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【预-讲-练-结教学法】人教版高中数学必修四 2.3.3平面向量的坐标运算(练)


人教版 必修四 2.3.3 平面向量的坐标运算(练)
一、选择题 1.已知 a=(1,2),b=(x,1),若(a+2b)∥(2a-b),则 x 的值是( ) A.2 B.1 1 1 C. D.- 2 2 解析:选 C.a+2b=(1+2x,4),2a-b=(2-x,3), 1 ∴(1+2x)· 3-4(2-x)=0,解得 x= . 2 2.已知 a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),且 2a+b-3c=0,则 c 等于( ) 7 7 ? ? A.? B.? ?-2,3? ?2,3? 7? 7? C.? D.? ?2,-3? ?-2,-3? 解析:选 C.∵2a+b-3c=0,∴3c=2a+b, 2 1 2 1 ∴c= a+ b= (5,-2)+ (-4,-3) 3 3 3 3 10 4 4 7? ? ? =? ? 3 -3,-3-1?=?2,-3?. 3.(2011 年绍兴高一检测)已知 a>0,若平面内三点 A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线, 则 a=( ) A.0 B.1- 2 1+ 2 C.1+ 2 D. 2 → → 解析:选 C.AB=(1,a2+a),AC=(2,a3+a) → → ∵A、B、C 三点共线,∴AB、AC共线, 3 2 ∴1×(a +a)-2(a +a)=0, ∴a3-2a2-a=0,解得 a=0 或 a=1± 2, ∵a>0,∴a=1+ 2. → → 4.若 a,b 是不共线的两个向量,且AB=λ1a+b,AC=a+λ2b(λ1,λ2∈R),则 A、B、C 三点共线的条件为( ) A.λ1=λ2=-1 B.λ1=λ2=1 C.λ1λ2+1=0 D.λ1λ2-1=0 ?m=λ1 ? → → 解析:选 D.A、B、C 共线?AB=mAC?λ1a+b=ma+mλ2b?? ?λ1λ2=1?λ1λ2-1 ?mλ2=1 ? =0. 3 1 5.(2011 年济南高一检测)设 a=( ,sinα),b=(cosα, ),且 a∥b,则锐角 α 为( ) 2 3 A.30° B.60° C.75° D.45° 3 1 解析:选 D.∵a∥b,∴ × -sinαcosα=0, 2 3 1 ∴sinαcosα= ,① 2 ∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+1=2, ∵α 为锐角,∴sinα+cosα= 2,② 由①②知 α=45° .
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→ → 6.在平行四边形 ABCD 中,AD=(-6,-7),AB=(2,-3),若平行四边形 ABCD 的对 → 称中心为 E,则CE为( ) A.(-2,5) B.(-2,-5) C.(2,-5) D.(2,5) → → → 解析:选 D.AC=AD+AB=(-6,-7)+(2,-3)= → → 1→ (-4,-10),∴CA=(4,10),∴CE= CA=(2,5),故选 D. 2 二、填空题 7.已知向量 a=(3,4),b=(sinα,cosα),且 a∥b,则 tanα 等于________. 解析:∵a∥b,∴3cosα-4sinα=0,∴4sinα=3cosα, sinα 3 ∴ =tanα= . cosα 4 3 答案: 4 8.设向量 a=(1,2),b=(2,3),若向量 λa+b 与向量 c=(-4,-7)共线,则 λ=________. 解析:λa+b=(λ,2λ)+(2,3)=(λ+2,2λ+3), ∵λa+b 与 c=(-4,-7)共线, ∴(λ+2)×(-7)-(2λ+3)×(-4)=0,解得 λ=2. 答案:2 9.a=(1,1),b=(1,-2),c=(4,1),若 c=xa+yb,则 x+y 的值为________. 解析:c=xa+yb=(x,x)+(y,-2y) =(x+y,x-2y)=(4,1), ? ? ?x+y=4 ?x=3 ∴? ,∴? , ?x-2y=1 ?y=1 ? ? ∴x+y=3+1=4. 答案:4 三、解答题 → → → 10.已知点 M(1,0),N(0,1),P(2,1),Q(1,y),且MN∥PQ,求 y 的值,并求出向量PQ的 坐标. 解:∵点 M(1,0),N(0,1),P(2,1),Q(1,y), → → ∴MN=(-1,1),PQ=(-1,y-1). → → ∵MN∥PQ,∴(-1)×(y-1)-1×(-1)=0, 解得 y=2 → ∴PQ=(-1,1). 11.已知向量 a=(1,2),b=(x,6),u=a+2b,v=2a-b, (1)若 u∥v,求实数 x 的值; (2)若 a,v 不共线,求实数 x 的值. 解:(1)因为 a=(1,2),b=(x,6),u=a+2b,v=2a-b, 所以 u=(1,2)+2(x,6)=(2x+1,14), v=2(1,2)-(x,6)=(2-x,-2), 又因为 u∥v, 所以-2(2x+1)-14(2-x)=0, 即 10x=30,解得 x=3. (2)若 a,v 共线,则 2(2-x)=-2,解得 x=3,所以要使 a,v 不共线,{x|x∈R 且 x≠3} 为所求. → 1→ → 1→ 12.已知 A、B、C 三点的坐标分别为(-1,0)、(3,-1)、(1,2),并且AE= AC,BF= BC, 3 3
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→ → 求证:EF∥AB. 证明:设 E(x1,y1),F(x2,y2), → → → 依题意有AC=(2,2),BC=(-2,3),AB=(4,-1). 2 2 → 1→ → 1 ∵AE= AC,∴AE= (2,2)=( , ). 3 3 3 3 1 1 2 → → → ∵BF= BC,∴BF= (-2,3)=(- ,1). 3 3 3 2 2 因为(x1+1,y1)=( , ), 3 3 1 2 1 2 所以 x1=- ,y1= ,即 E(- , ). 3 3 3 3 2 因为(x2-3,y2+1)=(- ,1), 3 7 7 所以 x2= ,y2=0,即 F( ,0). 3 3 2 → 8 ∴EF=( ,- ). 3 3 2 8 又∵4×(- )- ×(-1)=0. 3 3 → → 所以EF∥AB.

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