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09届高三数学 基本函数1知识点及典型例题


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09 级高三数学总复习讲义——基本函数 1 知识清单: 1.一元一次函数: y ? ax ? b(a ? 0) ,当 a ? 0 时,是增函数;当 a ? 0 时,是减函数; 2.一元二次函数: 一般式: y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ;对称轴方程是 x ?

? 两点式: y ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) ;对称轴方程是 顶点式: y ? a( x ? k ) 2 ? h ;对称轴方程是 ⑴一元二次函数的单调性: 当 a ? 0 时: 为增函数; 当 a ? 0 时: 为增函数; 为减函数; 为减函数;
2 b ;顶点为 (? b , 4ac ? b ) ; 2a 2a 4a

;与 x 轴的交点为 ;顶点为 ;



⑵二次函数求最值问题:首先要采用配方法,化为 y ? a( x ? k ) 2 ? h 的形式, (Ⅰ)、若顶点的横坐标在给定的区间上,则当 a ? 0 时:在顶点处取得最小值,最大值在距离 对称轴较远的端点处取得;当 a ? 0 时:在顶点处取得最大值,最小值在距离对称轴较远的端 点处取得; (Ⅱ)若顶点的横坐标不在给定的区间上,则当 a ? 0 时:最小值在距离对称轴较近的端点处取 得,最大值在距离对称轴较远的端点处取得;当 a ? 0 时:最大值在距离对称轴较近的端点处 取得,最小值在距离对称轴较远的端点处取得; ⑶二次方程实数根的分布问题: 设实系数一元二次方程 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ? 0 的两根为 x1 , x 2 ; 则: 根的情 况 等价命 题

x1 ≥ x2 ? k
在区间 (k ,??) 上有 两根
Δ ? ≥0 ? b ? ?k ?? ? 2a ?a ? f (k ) ? 0。 ?

x1 ≤ x2 ? k
在区间 (??, k ) 上有 两根
Δ ? ≥0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? a ? f (k ) ? 0。 ?

x1 ? k ? x2
在区间 (k ,??) 或 (??, k ) 上 有一根

充要条 件

a·f(k)<0

?a ? f ( p ) ? 0 另外:①二次方程 f(x)=0 的一根小于 p,另一根大于 q(p<q) ? ? ?a ? f (q) ? 0。 ? f ( p) ? 0 ②二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内只有一根 ? f(p)·f(q)<0,或 ? (检验)或 ?a ? f (q) ? 0 ? f (q) ? 0 (检验)。 ? ?a ? f ( p) ? 0
③若在闭区间 [m, n] 讨论方程 f ( x) ? 0 有实数解的情况,可先利用在开区间 (m, n) 上实根分布

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的情况,得出结果,在令 x ? n 和 x ? m 检查端点的情况。 注:常见的初等函数一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数。 特别指出,分段函数也是重要的函数模型。 3.指数函数: y ? a x ( a ? 0, a ? 1 ),定义域 R,值域为( 0,?? ).⑴①当 a ? 1 ,指数函数: y ? a x 在定义域上为增函数; ②当 0 ? a ? 1 , 指数函数:y ? a x 在定义域上为减函数.⑵当 a ? 1 时,y ? a x 的 a 值越大,越靠近 y 轴;当 0 ? a ? 1 时,则相反.

4.对数函数:如果 a ( a ? 0, a ? 1 )的 b 次幂等于 N ,就是 a b

?N

,数 b 就叫做以 a 为底的 N 的对

数,记作 log a N ? b ( a ? 0, a ? 1 ,负数和零没有对数) ;其中 a 叫底数, N 叫真数. ⑴对数运算:
① log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N M ? log a M ? log a N N ③ log a M n ? n log a M ② log a 1 ④ log a n M ? log a M ? n log a N ⑤a ?N ⑥换底公式: a N ? log log b N log b a

⑦推论: a b ? log b c ? log c a ? 1 log ? log a1 a2 ? log a2 a3 ? ... ? log an?1 an ? log a1 an (以上M ? 0, N ? 0, a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1, c ? 0, c ? 1, a1 , a2 ,..., an ? 0且 ? 1)

例如: loga x 2 ? 2log a x(? 2log a x 中 x>0 而 loga x 2 中 x∈R). ⑵ y ? a x ( a ? 0, a ? 1 )与 y ? loga x 互为反函数. 当 a ? 1 时, y ? loga x 的 a 值越大,越靠近 x 轴;当 0 ? a ? 1 时,则相反. 5.幂函数 (1)幂函数的定义: 。 (2)幂函数的性质: ①所有幂函数在 上都有意义,并且图像都过点 ②如果 a ? 0 ,则幂函数图像过原点,并且在区间

。 上为增函数。

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③如果 a ? 0 ,则幂函数图像在 ? 0,??? 上是 于原点时,图像在 y 轴右方无限地逼近 地逼近 。 ④当 a 为奇数时,幂函数为

。在第一象限内,当 x 从右边趋向 。当 x 趋向于 ?? 时,图像在 y 轴右方无限

,当 a 为偶数时,幂函数为



(3)幂函数 y ? xa ,x ??0,??? ,当 a ? 1 时,若 0 ? x ? 1, 其图像在直线 y ? x 的下方,若 x ? 1 , 其图像在直线 y ? x 的上方;当 0 ? a ? 1 时,若 0 ? x ? 1, 其图像在直线 y ? x 的上方,当 a ? 1 时, 若 x ? 1 其图像在直线 y ? x 的下方。 课前预习 1. 当 0≤x≤1 时,函数 y=ax+a-1 的值有正值也有负值,则实数 a 的取值范围是( 1 1 1 (A)a< (B)a>1 (C)a< 或 a>1 (D) <a<1 2 2 2 2.已知函数 f ( x) ? ax2 ? (a 3 ? a) x ? 1在 (??,?1] 上递增,则 a 的取值范围是( ) (A) a ≤ 3 (C) 0 ? a ≤ 3 (B) ? 3 ≤ a ≤ 3 (D) ? 3 ≤ a ? 0 )

3. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? (a 2 ? b) x ? c 的图像开口向上,且 f (0) ? 1 , f (1) ? 0 ,则实数 b 取 值范围是(
3 (A) ( ?? ,? ] 4

)
3 (B) [? ,0) 4

(C) [0,??)

(D) (??,?1)

x?0 ?1, ? x ? 0 ,则方程 x ? 1 ? (2x ? 1) f ( x) 的解为 4.设函数 f ( x ) ? ?0, ?? 1, x?0 ?

5.函数 y ? a x?2 ? 1 ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图象必经过点( (A)(0,1) (B)(1,1) (C) (2, 0)
3 2 2 )

) (D) (2,2)

6. 3 log7 2 ? log7 9 ? 2 log7 (

7.设 x, y, z ? (0,??) 且 3 x ? 4 y ? 6 z , ⑴ 求证:
1 1 1 ? ? ;⑵比较 3x,4 y,6 z 的大小. x 2y z

8.已知 f ( x) ? 1 ? logx 3 , g ( x) ? 2 logx 2 , 试比较 f ( x)和g ( x) 的大小。

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9.求函数 y ? log1 ( x 2 ? 3x ? 18) 的单调减区间,并用单调定义给予证明。
2

10. 求下列函数的定义域、值域: ① y ? 2 ?x
2

?1

?

1 ; ② y ? log1 (? x 2 ? 4 x ? 5) 4 3
2

11. 已知函数 y ? xn ?2n?3 (n ? Z) 的图象与两坐标轴都无公共点,且其图象关于 y 轴对称,求 n 的值,并画出函数的图象. 典型例题 1、解析式、待定系数法 EG1.若 f ? x ? ? x2 ? bx ? c ,且 f ?1? ? 0 , f ? 3? ? 0 ,求 f ? ?1? 的值. 变式 1: 若二次函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c 的图像的顶点坐标为 ? 2, ?1? , y 轴的交点坐标为(0,11), 与 则 A. a ? 1, b ? ?4, c ? ?11 C. a ? 3, b ? ?6, c ? 11 B. a ? 3, b ? 12, c ? 11 D. a ? 3, b ? ?12, c ? 11

变式 2:若 f ? x ? ? ?x2 ? ?b ? 2? x ? 3, x ?[b, c] 的图像 x=1 对称,则 c=_______. 变式 3:若二次函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c 的图像与 x 轴有两个不同的交点 A ? x1 ,0? 、 B ? x2 ,0? ,且
26 2 ,试问该二次函数的图像由 f ? x ? ? ?3 ? x ? 1? 的图像向上平移几个单位得到? 9 2、图像特征 x12 ? x2 2 ?

EG2:将函数 f ? x ? ? ?3x2 ? 6x ?1 配方,确定其对称轴,顶点坐标,求出它的单调区间及最大 值或最小值,并画出它的图像.
?x ?x ? 变式 1:已知二次函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ,如果 f ? x1 ? ? f ? x2 ? (其中 x1 ? x2 ),则 f ? 1 2 ? ? ? 2 ?

A. ?

b 2a

B. ?

b a

C. c

D.

4ac ? b 2 4a

变式 2:函数 f ? x ? ? x2 ? px ? q 对任意的 x 均有 f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? ,那 么 f ? 0 ? 、 f ? ?1? 、 f ?1? 的大小关系是 A. f ?1? ? f ? ?1? ? f ? 0? B. f ? 0? ? f ? ?1? ? f ?1? C. f ?1? ? f ? 0? ? f ? ?1? D. f ? ?1? ? f ? 0? ? f ?1?
O x y

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变式 3:已知函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c 的图像如右图所示,请至少写出三个与系数 a、b、c 有关 的正确命题_________. 3.单调性 EG3:已知函数 f ? x ? ? x2 ? 2x , g ? x ? ? x2 ? 2x ? x ?[2,4]? . (1)求 f ? x ? , g ? x ? 的单调区间;(2) 求 f ? x ? , g ? x ? 的最小值. 变式 1:已知函数 f ? x ? ? x2 ? 4ax ? 2 在区间 ? ??,6? 内单调递减,则 a 的取值范围是 A. a ? 3 B. a ? 3 C. a ? ?3 D. a ? ?3 1 变式 2:已知函数 f ? x ? ? x2 ? ? a ?1? x ? 5 在区间( 2 ,1)上为增函数,那么 f ? 2 ? 的取值范围是 _________. 变式 3:已知函数 f ? x ? ? ?x2 ? kx 在 [2, 4] 上是单调函数,求实数 k 的取值范围. 4.最值 EG4 已知函数 f ? x ? ? x2 ? 2x , g ? x ? ? x2 ? 2x ? x ?[2,4]? . (1)求 f ? x ? , g ? x ? 的单调区间;(2) 求 f ? x ? , g ? x ? 的最小值. 变式 1:已知函数 f ? x ? ? x2 ? 2x ? 3 在区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是 A. ?1, ?? ? B. ?0, 2? C. ?1, 2? D. ? ??,2?

变式 2:若函数 y ? 3 ? x2 ? 4 的最大值为 M,最小值为 m,则 M + m 的值等于________. 变式 3:已知函数 f ? x ? ? 4x2 ? 4ax ? a2 ? 2a ? 2 在区间[0,2]上的最小值为 3,求 a 的值. 5.奇偶性 EG5:已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ≥0 时, f ? x ? ? x ?1 ? x ? .画出函数 f ? x ? 的 图像,并求出函数的解析式. 变式 1:若函数 f ? x ? ? ? m ? 1? x 2 ? ? m 2 ? 1? x ? 1 是偶函数,则在区间 ? ??,0? 上 f ? x ? 是 A.增函数 B.减函数 C.常数 D.可能是增函数,也可能是常数 变式 2:若函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? 3a ? b ? a ?1 ? x ? 2a ? 是偶函数,则点 ? a, b ? 的坐标是________. 变式 3:设 a 为实数,函数 f ( x) ? x 2 ? | x ? a | ?1 , x ? R . (I)讨论 f (x) 的奇偶性; (II)求 f (x) 的最小值.

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6.图像变换

? x 2 ? 4 x ? 3, ?3 ? x ? 0 ? EG6、已知 f ( x) ? ??3x ? 3, 0 ? x ? 1. ? 2 ?? x ? 6 x ? 5,1 ? x ? 6 (1)画出函数的图象;(2)求函数的单调区间;(3)求函数的最大值和最小值.
变式 1:指出函数 y ? ?x2 ? 2 x ? 3 的单调区间. 变式 2:已知函数 f ( x) ?| x 2 ? 2ax ? b | ( x ? R) . 给下列命题:① f (x) 必是偶函数; ② 当 f (0) ? f (2) 时, f (x) 的图像必关于直线 x=1 对称; ③ 若 a 2 ? b ? 0 ,则 f (x) 在区间[a,+∞ ) 上是增函数; ④ f (x) 有最大值 | a 2 ? b | . 其中正确的序号是________.③ 变式 3:设函数 f ( x) ? x | x | ?bx ? c, 给出下列 4 个命题: ①当 c=0 时, y ? f (x) 是奇函数; ②当 b=0,c>0 时,方程 f ( x) ? 0 只有一个实根; ③ y ? f (x) 的图象关于点(0,c)对称; ④方程 f ( x) ? 0 至多有两个实根. 上述命题中正确的序号为 7.值域 .

EG7:求二次函数 f ( x) ? ?2 x2 ? 6 x 在下列定义域上的值域: (1)定义域为 ? x ? Z 0 ? x ? 3? ;(2) 定义域为 ??2,1? . 变式 1:函数 f ( x) ? ?2x2 ? 6x ? ?2 ? x ? 2? 的值域是
? 3 2? A. ? ?20, ? 2 ? ?

B. ? ?20, 4?

9? ? C. ? ?20, ? 2? ?

9? ? D. ? ?20, ? 2? ?

变式 2:函数 y=cos2x+sinx 的值域是__________. 变式 3:已知二次函数 f (x) = a x 2 + bx(a、b 为常数,且 a ≠ 0),满足条件 f (1 + x) = f (1 -x),且方程 f (x) = x 有等根. (1)求 f (x) 的解析式;

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(2)是否存在实数 m、n(m < n),使 f (x) 的定义域和值域分别为 [m,n] 和 [3m,3n],如果 存在,求出 m、n 的值,如果不存在,说明理由. 8.恒成立问题 EG8:当 a, b, c 具有什么关系时,二次函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c 的函数值恒大于零?恒小于零? 变式 1:已知函数 f (x) = lg (a x 2 + 2x + 1) . (I)若函数 f (x) 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (II)若函数 f (x) 的值域为 R,求实数 a 的取值范围. 变式 2:已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 3 ? a ,若 x?? ?2,2 ? 时,有 f ( x) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围. 变式 3:若 f (x) = x 2 + bx + c,不论 ?、? 为何实数,恒有 f (sin ? )≥0,f (2 + cos ? )≤0. (I) 求证:b + c = -1; (II) 求证: c≥3; (III) 若函数 f (sin ? ) 的最大值为 8,求 b、c 的值. 9.根与系数关系 右图是二次函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c 的图像,它与 x 轴交于点 ? x1,0? 和 ? x2 ,0? ,试确定 a, b, c 以及 x1 x2 , x1 ? x2 的符号. 变式 1:二次函数 y ? ax2 ? b 与一次函数 y ? ax ? b(a ? b) 在同一个 直角坐标系的图像为
1
y

x

y

y
O

y x
O

y x

x1

O

1

x2

O A.

x

O B.

x
C. D.

变式 2:直线 y ? m x ? 3 与抛物线 C1 : y ? x 2 ? 5mx ? 4m, C2 : y ? x 2 ? (2m ? 1) x ?m2 ? 3,
C3 : y ? x2 ? 3mx ? 2m ? 3 中至少有一条相交,则 m 的取值范围是.

变式 3:对于函数 f (x),若存在 x0 ? R,使 f (x0) = x0 成立,则称 x0 为 f (x) 的不动点.如 果函数 f (x) = a x 2 + bx + 1(a > 0)有两个相异的不动点 x1、x2. 1 (I)若 x1 < 1 < x2,且 f (x) 的图象关于直线 x = m 对称,求证 m > 2 ; (II)若 | x1 | < 2 且 | x1-x2 | = 2,求 b 的取值范围. 10.应用 EG:绿缘商店每月按出厂价每瓶 3 元购进一种饮料.根据以前的统计数据,若零售价定为每 瓶 4 元,每月可销售 400 瓶;若每瓶售价每降低 0.05 元,则可多销售 40 瓶.在每月的进货量

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当月销售完的前提下, 请你给该商店设计一个方安: 销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶 时,才可获得最大的利润? y 变式 1: 在抛物线 f ? x ? ? ?x2 ? ax 与 x 轴所围成图形的内接 矩形(一边在 x 轴上)中(如图),求周长最长的内接矩形两边 之比,其中 a 是正实数. 变式 2:某民营企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查与 预测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如图一;B 产 品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图二(注: 利润和投资单位:万元) (1) 分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资的 函数关系式; (2) 该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A,B 两种产品的生产,问:怎样分配这 10 万元投资,才能使企业获得最大利润?其最 大利润约为多少元(精确到 1 万元)?
A D

x
O B C

变式 3:设 a 为实数, 记函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g(a) . (Ⅰ)求 g(a);(Ⅱ)试求满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a. 11、指数函数 EG:已知下列等式,比较 m , n 的大小:(1) 2m ? 2n 变式 1:设
1 1 1 ? ( )b ? ( ) a ? 1 ,那么 2 2 2
1 a

(2) 0.2m ? 0.2n



) B.a a < b a <a b D.a b <b a <a a

A.a a <a b <b a C.a b <a a <b a

变式 2:函数 y ? a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3,则 a 的值为( )
1 1 B.2 C.4 D. 2 4 x 变式 3:已知函数 y ? f (x) 的图象与函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象关于直线 y ? x 对称, 1 记 g ( x) ? f ( x)[ f ( x) ? 2 f (2) ? 1] .若 y ? g (x) 在区间 [ , 2] 上是增函数,则实数 a 的取值范围是 2 ( ) 1 1 A. [2,??) B. (0,1) ? (1,2) C. [ ,1) D. (0, ] 2 2 12、对数函数

A.

EG:已知函数 f ( x) ? loga ( x ?1) , g ( x) ? loga (1 ? x)(a ? 0 ,且 a ? 1)

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(1) 求函数 f ( x) ? g ( x) 定义域 (2) 判断函数 f ( x) ? g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 变式 1:已知 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是偶函数,定义域为 [a ? 1, 2a] .则 a ? 变式 2:若函数 f ( x) ? log a ( x ? x 2 ? 2a 2 ) 是奇函数,则 a ?
? e x , x ? 0. 1 变式 3:设 g ( x) ? ? 则 g ( g ( )) ? __________ 2 ?lnx, x ? 0.

,b ?

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 变式 4:已知 f ( x) ? ? 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 ? log a x, x ? 1
A. (0,1) EG2:若 log a
1 B. (0, ) 3 1 1 C. [ , ) 7 3 1 D. [ ,1) 7

3 ? 1( a ? 0 ,且 a ? 1) ,求实数 a 的取值范围. 4

变式 1:若 log2 a
1 A. ( ,?? ) 2

1? a2 ? 0 ,则 a 的取值范围是 ( 1? a


1 D. (0, ) 2

B. (1,??)

1 C. ( ,1) 2

变式 2:设 0 ? a ? 1 ,函数 f ( x) ? loga (a 2 x ? 2a x ? 2) ,则使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是 (A) (??,0) (B) (0,??) (C) (??, loga 3) ( ) D. 2c ? 2a ? 2b (D) (loga 3,??)

变式 3:已知 log 1 b ? log 1 a ? log 1 c ,则
2 2 2

A. 2b ? 2a ? 2c 13、幂函数

B. 2a ? 2b ? 2c B. 2c ? 2b ? 2a
1 4?

EG.已知点 ( 2, 在幂函数 f ( x) 的图象上,点 ? ?2, ? ,在幂函数 g ( x) 的图象上. 2) ? ?
?

问当 x 为何值时有:(1) f ( x) ? g ( x) ;(2) f ( x) ? g ( x) ;(3) f ( x) ? g ( x) . 分析:由幂函数的定义,先求出 f ( x) 与 g ( x) 的解析式,再利用图象判断即可. 变式:函数 y ? (mx 2 ? 4 x ? m ? 2) 4 ? (m2 ? mx ? 1) 的定义域是全体实数,则实数 m 的取值范围是 ( ). A. ( 5 ? 1 2) , 实战训练 一、选择
2) B. ( 5 ? 1 ? ∞) C. (?2, D. (?1 ? 5, 1 ? 5) , ?
? 1

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1.设 a ? 1 ,函数 f ( x) ? loga x 在区间 [a, 2a] 上的最大值与最小值之差为 A. 2 2.函数 y ? log 2 B.2 C. 2 2 ( )

1 ,则 a ? 2

D.4

?

x ? 4 ? 2 ( x ? 0) 的反函数是

?

A. y ? 4x ? 2x?1 ( x ? 2) C. y ? 4x ? 2x?2 ( x ? 2)
1
b

B. y ? 4x ? 2x ?1 ( x ? 1) D. y ? 4x ? 2x ? 2 ( x ? 1)
1
c

3.设 a , b, c 均为正数,且 2a ? log 1 a, ? ? ? log 1 b, ? ? ? log 2 c, 则 ( ? ? ? ? ?2? ? 2? 2 2 A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b

)

D. b ? a ? c

1 ? ? 4.设 a ? ??1,1, ,3? ,则使函数 y ? x? 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 值为 2 ? ?

(A) 1,3 (B) ?1,1 (C) ?1,3 5.以下四个数中的最大者是 (A) (ln2)2 (B) ln(ln2)

(D) ?1,1,3

(C) ln 2

(D) ln2 )
? D. [9, ?)

6.函数 f ( x) ? 3x (0 ? x ≤ 2) 的反函数的定义域为(
? A. (0, ?)

9] B. (1,

1) C. (0,

7.设函数 f ( x) 定义在实数集上,它的图像关于直线 x ? 1 对称,且当 x ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 1, 则有( )
1 3 2 2 3 1 A. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) B. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 3 2 3 3 2 3 2 1 3 3 2 1 C. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) D. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 3 3 2 2 3 3 2 ? a ) 是奇函数,则使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是(A) 8.设 f ( x) ? lg( 1? x

A. (?1, 0)

B. (0,1)

C. (??, 0)

D. (??,0) ? (1, ??) )

9.函数 f ( x) ? 1 ? log2 x 与 g ( x) ? 2? x?1 在同一直角坐标系下的图象大致是(

二、填空

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1.函数 y ? lg( x2 ? 2 x) 的定义域是____________________. 2.若函数 f ( x) ? x2 ? lg a ? 2 x ? 2在区间 (1, 2)内有且只有一个零点,那么实数 a 的取值范围 是 . . 3.已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) 的定义域和值域都是 ?0,1? ,则实数 a 的值是

4.定义:区间 [ x1 , x2 ](x1 ? x2 ) 的长度为 x2 ? x1 .已知函数 y ?| log0.5 x | 定义域为 [a, b] ,值域为
[0,2] ,则区间 [a, b] 的长度的最大值为

.;
4.5

y l

5. lg 2 ? lg 2 lg 5 ? lg 5 ?
2

6.函数 y ? lg( x2 ? 4x ? 21) 的定义域是

. .
O 2 4 y=f(x) x

7.若方程 1nx ? 2 x ? 10 ? 0 的解为 x0 ,则不小于 x0 的最小整数是 8.如图,函数 y ? f (x) 的图象在点 P 处的切线是 l ,则 f (2) ? f ?(2) =

(第 8 题图)



9 . 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 与 函 数 y ? log3 x ( x ? 0) 的 图 象 关 于 直 线 y ? x 对 称 , 则
f ( x) ? ____________。

10.函数 f ? x ? ?

lg ? 4 ? x ? x?3

的定义域为 _____

11.方程 9x ? 6 ? 3x ? 7 ? 0 的解是 _____ 12.设函数 y ? 4 ? log2 ( x ?1)( x ≥ 3) ,则其反函数的定义域为 .

13.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方 米空气中的含药量 y (毫克)与时间 t (小时)成正比; 药物释放完毕后,
y (毫克)

?1? y 与 t 的函数关系式为 y ? ? ? ( a 为常数) 如图所示. , 1 ? 16 ?
据图中提供的信息,回答下列问题: (I)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y (毫克)

t ?a

与时间 t

(小时) 克 以 t (小时)

之间的函数关系式为 ; (II)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫 O 0.1 下时,学生方可进教室,那么, 药物释放开始,至少 小时后,学生才能回到教室.
2

需要经过

14.若函数 f ( x) ? e?( x?? ) ( e 是自然对数的底数)的最大值是 m ,且 f ( x) 是偶函数,则

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m ? ? ? ________.

三、解答 1.已知 a 是实数,函数 f ?x? ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?? 1,1?上有零点,求

a 的取值范围.
2.已知函数 f ( x) ? ax4 ln x ? bx4 ? c (x>0)在 x = 1 处取得极值 ? 3 ? c ,其中 a,b,c 为常数。 (1)试确定 a,b 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调区间; (3)若对任意 x>0,不等式 f ( x) ? ?2c 2 恒成立,求 c 的取值范围。 3.已知函数 f ( x) ? ex ? kx,x ?R (Ⅰ)若 k ? e ,试确定函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; 4.已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? 2 x ? 2( x ? 1). (Ⅰ)试判断 F ( x) ? ( x2 ? 1) f ( x) ? g ( x) 在定义域上的单调性; (Ⅱ)当 0 ? a ? b 时,求证 f (b) ? f (a ) ? 5.已知函数 y ? f ( x ) ?
ln x . x 2a (b ? a ) . a 2 ? b2

1 (Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的图象在 x ? 处的切线方程; e

(Ⅱ)求 y ? f ( x) 的最大值; 6.设函数 f ( x) ? ( x ? 1)2 ? 2k ln x . (1)当 k=2 时,求函数 f(x)的增区间; (2)当 k<0 时,求函数 g(x)= f ?( x) 在区间(0,2]上的最小值.


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