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2014届高考数学一轮复习 第57讲《椭圆》热点针对训练 理


第十单元 解析几何 第57讲 椭 圆
x2 y2 1.(2013·衡水调研)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为 d1,d2, a b 焦距为 2c.若 d1,2c,d2 成等差数列,则椭圆的离心率为( A )
A. C. 1 2 B. 2 2 3 2 3 D. 4

c 1 解析:由 d1+d2=2a=

4c,所以 e= = ,故选 A. a 2
2.(2012·福建省宁德市质量检查)已知方程 的椭圆,则 k 的取值范围是( B ) A.k>1 或 k<3 B.1<k<3 C.k>1 D.k<3 + =1(k∈R)表示焦点在 x 轴上 k+1 3-k

x2

y2

?3-k>0 ? 解析: 因为方程 + =1(k∈R)表示焦点在 x 轴上的椭圆, 所以?k+1>0 k+1 3-k ?k+1>3-k ?
x2 y2
解得 1<k<3,故选 B.



3.(2013·温州五校 )椭圆 + =1的左焦点为 F1,点 P 在椭圆上,若线段 PF1 的中 25 9 点 M 在 y 轴上,则|PF1|=( A ) 41 9 A. B. 5 5 C.6 D.7 解析:由条件知 PF2⊥x 轴, b2 9 则|PF2|= = , a 5 9 41 于是|PF1|=2a-|PF2|=2×5- = ,故选 A. 5 5 2 2 4.(2012·海淀二模)已知点 F1,F2 是椭圆 x +2y =2 的两个焦点,点 P 是该椭圆上的 → → 一个动点,那么|PF1+PF2|的最小值是( C ) A.0 B.1 C.2 D.2 2 解析:由于 O 为 F1、F2 的中点, → → → 则|PF1+PF2|=2|PO|, → 而当 P 为短轴端点时,|PO|取得最小值 1, → → 所以|PF1 +PF2|的最小值为 2,故选 C. 2 2 5.(2012·重庆市第二次七区联考)椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴 1 长的三倍,则 m 的值为 . 9 解析:由题意得 1 1 =3×1,所以 m= . m 9

x2

y2

6.(2012·广东省潮州市上学期期末)直线 x-2y+2 =0 经过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)
1

x2 y2 a b

2 5 . 5 解析:由直线方程知椭圆的焦点为(-2,0),顶点为(0 ,1),则 b=1,c=2,所以 a= c 2 5 2 2 1 +2 = 5,所以 e= = . a 5 2 7.(2012·广东省肇庆第一次模拟)短轴长为 5,离心率 e= 的椭圆的两焦点为 F1, 3 F2,过 F1 作直线交椭圆于 A,B 两点,则△ABF2 的周长为 6 . 的一个焦点和一个顶点, 则该椭圆的离心率为

?2b= 5 ? 解析:由题知?c 2 ?a=3 ?

?b= 25 ? ,即? a -b 4 ? a =9 ?
2 2 2



?a=3 ? 2 解得? 5 ?b= 2 ?



3 由椭圆的定义知△ABF2 的周长为 4a=4× =6. 2 8.设 F1,F2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60°,F1 到直线 l 的距离为 2 3. ( 1)求椭圆 C 的焦距; → → (2)如果AF2=2F2B,求椭圆 C 的方程. 解析:(1)设椭圆 C 的焦距为 2c. 由已知可得 F1 到直线 l 的距离为 3c=2 3, 故 c=2.所以椭圆 C 的焦距为 4. (2)设 A(x1 ,y1),B(x2,y2).由题意知 y1<0,y2>0. 直线 l 的方程为 y= 3(x-2).

x2 y2 a b

?y= 3? x-2? ? 联立,得方程组?x2 y2 ?a2+b2=1 ?
2 2 2 2 4



消去 x,得(3a +b )y +4 3b y-3b =0, 2 2 - 3b ? 2+2a? - 3b ? 2-2a? 解得 y1= ,y2= . 2 2 2 2 3a +b 3a +b → → 因为AF2=2F2B,所以-y1=2y2, 2 2 3b ? 2+2a? - 3b ? 2-2a? 即 =2× ,得 a=3. 2 2 2 2 3a +b 3a +b 而 a -b =4,所以 b= 5. 故椭圆 C 的方程为 + =1. 9 5 9.(2012·广东省江门市第一次模拟)已知椭圆 C 的中心在原点, 长轴在 x 轴上, 经过 2 点 A(0,1),离心率 e= . 2 (1)求椭圆 C 的方程;
2
2 2

x2 y2

1 1 2 * (n∈N )与椭圆 C 在第一象限内相交于点 An(xn , yn), an= xn, 记 n+1 2 1 * 试证明:对? n∈N ,a1·a2·…·an> . 2 (2)设直线 ln: = y 解析:(1)依题意,设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), 1 ?b =1 ? 则? c ? ?e=a=
2

x2 a

y2 b

a2-b2 2 = a 2 x2
2

,解得?

?b=1 ?a= 2



所以椭圆 C 的方程为 +y =1. 2

? 2 +y =1 ? (2)由? 1 ?y=n+1 ?
2

x2

,得 xn=

2

2n? n+2? 2 , ? n+1?

1 n? n+2? an= x2= n 2, 2 ? n+1? 1×3 2×4 3×5 n? n+2? 1×? n+2? 1 所以 a1·a2·…·an= 2 × 2 × 2 ×…× > . 2= 2 3 4 ? n+1? 2? n+1? 2

3


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