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2014年高三数学(文科)试卷(28)


2014 年高三数学(文科)试卷(28)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分为 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项:1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封 线内相应的位置上,用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上. 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑;如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案;不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答,答案必须写在答卷纸各题目指定 区域内的相应位置上,超出指定区域的答案无效;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.

50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 U ? {1 , 2 , 3 , 4 , 5} , A ? {1 , 2} , B ? {2 , 3 , 4} ,则 A. {2} B. {5} C. {1 , 2 , 3 , 4} 2.已知 i 是虚数单位,则 i 3 ? = A. ? 2i B. 2i C. ? i 3.已知向量 a ? (1 , 1) , b ? (2 , n) ,若 a ? b ,则 n 等于 4.已知等比数列 ? an ? 的前三项依次为 t , t ? 2 , t ? 3 .则 an ? A. 4 ? ? A. ? 3 B. ?2 C. 1 D. i D. 2
U

第一部分选择题(共

( A ? B) 等于 D. {1 , 3 , 4 , 5}

1 i

?1? n?1 D. 4 ? 2 ? ?2? 2 2 2 5.下列命题:① ?x ? R, x ? x ;② ?x ? R, x ? x ;③ ?x ? R, 2 x ? x ? 1 ? 0 ,
B. 4 ? 2
n

?1? ? ?2?

n

n?1

C. 4 ? ?

④ ?x ? [0, ??), (log3 2) ? 1 中,其中正确命题的个数是
x

A.0

B.1

C.2

D.3 )

1 6.已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为 ,长轴长为 12,则椭圆方程为( 3 2 2 2 2 x y x y x2 y2 ? ?1 或 ? ?1 ? ?1 A. B. 144 128 128 144 6 4
x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 C. 36 32 32 36 x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 D. 4 6 6 4

7. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“互为生成”函数。 给出下列函数: ① f ( x) ? sin x ? cos x ; ③ f ( x) ? sin x ; 其中“互为生成”函数的是 ② f ( x) ? ④ f ( x) ?

2 (sin x ? cos x) ;
2 sin x ? 2 。

1

A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 8. 如图,正方体 ABCD ? A B1C1 D1 中,点 P 在侧面 BCC1 B1 及其边界上运动, 1 并且总是保持 AP ? BD1 ,则动点 P 的轨迹是 A.线段 B1C C. BB1 中点与 CC1 中点连成的线段 D. BC 中点与 B1C1 中点连成的线段 9. 在 区 间 [?π, π] 内 随 机 取 两 个 数 分 别 记 为 a, b , 则 使 得 函 数
A A1

D1

C1

B1 P D C B

B.线段 BC1

f ( x) ? x 2 ? 2ax ? b 2 ? π2 有零点的概率为

? ? ? B.1C.18 4 2 x 10. 若存在正数 x 使 2 ?x ? a ? ? 1 成立,则 a 的取值范围是
A.1A. ?? ?,?? ? B. ?? 2,?? ? C. ?0,???

D.1-

3? 4

D. ?? 1,?? ?
开始

(共 100 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 本大题分为必做题和选做题. (一)必做题:第 11、12、13 题是必做题,每道试题考生都必须做答.

第二部分非选择题

输入 m

A ? 1, B ? 1, i ? 0

? x?0 ? 11 . 已 知 点 ( x , y) 满 足 ? y ? 0 , 则 u ? y ? x 的 取 值 范 围 是 ?x ? y ? 1 ?
_____* . 12. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序. 若输入 m 的值为 2, 则输出的 结果 i ? _ ___* ______.

i ? i ?1

A ? A? m
B ? B?i
A? B?
是 输出 i 结束 否

π 13.已知圆 O : x ? y ? 5 ,直线 l : x cos? ? y sin ? ? 1 ( 0 ? ? ? ). 2
2 2

设圆 O 上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数为 k ,则 k ? ___* _____. (二)选做题:第 14、15 题是选做题,考生只能选做 1 题,2 题全答的,只计 算前 1 题的得分. 14. (坐标系与参数方程选做题)已知圆的极坐标方程为 ? ? 2 cos( ? ? 是 * .

第 12 题图

?
4

) ,则该圆的半径

C
15.(几何证明选讲选做题)如图,PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是 圆的割线,且 PA ?


A

B

P

3PB ,则

PB ? BC

*

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.

16. (本小题满分 14 分)
2

已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? ) ( A ? 0,? ? 0,? ? ? 图象的一部分如下图所示. (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)当 x ? [?6, ? ] 时,求函数 y ? f ( x ) ? f ( x ? 2) 的最大值与最小值及相应的 x 的值.

? ,x ? R )的 2

2 3

17.(本小题满分 12 分) 某校高三文科分为五个班.高三数学测试后, 随机地在各班抽取部分学生进行成绩统计,各班被抽取的学生人数恰 好成等差数列,人数最少的班被抽取了 18 人.抽取出来的所有学生的 测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示,其中 120~130(包括 120 分但不包括 130 分)的频率为 0.05,此分数段的人数为 5 人. (1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人? (2) 在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于 90 分的 概率.

频率 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 70 80 90 100 110 120 130 分数

18. (本小题满分 12 分) 某个实心零部件的形状是如图 1-7 所示的几何体,其下部是底面均是正方形 ,侧面是 全等的等腰梯形的四棱台 A1B1C1D1-ABCD,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面 是全等的矩形的四棱柱 ABCD-A2B2C2D2. (1)证明:直线 B1D1⊥平面 ACC2A2; (2)现 需要对该零部件表面进行防腐处理.已知 AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(单位:cm),每平方厘米的加工处理费为 0.20 元, 需加工处理费 多少元?

19. (本小题满分 14 分)
3

已知两点 M (?1,0) 、N (1,0) , P 为坐标平面内的动点, 点 满足 MN ? NP ? MN ? MP . (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若点 A ? t , 4 ? 是动点 P 的轨迹上的一点, K (m, 0) 是 x 轴上的一动点,试讨论直线

AK 与圆 x 2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的位置关系.

20. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 满足: 1 ? 1 , 2 ? a (a ? 0) , n ? 2 a a a (1)判断数列 { (2)求 an ; (3)当 a ? 1 时,令 bn ?

a . n ? p ? n ?1 (其中 p 为非零常数, ? N* ) an

2

a n ?1 } 是不是等比数列? an nan ? 2 , S n 为数列 {bn } 的前 n 项和,求 S n . an

21. (本题满分 14 分) 已知二次函数 y ? g ( x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g ( x) 在 x ? ?1 处取得 极小值 m ? 1(m ? 0) .设 f ( x) ?

g ( x) . x

(1)若曲线 y ? f ( x) 上的点 P 到点 Q(0, 2) 的距离的最小值为 2 ,求 m 的值; (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点.
w.w.w

4

文科数学参考答案
一、选择题:1-10: BABCD

CDABD;
1 ; 2

二、填空题: 11、 [?1,1] ;12、4;13、4;14、1;15、 三、解答题: 16、解:(1)由图像知 A ? 2 ,

? f ( x ) ? 2sin( x ? ? ) .?????4 分,将最高点(1,2)代入,得 4 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? .?????5 分∴ f ( x ) ? 2sin( x ? ) ;????6 分 4 2 4 4 4 ? ? ? ? ? ? ? ? (2) y ? 2sin( x ? ) ? 2sin[ ( x ? 2) ? ] ? 2sin( x ? ) ? 2cos( x ? ) 4 4 4 4 4 4 4 4 ? ? ? = 2 2 sin( x ? ) ? 2 2 cos x ,?????9 分 4 2 4 2 ? 3? ? ∵ x ? [?6, ? ] ,∴ x ? [ ? , ? ] ,??????10 分 3 4 2 6 ? ? 2 ? ∴当 x ? ? ,即 x ? ? 时, y 的最大值为 6 ;当 x ? ?? ,即 x ? ?4 时, y 的最小值 4 6 3 4 ?2 2 .??????14 分 5 ? 100 人. ??????2 分 17.(1)由频率分布条形图知,抽取的学生总数为 0.05 ∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为 d , 由 5 ?18 ? 10d =100, ??????5 分 解得 d ? 1.??????6 分
∴各班被抽取的学生人数分别是 18 人,19 人,20 人,21 人,22 人. ??????8 分 (2)在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于 90 分的概率为 0.35+0.25+0.1+0.05=0.75. ??????12 分 18.解:(1)因为四棱柱 ABCD-A2B2C2D2 的侧面是全等的矩形, 所以 AA2⊥AB,AA2⊥AD,又因为 AB∩AD=A,所以 AA2⊥平面 ABCD. 连接 BD,因为 BD?平面 ABCD,所以 AA2⊥BD. 因为底面 ABCD 是正方形,所以 AC⊥BD. 根据棱台的定义可知,BD 与 B1D1 共面. 又已知平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1,且平面 BB1D1D∩平面 ABCD=BD, 平面 BB1D1D∩平面 A1B1C1D1=B1D1,所以 B1D1∥BD.于是 由 AA2⊥BD,AC⊥BD,B1D1∥BD,可得 AA2⊥B1D1,AC⊥B1D1, 又因为 AA2∩AC=A,所以 B1D1⊥平面 ACC2A2. (2)因为四棱柱 ABCD-A2B2C2D2 的底面是正方形,侧面是全等的矩形, 2 2 所 以 S1 = S 四 棱 柱 上 底 面 + S 四 棱 柱 侧 面 = (A2B2) + 4AB·AA2 = 10 +

T 2? ? ,∴ ? ? ,得 ? 2?T ?8? 4 ? 4

4×10×30=1 300(cm2).
又因为四棱台 A1B1C1D1-ABCD 的上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形. 所以 S2=S
四棱台下底面

+S 四棱台侧面

1 2 =(A1B1) +4× (AB+A1B1)h 等腰梯形的高 2

5

1 ?1 ?2 2 2 =20 +4× (10+20) 13 -? ?20-10?? 2 ?2 ? 2 =1 120(cm ). 2 于是该实心零部件的表面积为 S=S1+S2=1 300+1 120=2 420(cm ), 故所需加工处理费为 0.2S=0.2×2 420=484(元). 19. (本小题满分 14 分) (1)解:设 P( x, y ) ,则 MN ? (2, 0) , NP ? ( x ? 1, y ) , MP ? ( x ? 1, y ) .????2 分

???? ?

??? ?

????

???? ??? ???? ???? ? ? ? 由 | MN | ? | NP |? MN ? MP ,
2 2 得 2 ( x ? 1) ? y ? 2( x ? 1) ,????????????????????????4 分

化简得 y ? 4 x .所以动点 P 的轨迹方程为 y ? 4 x .??????????????5 分
2 2

(2)解:由 A ? t , 4 ? 在轨迹 y ? 4 x 上,则 4 ? 4t ,解得 t ? 4 ,即 A ? 4, 4 ? .???6 分
2

2

当 m ? 4 时,直线 AK 的方程为 x ? 4 ,此时直线 AK 与圆 x ? ( y ? 2) ? 4 相离.?7 分
2 2

当 m ? 4 时,直线 AK 的方程为 y ?

4 ( x ? m) ,即 4 x ? (m ? 4) y ? 4m ? 0 .??8 分 4?m
2m ? 8 16 ? (m ? 4) 2


2 2 圆 x ? ( y ? 2) ? 4 的圆心 (0, 2) 到直线 AK 的距离 d ?

令d ?

2m ? 8 16 ? ( m ? 4) 2m ? 8 16 ? ( m ? 4) 2
2

? 2 ,解得 m ? 1 ;令 d ?

2m ? 8 16 ? ( m ? 4) 2

? 2 ,解得 m ? 1;

令d ?

? 2 ,解得 m ? 1.
2 2

综上所述,当 m ? 1 时,直线 AK 与圆 x ? ( y ? 2) ? 4 相交; 当 m ? 1时,直线 AK 与圆 x ? ( y ? 2) ? 4 相切;
2 2

当 m ? 1时,直线 AK 与圆 x ? ( y ? 2) ? 4 相离.??????????14 分
2 2

20(1)由 an ? 2 令 cn ?

2 a a an ?1 ,得 n ? 2 ? p ? n ?1 . ? p? an a n ?1 an

???????????1 分

c an ?1 ,则 c1 ? a , cn ?1 ? pcn .? a ? 0 ,? c1 ? 0 , n ?1 ? p (非零常数) , cn an a ????????????????????3 分 ? 数列 { n ?1 } 是等比数列. an (2)? 数列 {cn } 是首项为 a ,公比为 p 的等比数列,

6

? cn ? c1 ? p n ?1 ? a ? p n ?1 ,即
当 n ? 2 时, an ?

an an ?1 ? an ?1 an ? 2
n ?1

an ?1 ???????????4 分 ? ap n ?1 . an a ?? ? 2 ? a1 ? (ap n ? 2 ) ? (ap n ?3 ) ? ? ? (ap 0 ) ? 1 a1

n ?3 n ? 2 2
2

?a

p

n 2 ?3 n ? 2 2

??????????????????6 分

? a1 满足上式, ? an ? a n ?1 p
(3)?

, n ? N* .

??????????7 分

an ? 2 an ? 2 an ?1 ? ? ? (ap n ) ? (ap n ?1 ) ? a 2 p 2 n ?1 , an an ?1 an nan ? 2 ? np 2 n ?1 . pan
????????????????8 分

? 当 a ? 1 时, bn ?

? S n ? 1? p1 ? 2 ? p 3 ? ? ? n ? p 2 n ?1 , p 2 Sn ? 1? p 3 ? ? ? (n ? 1) ? p 2 n ?1 ? n ? p 2 n ?1

① ②

? 当 p 2 ? 1 ,即 p ? ?1 时,① ? ②得:

(1 ? p 2 ) S n ? p1 ? p 3 ? ? ? p 2 n ?1 ? np 2 n ?1 ?
即 Sn ?

p (1 ? p 2 n ) ? np 2 n ?1 , 2 1? p
??????????11 分

p (1 ? p 2 n ) np 2 n ?1 ? , p ? ?1 . (1 ? p 2 ) 2 1 ? p 2
n(n ? 1) , 2

而当 p ? 1 时, S n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?

??????????12 分

当 p ? ?1 时, S n ? (?1) ? (?2) ? ? ? ( ? n) ? ?

n(n ? 1) .?????????13 分 2

? n(n ? 1) , p ? 1, ? ? 2 综上所述, S ? ?? n(n ? 1) , p ? ?1, ? n 2 ? ? p (1 ? p 2 n ) np 2 n ?1 ? , p ? ?1. ? 2 2 1 ? p2 ? (1 ? p )

???????????14 分

【说明】考查了等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错位求和 等知识,考查了学生的运算能力,以及化归与转化、分类讨论的思想. 21. 解: 依题可设 g ( x) ? a( x ? 1) ? m ? 1 ( a ? 0 ), g ' ( x) ? 2a( x ? 1) ? 2ax ? 2a ; (1) 则
2

又 g ? ? x ? 的图像与直线 y ? 2 x 平行

? 2a ? 2

a ?1

7

? g ( x) ? ( x ? 1) 2 ? m ? 1 ? x 2 ? 2 x ? m , f ? x ? ?

g ? x? x

? x?

m ?2, x

2 2 2 2 设 P xo , yo ,则 | PQ | ? x0 ? ( y 0 ? 2) ? x0 ? ( x0 ?

?

?

m 2 ) x0

2 ? 2 x0 ?

m2 ? 2m ? 2 2m 2 ? 2m ? 2 2 | m | ?2m 2 x0
2

当且仅当 2 x0 ?

m2 2 时, | PQ | 取得最小值,即 | PQ | 取得最小值 2 2 x0
2
解得 m ?

当 m ? 0 时, (2 2 ? 2)m ? 当 m ? 0 时, ( ?2 2 ? 2) m ?

2 ?1

2

解得 m ? ? 2 ? 1

m ? 2 ? 0 ( x ? 0 ),得 ?1 ? k ? x 2 ? 2 x ? m ? 0 x m m 当 k ? 1 时,方程 ? *? 有一解 x ? ? ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ; 2 2 1 当 k ? 1 时,方程 ? *? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 ,若 m ? 0 , k ? 1 ? , m
(2)由 y ? f ? x ? ? kx ? ?1 ? k ? x ? 函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ?

? *?

? 2 ? 4 ? 4m(1 ? k ) ,即 2(1 ? k )

x?

1 ? 1 ? m(1 ? k ) 1 ;若 m ? 0 , k ? 1 ? ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 k ?1 m

x?

1 ? 1 ? m(1 ? k ) ? 2 ? 4 ? 4m(1 ? k ) ,即 x ? ; 2(1 ? k ) k ?1

当 k ? 1 时,方程 ? *? 有一解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 , 函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ?

k ? 1?

1 , m

1 ? ?m k ?1 m ; 2

综上,当 k ? 1 时, 函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? 当 k ? 1?

1 1 ( m ? 0 ),或 k ? 1 ? ( m ? 0 )时, m m
1 ? 1 ? m(1 ? k ) ; k ?1

函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ? 当 k ? 1?

1 1 时,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ?m m k ?1
8


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