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第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题(word版)


第 32 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题
2015 年 9 月 19 日

说明:所有解答必须写在答题纸上,写在试题纸上无效。 一、 (15 分)在太阳内部存在两个主要的核聚变反应过程: 碳循环和质子-质子循环;其中碳循环是贝蒂在 1938 年提出 的,碳循环反应过程如图所示。图中 p 、 e + 和? e 分别表示质 子、正电子和电子型中微子

;粗箭头表示循环反应进行的先 后次序。当从循环图顶端开始,质子 p 与 12 C 核发生反应生 成 13 N 核,反应按粗箭头所示的次序进行,直到完成一个循 环后,重新开始下一个循环。已知 e + 、 p 和 He 核的质量分 别 为 0.511 MeV/c2 、 1.0078 u 和 4.0026 u ( 1u≈931.494 MeV/c2) ,电子型中微子? e 的质量可以忽略。 (1)写出图中 X 和 Y 代表的核素; (2)写出一个碳循环所有的核反应方程式; (3)计算完成一个碳循环过程释放的核能。 二、 (15 分)如图,在光滑水平桌面上有一长为 L 的轻杆,轻杆两端 各固定一质量均为 M 的小球 A 和 B 。 开始时细杆静止; 有一质量为 m 的小球 C 以垂直于杆的速度 v 0 运动,与 A 球碰撞。将小球和细杆视 为一个系统。 (1)求碰后系统的动能(用已知条件和球 C 碰后的速度表出) ; (2) 若碰后系统动能恰好达到极小值, 求此时球 C 的速度和系统的 动能。

三、 (20 分)如图,一质量分布均匀、半径为 r 的刚性薄圆环落到粗糙的水平地面前的 π 3π 瞬间,圆环质心速度 v0 与竖直方向成 ? ( ? ? ? )角,并同时以角速度 ?0 ( ?0 的 2 2

正方向如图中箭头所示)绕通过其质心 O 、且垂直环面的轴转动。已知圆环仅在其所 在的竖直平面内运动,在弹起前刚好与地面无相对滑动,圆环与地面碰撞的恢复系数 为 k ,重力加速度大小为 g 。忽略空气阻力。 (1) 求圆环与地面碰后圆环质心的速度和圆环转动的角速度; (2)求使圆环在与地面碰后能竖直弹起的条件和在此条件下 圆环能上升的最大高度; (3)若让 ? 角可变,求圆环第二次落地点到首次落地点之间 的水平距离 s 随 ? 变化的函数关系式、s 的最大值以及 s 取最大 值时 r 、 v 0 和 ?0 应满足的条件。

1

四、 (25 分)如图,飞机在距水平地面(xz 平面)等高的航线 KA(沿 x 正方向)上, 以大小为 v ( v 远小于真空中的光速 c )的速度匀速飞行;机载雷达天线持续向航线正 右侧地面上的被测固定目标 P 点(其 x 坐标为 x P )发射扇形无线电波束(扇形的角平 分线与航线垂直) ,波束平面与水平地面交于线段 BC(BC 随着飞机移动,且在测量 时应覆盖被测目标 P 点) ,取 K 点在地面的正投影 O 为坐标原点。已知 BC 与航线 KA 的距离为 R0 。天线发出的无线电波束是周期性的等 幅高频脉冲余弦波,其频率为 f 0 。 (1)已知机载雷达天线经过 A 点(其 x 坐标为 xA )及 此后朝 P 点相继发出无线电波信号, 由 P 反射后又被机 载雷达天线接收到, 求接收到的回波信号的频率与发出 信号的频率之差(频移) 。 (2)已知 BC 长度为 Ls ,讨论上述频移分别为正、零 或负的条件,并求出最大的正、负频移。 (3)已知 R0 ?? Ls ,求从 C 先到达 P 点、直至 B 到达 P 点过程中最大频移与最小频移之差(带宽) ,并将其表 示成扇形波束的张角 ? 的函数。 已知:当 y ?? 1 时, 1 ? y 2 ? 1 ?
y2 。 2

五、 (20 分)如图, “田”字形导线框置于光滑水平面上, 其中每个小正方格每条边的长度 l 和电阻 R 分别为 0.10 m 和 1.0 ? 。导线框处于磁感应强度 B ? 1.0 T 的均匀磁场中,磁场 方向竖直向下,边界(如图中虚线所示)与 de 边平行。今 将导线框从磁场中匀速拉出,拉出速度的大小为 v ? 2.0 m/s , 方向与 de 边垂直,与 ae 边平行。试求将导线框整体从磁场 中拉出的过程中外力所做的功。

六、 (23 分)如图,一固定的竖直长导线载有恒定电流 I , 其旁边有一正方形导线框, 导线框可围绕过对边中心的竖直 轴 O1O2 转动,转轴到长直导线的距离为 b 。已知导线框的 边长为 2a ( a ? b ) ,总电阻为 R,自感可忽略。现使导线框 绕轴以匀角速度 ? 逆时针(沿轴线从上往下看)方向转动, 以导线框平面与长直导线和竖直轴所在平面重合时开始计 时。求在 t 时刻 (1)导线框中的感应电动势 E; (2)所需加的外力矩 M。

2

七、(22 分)如图,1mol 单原子理想气体构成 的系统分别经历循环过程 abcda 和 abc?a 。已知 理想气体在任一缓慢变化过程中,压强 p 和体 积 V 满足函数关系 p ? f ?V ? 。 (1)试证明:理想气体在任一缓慢变化过程的 摩尔热容可表示为
C? ? CV ? pR p ?V dp dV
1

p 3p1 2p p1
c?
'

b

c

a

d

V

O 式中, CV 和 R 分别为定容摩尔热容和理想气体 5 V1 V1 3 V1 常数; (2)计算系统经 bc ? 直线变化过程中的摩尔热 容; (3) 分别计算系统经 bc ? 直线过程中升降温的转折点在 p-V 图中的坐标 A 和吸放热 的转折点在 p-V 图中的坐标 B; (4)定量比较系统在两种循环过程的循环效率。

八、(20 分)如图,介质薄膜波导由三层均匀介质组 成:中间层 1 为波导薄膜,其折射率为 n1 ,光波在其 中传播;底层 0 为衬底,其折射率为 n0 ;上层 2 为覆 盖层,折射率为 n2 ; n1 ? n0 ? n2 。光在薄膜层 1 里来回 反射,沿锯齿形向波导延伸方向传播。图中, ? ij 是光 波在介质 j 表面上的入射角, ? tj 是光波在介质 j 表面上

n2 θi1 d n 1 θi1

θt2

的折射角。 (1) 入射角 ? i1 在什么条件下光波可被完全限制在波导 n0 θt0 薄膜里(即光未折射到衬底层和覆盖层中)? (2)已知波导薄膜的厚度为 d ,求能够在薄膜波导中 传输的光波在该介质中的最长波长 ?max 。 已知:两介质 j 与 k 的交界面上的反射系数(即反射光的电场强度与入射光的电 场强度之比)为
rjk ? n j cos?i j ? nk cos? t k n j cos ?i j ? nk cos? t k ? rjk e
? i? jk

式中,? ij 和 ? tj 是分别是光波在介质 j 的表面上的入射角和折射角,余类推;正弦函数 和余弦函数在复数域中可定义为
sin ? ? ei? ? e?i? ei? ? e?i? , cos? ? 2i 2

3


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