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【师说】2015-2016学年高中数学必修2 检测


必修二

质量评估检测 时间:120 分钟 满分:150 分

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 南充高一检测?直线 x=1 的倾斜角和斜率 1.?2014· 分别是( ) A.45° ,1 B.135° ,-1 C.90° ,不存在 D.180° ,不存

在 解析:由于直线 x=1 与 x 轴垂直,故其倾斜角为 90° ,斜率不存在. 答案:C 温州高一检测?直线 y-2=mx+m 经过一 2.?2014· 定点,则该点的坐标为( ) A.(-1,2) B.(2,-1) C.(1,2) D.(2,1) 解析:将直线方程化为 y-2-m(x+1)=0,则当 x=-1 时,y=2,即直线过定点(-1,2). 答案:A 沈阳高一检测?已知两条直线 m,n,两个 3.?2014· 平面 α,β,下面四个命题中不正确的是( ) A.n⊥α,α∥β,m?β?n⊥m B.α∥β,m∥n,m⊥α?n⊥β C.m⊥α,m⊥n,n⊥β?α⊥β D.m∥n,m∥α?n∥α 解析:D 中 n 也可能在 α 内,故 D 错. 答案:D

4.直线 l1:ax-y+b=0,l2:bx-y+a=0(a≠0, b≠0 , a≠b) 在同一坐标系中的图形大致是图中的 ( ) A B

C D 解析:直线 l1:ax-y+b=0,斜率为 a,在 y 轴 上的截距为 b, 设 k1=a,m1=b,直线 l2:bx-y+a=0,斜率为 b,在 y 轴上的截距为 a,设 k2=b,m2=a. 由 A 知:因为 l1∥l2,k1=k2>0,m1>m2>0,即 a=b>0,b>a>0,矛盾. 由 B 知:k1<0<k2,m1>m2>0,即 a<0<b,b >a>0,矛盾. 由 C 知:k1>k2>0,m2>m1>0,即 a>b>0,可 以成立. 由 D 知:k1>k2>0,m2>0>m1,即 a>b>0,a >0>b,矛盾. 答案:C 5.在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,各棱长相等,侧 棱垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析:过 A 作 AE⊥BC 于点 E,则易知 AE⊥面

AE BB1C1C, 则∠ADE 即为所求, 又 tan∠ADE=DE= 3, 故∠ADE=60° .选 C. 答案:C 6. 一空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体 的体积为( )

A.2π+2 3 B.4π+2 3 2 3 2 3 C.2π+ 3 D.4π+ 3 解析:该几何体由一圆柱和一正四棱锥组成,圆 柱的底面半径为 1,高为 2,则其体积为 2π,四棱锥 1 的底面边长为 2,高为 3,所以体积为3×( 2)2× 3 2 3 2 3 = 3 ,所以该几何体的体积为 2π+ 3 .选 C. 答案:C x y 7.若直线a+b=1 与圆 x2+y2=1 有公共点,则 ( ) A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1 1 1 1 1 C.a2+b2≤1 D.a2+b2≥1 x y 解析:直线a+b=1 与圆 x2+y2=1 有公共点,因 此圆心(0,0)到直线 bx+ay-ab=0 的距离应小于等于

|-ab| 1 1 ≤ 1 ,∴ a2+b2≥1.选 D. a2+b2 答案:D 课标全国卷Ⅱ?正三棱柱 ABC-A1B1C1 的 8.?2014· 底面边长为 2,侧棱长为 3,D 为 BC 中点,则三棱 锥 A-B1DC1 的体积为( ) 3 A.3 B.2 3 C.1 D. 2 解析:∵B1C1∥BD,∴BD∥面 AB1C1,点 B 和 D 到面 AB1C1 的距离相等, ∴ VD - AB1C1 = VB - AB1C1 = VC1 - ABB1 = 1 3· 3· 3=1.故选 C. 答案:C 9.过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y= 1-x2相交于 A、B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大 值时,直线 l 的斜率等于( ) 3 3 A. 3 B.- 3 3 C.± 3 D.- 3 解析:曲线 y= 1-x2表示以(0,0)为圆心,以 1 为半径的上半圆.设直线 l 的方程为 y=k(x- 2),即 kx-y- 2k=0,若直线与半圆相交,则 k<0,圆心 | 2k| 到直线的距离为 d = (d < 1) ,弦长为 |AB| = 1+k2 1 2 1-d2,△AOB 的面积为 s=2· |AB|· d=d 1-d2= 1,∴

1 | 2k| 2 1 d2?1-d2?,易知当 d2=2时 s 最大,解 = , 1+k2 2 1 3 得 k2=3,故 k=- 3 . 答案:B 10.已知直线 l 过点(-2,0),当直线 l 与圆 x2+y2 =2x 有两个交点时,其斜率 k 的取值范围是( ) A.(-2 2,2 2) B.(- 2, 2) ? ? 1 1? 2 2? ? ? ? C.?- , ? D.?-8,8? ? 4 4? ? ? ? 解析:设直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=k(x +2),即 kx-y+2k=0,由于 l 与圆 x2+y2=2x 有两 |3k| 个交点,则需满足圆心到直线的距离 d= 2 <1, k +1 2 2 解得- 4 <k< 4 . 答案:C 11.若 a2+b2=2c2(c≠0),则直线 ax+by+c=0 被圆 x2+y2=1 所截得的弦长为( ) 1 A.2 B.1 2 C. 2 D. 2 ?l? |c| 1 ?2 解析:∵d= 2 ,∴设弦长为 l,则? ?2? 2= 2 ? ? a +b +d2=r2,即 l=2 r2-d2= 2.选 D. 答案:D

12.如图,在斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠BAC =90° ,BC1⊥AC,则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在 ( ) A.直线 AB 上 B.直线 BC 上 C.直线 AC 上 D.△ABC 内部 解析:由 AC⊥AB,AC⊥BC1,∴AC⊥平面 ABC1. 又∵AC?平面 ABC,∴平面 ABC1⊥平面 ABC, ∴C1 在面 ABC 上的射影 H 必在两平面交线 AB 上. 选 A. 答案:A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.如图所示,Rt△A′B′C′为水平放置的△ ABC 的直观图,其中 A′C′⊥B′C′,B′O′= O′C′=1,则△ABC 的面积为__________.

解析:由直观图画法规则将△A′B′C′还原为 △ABC,如图所示,则有 BO=OC=1,AO=2 2,故 1 1 S△ABC=2BC· AO=2×2×2 2=2 2. 答案:2 2 14.若垂直于直线 2x+y=0,且与圆 x2+y2=5 相切的切线方程为 ax + 2y + c = 0 ,则 ac 的值为 __________. 解析:已知直线 2x+y=0 的斜率 k1=-2,直线

a ax + 2y + c = 0 的斜率为- 2 ,∵两直线垂直,∴ ( - a 2)· (-2)=-1, 得 a=-1.圆心到切线的距离为 5, 即 |c| = 5,∴c=± 5,故 ac=± 5. 5 答案:± 5 15.已知直线 l 经过点 P(-4,-3),且被圆(x+ 1)2+(y+2)2=25 截得的弦长为 8,则直线 l 的方程是 __________. 解析:∵(-4+1)2+(-3+2)2=10<25, ∴点 P 在圆内. 当 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=-4,将 x= -4 代入圆的方程, 得 y=2 或 y=-6, 此时弦长为 8. 当 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y+3=k(x+4),即 kx-y+4k-3=0, 当弦长为 8 时,圆心到直线的距离为 |-k+2+4k-3| 25-42=3,则 =3, 2 k +1 4 解得 k=-3. 4 则直线 l 的方程为 y+3=-3(x+4), 即 4x+3y+25=0 答案:4x+3y+25=0 或 x=-4 16.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长 为 1,以 D 为原点,以正方体的三条棱 DA,DC,DD1 所在的直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标

系,若点 P 在正方体的侧面 BCC1B1 及其边界上运动, 并且总是保持 AP⊥BD1, 则下列点 P 的坐标①(1,1,1), ?1 1? ? ②(0,1,0),③(1,1,0),④(0,1,1),⑤?2,1,2? ?中正确的 ? ? 是________.

解析:∵点 P 在正方体的侧面 BCC1B1 及其边界 上运动,BD1 是定线段,AP⊥BD1,∴直线 AP 在与直 线 BD1 垂直的平面内运动, 连接 AB1, AC 得平面 ACB1, 与平面 BCC1B1 的交线为 CB1, 点 P 的轨迹是线段 CB1, 故正确的结论有①②⑤.

答案:①②⑤ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应 写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)如图是一个长方体截去一 个角所得多面体的直观图和三视图.(单位:cm)

(1)求该多面体的体积; (2)在所给直观图中连结 BC′,证明:BC′∥面 EFG. 解: (1) 所求多面体体积 V = V 长 方体 - V 正三棱锥 = ? 1 ? 284 ?1 3 4×4×6-3×?2×2×2? × 2 = (cm ).(4 分) ? 3 ? ? (2) 在 长 方 体 ABCD?A′B′C′D′ 中 , 连 结 AD′,则 AD′∥BC′.(7 分) 因为 E, G 分别为 AA′, A′D′中点, 所以 AD′ ∥EG,从而 EG∥BC′. 又 BC′?平面 EFG,所以 BC′∥面 EFG. (10 分) 18.(本小题满分 12 分)如图,在底面为正三角形 的直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D,E,F 分别是 BC, AC1,BB1 的中点.求证:

(1)平面 AC1D⊥平面 BCC1B1; (2)EF∥平面 A1B1C1.

证明:(1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∵D 是 BC 的中点,△ABC 为正三角形, ∴AD⊥BC. 又 C1C⊥AD,BC∩CC1=C, ∴AD⊥平面 BCC1B1. 又 AD?平面 AC1D,

∴平面 AC1D⊥平面 BCC1B1.(5 分) (2)证法一:取 A1C1 的中点 G,连接 EG、B1G, ∵E、F 分别为 AC1、BB1 的中点, 1 ∴EG 綊2AA1 綊 B1F, ∴四边形 EFB1G 为平行四边形, ∴EF∥B1G. 又 B1G?平面 A1B1C1,EF?平面 A1B1C1, ∴EF∥平面 A1B1C1.

证法二:取 AA1 的中点 G,连接 EG、FG. ∵E、F 为 AC1、BB1 的中点, ∴EG∥A1C1, ∴EG∥平面 A1B1C1. 同理,FG∥平面 A1B1C1. 又 EG∩FG=G,∴平面 EFG∥平面 A1B1C1. ∵EF?平面 EFG,∴EF∥平面 A1B1C1.(12 分) 19. (本小题满分 12 分)已知圆 C: x2+y2+2x-4y +1=0,O 为坐标原点,动点 P 在圆 C 外,过 P 作圆 C 的切线,设切点为 M. (1)若点 P 运动到(1,3)处,求此时切线 l 的方程. (2)求满足条件|PM|=|PO|的点 P 的轨迹方程. 解析:把圆 C 的方程化为标准方程为(x+1)2+(y -2)2=4,如图所示,

所以圆心为 C(-1,2),半径 r=2. (1)当 l 的斜率不存在时,此时 l 的方程为 x=1, 点 C 到 l 的距离 d=2=r,满足条件. 当 l 的斜率存在时,设斜率为 k,得 l 的方程为 y -3=k(x-1),即 kx-y+3-k=0, |-k-2+3-k| 3 则 = 2 ,解得 k =- 4. 1+k2 3 所以 l 的方程为 y-3=-4(x-1),即 3x+4y-15 =0. 综上, 满足条件的切线 l 的方程为 x=1 或 3x+4y -15=0.(7 分) (2)设 P(x,y),则|PM|2=|PC|2-|MC|2=(x+1)2+ (y-2)2-4,|PO|2=x2+y2, 因为|PM|=|PO|. 所以(x+1)2+(y-2)2-4=x2+y2,整理,得 2x- 4y+1=0, 所以点 P 的轨迹方程为 2x-4y+1=0.(12 分) 20.(本小题满分 12 分)如图,四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O ⊥底面 ABCD,AB=AA1= 2.

(1)证明:平面 A1BD∥平面 CD1B1; (2)求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积.

解析:(1)证明:设线段 B1D1 的中点为 O1. 由题意知 BD∥B1D1,A1O1∥OC 且 A1O1=OC? 四 边 形 A1OCO1 为 平 行 四 边 形 ? A1O ∥ O1C. 且 A1O∩BD = O , O1C∩B1D1 = O1 ? 平面 A1BD ∥平面 CD1B1.(6 分) (2)因为 A1O⊥底面 ABCD,所以 A1O 是三棱柱 A1B1D1-ABD 的高. 在正方形 ABCD 中,AO=1. 在 Rt△A1OA 中,A1O=1. 三棱柱 A1B1D1-ABD 的体积 VA1B1D1-ABD=S△ 1 2 · A O = · ( 2) · 1=1. ABD 1 2 所以,三棱柱 A1B1D1-ABD 的体积为 1.(12 分) 21. (本小题满分 12 分)已知⊙M: x2+(y-2)2=1, Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B 两 点. 4 2 (1)若|AB|= 3 ,求|MQ|及直线 MQ 的方程; (2)求证:直线 AB 恒过定点. 2 2 解:(1)设直线 MQ 交 AB 于点 P,则|AP|= 3 , 又|AM|=1,AP⊥MQ,AM⊥AQ, 8 1 得|MP|= 12-9=3.(2 分) |MA|2 又∵|MQ|= |MP| ,∴|MQ|=3.(4 分) 设 Q(x,0), 而点 M(0,2), 由 x2+22=3, 得 x=± 5, 则 Q 点的坐标为( 5,0)或(- 5,0).(6 分) 从而直线 MQ 的方程为 2x+ 5y-2 5=0 或 2x - 5y+2 5=0.(8 分)

(2)设点 Q(q,0),由几何性质,可知 A,B 两点在 以 MQ 为直径的圆上,此圆的方程为 x(x-q)+y(y- 2)=0,而线段 AB 是此圆与已知圆的公共弦,相减可 得 AB 的方程为 qx-2y+3=0,所以直线 AB 恒过定 ? 3? ? 点?0,2? ?.(12 分) ? ? ? 2? ? 22.(本小题满分 12 分)已知以点 C?t, t ? ?(t∈R, ? ? t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O、 A, 与 y 轴交于点 O、 B,其中 O 为原点. (1)求证:△AOB 的面积为定值; (2)设直线 2x+y-4=0 与圆 C 交于点 M、N,若 |OM|=|ON|,求圆 C 的方程. 解:(1)证明:由题设知,圆 C 的方程为(x-t)2+ ? 2? 4 4 ? ?2 2 2 2 y - = t + ,化简得 x - 2 tx + y - ? t? t2 t y=0. ? ? 当 y=0 时,x=0 或 2t,则 A(2t,0);当 x=0 时, ? 4? 4 ? y=0 或 t ,则 B?0, t ? ?,(4 分) ? ? ?4? 1 1 ? ? 所以 S△AOB=2|OA|· |OB|=2|2t|· ? t ?=4 为定值.(6 ? ? 分) (2)∵|OM|=|ON|,则原点 O 在 MN 的中垂线上, 设 MN 的中点为 H,则 CH⊥MN, 2 t ∴C、H、O 三点共线,则直线 OC 的斜率 k= t = 2 1 t2=2,∴t=2 或 t=-2. ∴圆心为 C(2,1)或 C(-2,-1), ∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5 或(x+2)2+

(y+1)2=5.(10 分) 由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5 时,直线 2x +y-4=0 到圆心的距离 d>r,此时不满足直线与圆 相交, 故舍去, ∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.(12 分)


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