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2012年高三数学二轮复习三角函数与平面向量专题


专题一 三角函数、 解三角形与平面向量
一 知识要点整合
·三角函数的图像与性质·

·解三角形·

·三角恒等变换·

·平面向量·

例5

二 典型例题

(3)

例 6.

例 7. .

例 8.

8.

三 精编试题

9.

10.

11. 例 9. 3. 12.

4.

13.

14. 例 10. 5. 15.

6.

16.

7.

17.

20. (本题满分 12 分)

23. (本题满分 12 分) 18(本题满分 12 分). 已知 a = ?

? 3 3? πx πx ? ? 2 ,? 2 ? , b = (sin 4 , cos 4 ) , f ( x) = a ? b ? ? ?

(1)求 f (x ) 的单调递减区间? (2) 若 函 数 y = g (x ) 与 y = f (x ) 关 于 直 线 x = 1 对 称 , 求 当 21. (本题满分 12 分)

4 x ∈ [0, ] 时, y = g (x) 的最大值? 3

19.(本题满分 12 分) 24. (本题满分 12 分) 已知 ?ABC 的内角 A. B.C 所对边分别为 a、b、c,设向量

m = (1 ? cos( A + B ), cos
22. (本题满分 12 分)

5 A?B 9 n = ( , cos ) ,且 m ? n = . 8 2 8 (Ⅰ)求 tan A ? tan B 的值; ab sin C (Ⅱ)求 2 的最大值. a + b2 ? c2

A? B ), 2

25. (本题满分 12 分) 甲船由 A 岛出发向北偏东 45°的方向作匀速直线航行,速度为 15 2 海里/小时,在甲船从 A 岛出发的同时,乙船从 A 岛正南 40 海里的 B 岛出发,朝北偏东 θ , (其中 tan θ = 速度为 10

(tanA-tanB)=1+tanA·tan B. (1)若 a -ab=c -b ,求 A. B.C 的大小;
2 2 2

【解析】解法一:设该扇形的半径为 r 米. 由题意,得

(2)已知向量 m =(sinA,cosA), n =(cosB,sinB),求|3 m - r 2 n |的取值范围.
【解析】

r

r

r

CD=500(米) ,DA=300(米) ∠CDO= 60 ,

0

1 ) 的方向作匀速直线航行, 2

在 ?CDO 中, CD 2 + OD 2 ? 2 ? CD ? OD ? cos 600 = OC 2 , 即 500 + ( r ? 300 ) ? 2 × 500 × ( r ? 300 ) ×
2 2

5 海里/小时.(如图所示)

1 = r2, 2

(Ⅰ)求出发后 3 小时两船相距多少海里? (Ⅱ)求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里?

解得 r =

4900 ≈ 445 (米) 11
0

解法二:连接 AC,作 OH⊥AC,交 AC 于 H 由题意,得 CD=500(米) ,AD=300(米) ∠CDA = 120 ,

在?ACD中, AC 2 = CD 2 + AD 2 ? 2 ? CD ? AD ? cos1200 = 5002 + 3002 + 2 × 500 × 300 ×
∴ AC=700(米)

1 = 700 2 , 2

cos ∠CAD =
【解析】:以 A 为原点,BA 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面

AC 2 + AD 2 ? CD 2 11 = . 2 ? AC ? AD 14 11 , 14

直角坐标系. 设在 t 时刻甲、乙两船分别在 P(x1, y1) Q (x2,y2). ? x = 15 2t cos 45 o = 15t 则? 1 KK 2分 ? y1 = x1 = 15t
由θ = arctg 1 2 5 5 可得, cos θ = , sin θ = , 2 5 5

在直角 ?HAO中, AH = 350 (米)cos ∠HA0 = , ∴ OA =

AH 4900 = ≈ 445 (米) cos ∠HAO 11

28. (本题满分 12 分) 已 知 角 α 的 顶 点 在 原 点 , 始 边 与 x轴 的 正 半 轴 重 合 , 终 边 经 过 点

x 2 = 10 5t sin θ = 10t y 2 = 10 5t cos θ ? 40 = 20t ? 40 KKKK 5分

P (?3, 3) .
(1)求 tan α 的值; 27. (本题满分 12 分) 如图,某住宅小区的平面图呈扇形 AO C.小区的两个出入口设置在 点 A 及点 C 处,小区里有两条笔直的小路 AD,DC ,且拐弯处 的转角为 120 . 已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了 10 分钟, D 从 沿 DA 走到 A 用了 6 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米, 求该扇形的半径 OA 的长(精确到 1 米) .
C
o

(I)令 t = 3 ,P、Q 两点的坐标分别为(45,45),(30,20)
| PQ |= ( 45 ? 30) + ( 45 ? 20) = 850 = 5 34 .
2 2

(2)定义行列式运算

a b sin α = ad ? bc ,求行列式 c d 1

tan α 的值; cos α

即两船出发后 3 小时时,相距 5 34 锂 (II)由(I)的解法过程易知:
| PQ |= ( x 2 ? x1 ) 2 + ( y 2 ? y1 ) 2 = (10t ? 15t ) 2 + ( 20t ? 40 ? 15t ) 2 KK10分 = 50t ? 400t + 1600 = 50(t ? 4) + 800 ≥ 20 2
2 2

(3)若函数 f ( x) = 求函数 y = 3 f ( 时 x 的值

cos( x + α ) ? sin α ( x ∈ R ), sin( x + α ) cos α

π
2

? 2 x) + 2 f 2 ( x) 的最大值,并指出取到最大值

∴当且仅当 t=4 时,|PQ|的最小值为 20 即两船出发 4 小时时,相距 20

2
A
1200

【解析】:(1)∵ 角 α 终边经过点 P (?3, 3) ,

2 海里为两船最近距离.

∴ tan α = ?
O

D

3 . 3

26. (本题满分 12 分) 在锐角 ?ABC 中,已知内角 A. B.C 所对的边分别为 a、b、c,且

(2) sin α =

1 3 , cos α = ? . 2 2

sin α 1

tan α 3 3 3 . = sin α cos α ? tan α = ? + = cos α 4 3 12

30. (本题满分 12 分) 如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进 行 测 量 , 已 知 AB = 50m , BC = 120m , 于 A 处 测 得 水 深

4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立) ∵△ABC 的面积 S△ABC= 1 3 acsinB= ac≤ 3 2 4

(3) f ( x) = cos( x + α )cos α + sin( x + α )sin α = cos x ( x ∈ R ), ∴函数 y = 3 cos(

∴△ABC 的面积最大值为 3 5π ②当 B= 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 6 4=a2+c2+ 3ac≥2ac+ 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= 6- 2时等 号成立) ∴ac≤4(2- 3) ∵△ABC 的面积 S△ABC= 1 1 acsinB= ac≤ 2- 3 2 4

π
2

? 2 x) + 2cos 2 x

AD = 80m ,于 B 处测得水深 BE = 200m ,于 C 处测得水深
) + 1 ( x ∈ R ),

= 3 sin 2 x + 1 + cos 2 x = 2sin(2 x +
∴ ymax = 3 , 此时 x = kπ +

π
6

CF = 110m , 求 ∠DEF 的 余 弦 值 ?

π
6

( k ∈ Z) .

29. (本题满分 12 分)

?π ? ?π π? 已知函数 f ( x ) = 2 sin ? + x ? ? 3 cos 2 x , x ∈ ? , ? . ?4 ? ?4 2?
2

(1)求 f (x ) 的最大值和最小值;
【解析】:作 DM // AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M.

(2) f ( x) ? m < 2 在 x ∈ ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值 4 2 范围.
【 解 析 】

?π π? ? ?

DF = MF 2 + DM 2 = 302 + 1702 = 10 198 , DE = DN + EN = 50 + 120 = 130 ,
2 2 2 2

∴△ABC 的面积最大值为 2- 3 32. (本题满分 12 分) 设 锐 角 ?ABC 的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c , a = 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A + sin C 的取值范围. 【 解 析 】 :(Ⅰ) 由 a = 2b sin A , 根 据 正 弦 定 理 得

sin A = 2sin B sin A ,所以 sin B =
由 ?ABC 为锐角三角形得 B =

1 , 2







? ?π ?? ∵ f ( x) = ?1 ? cos ? + 2 x ? ? ? 3 cos 2 x = 1 + sin 2 x ? 3 cos 2 x ?2 ?? ?

EF = ( BE ? FC ) + BC = 90 + 120 = 150
2 2 2 2

π . 6

在 ?DEF 中,由余弦定理,

(Ⅱ) cos A + sin C = cos A + sin ? π ?

? ?

π ? ? A? 6 ?

π? ? = 1 + 2 sin ? 2 x ? ? . 3? ?
又∵ x ∈ ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ , 6 3 3 ?4 2? 即 2 ≤1 + 2sin ? 2 x ?

DE 2 + EF 2 ? DF 2 1302 + 1502 ? 102 × 298 16 cos ∠DEF = = = 2 DE × EF 2 × 130 ×150 65
31(本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,已知内角 A. B.C 所对的边分别为 a 、 b 、 c,向量

?π ? = cos A + sin ? + A ? ?6 ?
1 3 = cos A + cos A + sin A 2 2
π? ? = 3 sin ? A + ? . 3? ?
33(本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A. B. 的对边分别为 a、 c,且满足(2a-c)cosB=bcos C b、 C. (Ⅰ)求角 B 的大小;

?π π?

π

π



? ?

π? ?≤3 , 3?

r r ? B ? r r m = 2 sin B, ? 3 , n = ? cos 2 B, 2 cos 2 ? 1? ,且 m / / n ? 2 ? ?
(I)求锐角 B 的大小; (II)如果 b = 2 ,求 ?ABC 的面积 S ?ABC 的最大值?
【解析】:(1)

(

)

∴ f ( x)max = 3,f ( x) min = 2 .
( Ⅱ ) ∵ f ( x) ? m < 2 ? f ( x) ? 2 < m < f ( x) + 2 ,

r r B m / / n ? 2sinB(2cos2 2 -1)=- 3cos2B

?π π? x∈? , ? , ?4 2?
∴ m > f ( x) max ? 2 且 m < f ( x) min + 2 ,
∴1 < m < 4 ,即 m 的取值范围是 (1 4) . ,

?2sinBcosB=- 3cos2B ? tan2B=- 3 π 2π ∵0<2B<π,∴2B= ,∴锐角 B= 3 3 (2)由 tan2B=- 3 π 5π ? B= 或 3 6

(Ⅱ) 设 m = ( sin A,cos 2 A ) ,n = ( 4k ,1)( k > 1) , 且 m ? n 的 最 大值是 5,求 k 的值. 【解析】:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC, ∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcos C. 即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB

ur

r

ur r

π ①当 B= 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 3

=sin(B+C) ∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA. ∵0<A<π,∴sinA≠0. ∴cosB=

AC =

1 . 2

BC 2 3 sin B = sin x = 4sin x π sin A sin 3



π ? π 2π ? π? ?π π? ? ∵θ ∈ ? , ? ,2θ ? ∈ ? , ? , 2 ≤ 2sin ? 2θ ? ? + 1 ≤ 3 . ∴ 3 ?6 3 ? 3? ? ?4 2?
即当 θ

3 ur r (II) m ? n =4ksinA+cos2A.
=-2sin2A+4ksinA+1,A∈(0, 设 sinA=t,则 t∈ (0,1] .

∵0<B<π,∴B=

π

.

AB =

BC ? 2π ? sin C = 4 sin ? ? x ? .因为 y = AB + BC + AC , sin A ? 3 ? 2π ? ? 2π ? ? y = 4 sin x + 4sin ? ? x? + 2 3?0 < x < ?, 3 ? ? 3 ? ?
2

=

5π 12

时,

f (θ )max = 3 ;当 θ =

π 时, f (θ ) min = 2 . 4

37. (本题满分 12 分)
如图,甲船以每小时 30

2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直

所以

2π ) 3


线航行,当甲船位于

A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105o 方向的 B1 处,此时 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏







? ? 3 1 y = 4 ? sin x + cos x + sin x ? + 2 3 ? ? 2 2 ? ?

两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 西 120 方向的 B2 处,此时两船相距 10 里?
o

ur r 则 m ? n =-2t2+4kt+1=-2(t-k)2+1+2k2,t∈ (0,1] . ur r ∵k>1,∴t=1 时, m ? n 取最大值.
依题意得,-2+4k+1=5,∴k=
34 (本题满分 12 分)

π? π 5π ? ? ?π = 4 3 sin ? x + ? + 2 3 ? < x + < ?, 6? 6 6 ? ? ?6
所以,当 x +

2 海里,问乙船每小时航行多少海


3 . 2

π π π = ,即 x = 时, y 取得最大值 6 3 . 6 2 3

120o A 2

B2 B1

36. (本题满分 12 分)

105o A 1




A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 A+ B C a,b,c , sin + sin = 2 . 2 2 I.试判断△ ABC 的形状; II.若△ ABC 的周长为 16,求面积的最大值.
中 , 角
【 析】:I. sin 解

?ABC

uuu uuur r 已知 △ ABC 的面积为 3 ,且满足 0≤ AB ? AC ≤ 6 ,设 AB 和 AC 的夹角
为θ . (I)求 θ 的取值范围;



(II)求函数

?π ? f (θ ) = 2sin 2 ? + θ ? ? 3 cos 2θ 的最大值与最小值. ?4 ? A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,
,可得

解析:如图,连结

A1 B2 , A2 B2 = 10 2 , A1 A2 =

20 × 30 2 = 10 2 , 60

π ?C
2

C π π π ∴ + = 即C = ,所以此三角形为直角三角形. 2 4 2 2
II.

C C C C π + sin = cos + sin = 2 sin( + ) 2 2 2 2 4

解析: (Ⅰ)设 △ ABC 中角 则由

?A1 A2 B2 是等边三角形, ∠B1 A1 B2 = 105° ? 60° = 45° ,在 ?A1 B2 B1 中,
2 B1 B22 = A1 B12 + A1 B2 ? 2 A1 B1 ? A1 B2 cos 45°

1 bc sin θ = 3 2



0 ≤ bc cos θ ≤ 6

0 ≤ cot θ ≤ 1 ,
由余弦定理得

16 = a + b + a 2 + b 2 ≥ 2 ab + 2ab ∴ ab ≤ 64(2 ? 2 ) 2 当且仅当 a = b 时取等号,

,

?π π? ∴θ ∈ ? , ? . ?4 2?
( Ⅱ )

= 202 + (10 2) 2 ? 2 × 20 × 10 2 ×

, 2 = 200 2

此时面积的最大值为 32 6 ? 4 2 . 35. (本题满分 12 分)

(

)

B1 B2 = 10 2. 因此乙船的速度的大小为
时航行 30

π 在 △ ABC 中, 已知内角 A = , BC = 2 3 . 边 设内角 B = x , 周长为 y . 3
(1)求函数 (2)求函数 y = f ( x ) 的最大值. y = f ( x ) 的解析式和定义域;

?π ? f (θ ) = 2sin 2 ? + θ ? ? 3 cos 2θ ?4 ?

10 2 × 60 = 30 2. 答:乙船每小 20

2 海里.

? ?π ?? = ?1 ? cos ? + 2θ ? ? ? 3 cos 2θ ?2 ?? ?
= (1 + sin 2θ ) ? 3 cos 2θ

解析: (1) △ ABC 的内角和



0< B<

2π 3

π A + B + C = π ,由 A = ,B > 0,C > 0 3
应 用 正 弦 定 理 , 知



π? ? = sin 2θ ? 3 cos 2θ + 1 = 2sin ? 2θ ? ? + 1 . 3? ?


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