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福建省福州市文博中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷


2014-2015 学年福建省福州市文博中学高一(上)期中数学试卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将正确答案的序号填在答题纸上. ) 1. (5 分)如果集合 P={x|x>﹣1},那么() A.0?P B.0∈P C.?∈P D.??P 2. (5 分)下列幂函数中,过点(0

,0) , (1,1)的偶函数的是() A. B.y=x
4

C.y=x

﹣2

D.

3. (5 分)已知函数 f(x)=

,则 f(f(﹣2) )的值是()

A.4

B.

C.

D.

4. (5 分)函数 A.(0,2]

的定义域是() B.(﹣∞,0)∪ D. (﹣∞,2]

5. (5 分)函数 y=x|x|的图象大致是()

A.

B.

C.
x

D.

6. (5 分)方程 2 ﹣x﹣2=0 的一个根所在的区间为() A.(﹣3,﹣2) B. (﹣2,﹣1) (0,1) 7. (5 分)设 a>l,则 log0.2a、0.2 、a a 0.2 A.log0.2a<0.2 <a
a 0.2

C. (﹣1,0)

D.

的大小关系是() 0.2 a B. log0.2a<a <0.2

C. 0.2 <log0.2a<a

a

0.2

D.0.2 <a <log0.2a

a

0.2

8. (5 分)若偶函数 f(x)在区间上是增函数且最小值为﹣4,则 f(x)在区间上是() A.减函数且最小值为﹣4 B. 增函数且最小值为﹣4 C. 减函数且最大值为 4 D.增函数且最大值为 4 9. (5 分)在映射 f:A→B 中,A=B={(x,y)|x,y∈R},且 f: (x,y)→(x﹣y,x+y) ,则 与 A 中的元素(﹣1,2)对应的 B 中的元素为() A.(﹣3,1) B.(1,3) C.(﹣1,﹣3) D.(3,1)

10. (5 分)已知函数 f(x)=lg A.b B . ﹣b

,若 f(a)=b,则 f(﹣a)等于() C. D.

11. (5 分)函数 y=a 在上的最大值与最小值和为 3,则函数 y= |2x﹣3|,关于函数 f(x)有以下三个判断: ①k=4; ②f(x)在区间; ③f(8)=﹣24. 则正确判断的所有序号是.

x

+bx+3 在时,f(x)=k﹣

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)计算下列各式的值: (1) ﹣ + × ; (2) .

18. (12 分)已知集合 A= {x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|a<x<a+5}. (1)求 A∪B, (?RA)∩B; (2)若 C?B,求 a 的取值范围. 19. (12 分)设 f(x)为定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=﹣(x﹣2) +2. (1)求函数 f(x)在 R 上的解析式; (2)在直角坐标系中画出函数 f(x)的图象; (3)若方程 f(x)﹣k=0 有四个解,求实数 k 的取值范围. 20. (12 分)已知二次函数 f(x)=x +bx+c,且方程 f(x)+4=0 有唯一解 x=1, (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若函数 f(x)在区间上存在零点,请写出实数 a 的取值范围.
2 2

21. (12 分)为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒,已知药物释放过程中,室 内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比;药物释放完毕后,y 与 t 的函 数关系式为 y=( )
t ﹣a

(a 为常数) ,如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题:

(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系 式. (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进入教室,那从 药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室.

22. (14 分)已知函数 f(x)=

是奇函数,且 f(2)=5,

(1)求实数 a、b 的值; (2)判断函数 f(x)在区间(0,1)上的单调性; (3)对任意的 x∈(0,+∞) ,试求出使不等式 f(x)≥t 成立的实数 t 的最大值.

四、附加题 23.设 f(x)= (1)求 a 的值; (2)求使 f(x)≥0 的 x 的取值范围; (3)若对于区间上的每一个 x 的值,不等式 范围. +m 恒成立,求实数 m 的取值 为常数,若 f(3)=﹣2.

2014-2015 学年福建省福州市文博中学高一(上)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将正确答案的序号填在答题纸上. ) 1. (5 分)如果集合 P={x|x>﹣1},那么() A.0?P B.0∈P C.?∈P D.??P 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 阅读型. 分析: 通过元素是否满足集合的公共属性,判断出元素是否属于集合. 解答: 解:∵P={x|x>﹣1}, ∵0>﹣1 ∴0∈p 故选 B 点评: 本题考查如何判断元素与集合的关系、考查“∈”表示元素与集合的关系、“?”表示集 合与集合的关系. 2. (5 分)下列幂函数中,过点(0,0) , (1,1)的偶函数的是() A. B.y=x
4

C.y=x

﹣2

D.

考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 计算题. 分析: A 先看定义域是

B.(﹣∞,0)∪

D.(﹣∞,2]

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数成立的条件求函数的定义域即可. 解答: 解:要使函数有意义,则 ,





解得 0<x≤2, ∴函数的定义域为(0,2], 故选:A. 点评: 本题主要考查函数定义域的求法,要求熟练掌握函数成立的条件,比较基础. 5. (5 分)函数 y=x|x|的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 2 2 分析: 先判断函数的奇偶性,可知函数为奇函数,排除 A,B,当 x>0 时,y=x ,根据 y=x 的图象排除 D,问题得以解决. 解答: 解:∵f(x)=x|x| ∴f(﹣x)=﹣x|x|=﹣f(x) ∴函数 f(x)=x|x|为奇函数,排除 A,B, 当 x>0 时,y=x ,根据 y=x 的图象排除 D 故选 C. 点评: 本题考查了奇函数的性质,以及常见函数的图象,本题有助于使学生更好的掌握分 析函数图象的一般方法,属于基础题. 6. (5 分)方程 2 ﹣x﹣2=0 的一个根所在的区间为() A.(﹣3,﹣2) B.(﹣2,﹣1) C.(﹣1,0) 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 可以令 f(x)=2 ﹣x﹣2,对其进行求导利用导数研究其单调性,再根据零点定理进 行判断; x 解答: 解:令 f(x)=2 ﹣x﹣2, 因为:f(0)=﹣2,f(2)=0,f(3)=3,f(4)=10, ∴f(﹣2)f(﹣1)<0, ∴方程 2 ﹣x﹣2=0 的一个根所在的区间为(﹣2,﹣1) ; 故选 B. 点评: 本题考查函数零点与方程根的关系,根据零点存在定理的运用,考查函数与方程思 想,解题的关键是将方程根问题转化为函数的零点问题. 7. (5 分)设 a>l,则 log0.2a、0.2 、a a 0.2 A.log0.2a<0.2 <a a 0.2 C. 0.2 <log0.2a<a
a 0.2 x x x 2 2

D.(0,1)

的大小关系是() 0.2 a B. log0.2a<a <0.2 a 0.2 D.0.2 <a <log0.2a

考点: 指数函数单调性的应用. 专题: 常规题型. 分析: 要判断 a>l 时 log0.2a、0.2 、a 的大小首先要掌握指数函数、对数函数的单调性, 利用指、对函数的单调性进行比较即可. a 0 0.2 0 解答: 解:∵a>l∴log0.2a<log0.21=0 0<0.2 <0.2 =1 a >a =1 a 0.2 ∴log0.2a<0.2 <a 故选 A 点评: 本题考查的是指数函数、对数函数单调性的应用.能灵活运用指数函数、对数函数 的图象及单调性来比较大小. 8. (5 分)若偶函数 f(x)在区间上是增函数且最小值为﹣4,则 f(x)在区间上是() A.减函数且最小值为﹣4 B. 增函数且最小值为﹣4 C. 减函数且最大值为 4 D.增函数且最大值为 4 考点: 函数单调性的判断与证明;函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反,可知 f(x)在区间上的单调性, 再由所给最小值为﹣4,可求 f(x)在上的最值. 解答: 解:∵f(x)在区间上是增函数,最小值是﹣4, ∴f(﹣5)=﹣4,又 f(x)为偶函数, ∴f(x)在上单调递减,f(x)≥f(5)=f(﹣5)=﹣4. 即 f(x)在区间上的最小值为﹣4, 综上,f(x)在上单调递减,且最小值为﹣4. 故选 A. 点评: 本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用,属基础题. 9. (5 分)在映射 f:A→B 中,A=B={(x,y)|x,y∈R},且 f: (x,y)→(x﹣y,x+y) ,则 与 A 中的元素 (﹣1,2)对应的 B 中的元素为() A.(﹣3,1) B.(1,3) C.(﹣1,﹣3) D.(3,1) 考点: 映射. 专题: 计算题. 分析: 根据已知中映射 f:A→B 的对应法则,f: (x,y)→(x﹣y,x+y) ,将 A 中元素(﹣ 1,2)代入对应法则,即可得到答案. 解答: 解:由映射的对应法则 f: (x,y)→(x﹣y,x+y) , 故 A 中元素(﹣1,2)在 B 中对应的元素为(﹣1﹣2,﹣1+2) 即(﹣3,1) 故选 A 点评: 本题考查的知识点是映射的概念,属基础题型,熟练掌握映射的定义,是解答本题 的关键.
a 0.2

10. (5 分)已知函数 f(x)=lg

,若 f(a)=b,则 f(﹣a)等于()

A.b

B . ﹣b

C.

D.

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 判断函数的奇偶性,利用奇偶性求解函数值即可. 解答: 解:由 f(﹣x)=lg >0,得﹣1<x<1, =lg =lg lg ,

∴f(x)是奇函数, ∴f(﹣a)=﹣f(a)=﹣b. 故选:B. 点评: 本题考查函数的奇偶性的判断与应用,基本知识的考查.
x

11. (5 分)函数 y=a 在上的最大值与最小值和为 3,则函数 y=

+bx+3 在上的单调性与 f

(x)在上的最大值与最小值的和为 3 即可列出关于 a 的关系式,解之即可得 a,再根据二次 函数的单调性进行判断. x 解答: 解:∵函数 f(x)=a (a>0,a≠1)在上的最大值与最小值的和为 3, 0 1 ∴a +a =3, ∴a=2. 所以函数 y=x +bx+3 在 专题: 函数的性质及应用. 分析: 首先,换元令 x+1=t,得到 x=t﹣1,然后,得到函数解析式,然后,求解 f(2)的值 即可. 解答: 解:令 x+1=t, ∴x=t﹣1, 2 2 ∴f(t)=(t﹣1) ﹣2(t﹣1)=t ﹣4t+3, 2 ∴f(x)=x ﹣4x+3, ∴f(2)=﹣1 故答案为:﹣1 点评: 本题重点考查了函数的换元法求解函数解析式,注意运用此方法时,容易出现变量 的范围扩大或者缩小等问题,需要引起足够重视,属于基础题. 15. (4 分)函数 f(x)= 的定义域为 R.
2

考点: 指数函数的定义、解析式、定义域和值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. x 分析: 由题意,3 +1≠0,从而解得函数的定义域. x 解答: 解:由题意,3 +1≠0, 上式对任意 x 都成立,

故函数 f(x)=

的定义域为 R.

故答案为:R. 点评: 本题考查了函数的定义域的求法,属于基础题. 16. (4 分)对于函数 y=f(x) ,若 f(2x)=af(x)+b(a,b∈R)恒成立,则称(a,b)为函 数 f(x)的一个“P 数对”;若(﹣2,0)是 f(x)的一个“P 数对”,f(1)=3,且当 x∈时,f (x)=k﹣|2x﹣3|,关于函数 f(x)有以下三个判断: ①k=4; ②f(x)在区间; ③f(8)=﹣24. 则正确判断的所有序号是①②③. 考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接取 x=1 求得 k 的值;然后直接求 x∈求得 f(8)=﹣24 判断③. 解答: 解:当 x∈, 又(﹣2,0)是 f(x)的一个“P 数对”,即 f(2x)=﹣2f(x)恒成立, 当 x∈, 当 k 为偶数时,f(x)在. ∴f(8)=﹣24. 由上可知,正确的命题是①②③. 故答案为:①②③. 点评: 本题是新定义题,考查了函数的性质,关键是对题意的理解,是中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. (12 分)计算下列各式的值: (1) ﹣ + × ; (2) .

考点: 根式与分数指数幂的互化及其化简运算;对数的运算性质. 专 题: 计算题. 分析: (1) 由指数幂的含义以及根式定义, = =﹣4, =1,

×

= ×

,即可求出结果.

(2)利用对数的运算法则直接化简即可. . 解答: 解: (1) ﹣

+

×

=



(2) = = = =1

点评: 本题考查指数和对数的运算法则,解题过程中要细心,确保正确性,属于基础题. 18. (12 分)已知集合 A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|a<x<a+5}. (1)求 A∪B, (?RA)∩B; (2)若 C?B,求 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: (1)直接利用交集和补集的运算求解得答案; (2)由 C?B,结合两集合端点值间的关系列不等式组,求解不等式组得 a 的取值范围. 解答: 解: (1)∵A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10}, ∴A∪B={x|2<x<10}; CRA={x|x<3 或 x≥7}, 则(CRA)∩B={x|2<x<3 或 7≤x<10}; (2)∵C?B,C={x|a<x<a+5}, ∴{x|a<x<a+5}?{x|2<x<10}, 则 ,解得 2≤a≤5,

∴a 的取值范围是. 点评: 本题考查了交、并、补集的混合运算,关键是由集合间的关系正确列出不等式组, 是基础的计 算题. 19. (12 分)设 f(x)为定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=﹣(x﹣2) +2. (1)求函数 f(x)在 R 上的解析式; (2)在直角坐标系中画出函数 f(x)的图象; (3)若方程 f(x)﹣k=0 有四个解,求实数 k 的取值范围. 考点: 根的存在性及根的个数判断;函数奇偶性的性质. 专题: 数形结合;函数的性质及应用. 分析: (1)令 x<0,则﹣x>0,代入解析式,利用偶函数的性质得 x<0 的解析式; (2)画出图象; (3)结合(2) ,观察 y=k 与 f(x)的图象使它们有四个交点即可. 2 2 解答: 解: (1)令 x<0,则﹣x>0,所以 f(﹣x)=﹣(﹣x﹣2) +2=﹣(x+2) +2. 所以函数 f(x)在 R 上的解析式为: …(4 分) (2)在直角坐标系中函数 f(x)的图象如下:
2

…(8 分) (3)结合(2)的图象,要使方程 f(x)﹣k=0 有四个解,只要 y=k 与 f(x)的图象有四个 交点,如图,

所以 k 的取值范围是(﹣2,2) ;…(12 分) 点评: 本题考查了偶函数解析式的求法以及图象的画法和利用数形结合判断方程根的个数 问题,关键是正确画图、视图,属于中档题. 20. (12 分)已知二次函数 f(x)=x +bx+c,且方程 f(x)+4=0 有唯一解 x=1, (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若函数 f(x)在区间上存在零点,请写出实数 a 的取值范围. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用.
2

分析: (1)方程 f(x)+4=0 有唯一解 x=1,即方程 x +bx+c+4=0 有唯一解 x=1,进而由韦 达定理可得函数 f(x)的解析式; (2)由(1)可得函数 f(x)有两个零点﹣1 和 3,若函数 f(x)在区间上存在零点,则﹣1∈, 或 3∈,解得答案. 解答: 解: (1)∵方程 f(x)+4=0 有唯一解 x=1, 2 即方程 x +bx+c+4=0 有唯一解 x=1, 故 b=﹣(1+1)=﹣2,c+4=1×1=1, 即 b=﹣2,c=﹣3, 2 ∴f(x)=x ﹣2x﹣3…(6 分) 2 (2)由 f(x)=x ﹣2x﹣3=0 得: x=3,或 x=﹣1, ∴函数 f(x)有两个零点﹣1 和 3, 若函数 f(x)在区间上存在零点, 则﹣1∈,或 3∈, 解得:a∈, 即 a 的取值范围是…(12 分) 点评: 本题考查的知识点是方程根与函数零点的关系,零点的位置,难度不大,属于基础 题. 21. (12 分)为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒,已知药物释放过程中,室 内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比;药物释放完毕后,y 与 t 的函 数关系式为 y=( )
t ﹣a

2

(a 为常数) ,如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题:

(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系 式. (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进入教室,那从 药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室.

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;分段函数的应用. 分析: (1)利用函数图象,借助于待定系数法,求出函数解析法,进而发现函数性质; (2)根据函数解析式,挖掘其性质解决实际问题. 解答: 解: (1)由于图中直线的斜率为 所以图象中线段的方程为 y=10t(0≤t≤0.1) , ,

又点(0.1,1)在曲线

上,所以



所以 a=0.1,因此含药量 y(毫克)与时间(小时)之间的函数关系式为 (5 分)

(2)因为药物释放过程中室内药量一直在增加,即使药量小于 0.25 毫克,学生也不能进入教 室, 所以,只能当药物释放完毕,室内药量减少到 0.25 毫克以下时学生方可进入教室,即 <0.25, 解得 t>0.6 所以从药物释放开始,至少需要经过 0.6 小时,学生才能回到教室. (10 分) 点评: 根据题意,利用函数的图象,求得分段函数的解析式,利用解析式进一步解决具体 实际问题.

22. (14 分)已知函数 f(x)=

是奇函数,且 f(2)=5,

(1)求实数 a、b 的值; (2) 判断函数 f(x)在区间(0,1)上的单调性; (3)对任意的 x∈(0,+∞) ,试求出使不等式 f(x)≥t 成立的实数 t 的最大值. 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)函数 f(x)是奇函数,则 f(﹣x)=﹣f(x) ,即可得到 b,再由 f(2)=5,即 可得到 a; (2)求出 f(x) ,可运用导数判断,即可得到 f(x)在(0,1)上是减函数; (3)任意的 x∈(0,+∞) ,使不等式 f(x)≥t 成立,即为 f(x)min≥t 在(0,+∞)成立,由 (2)通过单调性即可得到 f(x)的最小值. 解答: 解: (1)函数 f(x)= 是奇函数,

则 f(﹣x)=﹣f(x) ,即有 即有 b﹣x=﹣b﹣x,即 b=0, 又 f(2)=5,则 即 a=2,b=0; (2)f(x)= 由于 f′(x)=2(1﹣ =2(x+ ) ,

=



=5,解得 a=2,

) ,又 0<x<1,则

>1,

2(1﹣

)<0,即 f′(x)<0,

则 f(x)在(0,1)上是减函数; (3)由 f′(x)=2(1﹣ 在(1,+∞)上递增, 则当 x>0 时,f(x)min=f(1)=4, 任意的 x∈(0,+∞) ,使不等式 f(x)≥t 成立, 即为 f(x)min≥t 在(0,+∞)成立, 则有 t≤4, 即有 t 的最大值为 4. 点评: 本题考查函数的奇偶性的运用,以及单调性的判断,考查单调性的运用:求最值, 考查运算能力,属于中档题. 四、附加题 23.设 f(x)= (1)求 a 的值; (2)求使 f(x)≥0 的 x 的取值范围; (3)若对于区间上的每一个 x 的值,不等式 范围. 考点: 函数恒成立问题;复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)直接令 x=3 代入函数 f(x)的表达式即可求出 a; (2)f(x)= ,f(x)≥0 可化为 即可; (3)不等式 +m 恒成立等价于 m< 恒成立, +m 恒成立,求实数 m 的取值 ) ,可得,f(x)在(0,1)上递减,

为常数,若 f(3)=﹣2.

,解此对数不等式

令 g(x)=

,求 m<g(x)最小值即可.

解答: 解: (1)f(3)= (2)f(x)= f(x)≥0 可化为 ∴0<10﹣2x≤1,∴ , , ,

=﹣2,∴

,∴a=2.

f(x)≥0 的 x 的取值范围为{x| (3)不等式

}; +m 恒成立等价于 > +m 恒成立,

也即 m<

恒成立,

令 g(x)= 因为函数 10﹣2x 递减,函数 y= 单调递增,

,∴m<g(x)最小值即可, 递减,由复合函数的单调性知函数

又因为函数

单调递增,∴g(x)=

单调递增,

∴g(x)在区间上的最小值

=﹣2﹣

= ∴

, .

点评: 本题主要考查对数函数及复合函数的性质,复合函数的单调性是解题的关键,同时, 不等式恒成立问题常转化为求最值来处理.


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