A) ?
1 2 C2 C4 2 3 ? , P ( B ) ? ? . 2 3 C3 3 C5 5

因为事件 A 与 B 相互独立, 所以甲同学选中 C 课程且乙同学未选中 C 课程的概率为

2 2 4 P( AB) ? P( A) P( B) ? P( A)[1 ? P( B)] ? ? ? .…………………3 分 3 5 15
(II)设事件 C 为“丙同学选中 C 课程”,
2 C4 3 则 P(C ) ? 3 ? .………………………………4 分 C5 5

X 的可能取值为:0,1,2,3.

1 2 2 4 P( X ? 0) ? P( ABC ) ? ? ? ? ,……………………5 分 3 5 5 75

P( X ? 1) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC ) …………………………6 分 2 2 2 1 3 2 1 2 3 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 5 3 5 5 3 5 5 15 P( X ? 2) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC ) …………………………7 分 2 3 2 2 2 3 1 3 3 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 5 3 5 5 3 5 5 15
2 3 3 6 P( X ? 3) ? P( ABC ) ? ? ? ? ……………………8 分 3 5 5 25
X 的分布列为: X P 0 1 2 3

4 75
………………………………9 分

4 15

11 15

6 25

E ( X )? 0 ?

4 4 11 6 140 28 ? ? 1 ? ? 2 ? ?3 ? ? .…………………………10 分 75 15 25 25 75 15

20.(本小题满分 11 分) 解: (I)函数 f ( x ) 的定义域为 (?

1 , ??) . 2

f '( x) ?

2bx ? 2a ? b 2x ?1

3 ? ? f '(1) ? 0, ?a ? ? , 由题意 ? 解得 ? 2 ? f '(0) ? ?2, ? ?b ? 1.
所以 a ? ?

3 .……………………………………3 分 2

(II)若 b ?

1 1 ,则 f ( x) ? a ln(2 x ? 1) ? x ? 1 . 2 2

f '( x) ?

2 x ? 4a ? 1 .………………………………4 分 4x ? 2 2 x ? 4a ? 1 >0,由函数定义域可知, 4 x ? 2 ? 0 ,所以 2 x ? 4a ? 1 ? 0 . 4x ? 2 1 2

(1)令 f '( x) ?

①当 a ? 0 时, x ? (? , ??), f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增; ②当 a<0 时, x ? (?2a ? (2)令 f '( x) ?

1 , ??), f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递增;……………………7 分 2

2 x ? 4a ? 1 ? 0 ,即 2 x ? 4a ? 1 ? 0 , 4x ? 2

①当 a ? 0 时,不等式 f '( x) ? 0 无解; ②当 a<0 时, x ? (?

1 1 , ?2a ? ), f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减;……………………10 分 2 2 1 , ??) 为增函数; 2

综上:当 a ? 0 时, f ( x ) 在区间 (? 当 a<0 时, f ( x ) 在区间 ( ?2a ? 在区间 ( ?

1 , ?? ) 为增函数; 2

1 1 , ?2a ? ) 为减函数。……………………11 分 2 2
x 1 ? 1? , x ?1 x ?1

21. (本小题满分 11 分) 解:(I)证明:因为 f ( x) ? 所以 f ( x ) 在 ? ?

? 1 1? , 上是增函数. ? 2 2? ?
1 2

所以 f (? ) ? f ( x) ? f ( ) . 即 ?1 ? f ( x ) ?

1 2

1 , 3

所以 f ( x) ? 1,所以 f ( x ) 是有界函数。……………………4 分 所以,上界 M 满足 M≥1,所有上界 M 的集合为 [1, ??) .…………………………5 分 (II)解:因为函数 g ( x) ? 1 ? 2 ? a ? 4 在 x ? [0, 2] 上是以 3 为上界的有界函数,
x x

所以 g ( x) ? 3 在 x ? [0, 2] 上恒成立.

所以 (? 令t ?

4 1 2 1 ? x ) ? a ? ( x ? x ) , x ? [0, 2] .…………………………6 分 x 4 2 4 2

1 1 1 2 2 ,则 t ? [ ,1] ,所以 ?4t ? t ? a ? 2t ? t 在 t ? [ ,1] 上恒成立. x 2 4 4 1 4

所以, (?4t 2 ? t )max ? a ? (2t 2 ? t )min 在 t ? [ ,1] 上恒成立. 令 h(t ) ? ?4t 2 ? t ,则 h(t ) 在 t ? [ ,1] 上是减函数, 所以 h(t ) max ? h( ) ? ?

1 4

1 4

1 ;……………………8 分 2 1 4

令 p(t ) ? 2t 2 ? t ,则 p(t ) 在 t ? [ ,1] 上是增函数, 所以 p (t ) min ? p ( ) ? ?

1 4

1 .………………………………10 分 8

所以,实数 a 的取值范围 ? ?

? 1 1? , ? .……………………………………11 分 ? 2 8? ?


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