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高中数学全程复习方略2.2.2.1 双曲线的简单几何性质(共49张PPT)


第1课时 双曲线的简单几何性质

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1.通过双曲线的方程和几何图形,了解双曲线的对称性、范围、 顶点、离心率等简单几何性质. 2.了解双曲线的渐近性,并能用双曲线的简单几何性质解决一 些简单的问题.

1.本节的重点是对双曲线几何性质的理解和简单应用. 2.本节的难点是对双曲线渐近线的理解和运用.

1.双曲线的几何性质
x 2 y2 ? 2 ?1 2 a b (a>0,b ? 0) y2 x 2 ? 2 ?1 2 a b (a>0,b>0)

标准方程

性 质

图形

标准方程

x 2 y2 ? 2 ?1 2 a b (a>0,b ? 0)

y2 x 2 ? 2 ?1 2 a b (a>0,b>0)

F1(0,-c),F2(0,c) F1(-c,0),F2(c,0) 焦点 ___________________ ___________________ 焦距 |F1F2|=2c __________ x≥a x≤-a ______或______, R y∈___ y≤-a y≥a ______或______, R x∈___

性 范围 质
对称 性 顶点

原点 坐标轴 对称轴:_______;对称中心:______

A1(-a,0),A2(a,0) __________________

A1(0,-a),A2(0,a) __________________

标准方程

x 2 y2 ? 2 ?1 2 a b (a>0,b ? 0)

y2 x 2 ? 2 ?1 2 a b (a>0,b>0)

轴 性 质 离心 率

A 1A 2 2a 实轴:线段_____,长:___;虚轴:线段 B 1B 2 2b a b _____,长:___;半实轴长:__,半虚轴长:__
c (1,+∞) e= ∈________ a __ b y?? x ________ a a y?? x ________ b

渐近 线

实轴和虚轴等长 2.等轴双曲线是指_______________的双曲线.

1.双曲线的焦点在实轴上还是在虚轴上? 提示:双曲线的焦点必定在双曲线的实轴上. 2.等轴双曲线的离心率是多少? 提示:等轴双曲线中a=b,其离心率 e ? c ? 1 ? ( b ) 2 ? 2.
a a

y2 x 2 x 2 y2 3.已知双曲线 ? ? 1 它们的渐近线相同吗? , ? ?1 和 16 9 9 16

提示:它们有相同的渐近线方程 y ? ? 4 x.
3

x 2 y2 4.双曲线 ? ? 1的离心率是_______. 4 2

【解析】由题知a=2,b2=2. ∴c2=a2+b2=4+2=6,∴ c ? 6,
c 6 ?e ? ? . a 2

答案: 6
2

对双曲线的简单几何性质的四点认识 (1)双曲线的焦点决定双曲线的位置; (2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性,由双
x 2 y2 x2 y2 曲线的方程 2 ? 2 ?(a>0,b>0), 得 2 ? 1 ? 2 ? 1, 1 a b a b

∴x2≥a2,∴|x|≥a,即x≤-a或x≥a;

(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小,离心 率越大,双曲线的开口越大,反之亦然;
x 2 y2 (4)对称性:由双曲线的方程 2 ? 2 ?(a ? 0, b ? 0)若P(x,y)是 1 , a b

双曲线上任意一点,则P1(-x,y),P2(x,-y)均在双曲线上,故P与 P1,P2分别关于y轴、x轴对称,因此双曲线分别关于y轴、x轴

对称.只不过双曲线的顶点只有两个,而椭圆有四个.

利用标准方程研究几何性质 【技法点拨】 用双曲线标准方程研究几何性质的步骤

【典例训练】
x 2 y2 1.(2012·福建高考)已知双曲线 2 ? ? 1 的右焦点为(3, a 5

0),则该双曲线的离心率等于( (A)3 14
14
2 2

) (C)
3 2

(B)3 2
4
a b

(D)

4 3

2.双曲线 x2 ? y2 ? 1(a>0, b>0) 的左、右焦点分别是F1,F2,过F1

作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点,若MF2垂直于x轴,
则双曲线的离心率为( )

(A) 6

(B) 3

(C) 2

(D)

3 3

3.求双曲线16x2-9y2=-144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、

离心率、顶点坐标.
【解析】1.选C.由题意,知a2+5=9,

解得 a ? 2,e ? c ? 3 .
a 2

2.选B.如图,在Rt△MF1F2中,∠MF1F2=30°,F1F2=2c,

2c 4 2 ? 3c, MF2 ? 2c?tan30? ? 3c, cos30? 3 3 4 2 2 c ? 2a ? MF1 ? MF2 ? 3c ? 3c ? 3c ? e ? ? 3, 故选B. 3 3 3 a ? MF1 ?

y2 x 2 3.把方程16x2-9y2=-144化为标准方程得 2 - 2 =, 1 4 3

由此可知,实轴长2a=8, 虚轴长 2b=6,c= a 2+b 2=5.

焦点坐标为(0,-5),(0,5);
离心率 e= c = 5 ;
a 4

顶点坐标为(0,-4),(0,4).

【想一想】双曲线与椭圆的几何性质有哪些不同点?

提示:椭圆有4个顶点,双曲线只有两个顶点;椭圆有长轴、
短轴,双曲线有实轴、虚轴;椭圆的离心率e∈(0,1),而 双曲线的离心率e∈(1,+∞).

利用几何性质求标准方程

【技法点拨】
求双曲线标准方程的常用方法及一般步骤

(1)常用方法:一是设法确定基本量a,b,c,从而求出双曲线方
程;二是采用待定系数法.首先依据焦点的位置设出标准方程 的形式,再由题目条件确定参数的值.

(2)根据已知条件求双曲线的标准方程的思路是“选标准,定 参数”,一般步骤是:

【典例训练】
x 2 y2 1.(2011·山东高考)已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0, b>0) 和椭 a b 2 2 圆 x ? y ? 1 有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的 16 9

两倍,则双曲线的方程为_______.
2.求适合下列条件的双曲线的标准方程:

(1)实轴长为8,离心率为 ;
(2)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,实轴 长和虚轴长相等,且过点 P(4,- 10).

5 4

【解析】1.由题意知双曲线的焦点为 (? 7,0), 7,0),即 c ? 7, ( 又因为双曲线的离心率为 2 7 , 所以a=2,故b2=3,双曲线的方程
x y ? ? 1. 4 3 x 2 y2 答案: ? ? 1 4 3



2

2

4

x 2 y2 y2 x 2 2.(1)设双曲线的标准方程为 2 - 2 =1 或 2 - 2 = ? a ? 0,b ? 0 ? , 1 a b a b

2a=8. 由题意知 c = 5 且c2=a2+b2,
a 4

∴a=4,c=5,b=3,
y2 x 2 x 2 y2 ∴标准方程为 - =1 或 - = 1. 16 9 16 9

b2 (2)由2a=2b得a=b,∴ e ? 1 ? 2 ? 2, 所以可设双曲线方程为 a

x2-y2=λ(λ≠0). ∵双曲线过点 P(4,- 10), ∴16-10=λ,即λ=6. ∴双曲线方程为x2-y2=6.
x 2 y2 ? ? 1. ∴双曲线的标准方程为 6 6

【思考】(1)2题中(1)能确定双曲线的焦点位置吗? (2)根据2(2)题总结一下等轴双曲线标准方程的设法. 提示:(1)不能确定,所以要分两种情况写出标准方程; (2)因为等轴双曲线中的“a”和“b”相等,所以等轴双曲 线的方程可设为x2-y2=λ(λ≠0)的形式.

与渐近线有关的问题 【技法点拨】 1.双曲线渐近线方程的两种求法 (1)图示法:画出以实轴长、虚轴长为邻边的矩形,写出其

对角线方程,特别要注意对角线斜率的确定;
(2)取零法:将双曲线标准方程等号右边的1改为0,化简即 可得双曲线的渐近线方程,这也是常用的方法.

2.根据渐近线方程求双曲线方程 (1)若双曲线的渐近线方程为 y ? ? n x,则双曲线方程可表示 为
x y ? 2 ? ?(? ? 0); m2 n
2 2

m

x 2 y2 (2)与双曲线 ? 2 ? 1(a>0, b>0) 共渐近线的双曲线方程可表 2 a b x 2 y2 y2 x 2 示为 ? ? ?(a ? 0,b ? 0, ? ? 0); 与双曲线 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0); 2 2 2 a b a b y2 x 2 共渐近线的双曲线方程可表示为 2 ? 2 ? ?(a ? 0, b ? 0, ? ? 0). a b

【典例训练】
x 2 y2 1.(2012·广州高二检测)双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0, b>0) 的一条渐 a b 近线方程为 y ? 1 x, 则该双曲线的离心率的值为( ) 2 (A) 2 (B) 5 (C) 5 (D)2 2

2.已知双曲线中心在原点,对称轴为坐标轴,且过点P(3, -1),一条渐近线与直线3x-y=10平行,求双曲线的标准方 程.

b 2 1 a 2 ? b2 5 b 1 【解析】1.选C.由已知得 ? , 所以,( ) ? , 故 ? , a 4 a2 4 a 2 2 c 5 即 2? , 所以 e ? 5 . a 4 2

2.由已知,双曲线中心在原点,坐标轴为对称轴,由于其中一 条渐近线与直线l:3x-y=10平行,

所以,双曲线的一条渐近线方程为3x-y=0,即y=3x.
可设双曲线方程为9x2-y2=λ(λ≠0).由于双曲线过点

P(3,-1),所以9〓32-(-1)2=λ,即λ=80.
x 2 y2 ∴所求双曲线的标准方程为 - =1. 80 80 9

【想一想】所有双曲线的渐近线方程都是 y ? ? b x 吗?
a

提示:焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是 y ? ? b x, 而焦点 在y轴上的双曲线的渐近线方程是 y ? ? a x.
b a

【规范解答】利用焦点三角形求双曲线的离心率
x 2 y2 【典例】(12分)点P是双曲线C1: ? ?(a>0, b>0) 和圆C2: 1 2 2 a b

x2+y2=a2+b2的一个交点,且有2∠PF1F2=∠PF2F1,其中F1,F2是 双曲线C1的左右两个焦点,求双曲线C1的离心率.

【解题指导】

【规范解答】∵圆的半径 r ? a 2 ? b 2 ? c, ???????2分

∴圆过双曲线C1的焦点,即F1F2为圆的直径.
∴∠F1PF2=90°.①?????????????????4分

∵2∠PF1F2=∠PF2F1,
∴∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°.???????????6分 在Rt△F1PF2中,|F1F2|=2c, 故|PF1 ? 3c, PF|? c, ?????????????? 8分 | | 2

又点P在双曲线上,且在双曲线右支上.
? PF1 ? PF2 ? 3c ? c ? 2a ,② ??????????? 10分 | || | ?e ? c 2 ? ? 3 ? 1. ?????????????12分 a 3 ?1

【阅卷人点拨】通过阅卷后分析,对解答本题的失分警示和解 题启示总结如下:(注:此处的①②见规范解答过程) 求解过程中若对题目中条件分析不透彻,分析题意不 ① 细致,就会得不到①处的∠F1PF2=90°的关系,影响 失 整个解题过程,只能得到开头的2分. 分 假如只考虑到P点所在的焦点三角形而盲目地运用正 警 余弦定理或代入P点的坐标运算,忽略双曲线的定 示 ② 义,就得不到②处 PF1 ? PF2 ? 3c ? c ? 2a 的关系, 解答中出现这种情况只能得到6~7分.

(1)解决解析几何问题要善于利用数形结合分析问题,

解 通过对图形的分析可以直观地得到一些利于解决问题的
题 结论. 启 (2)求双曲线的离心率时,一般先列出a,b,c的关系,再利

示 用b2=c2-a2消去b,将a与c的关系式变形后得到关于a,c
的方程求解.

x 2 y2 【规范训练】(12分)设双曲线 2 - 2 = ? b ? a) 的半焦距 1(0 a b

为c,直线l过A(a,0)、B(0,b)两点,且原点到直线l的距离为
3 求双曲线的离心率. c, 4

【解题设问】本题中已知a>b>0,那么a、b的大小关系对离心

有 率范围有影响吗?____.

【规范答题】由直线l过(a,0),(0,b)两点,得直线l的方 程为 x ? y ? 1, 即bx+ay-ab=0.???????????2分 ∵原点O到直线l的距离为 3 c,
? ab a 2 ? b2 ? 3 c. ???????????????? 4分 4
a b

4

将 b ? c2 ? a 2 代入并整理得:
a2 2 a2 a2 则16t2-16t+3=0,得 t ? 3 16 2 )? 16? 2 ? 3 ? 0,令 2 ? t, ( 4 c c c 或 t ? 1 ,???????????????????? 8分 4

a2 3 a2 1 即 2? 或 2? . c 4 c 4
c2 4 2 3 ? e ? 2 ? 或e 2 ? 4, e ? ? 或e ? 2. ?????????10分 a 3 3
2

c b2 ? a>b>0, e ? ? 1 ? 2 < 2, ? a a ∴双曲线的离心率 e ? 2 3. ????????????12分 3

1.双曲线x2+ky2=1的离心率为2,则实数k的值为( (A)-3 (B) ? 1 (C)3
2

)

(D) 1
3

3

【解析】选B.双曲线方程可化为 x 2 ? y ? 1, 则a2=1, b 2 ? ? 1 , 1
c b2 又离心率 e ? ? 1 ? 2 , a a

?

k

k

? 1?

1 1 ? 2,? k ? ? . k 3

x 2 y2 2.双曲线 ? ? 1 的一个焦点到一条渐近线的距离等于( 9 16

)

(A)4

(B)3

(C)2

(D) 3

【解析】选A.由双曲线方程可知双曲线渐近线方程为y=
4 ? x,即4x〒3y=0.而焦点为(〒5,0), 3 4 | 故所求的距离为 | ? 5 ? 20 ? 4. 5 42 ? 32

x 2 y2 3.已知双曲线 - 2 =1 b>0) 的实轴的一个端点为A1,虚轴的 ( 16 b

一个端点为B1,且|A1B1|=5,则双曲线的方程是(
x 2 y2 (A) - =1 16 25 x 2 y2 (C) - =1 16 9 x 2 y2 (B) - =-1 16 25 x 2 y2 (D) - =-1 16 9

)

【解析】选C.由题意知a=4.又∵|A1B1|=5, ∴c=5,∴ b= c2-a 2= 25- =3. 16
x 2 y2 ∴双曲线方程为 - = 1. 16 9

x2 4.焦点为(3,0),且与双曲线 ? y 2 ? 1 有相同的渐近线的 2

双曲线方程的顶点坐标是_______.

【解析】因为焦点为(3,0),所以实轴在x轴上,c=3,又与
x2 x2 2 双曲线 ? ? y ? 1, 有相同的渐近线,设所求双曲线为 2 2

y2=k(k>0),利用c=3,得k=3,所以所求双曲线方程为
故其顶点坐标为 ? 6,0). (

x 2 y2 ? ?1 , 6 3

答案: ? 6,0) (

5.求中心在原点,对称轴为坐标轴,且满足下列条件的双曲线
方程: (1)双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为 ( 3,; 0) (2)双曲线过点 (3,9 2), 离心率 e= 10 . 【解析】(1)设双曲线方程为 x2 - y2 =1? a ? 0,b ? 0 ?.
a b
2 2

3

由已知得 a= 3,c=2, 再由a2+b2=c2,得b2=1.
x2 故双曲线C的方程为 -y2=1. 3

10 c2 10 (2) e2= ,得 2 = , 2=9k(k>0), 设a 9 a 9

则c2=10k,b2=c2-a2=k.
x 2 y2 y2 x 2 于是,设所求双曲线方程为 - = ①或 - = ② 1 1 9k k 9k k

把 (3,9 2) 代入①,得k=-161与k>0矛盾,无解; 把 (3,9 2) 代入②,得k=9,
y2 x 2 故所求双曲线方程为 - = 1. 81 9


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