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高考文科数学二轮复习课件:专题3第6讲统计与统计案例


文科新教材对概率作了很大的修改 ,只要求学生 掌握古典概型、几何概型和互斥事件的概率,统计增 加了茎叶图、回归分析与独立性检验. 从 2013、2014、2015 年三年的湖南高考来看, 高考对概率的考查主要是古典概型、几何概型,高考 对统计的考查主要是抽样方法、频率分布直方图、茎 叶图、变量的相关性、样本的数字特征计算等.并从 这三年的高考来看,将统计的内容与概率相结合进行

考查已成为热点.

统计案例主要包括相关性检验和独立性检验,2011 年在选择题中出现.2012 年、2013 年、2014 年、2015 年又 没考. 预计我省 2016 年高考文科对本专题的内容考查将 有以下特点: (1)本专题内容在高考试卷中所占分数在 16~22 分之 间,一般以填空题、选择题和解答题出现,难度以中档题 为主. (2)涉及本专题内容的高考试题主要以应用题的形式 出现,也可与其它知识相结合考查.

第6讲

统计与统计案例

1.高考展望 预计 2016 年高考依然会有一个或两个小题(选择 或填空题),容易题.充分注意以统计为载体与概率综 合的解答题.

2.高考真题 考题 1(2015 全国Ⅱ)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论 中不正确的是( )

A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最 显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D. 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

【解析】选 D 依据给出的柱形图,逐项验证. 对于 A 选项,由图知从 2007 年到 2008 年二氧化 硫排放量下降得最多,故 A 正确.对于 B 选项,由图 知,由 2006 年到 2007 年矩形高度明显下降,因此 B 正确.对于 C 选项,由图知从 2006 年以后除 2011 年 稍有上升外,其余年份都是逐年下降的 ,所以 C 正 确. 由图知 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份 负相关,故选 D.

【命题立意】本题主要考查柱形图,意在考查学 生的识图能力.

考题 2(2015 湖南)在一次马拉松比赛中,35 名运 动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.

若将运动员按成绩由好到差编为 1~35 号,再用 系统抽样方法从中抽取 7 人, 则其中成绩在区间[139, 151]上的运动员人数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】选 B 对数据进行分组,在区间[139,151]上,有几组就有 几个运动员. 35÷7=5,因此可将编号为 1~35 的 35 个数据分成 7 组,每组有 5 个数据,在区间[139,151]上共有 20 个数 据,分在 4 个小组中,每组取一人,共取 4 人.

【命题立意】本题主要考查茎叶图、系统抽样等.

考题 3(2015 山东)为比较甲、 乙两地某月 14 时的气温情况,随 机选取该月中的 5 天,将这 5 天中 14 时的气温数据(单位:℃)制成如 图所示的茎叶图.考虑以下结论: ①甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平 均气温; ②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平 均气温; ③甲地该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时 的气温的标准差; ④甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时 的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

【解析】选 B 根据茎叶图中的数据的分布可以看出平均数和标 准差的大小关系. 甲地该月 14 时的气温数据分布在 26 和 31 之间, 且数据波动较大, 而乙地该月 14 时的气温数据分布在 28 和 32 之间,且数据波动较小,可以判断结论①④ 正确,故选 B.
【命题立意】本题主要考查茎叶图,数据的平均 数和标准差等数字特征.

考题 4(2015 广东)某城市 100 户居民的月平均用电量(单 位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240), [240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图 如图.

(1)求直方图中 x 的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)求月平均用电量为[ 220, 240), [240, 260), [260, 280), [280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取 11 户居民, 则用平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?

【解析】 (1)由(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)×20=1 得 x=0.007 5, ∴ 直方图中 x 的值为 0.007 5. 220+240 (2)月平均用电量的众数是 =230. 2 ∵ (0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5, ∴ 月平均用电量的中位数在 [220,240)内,设中位数为 a,则 (0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(a-220)=0.5, 解得 a=224, 即中位数为 224. (3) 月平均用电量在 [220 , 240) 的用户有 0.012 5×20×100 = 25(户),同理可求月平均用电量为[240,260),[260,280),[280,300] 11 1 的用户分别有 15 户、10 户、5 户,故抽取比例为 = , 25+15+10+5 5 1 ∴ 从月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取 25× =5(户). 5
【命题立意】 本题主要考查频率分布直方图、样本的数字特征 和分层抽样.

1.抽样方法(三种抽样方法比较) 共同 类别 各自特点 相互联系 点 简单随 从总体中逐 机抽样 个抽取 抽样 将总体均分 过程 在起始部 成几部分, 中每 系统 分抽样时 按事先确定 个个 抽样 采用简单 的规则在各 体被 随机抽样 部分抽取 抽取 分层抽样 的概 将总体分成 时采用简 率相 分层 几层,分层 单随机抽 等 抽样 进行抽取 样或系统 抽样

适用范围 总体中的个 体数较少 总体中的个 体数较多

总体由差异 明显的几部 分组成

2.统计图表 (1)频率分布直方图 ① 绘制频率分布直方图的步骤: a.求概率;b.决定组距与组数;c.将数据分组; d.列频率分布表;e.画频率分布直方图. ② 频率分布直方图的特征: a. 从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的 总体趋势; b.从频率分布直方图中得不出原始的数据内容, 把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹 掉了.

(2)茎叶图 ① 茎叶图:当数据有两位有效数字时,用中间的 数字表示十位数,即第一个有效数字,两边的数字表 示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物 的茎,两边部分像植物茎上长出来的叶子,因此,通 常把这样的图叫做茎叶图. ② 用茎叶图表示数据有两个优点: 一是统计图上没有原始数据信息的损失 ,所有数 据信息都可以从茎叶图中得到; 二是茎叶图中的数据可以随时记录 ,随时添加, 方便记录与表示.

(4)方差与标准差
2 s 方差 ?

1 ?( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ???( xn ? x ) 2 ? ? n?
1 ?( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ??? ? ( xn ? x)2 ? ? n?

标准差

s= s ?

4.变量间的相关关系 (1)散点图直观反映了两个变量的所有观测值之间 存在的某种关系,利用散点图可以初步判断两个变量 之间是否线性相关.如果散点图中点的分布从整体上 看大致在一条直线的附近,我们说变量 x 和 y 具有线 性相关关系.

(2)最小二乘法求回归直线的方程 设线性回归方程为 y=^ b x+^ a. 其中,^ b 是回归直线的斜率,^ a 是截距.
n ? ( xi ? x )( yi ? y ) ? ? i ?1 , ? ?a ? n ? ( xi ? x )2 ? ? i ?1 ?? ? ?a ? y ? bx.

5.回归分析 (1)相关系数

? ( x ? x)( y ? y )
①r=
i ?1 i i

n

? ( xi ? x)
i ?1

n

2

? ( yi ? y )2
i ?1

n

,叫做相关系数.

②样本相关系数 r 的性质 a.相关系数用来衡量变量 x 与 y 之间的线性相关程度; b.|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越高; c.|r|≤1,且|r|越接近于 0,相关程度越低.

(2)相关性检验的步骤 ①作统计假设, 假设 x 与 y 不具有线性相关关系; ②根据检验水平 0.05 查出 r 的一个临界值 r0.05; ③根据样本相关系数计算公式计算 r 的值; ④作统计推断.如果|r|>r0.05,表明有 95%的把握 认为 x 与 y 之间具有线性相关关系;如果|r|≤r0.05,则 没有理由拒绝原来的假设,这时寻找线性回归方程是 毫无意义的.

6.独立性检验 假设有两个分类变量 x 和 y,它们的取值分别为{x1, x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为 y1 y2 总计 x1 a b a+b x2 c d c+ d 总计 a+c b+d a+b+c+d 2 ( a + b + c + d )( ad - bc ) 则 K2 = ,若 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) K2>3.841,则有 95%的把握说两个事件有关; 若 K2>6.635,则有 90%的把握说两个事件有关; 若 K2<3.841,则没有理由认为两个事件有关.

1.抽样方法 例1(2015 北京)某校老年、 中年和青年教师的人数 见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况, 在抽取的样本中,青年教师有 320 人,则该样本中的 老年教师人数为( ) A.90 B.100 C.180 D.300 类别 人数 老年教师 900 1 800 中年教师 青年教师 1 600 4 300 合计

【解析】选 C 根据分层抽样的抽样比相等这一特征列方程求 解. 设该样本中的老年教师人数为 x,由题意及分层 x 320 抽样的特点得 = ,故 x=180. 900 1 600

2.用样本的数字特征和频率分布直方图估计总体 例2(2015 全国Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意 度,从 A,B 两地区分别随机调查了 40 个用户,根据用户 对产品的满意度评分,得到 A 地区用户满意度评分的频率 分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表.

图①

B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评 [50,60) [60,70) [70, 80) [80,90) [90,100] 分分组 频数 2 8 14 10 6

(1)在图②中作出 B 地区用户满意度评分的频率分布 直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值 及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);

图②

(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个 等级: 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率 大?说明理由.

【解析】(1)如图所示.

通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出, B 地区用户满意度评分的平均值高于 A 地区用户满意度 评分的平均值;B 地区用户满意度评分比较集中,而 A 地区用户满意度评分比较分散.

(2)A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 记 CA 表示事件: “A 地区用户的满意度等级为不 满意”;CB 表示事件:“B 地区用户的满意度等级为 不满意 ”. 由直方图得 P(CA)的估计值为 (0.01+ 0.02 +0.03)×10=0.6,P(CB)的估计值为(0.005+0.02)×10 =0.25. 所以 A 地区用户的满意度等级为不满意的概率 大.

3.独立性检验 例3某高校共有学生 15 000 人,其中男生 10 500 人,女生 4 500 人,为调查该校学生每周平均体育运 动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集 300 位学 生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时).

(1)应收集多少位女生的样本数据? (2)根据这 300 个样本数据,得到学生每周平均 体育运动时间的频率分布直方图(如图所示), 其中样 本数据的分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6, 8],(8,10],(10,12],估计该校学生每周平均体育 运动时间超过 4 小时的概率;

(3)在样本数据中,有 60 位女生的每周平均体育运 动时间超过 4 小时, 请完成每周平均体育运动时间与性 别列联表,并判断是否有 95%的把握认为“该校学生 的每周平均体育运动时间与性别有关”. P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 2 n ( ad - bc ) 附:K2= . (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

4 500 【解析】(1)300× =90,所以应收集 90 位 15 000 女生的样本数据. (2) 由频率分布直方图得 1 - 2×(0.025 + 0.100) = 0.75,所以该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小 时的概率的估计值为 0.75. (3)由(2)知,300 位学生中有 300×0.75=225(人) 的每周平均体育运动时间超过 4 小时,75 人的每周平 均体育运动时间不超过 4 小时.又因为样本数据中有 210 份是关于男生的,90 份是关于女生的,所以每周 平均体育运动时间与性别列联表如下:

每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 女生 总计 每周平均体育运动 45 30 75 时间不超过 4 小时 每周平均体育运动 165 60 225 时间超过 4 小时 总计 210 90 300 结 合 列 联 表 可 算 得 K2 = 300×(45×60-165×30)2 100 = ≈4.762>3.841. 21 75×225×210×90 所以,有 95%的把握认为“该校学生的每周平均 体育运动时间与性别有关”.

4.回归分析 例 4(2015 重庆 )随着我国经济的发展,居民的储蓄存 款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款( 年底余 额)如下表: 年份 2010 2011 2012 2013 2014 时间代号 t 1 2 3 4 5 储蓄存款 y(千 5 6 7 8 10 亿元) (1)求 y 关于 t 的回归方程^ y=^ b t +^ a; (2)用所求回归方程预测该地区 2015 年 (t = 6) 的人民 币储蓄存款.

?t
i ?1 n i ?1

n

i

? nt y

2 2 ^ ^ ^ ^ 附:回归方程 y =b t +a 中,b = ? ti ? nt ,^ a =- y-

^ b- t .

【解析】(1)列表计算如下: i ti yi t2 tiyi i 1 1 5 5 5 2 2 6 4 12 3 3 7 9 21 4 4 8 16 32 5 5 10 25 50 ∑ 15 36 55 120 n 1 1 ? y 36 ti =15=3,- 这里 n =5,- t= ? y = = =7.2. n i ?1 5 n 5
n i ?1 i


n

ltt



2 t ? nt ? 55 ? 5 ? 3 ? 10 ? i ?1 2 i 2

n



lty 12 ^ ^ 从而 b = = =1.2, a =- y- i ?1 ltt 10 ^ b- t =7.2-1.2× 3=3.6,故所求回归方程为^ y =1.2t +3.6. (2)将 t =6 代入回归方程可预测该地区 2015 年的人民币储 蓄存款为^ y =1.2×6+3.6= 10.8(千亿元 ).

lty ? ? ti yi ? nt y ? 120? 5 ? 3 ? 7.2 ? 12,

1.使用随机抽样抽取样本时,在系统抽样的第一 个样本和分层抽样在各层中抽取的样本都用到简单随 机抽样,利用系统抽样抽出的样本编号间隔相同,而 分层抽样则按比例抽取. 2.利用样本频率分布直方图估计总体时,应明确 频率 频率分布直方图的纵坐标是 ,因此每一个小矩形 组距 的面积就是样本数据落在该小组内频率的大小,由此 可对总体进行估计.一般地,样本落在某一个范围内 的频率就是该范围内所包含的各个小组的频率的和.

3.判断样本数据的稳定与离散程度,需求其方差, 1 2 求方差时应先求其平均数,然后利用方差公式 s =n[(x1 -x)2+(x2-x)2+?+(xn-x)2]求解. 4.利用所给数据绘制茎叶图时,应注意“叶”表 示的是数字的末位数.一般地,已知数据绘制茎叶图应 注意相同“茎”的条件, “叶”按大小排列.使用茎叶 图能够对分布较明显的数据进行样本分析,但对分布不 明显或样本数据较集中的,仍然要利用公式计算. 5.回归直线一定经过样本中心点(x,y),据此性质 可解决有关的计算问题. 6.处理线性回归、独立性检验问题的关键是看懂 表格、理解公式、计算准确.

1.某中学初中部共有 110 名教师,高中部共有 150 名 教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为( )

A.93 B.123 C.137 D.167 【解析】选 C 分别计算出初中部、高中部的女教师人数,然后求和. 初中部的女教师人数为 110×70%=77,高中部的女教 师人数为 150×(1-60%)=60, 该校女教师的人数为 77+60 =137,故选 C.

2.高三年级 267 位学生参加期末考试,某班 37 位 学生的语文成绩、 数学成绩与总成绩在全年级中的排名 情况如图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.

从这次考试成绩看, (1)在甲、 乙两人中, 其语文成绩名次比其总成绩名 次靠前的学生是________; (2)在语文和数学两个科目中, 丙同学的成绩名次更 靠前的科目是________.

【解析】(1)乙 (2)数学 (1)由图分析乙的语文成绩名次略比甲的语文成绩 名次靠前,但总成绩名次靠后,所以甲、乙两人中语 文成绩名次比总成绩靠前的是乙; (2)丙同学的数学成绩名次位于中间稍微靠后,而总成 绩名次相对靠后,所以丙同学的语文成绩名次比较靠 后,所以丙同学的成绩名次靠前的科目是数学.

3. 重庆市 2013 年各月的平均气温(℃)数据的茎叶 图如下:

则这组数据的中位数是( ) A.19 B.20 C.21.5 D.23 【解析】选 B 根据中位数的概念求解. 由茎叶图可知这组数据由小到大依次为 8, 9, 12, 15,18,20,20,23,23,28,31,32,所以中位数 20+20 为 =20. 2

4.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三 个年级之间的学生视力是否存在显著差异 ,拟从这三 个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查 ,则最合 理的抽样方法是( ) A.抽签法 B.系统抽样法 C.分层抽样法 D.随机数法
【解析】选 C 根据条件按比例抽样得知抽样方法. 根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应 为分层抽样法.

5.已知变量 x 和 y 满足关系 y=-0.1x+1,变量 y 与 z 正相关.下列结论中正确的是( ) A.x 与 y 正相关,x 与 z 负相关 B.x 与 y 正相关,x 与 z 正相关 C.x 与 y 负相关,x 与 z 负相关 D.x 与 y 负相关,x 与 z 正相关
【解析】选 C 根据正相关和负相关的定义进行判断.若线性回 归方程的斜率为正,则两个变量正相关,若斜率为负, 则负相关. 因为 y=-0.1x+1 的斜率小于 0,故 x 与 y 负相 关. 因为 y 与 z 正相关,可设 z=^ b y+^ a ,^ b >0, 则 z= ^ b y+^ a =-0.1^ b x+^ b +^ a ,故 x 与 z 负相关.

6.某电子商务公司对 10 000 名网络购物者 2014 年度的消 费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9] 内,其频率分布直方图如图所示. (1)直方图中的 a=________; (2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者 的人数为________.

【解析】(1)3 (2)6 000 (1)利用各小矩形的面积和为 1,建立关于 a 的方 程,解方程求 a. 由 0.1×1.5+0.1×2.5+0.1a+0.1×2.0+0.1×0.8 +0.1×0.2=1,解得 a=3. (2)计算[0.5,0.9]内的频率,利用频数=总体容量 ×频率求解. 区间 [0.3 , 0.5) 内的频率为 0.1×1.5 + 0.1×2.5 = 0.4,故[0.5,0.9]内的频率为 1-0.4=0.6. 因此,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人 数为 0.6×10 000=6 000.

7. 基尼系数是衡量一个国家贫富差距 的标准. 图中横轴 OH 表示人口(按收入由 低到高分组)的累积百分比,纵轴 OM 表 示收入的累积百分比,弧线 OL(称为洛伦 兹曲线)与对角线之间的面积 A 叫做“不 平等面积”,折线段 OHL 与对角线之间 的面积(A+B)叫做“完全不平等面积”, 不平等面积与完全不平等面积的比值为基尼系数. (1)当洛伦兹曲线为对角线时,社会达到“共同富裕”, 这是社会主义国家的目标,则此时的基尼系数等于______; (2)为了估计目前我国的基尼系数 , 统计得到洛伦兹曲 线后,采用随机模拟方法:随机产生两个数组成点(a,b)(其 中 a,b∈[0,100]),共产生了 1 000 个点,且恰好有 300 个 点落在 B 区域中.则据此估计该基尼系数为________.

【解析】(1)0

(2)0.4

8. 某班开展“学生语文成绩与英语成绩的关系” 的课题研究. 对该班 40 名学生上学期期末语文和英语 成绩,按优秀和不优秀分类,得出如下结果:语文和 英语都优秀的有 6 人,语文成绩优秀但英语不优秀的 有 19 人,英语成绩优秀但语文不优秀的有 10 人. (1)完成如下列联表,并判断“能否在犯错误的概 率不超过 0.01 的前提下认为该班学生的语文成绩与英 语成绩有关系” ; 语文优秀 语文不优秀 合计 英语优秀 6 10 英语不优秀 19 合计 40

(2)从全班 40 名同学中按“英语是否优秀”采取 分层抽样,抽取一个容量为 5 的样本,问样本中“英 语优秀”与“英语不优秀”的学生各有多少名; (3)从(2)的样本中随机抽取两名同学作深度访谈, 求选到“英语优秀”与“英语不优秀”的学生各一名 的概率. 2 n ( ad - bc ) 附:K2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.010 0.005 0.001 P(K2≥k0) k0 6.635 7.879 10.828

【解析】(1)完成列联表如下: 语文 语文不优秀 合计 优秀 英语优秀 6 10 16 英语不优秀 19 5 24 25 15 40 合计
2 40 ( 6 × 5 - 10 × 19 ) K2= ≈7.11>6.635, 25×15×16×24 所以,能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认 为该班学生的语文成绩与英语成绩有关系. (2)由 16∶24= 2∶3 知, “英语优秀 ”中应抽取 2 5× =2 名学生; 2+3 3 “英语不优秀”中应抽取 5× =3 名学生. 2+3

(3)令“英语优秀”的两名学生分别为 a,b;“英 语不优秀”的 3 名学生分别为 c,d,e. 则随机抽取两名同学共有 10 种结果,分别为: ? ? ?a,b?,(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d), ? ? (b,e),(c,d),(c,e),(d,e). 其中,选到“英语优秀”与“英语不优秀”的学 生各一名的有 6 种结果,分别为: (a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e). 6 3 则所求的概率为 = . 10 5

9.已知某校在一次考试中,5 名学生的数学和物 理成绩如下表: 学生的编号 i 1 2 3 4 5 数学成绩 x 80 75 70 65 60 物理成绩 y 70 66 68 64 62 (1)若在本次考试中,规定数学成绩在 70 以上(不 包括 70 分)且物理成绩在 65 分以上(不包括 65 分)的为 优秀. 计算这五名同学的优秀率; (2)根据上表,利用最小二乘法,求出 y 关于 x 的 线性回归方程^ y =^ b x+^ a ,其中^ b =0.36; (3)利用(2)中的线性回归方程,试估计数学 90 分 的同学的物理成绩.(四舍五入到整数)

【解析】(1)这五名学生中共有 2 名数学成绩在 70 以上且物理成绩在 65 以上, 所以这五名学生的优秀率 为 40%. 60+65+70+75+80 - (2) x = =70, 5 62+64+66+68+70 - y= =66, 5 66=0.36×70+^ a ?^ a =40.8,所以^ y =0.36x+40.8. (3)估计数学 90 分的同学物理成绩为 0.36×90+ 40.8=73.2≈73 分.


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