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20.方程的根与函数的零点,二次函数


一种科学只有在成功地运用数学时 ,才算达到完善的地步 数缺形时少直观,形少数时难入微, , 才算达到完善的地步 数缺形时少直观,形少数时难入微, 数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞 数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞? 切莫忘,几何代数统一体,永远联系,莫分离 数形结合百般好,隔离分家万事休, ? 数形结合百般好,隔离分家万事休,

§3.1.1方程的根与

r />函数的零点

问题· 探究

问题1 求出表中一元二次方程的实数根, 画出相应的二次函数图像的简图,并写出 函数的图象与x轴的交点坐标
x2-2x-3=0 y= x2-2x-3
.
-1

方程 函数
函 数 的 图 象
方程的实数根

x2-2x+1=0 y= x2-2x+1 .y
2

x2-2x+3=0 y= x2-2x+3
y

y
2

.
-1 -2

.

.

1

0

1

2

.

.
x
-1

3

x
-1

1

.

0

-3 -4

. 1

.
2

3 2 1

.

5 4

.
1

.
2

.

. x1=x2=1 (1,0)

0

3

x

x1=-1,x2=3 (-1,0)、(3,0)

无实数根 无交点

函数的图象 与x轴的交点

问题2 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二
次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系,上述结 论是否仍然成立?
判别式△ = b2-4ac △>0 两个不相等 的实数根x1 、x2
y

△=0 有两个相等的 实数根x1 = x2
y

△<0 没有实数根
y

方程ax2 +bx+c=0 (a>0)的根

函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象

x1

0

x2

x
0 x1

x

0

x

函数的图象 与 x 轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

结论

1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数。
2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。

概念· 形成

函数的零点定义:

辨 析 : 的 零 点 是 不 是 交 点 ?

对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数 函 数 y=f(x)的零点。

等价关系

方程f(x)=0有实数根

函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

示例· 练习

求下列函数的零点

?1? f ? x ? ? x ? 5 x ? 14 ?2? f ? x ? ? x 2 ? 2 x ? 1 ?3? f ? x ? ? l g? x ? 1?
2

-2和7

1
2

零点的求法(1)

零点的求法(2)
图像法

代数法

问题3 如图是某地从0点到12点的气温变化图, 假设气温是连续变化的,请将图形补充成完 整的函数图象。这段时间内,是否一定有某 时刻的气温为0度?为什么?

问题探究

?1? f ?a ? ? f ?b ?? ? ? ? ? ? ? ? 0(? 或 ? ) 在区间?a , b ? 内? ? ? ? ? ? ?(有或无)零点 ? ?2? f ?b ? ? f ?c ?? ? ? ? ? ? ? ? 0(? 或 ? ) 在区间?b, c ? 内? ? ? ? ? ? ?(有或无)零点 ? ?3? f ?c ? ? f ?d ?? ? ? ? ? ? ? ? 0(? 或 ? ) 在区间?c , d ? 内? ? ? ? ? ? ?(有或无)零点 ?

? 观察函数的图像?图像是连续还是间断的 ?

结 论

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断 的一条曲线,并且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x) 在区间(a,b)内有零点,即存在 c ? ? a, b ? 使得 f(c)=0,这个c也就是方程f(c)=0 的根。
y y
b x

0 a y 0a
b

0 a y

b

x

x

0a

b

x

思考1:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 象是一条连续不断的曲线,若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点,一定能得出 f(a)〃f(b)<0的结论吗?
y

0

a

bb b

bb

bb

b b bb

b

x

结论:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条 曲线: (1)f(a)·f(b)<0 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点;

?

(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点 <0。

f(a)·f(b) ?

? 思考2:如果函数 y=f(x) 在[a,b]上是连续的 单调函数, 并且在闭区间的两个端点上的函数 值互异即f(a)f(b)﹤0, 那么这个函数在(a,b) 内的零点个数能确定吗?

问题5: 求函数f ? x ? ? ln x ? 2 x ? 6的零点个数
解:用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表(表3-1) 和图象(图3.1—3)
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 14.1972

f(x) -4 -1.3069

1.0986 3.3863

5.6094 7.7918 9.9459 12.0794

由表3-1和图3.1—3可知 f(2)<0,f(3)>0, 即f(2)〃f(3)<0, 说明这个函数在区间(2,3)内 由于函数f(x)在定义域 有零点。 (0,+∞)内是增函数,所以 它仅有一个零点。

y
14 12 10

8 6
4 2 0 -2 -4 1 2

. .3 ..
4

.

.

.

.
5 6 7 8 9 10

x

思考:还有没有其他方法?

.

-6

问题6.

指出函数f ?x ? ? ? x ? 3x ? 5
3

的零点所在的大致区间
A.(0 , 1) B(1 , 2) C(2 , 3) D(3 , 4)

? 1.一元二次不等式的解法

(1). x ? 4 x ? 5 ? 0
2

( 2). ? x ? 2 x ? 1 ? 0
2

? 2.二次函数恒成立问题

(1). f ?x ? ? x ? 4ax ? 1, 若对任意x ,
2

f ?x ? ? 0恒成立,求a的范围.
2

(2). f ?x ? ? (a ? 3) x ? ax ? 1, 若对任意x , f ?x ? ? 0恒成立,求a的范围.

3.二次方程根的分布

问题.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内, 另一根在区间(1,2)内,求m的范围. (2)若方程有一个根在(0,2)内,求m的范围. (3)若方程有一个根比2大,另一个根比2小,求m范围. (4)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的范围.

解:(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与 x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内, 画出示意图,得
1 ? ?m ? ? 2 ? f (0) ? 2m ? 1 ? 0, ? ? f ( ?1) ? 2 ? 0, ? m ? R, ? ? ?? ? 1 ? f (1) ? 4m ? 2 ? 0, ?m ? ? 2 , ? ? ? f ( 2) ? 6m ? 5 ? 0 ?m ? ? 5 ? 6 ?

.



5 1 ? ?m?? 6 2

问题:已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (2)若方程有一个根在(0,2)内,求m的范围. (3)若方程有一个根比2大,另一个根比2小,求m范围. (4)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的范围.
解:由题意得:f(0)f(2)<0 即(2m+1)(6m+5)<0 解得:
5 1 ? ?m?? 6 2

问题:已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (3)若方程有一个根比2大,另一个根比2小,求m范围. (4)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的范围. 解:由题意得:f(2)<0 即6m+5<0
5 解得: m ? ? 6

变式(3)若方程两根都比2大,求m范围.

问题7:已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (4)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的范围.
1 ? f ( 0 ) ? 0 , m ? ? , ? ? 2 ? f (1) ? 0, ? ? ?m ? ? 1 , ?? 解:由题意得: ? 2 ? ? 0 , ? ? ? m ? 1 ? 2或m ? 1 ? ? ?0 ? ? m ? 1 ? ? ? 1 ? m ? 0.

2,

1 解得: ? ? m ? 1 ? 2 2

温 馨 提 示

函数零点方程根, 图象连续总有痕。 数形本是同根生, 端值计算是根本。 借问零点何处有, 端值互异零点生。

作业:作业本

设计思路
? 基于数形结合思想 ? 基于数学文化


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