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平面几何的几个重要定理--西姆松定理试题


《西姆松定理及其应用》
一,西姆松定理:若从 ?ABC外接圆上一点 P作BC、AB、AC的垂线, 垂足分别为 D、E、F, 则D、E、F三点共线;

二,西姆松的逆定理: 从一点P向?ABC的三边(或它们的延长线 )作垂线, 若其垂足 L、M、N在同一直线上,则 P在?ABC的外接圆上;

例1.设?ABC的三条垂线AD、BE、CF的垂足分别为 D、E、F;从点D作AB、BE、CF、 AC的垂线,其垂足分别为 P、Q、R、S,求证P、Q、R、S在同一直线上;

例2.四边形ABCD是圆内接四边形,且 ?D是直角,若从 B作直线AC、AD的垂线,垂足 分别为E、F,则直线EF平分线段BD。

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例3.求证:四条直线两两相 交所构成的四个三角形 的外接圆相交于一点, 且由该点向四条 直线所作垂线的垂足在 一条直线上;

例4.设?ABC的外接圆的任意直径为 PQ,则关于P、Q的西姆松线是互相垂直 的。

练习 1、四边形ABCD是圆内接四边形,且 ?CDA是直角,若从 B点作直线AC、AD的垂线, 垂足分别为 E、F,求证:EF或其延长线平分 BD;

练习2、如图,设P、Q为?ABC外接圆上的两点,求证 ,若?ABC关于P、Q的西姆松线DE和 FG交于M,则?FME=?PCQ; (奥林匹克数学高二分册 P242、 11题)

练习 3、设?ABC的垂心为H,其外接圆上任意一点 P,求证 : ?ABC关于P点的西姆松线过 线段PH的中点。

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三.欧拉定理:设ΔABC 的重心、外心、垂心分别用字母 G、O、H 表示.则有 G、O、H 三 点共线(欧拉线) ,且满足 OH ? 3OG .

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四.蝴蝶定理:如图,过圆中弦 AB 的中点 M 任引两弦 CD 和 EF,连接 CF 和 ED,分别交 AB 于 P、Q,则 PM = MQ.

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