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上海市浦东新区2017届高三数学4月教学质量检测二模试题


上海市浦东新区 2017 届高三数学 4 月教学质量检测(二模)试题
注意:1. 答卷前,考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有 21 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题共有 12 小题,满 分 54 分)只要求直接填写结果,1-6 题每个空格填对得 4 分, 7-12 题每个空格填对得 5 分,否则一律得零分.
? x?2 ? 1、已知集合 A ? ? x ? 0 ? ,集合 B ? ? y 0 ? y ? 4? ,则 A ? B =____________. ? x ?1 ? ? x ? 4 ? 4t 2、若直线 l 的参数方程为 ? , t ? R ,则直线 l 在 y 轴上的截距是____________. ? y ? ?2 ? 3t

3、已知圆锥的母线长为 4,母线与旋转轴的夹角为 30 ? ,则该圆锥的侧面积为____________. 4、抛物线 y ?

1 2 x 的焦点到准线的距离为____________. 4

? 2 1 5? 5、已知关于 x, y 的二元一次方程组的增广矩阵为 ? ? ,则 3x ? y =____________. ? 1 ?2 0 ?

6、若三个数 a1 , a2 , a3 的方差为 1 ,则 3a1 ? 2,3a2 ? 2,3a3 ? 2 的方差为____________. 7、已知射手甲击中 A 目标的概率为 0.9,射手乙击中 A 目标的概率为 0.8,若甲、乙两人各向 A 目标射击一次,则射手甲或射手乙击中 A 目标的概率是____________.
?π ? ? 3 ? 8、函数 y ? sin ? ? x ? , x ? ?0, π ? 的单调递减区间是____________. ?6 ? ? 2 ?

9、已知等差数列 ?an ? 的公差为 2,前 n 项和为 Sn ,则 lim

n ??

Sn =____________. an an ?1

10、已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足:① f ? x ? ? f ? 2 ? x ? ? 0 ;② f ? x ? ? f ? ?2 ? x ? ? 0 ;③在
2 ?2 x , x ? 0 ? ? 1 ? x , x ? ? ?1, 0? ? ,则函数 f ? x ? 与函数 g ? x ? ? ?log x, x ? 0 ? ?1,1? 上的表达式为 f ? x ? ? ? 1 ? ? ?1 ? x, x ? ? 0,1? ? 2

的图像在区间 ? ?3,3? 上的交点的个数为____________. 11、已知各项均为正数的数列 ?an ? 满足: ? 2an?1 ? an ?? an?1an ? 1? ? 0 n ? N? ,且 a1 ? a10 , 则首项 a1 所有可能取值中的最大值为____________.

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? 1 12、已知平面上三个不同的单位向量 a, b, c 满足 a ? b ? b ? c ? ,若 e 为平面内的任意单位向量,则 2
1

? ? ? ? ? ? a ? e ? 2 b ? e ? 3 c ? e 的最大值为____________.
二、选择题(本大题共有 4 小题,满分 20 分) 每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确 的,选对得 5 分,否则一律得零分. 13、若复数 z 满足 z ? i ? z ? i ? 2 ,则复数 z 在复平面上所对应的图形是( A、椭圆; B、双曲线; C、直线; D、线段. )

14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示

给出下列 4 个平面图:

则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是( A、(1)(3)(4); B、(2)(4)(3); C、(1)(3)(2); )

) D、(2)(4)(1).

15、已知 2sin x ? 1 ? cos x ,则 cot

x =( 2

A、2;

B、2 或

1 ; 2

C、2 或 0;

D、

1 或 0. 2

16、已知等比数列 a1 , a2 , a3 , a4 满足 a1 ? ? 0,1? , a2 ? ?1,2? , a3 ? ? 2, 4? ,则 a4 的取值范围 是( ) B、 ? 2,16? ; C、 ? 4,8? ; D、 2 2,16 .

A、 ? 3,8? ;

?

?

2

三、解答题(本大题共有 5 小题,满分 76 分)解答下列各题必须写出必要的步骤. 17、 (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 如图所示, 球 O 的球心 O 在空间直角坐标系 O ? xyz 的原点, 半径为 1, 且球 O 分别与 x, y, z 轴 的正半轴交于 A, B, C 三点.已知球面上一点 D ? 0, ?

? ? ?

3 1? , ?. 2 2? ?

(1)求 D, C 两点在球 O 上的球面距离; (2)求直线 CD 与平面 ABC 所成角的大小.

18、 (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 某地计划在一处海滩建造一个养殖场. (1) 如图,射线 OA, OB 为海岸线, ?AOB ?

2π ,现用长度 3
A P

为 1 千米的围网 PQ 依托海岸线围成一个△POQ 的养殖场, 问如 何选取点 P, Q ,才能使养殖场△POQ 的面积最大,并求其最大 面积.

Q O B
3

(2)如图,直线 l 为海岸线,现用长度为 1 千米的围网依托海岸线围成一个养殖场. 方案一:围成三角形 OAB (点 A, B 在直线 l 上) ,使三角形 OAB 面积最大,设其为 S1 ;
? 所在圆的圆心且 ?DCE ? 方案二:围成弓形 CDE (点 D, E 在直线 l 上, C 是优弧 DE

2π ) , 3

其面积为 S2 ; 试求出 S1 的最大值和 S2 (均精确到 0.001 平方千米) ,并指出哪一种设计方案更好.

19、 (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分)

x2 y 2 ? ? 1,其右顶点为 P . 已知双曲线 C : 4 3
(1)求以 P 为圆心,且与双曲线 C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程; (2)设直线 l 过点 P ,其法向量为 n ? (1, ?1) ,若在双曲线 C 上恰有三个点 P 1, P 2, P 3 到直线 l 的距离均为 d ,求 d 的值.

?

20、 (本小题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 若数列 ? An ? 对任意的 n ? N ,都有 An +1 ? An
*

k

? k ? 0? ,且 An ? 0 ,

则称数列 ? An ? 为“ k 级创新数列” .

4

2 (1)已知数列 ?an ? 满足 an?1 ? 2an ? 2an ,且 a1 ?

1 ,试判断数列 ?2an ? 1? 是否为 “2 级创新数 2

列” ,并说明理由; (2) 已知正数数列 ?bn ? 为“ k 级创新数列”且 k ? 1 ,若 b1 ? 10 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项积 .Tn ;

(3)设 ? , ? 是方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 的两个实根( ? ? ? ) ,令 k ? 的通项 cn ? ?
n?1

? ,在(2)的条件下,记数列 ?cn ? ?

? logbn Tn , 求证: cn?2 ? cn?1 ? cn , n ? N* .

21、 (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分) 对于定义域为 R 的函数 g ? x ? ,若函数 sin ? ? g ? x ?? ? 是奇函数,则称 g ? x ? 为正弦奇函数. 已知 f ? x ? 是单调递增的正弦奇函数,其值域为 R , f ? 0? ? 0 . (1)已知 g ? x ? 是正弦奇函数,证明:“ u 0 为方程 sin ? ? g ? x ?? ? ? 1 的解”的充要条件是 “ ?u0 为方程 sin ? ? g ? x ?? ? ? ?1 的解”;
π π (2)若 f ? a ? ? , f ? b ? ? ? ,求 a ? b 的值; 2 2

(3)证明: f ? x ? 是奇函数. 浦东新区 2016-2017 学年度第二学期质量抽测 高三数学试卷 2017.4

注意:1. 答卷前,考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有 21 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题共有 12 小题,满分 54 分)只要求直接填写结果,1-6 题每个空格填对得 4 分, 7-12 题每个空格填对得 5 分,否则一律得零分.
? x?2 ? ? 0 ? ,集合 B ? ? y 0 ? y ? 4? ,则 A ? B =____ [2, 4) ________. 1、已知集合 A ? ? x ? x ?1 ? ? x ? 4 ? 4t , t ? R ,则直线 l 在 y 轴上的截距是_____ 1 ______. 2、若直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?2 ? 3t

3、已知圆锥的母线长为 4,母线与旋转轴的夹角为 30 ? ,则该圆锥的侧面积为____ 8 π ______. 4、抛物线 y ?

1 2 x 的焦点到准线的距离为______2_______. 4
5

? 2 1 5? 5、已知关于 x, y 的二元一次方程组的增广矩阵为 ? ? ,则 3x ? y =___5_______. ? 1 ?2 0 ?

6、若三个数 a1 , a2 , a3 的方差为 1 ,则 3a1 ? 2,3a2 ? 2,3a3 ? 2 的方差为

9

.

7、已知射手甲击中 A 目标的概率为 0.9,射手乙击中 A 目标的概率为 0.8,若甲、乙两人各 向 A 目标射击一次,则射手甲或射手乙击中 A 目标的概率是___0.98________.

? 2 ? ?π ? ? 3 ? 8、函数 y ? sin ? ? x ? , x ? ?0, π ? 的单调递减区间是_____ ?0, π ? __________. ?6 ? ? 2 ? ? 3 ?
9、已知等差 数列 ?an ? 的公差为 2,前 n 项和为 Sn ,则 lim

n ??

1 Sn =___ ______. an an ?1 4

10、已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足:① f ? x ? ? f ? 2 ? x ? ? 0 ;② f ? x ? ? f ? ?2 ? x ? ? 0 ;③在
2 ?2 x , x ? 0 ? ? 1 ? x , x ? ? ?1, 0? ? ,则函数 f ? x ? 与函数 g ? x ? ? ?log x, x ? 0 ? ?1,1? 上的表达式为 f ? x ? ? ? 1 ? ? ?1 ? x, x ? ? 0,1? ? 2

的图象在区间 ? ?3,3? 上的交点的个数为

6

.

11、已知各项均为正数的数列 ?an ? 满足: ? 2an?1 ? an ?? an?1an ? 1? ? 0 n ? N? ,且 a1 ? a10 , 则首项 a1 所有可能取值中的最大值为 16 .

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? 1 12、已知平面上三个不同的单位向量 a, b, c 满足 a ? b ? b ? c ? ,若 e 为平面内的任意单位向量,则 2 ? ? ? ? ? ? a ? e ? 2 b ? e ? 3 c ? e 的最大值为_______ 21 __________.
二、选择题(本大题共有 4 小题,满分 20 分) 每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确 的,选对得 5 分,否则一律得零分. 13、若复数 z 满足 z ? i ? z ? i ? 2 ,则复数 z 在复平面上所对应的图形是 A、椭圆; 14、 ( C ) B、双曲线; C、直线; D、线段. ( D )

15、已知 2sin x ? 1 ? cos x ,则 cot

x = 2
C、2 或 0; D、



C



A、2;

B、2 或

1 ; 2

1 或 0. 2

6

16 、已知等比数列 a1 , a2 , a3 , a4 满足 a1 ? ? 0,1 ? , a2 ??1,2? , a3 ? ? 2, 4? ,则 a4 的取值范围是 ( D ) B、 ? 2,16? ; C、 ? 4,8? ; D、 2 2,16 .

A、 ? 3,8? ;

?

?

三、解答题(本大题共有 5 小题,满分 76 分)解答下列各题必须写出必要的步骤. 17、 (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 如图所示,球 O 的球心 O 在空间直角坐标系 O ? xyz 的原点,半径为 1, 且球 O 分别与 x, y, z 轴的正半轴交于 A, B, C 三点.

已知球面上一点 D ? 0, ?

? ? ?

3 1? , ?. 2 2? ?

(1)求 D, C 两点在球 O 上的球面距离; (2)求直线 CD 与平面 ABC 所成角的大小. 解: (1)由题意: A ?1, 0, 0 ? , B ? 0,1, 0 ? , C ? 0, 0,1? , D ? 0, ?

? ? ?

3 1? , ? 2 2? ?

则 CD ? ? 0, ?

??? ?

? ? ?

3 1? ,? ? ,????????????????????2 分 2 2? ?
π , ????4 分 3

所以 CD ? 1 ,即 ?OCD 为等边三角形,所以 ?DOC ?

??? ?

? ? 则 DC

π π ?1 ? 3 3

??????????6 分

(2)设直线 CD 与平面 ABC 所成角为 ? , 易得平面 ABC 的一个法向量 n ? ?1,1,1? ,

?

??????????11 分

??? ? ? 3 1 ? CD ? n 3? 3 则 sin ? ? ??? , ? ? ? 2 2? 6 CD ? n 1? 3
即直线 CD 与平面 ABC 所成角 ? ? arcsin

??????????13 分

3? 3 ??????????14 分 6

7

18、 (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 某地计划在一处海滩建造一个养殖场. (1) 如图,射线 OA, OB 为海岸线, ?AOB ?

2π ,现用长度为 1 千米的围网 PQ 依托海岸线围成一 3
A P

个 ?POQ 的养殖场,问如何选取点 P, Q ,才能使养殖场

?POQ 的面积最大,并求其最大面积.
Q O B

(2)如图,直线 l 为海岸线,现用长度为 1 千米 的围网依托海岸线围成一个养殖场. 方案一:围成三角形 OAB (点 A, B 在直线 l 上) ,使三角形 OAB 面积最大,设其为 S1 ;
? 所在圆的圆心且 ?DCE ? 方案二:围成弓形 CDE (点 D, E 在直线 l 上, C 是优弧 DE

2π ) , 3

其面积为 S2 ; 试求出 S1 的最大值和 S2 (均精确到 0.001 平方千米) ,并指出哪一种设计方案更好.

O

C A 解: (1 )设 OP ? x, OQ ? y 由余弦定理得 1 ? x ? y ? 2 xy ? ? ?
2 2

B

D

E

1 ? 1? 2 2 ? ? x ? y ? xy ? 3xy ,? xy ? 3 ?4 分 ? 2?

则S ?

1 2 1 1 3 3 3 xy sin π ? ? ? ? , S max ? (平方千米) 2 3 2 3 2 12 12

8

即选取 OP ? OQ ?

3 时养殖场 ?POQ 的面积最大. ????6 分 3

(2)方案一:围成三角形 OAB

? OA ? OB ? 1 设 ?AOB ? ? ,由 OA ? OB ? 1 ? OA ? OB ? ? ? ? , 2 ? ? 4
当且仅当 OA ? OB ? 所以, S1 ?
1 时取等号. 2

2

1 1 1 1 OA ? OB sin ? ? ? ?1 ? (平方千米) , 2 2 4 8
?? ???9 分

1 π 当且仅当 OA ? OB ? ,? ? 时取等号. 2 2

方案二:围成弓形 CDE 设弓形中扇形所在圆 C 的半径为 r ,而扇形圆心角为 故r ?
1 3 . ? 4π 4π 3

4π 、弧长为 1 千米, 3

????10 分

于是 S 2 ?
?

1 1 2π ?1? r ? r 2 sin 2 2 3
3 1 9 3 ? ? ? ? 0.144 (平方千米) 2 8π 2 16 π 2

????11 分

????13 分 ?????14 分

即 S1 ? S2 ,方案二所围成的养殖场面积较大,方案二更好.

19、 (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1,其右顶点为 P . 4 3

(1)求以 P 为圆心,且与双曲线 C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程; (2)设直线 l 过点 P ,其法向量为 n ? (1, ?1) ,若在双曲线 C 上恰有三个点 P 1, P 2, P 3 到直线 l 的距离均为 d ,求 d 的值. 解: (1)由题意, P(2, 0) ,渐近线方程: y ? ?

?

3 x ,即 3x ? 2 y ? 0 ?????2 分 2

9

则半径 r ? d ?

2 3 3? 4

?
2

2 21 , 7
2

?????4 分

所以圆方程为: ? x ? 2 ? ? y ?

12 7

?????6 分

l (2)若在双曲线 C 上恰有三个点 P 1, P 2, P 3 到直线 的距离均为 d ,则其中一点必定是与
直线 l : y ? x ? 2 平行的直线与双曲线其中一支的切点 ?????8 分

设直线 l ' 与双曲线 C 相切,并且与直线 l 平行,则 l ' : y ? x ? b ,即有

?y ? x ?b ,消去 y ,得到 x 2 ? 8bx ? 12 ? 4b2 ? 0 ? 2 2 ?3 x ? 4 y ? 12

?????10 分

则 ? ? 64b2 ?16(3 ? b2 ) ? 0 ,解得 b ? ?1 ,所以 l ' : y ? x ? 1 ????12 分
' 又 d 是 l 与 l 之间的距离,所以 d ?

1? 2 2

?

1? 2 3 2 2 ? 或者 d ? 2 2 2
?????14 分

20、 (本小题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 若数列 ? An ? 对任意的 n ? N ,都有 An +1 ? An
*

k

? k ? 0? ,且 An ? 0 ,

则称数列 ? An ? 为“ k 级创 新数列”.
2 (1 )已知数列 ?an ? 满足 an?1 ? 2an ? 2an ,且 a1 ?

1 ,试判断数列 ?2an ? 1? 是否为“2 级创新数 2

列” ,并说明理由; (2) 已知正数数列 ?bn ? 为“ k 级创新数列”且 k ? 1 ,若 b1 ? 10 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项积 .Tn ;

2 (3)设 ? , ? 是方程 x ? x ? 1 ? 0 的两个实根( ? ? ? ) ,令 k ?

? ,在(2)的条件下,记数列 ?cn ? ?

的通项 cn ? ?

n?1

? logbn Tn , 求证: cn?2 ? cn?1 ? cn , n ? N* .
2

2 2 解: (1)由 an?1 ? 2an ? 2an ,∴ 2an?1 +1 ? 4an ? 4an +1 ,即 2an ?1 ? 1 ? ? 2an ? 1? ,

????????2 分
10

且 2a1 ? 1 ? 2 ? 0 , ∴ ?2an ? 1? 是“2 级创新数列” (2)由正数数列 ?bn ? 是“ k 级创新数列” ,得 bn+1 ? bn ∴ lg bn +1 ? k lg bn , ∴ ?lg bn ? 是等比数列,且首项 lg b1 ? 1 ,公比 q ? k ; ∴ lg bn ? lg b1 ? q
n?1
k

?????????3 分 ?????????4 分

? k ? 0,1? ,且 bn ? 0
?????????6 分

? k n?1 ;

?????????7 分 ?????????9 分

由 Tn ? b1b2 ?bn ? lg Tn ? lg b1 ? lg b2 ? ? ? lg bn

? 1? k ? k ??? k
2

n ?1

1? k n ? ? ,∴ Tn ? 10 1? k ? n ? N ? ????????10 分 1? k

1? k n

1? k n ? n ?1 n ?1 lg Tn k ? ? n ?1 1 ? (3)由 k ? , cn ? ? log bn Tn ? ? n ?1 ? lg bn k
n ?? ? ? ? ? n n n ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ; n ?1 1 ? k ?? ? k n ?1 ? k n ? ? ?n ?1 ? ? ? n ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?

? n ?1 ?1 ? ?

?

????????12 分

2 由 ? , ? 是方程 x ? x ? 1 ? 0 的两根,∴ ?

?? 2 ? ? ? 1 ? ;????????14 分 2 ? ? ? ? 1 ? ?

∴ cn ?1 ? cn ?

? n?1 ? ? n?1 ? n ? ? n 1 ? ? ?? n?1 ? ? n?1 ? ? n ? ? n ? ? ?? ? ?? ? ??

?

1 ? n?2 ? ? n?2 n n ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? cn? 2 .???????16 分 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??

21、 (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分)

11

对于定义域为 R 的函数 g ? x ? ,若函数 sin ? ? g ? x ?? ? 是奇函数,则称 g ? x ? 为正弦奇函数. 已知 f ? x ? 是单调递增的正弦奇函数,其值域为 R , f ? 0? ? 0 . (1)已知 g ? x ? 是正弦奇函数,证明:“ u 0 为方程 sin ? ? g ? x ?? ? ? 1 的解”的充要条件是 “ ?u0 为方程 sin ? ? g ? x ?? ? ? ?1 的解”;
π π (2)若 f ? a ? ? , f ? b ? ? ? ,求 a ? b 的值; 2 2

(3)证明: f ? x ? 是奇函数. 证明: (1) 必要性:
u 0 为方程 sin ? ? g ? x ?? ? ? 1 的解,即 sin ? ? g ?u0 ?? ? ? 1 ,故 sin ? ? g ? ?u0 ?? ? ? ? sin ? ? g ?u0 ?? ? ? ?1 ,

即 ?u0 为方程 sin ? ? g ? x ?? ? ? ?1 的解.???????????????????2 分 充分性:
?u0 为方程 sin ? ? g ? x ?? ? ? ?1 的解,即 sin ? ? g ? ?u0 ?? ? ? ?1 ,故 ? sin ? ? g ? u0 ?? ? ? ?1 ,

sin ? ? g ? x ?? ? ? 1 的解. ????????????4 分 ? g ?u0 ?? ? ? 1 ,即 u 0 为方程 sin ?

(2)因为 f ? b ? ? f ? 0? ? f ? a ? ,由 f ? x ? 单调递增,可知 b ? 0 ? a . 由(1)可知,若函数 f ? x ? 是正弦奇函数,

????????5 分

则当 a 为方程 sin ? ? f ? x ?? ? ? 1 的解,必有 ?a 为方程 sin ? ? f ? x ?? ? ? ?1 的解,

? sin ? ? f ? ?a ?? ? ? ?1 ,即 f ? ?a ? ? 2mπ ?

π ? m ? Z? , 2 π ? f ?b ? ? ?a ? b , 2

而 ? a ? 0 ,故 f ? ?a ? ? f ? 0? ? 0 ,从而 f ? ?a ? ? ? 即a?b?0; 同理 f ? ?b ? ? 2nπ ? 即a?b?0; 综上, a ? b ? 0 .

????????7 分
π π ? n ? Z? , f ? ?b? ? f ? 0? ,故 f ? ?b? ? ? f ? a ? ? ?b ? a , 2 2

??????????9 分 ??????????10 分

(3) f ? x ? 的值域为 R 且单调递增,故对任意 c ? R ,存在唯一的 x0 , 使得 f ? x0 ? ? c .

12

????11 分
π π? ? 可设 f ? an ? ? nπ ? , f ? bn ? ? ? ? nπ ? ? n ? N* ,下证 an ? bn ? 0 n ? N* . 2 2? ?

?

?

?

?

当 n ? 1 时,由(2)知 a1 ? b1 ? 0 ,命题成立;

????????????12 分

假设 n ? k 时命题成立,即 a1 ? b1 ? 0,?, ak ? bk ? 0 ,而由 f ? x ? 的单调性 知 bk ?1 ? bk ? ? ? b1 ? 0 ? a1 ? ? ? ak ? ak ?1 ,知 ?ak ?1 ? bk , ?bk ?1 ? ak , 则当 n ? k ? 1 时, ak ?1 为方程 sin f ? x ? ? ?1 的解,故 ?ak ?1 为方程 sin f ? x ? ? ?1 的解, 且由单调性知 f ? ?ak ?1 ? ? f ? bk ? ,故 f ? ?ak ?1 ? ? f ?bk ?1 ? ,得 ?ak ?1 ? bk ?1 ; 同理 ?bk ?1 ? ak ?1 ,故 ak ?1 ? bk ?1 ? 0 . ?????????????????14 分

要证 f ? x ? 是奇函数,只需证:对任意 x ? 0 ,都有 f ? ? x ? ? ? f ? x ? .

?? ? 记 a0 ? b0 ? 0 ,若 x ? an n ? N* ,则 ? x ? bn , f ? ? x ? ? ? ? n? ? ? ? ? f ? an ? ? ? f ? x ? ; 2? ?

?

?

????????????????????15 分
π π? ? 若 x ? ? a2n , a2n?1 ? ? n ? N ? ,则 f ? x ? ? ? 2n? ? , 2n? ? ? , 2 2? ?

? ? π? ? π ?? ? ? π? ? π ?? ? f ? x ? ? ? ? ? 2nπ ? ? , ? ? 2nπ ? ? ? , ? x ? ? b2 n ?1 , b2 n ? , f ? ? x ? ? ? ? ? 2nπ ? ? , ? ? 2nπ ? ? ? , 2 2 2 2 ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? π? ? π ?? 而正弦函数在 ? ? ? 2n? ? ? , ? ? 2n? ? ? ? 上单调递增, 2? ? 2 ?? ? ?

故由 sin f ? ?x ? ? ? sin f ? x ? ? sin ? ? f ? x ?? 得 f ? ? x ? ? ? f ? x ? . 若 x ? ? a2n?1 , a2n? 2 ? ? n ? N ? ,同理可证得 f ? ? x ? ? ? f ? x ? . 综上,对任意 x ? 0 ,都有 f ? ? x ? ? ? f ? x ? .故 f ? x ? 是奇函数. ???????17 分 ?????18 分

13


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