当前位置:首页 >> 数学 >> 2014-2015学年黑龙江省齐齐哈尔市实验中学高二(下)期末数学试卷(理科) Word版含解析

2014-2015学年黑龙江省齐齐哈尔市实验中学高二(下)期末数学试卷(理科) Word版含解析


2014-2015 学年黑龙江省齐齐哈尔市实验中学高二(下)期末数 学试卷(理科)
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一项是符合题目要求 的) 1.已知复数 z= A. ,则 z 的虚部是( B. ﹣ ) C. ﹣ i D. ﹣

2.用反证法证明命题“:若 a,b∈N,ab 能被 3 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 3 整除” 时,假设应为( ) A. a,b 都能被 3 整除 B. a 不能被 3 整除 C. a,b 不都能被 3 整除 D. a,b 都不能被 3 整除 3.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ ) ,且 P(ξ<4)=0.8,则 P(0<ξ<2)=( A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2
2



4.已知数列{an}是等差数列,且 a6+a7=10,则在(x﹣a1) (x﹣a2)…(x﹣a12)的展开式中, 11 x 项的系数是( ) A. 60 B. ﹣60 C. 30 D. ﹣30 5.设 x>0,y>0,A= A. A>B
2

,B= B. A≥B

,则 A 与 B 的大小关系为( C. A<B

) D. A≤B

6.若函数 f(x)=2x ﹣lnx 在其定义域内的一个子区间(k﹣1,k+1)内不是单调函数,则 实数 k 的取值范围是( ) A. [1,3) D. B. C.

7.若 2a>3b>0,则 2a+ A. 3 B. 6
2

的最小值为( C. 9

) D. 27 ) D.

8.由直线 y=2x 及曲线 y=3﹣x 围成的封闭图形的面积为( A. B. C.

9.现有 4 种不同品牌的小车各 2 辆(同一品牌的小车完全相同) ,计划将其放在 4 个车库中 且每个车库放 2 辆,则恰有 2 个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有( ) A. 144 种 B. 108 种 C. 72 种 D. 36 种 10.甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球, 乙罐中有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑球.先 从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 A1,A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球,白球 和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下 列结论中正确的是( ) ①P(B)= ; ② 两两互斥的事件. A. ②④ ;③事件 B 与事件 A1 相互独立;④A1,A2,A3 是

B. ①③
2

C. ②③
x

D. ①④

11.如图是二次函数 f(x)=x ﹣bx+a 的部分图象,则函数 g(x)=e +f′(x)的零点所在的 区间是( )

A. (﹣1,0)
x

B. (0,1)

C. (1,2)

D. (2,3)

12.已知 f(x)=e ,x∈R,a<b,记 A=f(b)﹣f(a) ,B= (b﹣a) (f(a)+f(b) ) ,则 A,B 的大小关系是( A. A>B ) B. A≥B

C. A<B

D. A≤B

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上.) 13.计算 = .

14. 若 a, b, c 为直角三角形的三边, 其中 c 为斜边, 则 a +b =c , 称这个定理为勾股定理. 现 将这一定理推广到立体几何中:在四面体 O﹣ABC 中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,S 为 顶点 O 所对面的面积,S1,S2,S3 分别为侧面△ OAB,△ OAC,△ OBC 的面积,则 S,S1, S2,S3 满足的关系式为 . 15.若存在实数 x 使 + >a 成立,求常数 a 的取值范围 .

2

2

2

16.函数 f(x)的定义域为 R,f(0)=2,对任意 x∈R,f(x)+f′(x)>1,则不等式 e ?f x (x)>e +1 的解集为 .

x

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.设函数 f(x)=|x﹣4|+|x﹣a|(a>1) ,且 f(x)的最小值为 3. (1)求 a 的值; (2)若 f(x)≤5,求满足条件的 x 的集合. 18.已知数列{an}满足 a1=2,且 anan+1+an+1﹣2an=0(n∈N ) . (1)求 a2,a3,a4 的值; (2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明. 19.甲乙二人比赛投篮,每人连续投 3 次,投中次数多者获胜.若甲前 2 次每次投中的概率 都是 ,第 3 次投中的概率 ;乙每次投中的概率都是 ,甲乙每次投中与否相互独立. (Ⅰ)求乙直到第 3 次才投中的概率; (Ⅱ)在比赛前,从胜负的角度考虑,你支持谁?请说明理由. 20.甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗位 至少有一名志愿者. (Ⅰ)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (Ⅲ)设随机变量 ξ 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,求 ξ 的分布列. 21.设函数 f(x)=lnx﹣ax+ ﹣1.
*

(Ⅰ)当 a=1 时,求曲线 f(x)在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)当 a= 时,设函数 g(x)=x ﹣2bx﹣ ≥g(x2)成立,求实数 b 的取值范围. 2)已知 a,b 为实数,并且 e<a<b,其中 e 是自然对数的底,证明 a >b . b a (2)如果正实数 a,b 满足 a =b ,且 a<1,证明 a=b.
b a 2

,若对于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1],使 f(x1)

2014-2015 学年黑龙江省齐齐哈尔市实验中学高二(下) 期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一项是符合题目要求 的) 1.已知复数 z= A. ,则 z 的虚部是( B. ﹣ ) C. ﹣ i D. ﹣

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:由复数代数形式的除法运算化简复数 z,从而求得复数 z 的虚部. 解答: 解:由 = ,

则复数 z 的虚部是



故选:B. 点评:本题考查了复数代数形式的除法运算,考查了复数 z 的虚部的求法,是基础题. 2.用反证法证明命题“:若 a,b∈N,ab 能被 3 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 3 整除” 时,假设应为( ) A. a,b 都能被 3 整除 B. a 不能被 3 整除 C. a,b 不都能被 3 整除 D. a,b 都不能被 3 整除 考点:反证法与放缩法. 专题:规律型. 分析:“a,b 中至少有一个能被 3 整除”的对立面是:“a,b 都不能被 3 整除”,得到假设. 解答: 解:反证法证明命题时,应假设命题的反面成立.“a,b 中至少有一个能被 3 整除” 的反面是: “a,b 都不能被 3 整除”,故应假设 a,b 都不能被 3 整除, 故选 D. 点评:本题考查用反证法证明命题,应假设命题的反面成立. 3.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ ) ,且 P(ξ<4)=0.8,则 P(0<ξ<2)=( A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题:计算题.
2



分析:根据随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ ) ,看出这组数据对应的正态曲线的对称轴 x=2,根据正态曲线的特点,得到 P(0<ξ<2)= P(0<ξ<4) ,得到结果. 解答: 解:∵随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ ) , μ=2,得对称轴是 x=2. P(ξ<4)=0.8 ∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2, ∴P(0<ξ<4)=0.6 ∴P(0<ξ<2)=0.3. 故选 C.
2

2

点评:本题考查正态曲线的形状认识,从形态上看,正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲 线,其对称轴为 x=μ,并在 x=μ 时取最大值 从 x=μ 点开始,曲线向正负两个方向递减延伸, 不断逼近 x 轴,但永不与 x 轴相交,因此说曲线在正负两个方向都是以 x 轴为渐近线的. 4.已知数列{an}是等差数列,且 a6+a7=10,则在(x﹣a1) (x﹣a2)…(x﹣a12)的展开式中, 11 x 项的系数是( ) A. 60 B. ﹣60 C. 30 D. ﹣30 考点:等差数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由题意和等差数列的性质得:a1+a12=a2+a11=a3+a10=…=a6+a7=10,再由条件求出 x 项的系数是﹣(a1+a2+…+a12) ,代入即可求出答案. 解答: 解:由题意知,数列{an}是等差数列,且 a6+a7=10, 由等差数列的性质得,a1+a12=a2+a11=a3+a10=…=a6+a7=10, ∴在(x﹣a1) (x﹣a2)…(x﹣a12)的展开式中, 11 x 项的系数是﹣(a1+a2+…+a12)=﹣6(a6+a7)=﹣60, 故选:B. 点评:本题考查等差数列的性质的灵活应用,属于中档题.
11

5.设 x>0,y>0,A= A. A>B

,B= B. A≥B

,则 A 与 B 的大小关系为( C. A<B

) D. A≤B

考点:不等式比较大小.

专题:不等式的解法及应用. 分析:通过 A、B 分离常数 1,直接利用放缩法推出所求结果. 解答: 解:A= =1﹣ ,

B=

=

=1﹣



∵ ∴﹣

< <﹣

< ,



∴A<B, 故选:C. 点评:本题考查了不等式大小比较的方法,属于基础题. 6.若函数 f(x)=2x ﹣lnx 在其定义域内的一个子区间(k﹣1,k+1)内不是单调函数,则 实数 k 的取值范围是( ) A. [1,3) D. B. C.
2

考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的概念及应用. 分析: 先确定函数的定义域然后求导数 fˊ(x) ,在函数的定义域内解方程 fˊ(x)=0,使 方程的解在定义域内的一个子区间 (k﹣1,k+1)内,建立不等关系,解之即可 解答: 解:因为 f(x)定义域为(0,+∞) ,又 f′(x)=4x﹣ , 由 f'(x)=0,得 x= . 当 x∈(0, )时,f'(x)<0,当 x∈( ,+∞)时,f'(x)>0

据题意,



解得 1≤k< , 故选:B. 点评:本题主要考查了对数函数的导数, 以及利用导数研究函数的单调性等基础知识, 考查 计算能力,属于基础题. 7.若 2a>3b>0,则 2a+ 的最小值为( )

A. 3

B. 6

C. 9

D. 27

考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:变形利用基本不等式的性质即可得出. 解答: 解:∵2a>3b>0, ∴2a+ ≥ = =a+a+ =3, 当且

仅当 a=1,b= 时取等号. 故选:A. 点评:本题考查了基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 8.由直线 y=2x 及曲线 y=3﹣x 围成的封闭图形的面积为( A. B. C.
2

) D.

考点:定积分. 专题:计算题. 分析:根据图形可以得到直线 y=2x 及曲线 y=3﹣x 围成的封闭图形的面积为第三象限二分 之一矩形的面积减去抛物线在第三象限曲边三角形的面积, 加上抛物线在第一和第二象限曲 边梯形的面积减去直角三角形的面积. 解答: 解:如图,由
2 2

得:





所以直线 y=2x 及曲线 y=3﹣x 围成的封闭图形的面积为 S= =8+ 故选 D. ﹣ =8+(3x﹣ ) =8+ . ﹣

点评:本题考查了定积分, 考查了数形结合的数学思想, 解答此题的关键是明确微积分基本 定理. 9.现有 4 种不同品牌的小车各 2 辆(同一品牌的小车完全相同) ,计划将其放在 4 个车库中 且每个车库放 2 辆,则恰有 2 个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有( ) A. 144 种 B. 108 种 C. 72 种 D. 36 种 考点:计数原理的应用. 专题:计算题;排列组合. 分析:根据题意,分 3 步进行分析:①、在 4 种不同品牌的小车任取 2 个品牌的小车,②、 将取出的 2 个品牌的小车任意的放进 2 个车库中,③、剩余的 4 辆车放进剩下的 2 个车库, 相同品牌的不能放进同一个车库, 分别分析每一步的情况数目, 由分步计数原理计算可得答 案. 解答: 解:根据题意,分 3 步进行分析: 2 ①、在 4 种不同品牌的小车任取 2 个品牌的小车,有 C4 种取法, 2 ②、将取出的 2 个品牌的小车任意的放进 2 个车库中,有 A4 种情况, ③、剩余的 4 辆车放进剩下的 2 个车库,相同品牌的不能放进同一个车库,有 1 种情况, 则恰有 2 个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有 C4 A4 ×1=72 种, 故选:C. 点评:本题考查排列、组合的应用,需要分析如何满足“恰有 2 个车库放的是同一品牌的小 车”的要求. 10.甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球, 乙罐中有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑球.先 从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 A1,A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球,白球 和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下 列结论中正确的是( ) ①P(B)= ; ② 两两互斥的事件. A. ②④ ;③事件 B 与事件 A1 相互独立;④A1,A2,A3 是
2 2

B. ①③

C. ②③

D. ①④

考点:条件概率与独立事件. 专题:综合题;概率与统计. 分析:由题意 A1,A2,A3 是两两互斥的事件,由条件概率公式求出 P(B|A1) ,P(B)=P (A1B)+P(A2B)+P(A3B) ,对照四个命题进行判断找出正确命题,选出正确选项. 解答: 解:由题意 A1,A2,A3 是两两互斥的事件,P(A1)= (A3)=; = ,P(A2)= = ,P

P(B|A1)=

=

,由此知,②正确;

P(B|A2)=

,P(B|A3)=



而 P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3) P(B|A3)= = .由此知①③不正确;

A1,A2,A3 是两两互斥的事件,由此知④正确; 对照四个命题知②④正确; 故选:A. 点评:本题考查相互独立事件, 解题的关键是理解题设中的各个事件, 且熟练掌握了相互独 立事件的概率简洁公式,条件概率的求法,本题较复杂,正确理解事件的内蕴是解题的突破 点. 11.如图是二次函数 f(x)=x ﹣bx+a 的部分图象,则函数 g(x)=e +f′(x)的零点所在的 区间是( )
2 x

A. (﹣1,0)

B. (0,1)

C. (1,2)

D. (2,3)

考点:导数的运算;二次函数的性质;函数零点的判定定理. 专题:综合题;函数的性质及应用. 分析:由图象可知,0<f(0)=a<1,f(1)=0,从而可得 b 的范围,然后根据零点判定定 理可得结论. 解答: 解:由图象可知,0<f(0)=a<1①,f(1)=0,即 1﹣b+a=0②, 由①②可得 1<b<2, g(x)=e +2x﹣b,且 g(0)=1﹣b<0,g(1)=e+2﹣b>0, 又 g(x)的图象连续不断,所以 g(x)在(0,1)上必存在零点, 故选 B. 点评:本题考查导数的运算、函数零点的判定定理,考查数形结合思想,属中档题. 12.已知 f(x)=e ,x∈R,a<b,记 A=f(b)﹣f(a) ,B= (b﹣a) (f(a)+f(b) ) ,则 A,B 的大小关系是( A. A>B ) B. A≥B
x x

C. A<B

D. A≤B

考点:指数函数单调性的应用. 专题:计算题. 分析:利用特殊值验证,推出 A,B 的大小,然后利用反证法推出 A=B 不成立,得到结果. 解答: 解:考查选项,不妨令 b=1,a=0,则 A=e﹣1,B= (e+1) . ∵e<3,?2e﹣2<e+1?e﹣1< (e+1) . 即 A<B.排除 A、B 选项. 若 A=B,则 e ﹣e = (b﹣a) (e +e ) ,
b a b a

整理得: (2﹣b+a)e =(b﹣a+2)e 观察可得 a=b,与 a<b 矛盾,排除 D. 故选:C. 点评:本题考查函数的单调性的应用,选择题的解法,如果常用直接法,解答本题难度比较 大.考查学生灵活解题能力. 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上.) 13.计算 = .

b

a

考点:定积分. 专题:计算题. 分析:欲求定积分 y= ,可利用定积分的几何意义求解,即可被积函数

与 x 轴在 0→1 所围成的图形的面积即可.

解答: 解:根据积分的几何意义,原积分的值即为单位圆在第一象限的面积. ∴ 故答案为: . = ,

点评:本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识,考查考查数形结 合思想,属于基础题. 14. 若 a, b, c 为直角三角形的三边, 其中 c 为斜边, 则 a +b =c , 称这个定理为勾股定理. 现 将这一定理推广到立体几何中:在四面体 O﹣ABC 中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,S 为 顶点 O 所对面的面积,S1,S2,S3 分别为侧面△ OAB,△ OAC,△ OBC 的面积,则 S,S1, S2,S3 满足的关系式为 .
2 2 2

考点:类比推理. 专题:推理和证明. 分析:本题考查的知识点是类比推理,在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时, 我们常用的思路是:由平面几何中点的性质,类比推理空间几何中线的性质;由平面几何中 线的性质,类比推理空间几何中面的性质;由平面几何中面的性质,类比推理空间几何中体 的性质;或是将一个二维平面关系,类比推理为一个三维的立体关系,故类比平面内的勾股 定理,我们可以推断四面体的相关性质. 2 2 2 解答: 解:由 a,b,c 为直角三角形的三边,其中 c 为斜边,则 a +b =c , 类比到空间中: 在四面体 O﹣ABC 中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°, S 为顶点 O 所对面的面积, S1,S2,S3 分别为侧面△ OAB,△ OAC,△ OBC 的面积, 则 S,S1,S2,S3 满足的关系式为: .

故答案为: 点评:类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事物 的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) . 15.若存在实数 x 使 + >a 成立,求常数 a 的取值范围 (﹣∞,8) .

考点:二维形式的柯西不等式;基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:利用柯西不等式,求出左边对应函数的最大值,即可确定常数 a 的取值范围. 解答: 解:由题意,由柯西不等式得( (3+1) (x+2+14﹣x)=64, ∴ + ≤8,当且仅当 x=10 时取“=”, + >a 成立 + ) =(
2

+

)≤

2

∵存在实数 x 使

∴a<8 ∴常数 a 的取值范围是(﹣∞,8) . 故答案为: (﹣∞,8) . 点评:本题主要考查运用柯西不等式求最值,解题的关键是变形,利用柯西不等式解题. 16.函数 f(x)的定义域为 R,f(0)=2,对任意 x∈R,f(x)+f′(x)>1,则不等式 e ?f x (x)>e +1 的解集为 {x|x>0} . 考点:函数的定义域及其求法. 专题:函数的性质及应用. x x x x 分析:设 h(x)=e f(x)﹣e ﹣1,则不等式 e f(x)>e +1 的解集就是 h(x)>0 的解 x x 集.由此利用导数性质能求出不等式 e ?f(x)>e +1 的解集. x x 解答: 解:设 h(x)=e f(x)﹣e ﹣1, x x 则不等式 e f(x)>e +1 的解集就是 h(x)>0 的解集. h(0)=1×2﹣1﹣1=0, x x h′(x)=e [f(x)+f′(x)]﹣e , ∵[f(x)+f′(x)]>1, ∴对于任意 x∈R, x x e [f(x)+f′(x)]>e , x x ∴h'(x)=e [f(x)+f'(x)]﹣e >0 即 h(x)在实数域内单调递增. ∵h(0)=0, ∴当 x<0 时,h(x)<0;当 x>0 时,h(x)>0. x x ∴不等式 e ?f(x)>e +1 的解集为:{x|x>0}. 故答案为:{x|x>0}.
x

点评:本题考查不等式的解集的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意导数性质的灵活 运用. 三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.设函数 f(x)=|x﹣4|+|x﹣a|(a>1) ,且 f(x)的最小值为 3. (1)求 a 的值; (2)若 f(x)≤5,求满足条件的 x 的集合. 考点:绝对值不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (1)由条件利用绝对值的意义可得|a﹣4|=3,再结合 a>1,可得 a 的值. (2)把 f(x)≤5 等价转化为的三个不等式组,求出每个不等式组的解集,再取并集,即得 所求. 解答: 解: (1)函数 f(x)=|x﹣4|+|x﹣a|表示数轴上的 x 对应点到 4、a 对应点的距离之 和,它的最小值为|a﹣4|=3, 再结合 a>1,可得 a=7.

(2)f(x)=|x﹣4|+|x﹣7|=

,故由 f(x)≤5 可得,

①,或

②,或

③.

解①求得 3≤x<4,解②求得 4≤x≤7,解③求得 7<x≤8, 所以不等式的解集为[3,8]. 点评:本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,关键是去掉绝对值,化为与之等 价的不等式组来解,属于基础题. 18.已知数列{an}满足 a1=2,且 anan+1+an+1﹣2an=0(n∈N ) . (1)求 a2,a3,a4 的值; (2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明. 考点:数学归纳法;数列递推式. 专题:点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)由题设条件得 an+1= (2)猜想 an= ,由此能够求出 a2,a3,a4 的值.
*

,然后用数学归纳法进行证明.

解答: (本小题满分 12 分) 解: (1)由题意得 an+1= ∴a2= = ,a3= ,又 a1=2, = ,a4= = .…(4 分)

(2)猜想 an=

..….…(6 分) =2=a1,故命题成立. , = = ,

证明:①当 n=1 时,

②假设 n=k 时命题成立,即 ak= ak+1= =

故命题成立. 综上,由①②知,对一切 n∈N 有 an=
*

成立. .…(12 分)

点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意数学归纳法的证明 过程,属于中档题. 19.甲乙二人比赛投篮,每人连续投 3 次,投中次数多者获胜.若甲前 2 次每次投中的概率 都是 ,第 3 次投中的概率 ;乙每次投中的概率都是 ,甲乙每次投中与否相互独立. (Ⅰ)求乙直到第 3 次才投中的概率; (Ⅱ)在比赛前,从胜负的角度考虑,你支持谁?请说明理由. 考点:离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式. 专题:概率与统计. 分析: (1)设事件 Ai 表示“乙第 i 次投中”,由已条件知 P(Ai)= , (i=1,2,3) ,由 P (乙直到第 3 次才投中)=P( ) ,能求出乙直到第 3 次才投中的概率.

(2)设乙投中的次数为 η,由 η~B(3, ) ,求出 Eη=3× = .设甲投中的次数为 ξ,ξ 的 可能取值为 0,1,2,3,求出 Eξ,由 Eη>Eξ,推导出在比赛前,从胜负的角度考虑应该支 持乙 解答: 解: (1)设事件 Ai 表示“乙第 i 次投中”, (i=1,2,3) 则 P(Ai)= , (i=1,2,3) , 事件 A1,A2,A3 相互独立, P(乙直到第 3 次才投中)=P( =(1﹣ )?(1﹣ )? = . )

(2)设乙投中的次数为 η,则 η~B(3, ) , ∴乙投中次数的数学期望 Eη=3× = . 设甲投中的次数为 ξ,ξ 的可能取值为 0,1,2,3,

∵甲前 2 次每次投中的概率都是 ,第 3 次投中的概率 , ∴甲前 2 次投中次数股从二项分布 B(2, ) ,且每次投中与否相互独立, P(ξ=0)=(1﹣ )?(1﹣ )?(1﹣ )= , P(ξ=1)= P(ξ=2)= P(ξ=3)= = , = , + + = = , ,

∴甲投中次数的数学期望 Eξ=

∴Eη>Eξ,∴在比赛前,从胜负的角度考虑应该支持乙. 点评:本题考查概率的求法, 考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用, 是中 档题,在历年高考中都是必考题型. 20.甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗位 至少有一名志愿者. (Ⅰ)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (Ⅲ)设随机变量 ξ 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,求 ξ 的分布列. 考点:古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量及其分布列. 专题:概率与统计. 分析: (Ⅰ)甲、乙两人同时参加 A 岗位服务,则另外三个人在 B、C、D 三个位置进行 全排列, 所有的事件数是从 5 个人中选 2 个作为一组, 同其他 3 人共 4 个元素在四个位置进 行排列. (Ⅱ)总事件数同第一问一样,甲、乙两人不在同一个岗位服务的对立事件是甲、乙两人同 时参加同一岗位服务,即甲、乙两人作为一个元素同其他三个元素进行全排列. (Ⅲ)五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数 ξ 可能的取值是 1、2,ξ=2”是指有两人同时参 加 A 岗位服务,同第一问类似做出结果.写出分布列. 解答: 解: (Ⅰ)记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 EA, 2 4 总事件数是从 5 个人中选 2 个作为一组, 同其他 3 人共 4 个元素在四个位置进行排列 C5 A4 . 3 满足条件的事件数是 A3 , 那么 ,

即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是



(Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E, 4 满足条件的事件数是 A4 ,

那么



∴甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是



(Ⅲ)随机变量 ξ 可能取的值为 1,2.事件“ξ=2”是指有两人同时参加 A 岗位服务, 则 .

∴ ξ P 1

,ξ 的分布列是 2

点评:本题考查概率,随机变量的分布列,近几年新增的内容,整体难度不大,可以作为高 考基本得分点.总的可能性是典型的“捆绑排列”,易把 C5 混淆为 A5 , 21.设函数 f(x)=lnx﹣ax+ ﹣1.
2 2

(Ⅰ)当 a=1 时,求曲线 f(x)在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)当 a= 时,设函数 g(x)=x ﹣2bx﹣ ≥g(x2)成立,求实数 b 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: (Ⅰ)通过令 a=1 时,化简函数 f(x)的表达式,通过求出 f(1) 、f′(1)的值即 可; (Ⅱ)通过求出 f′(x)的表达式,并对 a 的值是否为 0 进行讨论即可; (Ⅲ)通过(II)可知当 时函数 f(x)在区间(1,2)上为增函数,则已知条件等价于 ,通过对 g(x)
2

,若对于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1],使 f(x1)

g(x)在[0,1]上的最小值不大于 f(x)在[1,2]上的最小值

的表达式进行配方,结合 x∈[0,1]讨论 g(x)的图象中对称轴与区间[0,1]的位置关系即可. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=1 时,f(x)=lnx﹣x﹣1, ∴ ,

∴f′(1)=0, ∴f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=﹣2; (Ⅱ) ,

且 f(x)的定义域为(0,+∞) , 下面对 a 的值进行讨论: (1)当 a=0 时, ,

f(x)的增区间为(1,+∞) ,减区间为(0,1) ; (2)当 a≠0 时,又分以下几种情况: ①当 f(x)的增区间为 ②当 ③当 (a)当 时, ; (b)当 , ,减区间为(0,1) , ,f(x)在 (0,+∞)上单调递减; ,又有两种情况: ;

; (Ⅲ)当 时,由(Ⅱ)知函数 f(x)在区间(1,2)上为增函数, ,

所以函数 f(x)在[1,2]上的最小值为

则对于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1]使 f(x1)≥g(x2)成立等价于 g(x)在[0,1]上的最小值不大于 f(x)在[1,2]上的最小值 又 ①当 b<0 时,g(x)在[0,1]上为增函数, 与(*)矛盾; ②当 0≤b≤1 时, 由 可得: ; 及 0≤b≤1, , , (*)

③当 b>1 时,g(x)在[0,1]上为减函数, ,此时 b>1;

综上所述,b 的取值范围是



点评: 本题考查导数的应用,考查分类讨论的思想,考查运算求解能力,注意解题方法的 积累,属于中档题. 2)已知 a,b 为实数,并且 e<a<b,其中 e 是自然对数的底,证明 a >b . b a (2)如果正实数 a,b 满足 a =b ,且 a<1,证明 a=b. 考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)先构造函数 y= ,求出函数的导数,得到函数的单调性,从而证出结论;
b a

(2)通过讨论 a,b 的大小关系,结合函数的单调性,从而证出结论. b a 解答: 证明: (1)当 e<a<b 时,要证 a >b , 只要证 blna>alnb,即只要证 考虑函数 y=f(x)= > ,

(0<x<+∞) ,

∵x>e 时,y′=

<0,

∴函数 y=

在(e,+∞)内是减函数, > ,

∵e<a<b,∴
b a

得:a >b . (2)由(1)因为在(0,1)内 f′(x)>0,所以 f(x)在(0,1)内是增函数. (反证法)假设 a≠b, b a b 由 0<a<1,b>0,所以 a <1,从而 b =a <1, a 由 b <1 及 a>0,可推出 b<1,所以 a,b∈(0,1) , 由 0<a<1,0<b<1,假如 a≠b, 则根据 f(x)在(0,1)内是增函数, 若 a>b,则 若 a<b,则
b

> <
a

,从而 a >b ; ,从而 a <b .
b a

b

a

即 a≠b 时,a ≠b ,与已知矛盾.因此 a=b. 点评:本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用,不等式的证明,是一道中档题.


更多相关文档:

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年度高二数学下...

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年度高二数学下学期期末考试试题 理_数学_高中教育_教育专区。文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 齐齐哈尔...

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高二下学期期...

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高二下学期期末考试理科数学试题 Word版含答案_高中教育_教育专区。齐齐哈尔市实验中学 2014-2015 学年度高二下学期期末考试 ...

齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年度高二下学期期末考试...

齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年度高二下学期期末考试数学试题(理科)(含详细答案)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年度高二下学期...

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高一(下)期末...

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高一(下)期末数学试卷 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。黑龙江省齐齐哈尔市实验中学 2014-2015 学年高一(下)期末数 ...

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高二下学期期...

齐齐哈尔市实验中学 2014-2015 学年度高二下学期期末考试 数学试题(理科)本卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 ...

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高二下学期期...

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高二下学期期末考试文科数学试卷_数学_...21. (本小题满分 12 分) 解: (1)当 a=1 时,f(x)=1+ , + , ...

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高二下学期期...

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高二下学期期中考试理科数学试题 Word版含答案_高中教育_教育专区。齐齐哈尔实验中学 2014-2015 学年度高二下学期期中考试 ...

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高二下学期期...

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高二下学期期末考试文科数学试题_数学_高中教育_教育专区。齐齐哈尔实验中学 2014-2015 学年度高二下学期末考试 数学试题(文)...

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高二下学期期...

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高二下学期期末考试语文试题 Word版含答案.doc_数学_高中教育_教育专区。齐齐哈尔市实验中学 2015 学年度高二下学期期末考试 ...

...省实验中学高二(下)期末数学试卷(理科) Word版含解...

2014-2015学年吉林省实验中学高二(下)期末数学试卷(理科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2014-2015 学年吉林省实验中学高二(下)期末数学试卷(理科)一、...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com