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平面几何的几个重要定理--西姆松定理答案


《西姆松定理及其应用》
西姆松定理:若从 ?ABC外接圆上一点 P作BC、AB、AC的垂线, 垂足分别为 D、E、F, 则D、E、F三点共线; 证明:连接DE、DF,显然,只需证明 ?BDE ? ?FDC即可; ? ?BDP ? ?BEP ? 90?
? B、E、P、D四点共圆, ? ?BDE ? ?BPE 同理可得:?FDC ? ?PFC 又 ? ?BEP

? ?PFC ? 90? 且?PCF ? 180? ? ?PBA ? ?PBE ? ?BPE ? ?FPC ? ?BDE ? ?FDC ? D、E、F三点共线

西姆松的逆定理:从一 点P向?ABC的三边(或它们的延长线 )作垂线, 若其垂足L、M、N 在同一直线上,则 P在?ABC的外接圆上; 例1.设?ABC的三条垂线AD、BE、CF的垂足分别为 D、E、F;从点D作AB、BE、CF、 AC的垂线,其垂足分别为 P、Q、R、S,求证P、Q、R、S在同一直线上;
证明:设?ABC的垂心为O,则O、E、C、D四点共圆 ?由西姆松定理有: Q、R、S三点共线 又 ? O、F、B、D四点共圆 且由西姆松定理有: P、Q、R三点共线 ? P、Q、R、S四点共圆

例2.四边形ABCD是圆内接四边形,且 ?D是直角,若从 B作直线AC、AD的垂线,垂足 分别为E、F,则直线EF平分线段BD。

证明:作BG ? DC,由西姆松定理有: F、E、G共线, 又 ? ?BFD ? ?FDG ? ?DGB ? 90? ?四边形BFDG为矩形 ? 对角线FG平分另一条对角线 BD
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例3.求证:四条直线两两相 交所构成的四个三角形 的外接圆相交于一点, 且由该点向四条 直线所作垂线的垂足在 一条直线上;
证明:如图,设四条直 线AB、BC、CD、AD中, AB交CD于点E,BC交AD于点F, 圆BCE与圆CDF的另一个交点为 G ? ?BGF ? ?BGC ? ?CGF ? ?BEC ? ?CDA ? ?BGF ? ?A ? 180?,即圆ABF过点G 同理圆AED也过点G ?圆BCE、圆CDF、圆ABF、圆AED交于同一点G 若点G向AB、BC、CD、DA所作垂线的垂足分别为 E、L、M、N、P, 由西姆松定理可知 L、M、N在一条直线上, M、N、P在一条直线上, 故L、M、N、P在同一条直线上

例4.设?ABC的外接圆的任意直径为 PQ,则关于P、Q的西姆松线是互相垂直 的。

提示:由P、Q向BC作垂线并延长交外接圆 于点P '、Q ',先证P ' A、Q ' A分别与点P、Q 的西姆松线平行,再证 PP'QQ'是矩形,则P ' A ? O ' A
练习 1、四边形ABCD是圆内接四边形,且 ?CDA是直角,若从 B点作直线AC、AD的垂线, 垂足分别为 E、F,求证:EF或其延长线平分 BD;

证明:由B作DC的垂线BG,由西姆松定理可知 E、F、G共线 ? ?BFD ? ?FDG ? 90? 四边形BGDF是矩形,BD被另一对角线 FG所平分
练习2、如图,设P、Q为?ABC外接圆上的两点,求证 ,若?ABC关于P、Q的西姆松线DE和 FG交于M,则?FME=?PCQ; (奥林匹克数学高二分册 P242、 11题)
证明:设PE ? FG=N,PE ? QG ? L 由题设可知,图中 Q、F、G、C和E、L、G、C和C、E、D、P分别四点共圆 ? ?EGQ=?FCQ,?NLQ=?GCE,?DEP=?DCP ? ?FME=?MEN ? ?MNE ? ?DEP ? ?NGL ? ?NLC ? ?DCP ? ?FCQ ? ?RCB ? ?PCQ ? ?FME=?PCQ,

练习 3、设?ABC的垂心为H,其外接圆上任意一点 P,求证 : ?ABC关于P点的西姆松线过 线段PH的中点。 (奥林匹克数学高二分册 P242、 12题)

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