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2013年重庆一中高2015级高二上期半期考试


秘密★启用前

2013 年重庆一中高 2015 级高二上期半期考试

数 学 试 题 卷(理科)2013.11
数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改

动,用橡 皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。

一、选择题: (每题 5 分,共计 50 分) 1、抛物线 y 2 ? A.

1 8

1 x 的焦点到准线的距离为( 2 1 B. C. 4



1 2

D. 1 )

2、l1、l2 是两条异面直线,直线 m1、m2 与 l1、l2 都相交,则 m1、m2 的位置关系是( A.异面或平行 B.异面 C.相交 D.相交或异面 3、 " x ? 1" 是 "

1 ? 1" 成立的( x

) B.必要不充分条件 D.充要条件

A. 不充分不必要条件 C. 充分不必要条件 4、对任意的实数 t ,直线 ty ? x ?

1 2 2 与圆 x ? y ? 1 的位置关系一定是( 2



A.相切 B. 相交且直线不过圆心 C.相交且直线不一定过圆心 D. 相离 5、 (原创)已知高为 2,底面边长为 1 的正四棱柱的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正 四棱的正视图的面积不可能等于( ) ... A.

2 ?1

B.2

C.

2 ?1

D. 2 2

6、给出以下命题: (1)在空间里,垂直于同一平面的两个平面平行; (2)两条异面直线在同一个平面上的射影不可能平行; (3)两个不重合的平面 ?与? ,若 ? 内有不共线的三个点到 ? 的距离相等,则 ? // ? ; (4)不重合的两直线 a, b 和平面 ? ,若 a // b , b ? ? ,则 a // ? 。 其中正确命题个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 7、 (原创)三棱锥 D-ABC 中, DA ? 平面 ABC , DA ? 4 , AB ? AC ? 2, AB ? AC ,E 为 BC 中点,F 为 CD 中点,则异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值为( )

A.

34 6

B.

2 6

C. ?
2

34 6

D. ?

2 6

8、定长为 6 的线段 AB 的端点 A、B 在抛物线 y ? ?4 x 上移动,则 AB 的中点到 y 轴的距离的 最小值为( A.6 ) B.5 C.3 D.2
D1

C1 A1
P

9、如图,长方体 ABCD ?

A1 B1C1 D1 中, AB ? 3, BC ? 2,

B1

BB1 ? 4, E 为 AD 的中点,点 P 在线段 C1 E 上,则点 P 到直
D

C
E A B

线 BB 1 的距离的最小值为(



A.2

B. 10

C.

3 10 5

D.

2 5 5

x2 y2 10.如图,椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的四个 a b
顶点为

A1 , A2 ,B1 , B2 ,两焦点为 F1 , F2 ,若以 F1F2
为直径 的 圆 内 切 于 菱 形 A1 B1 A2 B2 , 切 点 分 别 为

A, B, C , D ,
则菱形 A1 B1 A2 B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S 2 的比值

S1 ?( S2 5 ?1 2



A.

B. 2 5 ? 2

C.

5?2 2

D.

5 ?1 2

二、填空题: (每题 5 分,共计 25 分) 11、已知 sin ? ?

4 ? ,则 cos( ? ? ) ? 5 2

12、双曲线

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到右焦点 F 的距离为 8,则 P 到右准线的距离为 4 12

13、边长为 4 的正四面体 P ? ABC 中, E 为 PA 的中点,则平面 EBC 与平面 ABC 所成锐二 面角的余弦值为

14、已知正三棱锥 P ? ABC 底面的三个顶点 A、B、C 在球 O 的同一个大圆上,点 P 在球面上, 如果 VP ? ABC ?

3 ,则球 O 的表面积是 4

15、 (原创)设 F1 , F2 分别为双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,若在双曲线的右支 a2 b2

上 存 在 一 点 P 满 足 : ① ?PF1 F2 是 以 PF1 为 底 边 的 等 腰 三 角 形 ; ② 直 线 PF1 与 圆

x2 ? y2 ?

1 2 a 相切,则此双曲线的离心率为 4

三、解答题: (共计 75 分)
? (13 分) (原创) 已知双曲线的左右焦点 F1 ,F2 的坐标为 (-4,0)与 (4,0) 离心率 e ? 2 。 , (1)求双曲线的方程; (2)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,点 P 是双曲线与椭圆两曲线在第一象限的交点,求 36 20

|PF1|?|PF2|的值。
D

17、 (13 分)如图, DA ? 平面ABC , BC ? AC ,E、F 分别 为 BD 与 CD 的中点,DA=AC=BC=2。 (1)证明: EF // 平面 ABC; (2)证明: EF ? 平面 DAC; (3)求三棱锥 D-AEF 的体积。
B

F E
A

C

18、 (13 分) (原创)已知等差数列 {a n } 满足: a1

? a3 ? 4 , a 2 ? a3 ? 6 ;等比数列 {bn } 满足:

b1b3 b5 ? 64 , b3 ? b4 ? 16 .
(1)求数列 {a n } 与 {bn } 的通项公式; (2)设 c n ?

1 bn ? x ? 2 an ,若数列 {c n } 是递增数列,求实数 x 的取值范围. 4

19、 分) (12 如图, 在三棱柱 ABC ?

A1 B1C1 中,H

是 正方形 AA1 B1 B 的中心, AA1 ? 2 ,

CH ? 平面AA1 B1 B ,且 CH ? 3 .

(1)求 A1C 与平面 ABC 所成角的正弦值; (2) 在线段 A1 B1 上是否存在一点 P , 使得平面 PBC ? 平面ABC ?若存在, 求出 B1 P 的长; 若不存在,说明理由.
20、 (12 分)在平面直角坐标系 xoy 中,F 是抛物线 C :

y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,圆 Q 过 O

点与 F 点,且圆心 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 (1)求抛物线 C 的方程;

3 . 2

(2)过 F 作倾斜角为 60 0 的直线 L,交曲线 C 于 A,B 两点,求 ?OAB 的面积; (3)已知抛物线上一点 M (4,4) ,过点 M 作抛物线的两条弦 MD和ME ,且 MD ? ME ,判 断:直线 DE 是否过定点?说明理由。

21、(12 分)设双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1 的左、右顶点分别为 A1、A2,垂直于 x 轴的直线 a 与 2

双曲线 C 交于不同的两点 S、T。 (1)求直线 A1S 与直线 A2T 的交点 H 的轨迹 E 的方程; (2) A, 是曲线 E 上的两个动点, 设 B 线段 AB 的中垂线与曲线 E 交于 P, 两点, Q 直线 l : x ? 线段 AB 的中点 M 在直线 l 上,若 F (1,0) , 求 FP ? FQ 的取值范围.

1 , 2

2013 年重庆一中高 2015 级高二上期半期考试

数 学 答 案(理科)2013.11
一、选择题: BDCBA ABDCC 二、填空题: 11、 ?

4 5

12、4

13、

6 3

14、 4?

15、

1? 7 3

三、解答题: 16、 (1)? c ? 4,2 ? e ?

c a

? a ? 2, 则b 2 ? c 2 ? a 2 ? 12

x2 y2 ? 轨迹方程为: ? ?1 4 12
(2) ?

?| PF1 | ? | PF2 |? 12 ?| PF1 | ? | PF2 |? 4

则 | PF1 |? 8, | PF2 |? 4

?| PF1 | ? | PF2 |? 32
17、 (1)证明:? E, F为中点

? EF // BC
? EF // 平面ABC

D

? EF ? 平面ABC , BC ? 平面ABC
(2)? DA ? 面ABC ? DA ? BC

F E

? BC ? AC
又? EF // BC

? BC ? 平面DAC ? EF ? 平面DAC

A

C

B

(3) VD ? AEF ? VE ? ADF ?

1 1 1 1 ? S ?ADF ? EF ? ? ( ? 2 ?1) ?1 = 3 3 2 3

18、 (1)? a1 ? a3 ? 2a 2 ? 4

? a2 ? 2

又? a 2 a3 ? 6

? a3 ? 3

? d ? 1, 则 an ? n
? 64 ? b1b3 b5 ? b3
3

?b3 ? 4
? q ? 3 ,则 bn ? 4 ? 3 n ?3

?16 ? b3 ? b4 ? b3 (1 ? q )

(2)由(1)知: c n ? 3 n ?3 ? x ? 2 n

? 数列{c n } 是递增数列

? c n ?1 ? c n 对任意的 n ? N * 恒成立

? 3 n ? 2 ? x ? 2 n ?1 ? 3 n ?3 ? x ? 2 n 恒成立
即: 2 ? 3
n ?3

? x ? 2 恒成立,
n

1 ?3? 也即 x ? ? ? ? 4 ?2?

n ?3

恒成立

?3? ?y?? ? ?2?
?x ? 1 9

n ?3

是增函数

?2 ? 1 ? 3 ? n ?3 ? 1 ?3? 1 4 1 ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? 4 9 9 ? 4 ? 2 ? ? min 4 ? 2 ? ? ?

19、如图,以点 B1 为坐标在原点建立空间直角坐标系 则 B1 (0,0,0), A1 (2,0,0), A(2,2,0), B (0,2,0), C (1,1,3) (1)? AB ? (?2,0,0), AC ? (?1,?1,3)

z
C1

C

B1
设平面 ABC 的一个法向量 n ? ( x, y, z ) 则?

B y
A

P
x
A1

H

?n ? AB ? 0 ? ?n ? AC ? 0 ?

即?

?? 2 x ? 0 ?? x ? y ? 3 z ? 0
?

令 z ? 1 得 n ? (0,3,1)

设所求角为 ? ,? A1C ? (?1,1,3)

法 2、传统方法(体积法求出到平面的距离) (2)假设存在点 P,则 , 设平面的法向量 则,即 令得 ,即,得 存在这样的点使得平面,且. 20、 , (1) 又 ,得 (2)设, 由 得: = (3)设直线, 则 设,则

(*)



得:

即:或 带入(*)式检验均满足 直线的方程为: 或: 直线过定点(8,-4).(定点(4,4)不满足题意,故舍去) 21、(1)设直线 A1S 与直线 A2T 的交点 H 的坐标为(x,y), , 由 A1、H、S 三点共线,得: ……③ 由 A2、H、T 三点共线,得 : ……④ 联立③、④,解得 ∵在双曲线上,∴ ∴轨迹 E 的方程为: (2) 由(1)知直线 AB 不垂直于 x 轴,设直线 AB 的斜率为 k,M(,m) (m≠0), A(x1,y1),B(x2,y2). 由 得(x1+x2)+2(y1+y2)=0, 则 1+4mk=0,得: k=–. 此时,直线 PQ 斜率为,PQ 的直线方程为: . 即: . 联立 消去 y,整理得 . 又设,则:. ,

令 t=1+32m2, 1<t<29,则. 所以,的取值范围为

点在椭圆内 又




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