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定积分高考题


一、选择题(共 16 小题) 1、 (2011?湖南)由直线 ( ) A、 C、 B、1 D、 与曲线 y=cosx 所围成的封闭图形的面积为

考点:定积分在求面积中的应用。 专题:计算题。 分析:为了求得与 x 轴所围成的不规则的封闭图形的面积,可利用定积分求解,积分的上下 限分别为 与 ,cosx 即为被积函数.

解答:解:由定积分

可求得阴影部分的面积为 S= cosxdx= = ﹣(﹣ . )= ,

所以围成的封闭图形的面积是 故选 D.

点评:本小题主要考查定积分的简单应用、定积分、导数的应用等基础知识,考查运算求解 能力,化归与转化思想、考查数形结合思想,属于基础题. 2 3 2、 (2010?山东)由曲线 y=x ,y=x 围成的封闭图形面积为( ) A、 C、 B、 D、

考点:定积分在求面积中的应用。 专题:计算题。 分析:要求曲线 y=x ,y=x 围成的封闭图形面积,根据定积分的几何意义,只要求∫0 (x 3 ﹣x )dx 即可. 解答:解:由题意得,两曲线的交点坐标是(1,1)(0,0)故积分区间是[0,1] , 所求封闭图形的面积为∫0 (x ﹣x )dx═
1 2 3 2 3 1 2



故选 A. 点评:本题考查定积分的基础知识,由定积分求曲线围成封闭图形的面积. 3、 (2009?广东) 已知甲、 乙两车由同一起点同时出发, 并沿同一路线 (假定为直线) 行驶. 甲 车、乙车的速度曲线分别为 V 甲和 V 已(如图所示) .那么对于图中给定的 t0 和 t1,下列判断
1

中一定正确的是(



A、在 t1 时刻,甲车在乙车前面 B、t1 时刻后,甲车在乙车后面 C、在 t0 时刻,两车的位置相同 D、t0 时刻后,乙车在甲车前面 考点:定积分在求面积中的应用;函数的图象。 专题:数形结合。 分析:利用定积分求面积的方法可知 t0 时刻前甲走的路程大于乙走的路程,则在 t0 时刻甲 在乙的前面;又因为在 t1 时刻前利用定积分求面积的方法得到甲走的路程大于乙走的路程, 甲在乙的前面;同时在 t0 时刻甲乙两车的速度一样,但是路程不一样.最后得到 A 正确,B、 C、D 错误. 解答:解:当时间为 t0 时,利用定积分得到甲走过的路程= = v 乙 dt=c; v 甲 dt=a+c+d,而乙走过的路程= v v


dt=a+c,乙走过的路程

当时间为 t1 时,利用定积分得到甲走过的路程=


dt=c+d+b; 从图象上可知 a>b,所以在 t1 时刻,a+c+d>c+d+b 即甲的路程大于乙的路程,A 正确;t1 时刻后,甲车走过的路程逐渐小于乙走过的路程,甲车不一定在乙车后面,所以 B 错;在 t0 时刻,甲乙走过的路程不一样,两车的位置不相同,C 错;t0 时刻后,t1 时刻时,甲走过 的路程大于乙走过的路程,所以 D 错. 故答案为 A

点评: 考查学生利用定积分求图形面积的能力, 以及会观察函数图象并提取有价值数学信息 的能力,数形结合的数学思想的运用能力. 4、由曲线 xy=1,直线 y=x,y=3 所围成的平面图形的面积为( ) A、 B、2﹣ln3

C、4+ln3 D、4﹣ln3 考点:定积分在求面积中的应用。

2

专题:计算题。 分析:由题意利用定积分的几何意义知,欲求由曲线 xy=1,直线 y=x,y=3 所围成的平面图 形的面积曲边梯形 ABD 的面积与直角三角形 BCD 的面积,再计算定积分即可求得. 解答:解:根据利用定积分的几何意义,得: 由曲线 xy=1,直线 y=x,y=3 所围成的平面图形的面积: S= (3﹣ )dx+

=(3x﹣lnx)

+2

=3﹣ln3﹣1+2 =4﹣ln3.

故选 D. 点评:本题主要考查定积分求面积.用定积分求面积时,要注意明确被积函数和积分区间, 属于基本运算. 5、从如图所示的正方形 OABC 区域内任取一个点 M(x,y) ,则点 M 取自阴影部分的概率 为( )

A、 C、

B、 D、

考点:定积分在求面积中的应用;几何概型。 专题:计算题。 分析:欲求所投的点落在叶形图内部的概率,须结合定积分计算叶形图(阴影部分)平面区 域的面积,再根据几何概型概率计算公式易求解. 解答:解:可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型,

3

由图可知基本事件空间所对应的几何度量 S(Ω)=1, 满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量: S(A)= = .

所以 P(A)=



故选 B. 点评:几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这 个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.解决的步骤均为:求出满足条件 A 的 基本事件对应的“几何度量”N(A) ,再求出总的基本事件对应的“几何度量”N,最后根据 P= 求解. )

6、如图中阴影部分的面积是(

A、 C、

B、 D、

考点:定积分在求面积中的应用。 专题:计算题。 分析:求阴影部分的面积,先要对阴影部分进行分割到三个象限内,分别对三部分进行积分 求和即可. 2 解答:解:直线 y=2x 与抛物线 y=3﹣x 解得交点为(﹣3,﹣6)和(1,2) 2 抛物线 y=3﹣x 与 x 轴负半轴交点(﹣ ,0) 设阴影部分面积为 s,则

= = 所以阴影部分的面积为 ,故选 C.

点评:本题考查定积分在求面积中的应用,解题是要注意分割,关键是要注意在 x 轴下方的
4

部分积分为负(积分的几何意义强调代数和) ,属于基础题. 7、由曲线 y= ,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为( A、 C、 B、4 D、6



考点:定积分在求面积中的应用。 专题:计算题。 分析:利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键,要确定出曲线 y= ,直线 y=x ﹣2 的交点,确定出积分区间和被积函数,利用导数和积分的关系完成本题的求解. 解答:解:联立方程 因 此 曲 线 S= y= 得到两曲线的交点(4,2) , , 直 线 y=x ﹣ 2 及 y 轴 所 围 成 的 图 形 的 面 积 为 .

故选 C. 点评:本题考查曲边图形面积的计算问题,考查学生分析问题解决问题的能力和意识,考查 学生的转化与化归能力和运算能力, 考查学生对定积分与导数的联系的认识, 求定积分关键 要找准被积函数的原函数,属于定积分的简单应用问题. 8、 (2011?福建) A、1 (e +2x)dx 等于( B、e﹣1
2 x



C、e D、e +1 考点:定积分。 专题:计算题。 分析:求出被积函数的原函数,将积分的上限代入减去将下限代入求出差. 0 x x 2 1 解答:解:∫1 (e +2x)dx=(e +x )|0 =e+1﹣1=e 故选 C. 点评:本题考查利用微积分基本定理求定积分值. 9、 (2010?湖南) dx 等于( )

A、﹣2ln2 B、2ln2 C、﹣ln2 D、ln2 考点:定积分。 专题:计算题。 分析:根据题意,直接找出被积函数 的原函数,直接计算在区间(2,4)上的定积分即可. 解答:解:∵(lnx)′= ∴ 故选 D
5

=lnx|2 =ln4﹣ln2=ln2

4

点评:本题考查定积分的基本运算,关键是找出被积函数的原函数,本题属于基础题. 10、 (2009?福建) (1+cosx)dx 等于( )

A、π B、2 C、π﹣2 D、π+2 考点:定积分。 专题:计算题。 b 分析:由于 F(x)=x+sinx 为 f(x)=1+cosx 的一个原函数即 F′(x)=f(x) ,根据∫a f(x) b dx=F(x)|a 公式即可求出值. 解答:解:∵(x+sinx)′=1+cosx, ∴ (1+cosx)dx=(x+sinx)

=

+sin



=π+2.

故选 D 点评:此题考查学生掌握函数的求导法则,会求函数的定积分运算,是一道中档题. 11、已知则∫﹣a cosxdx= (a>0) ,则∫0 cosxdx=( A、2 C、 考点:定积分。 专题:计算题。 分析:根据定积分的几何意义知,定积分的值∫﹣a cosxdx= (a>0)是 f(x)=cosx 的图象与 x 轴所围成的平面图形的面积的代数和,结合偶函数的图象的对称性即可解决问题. 解答:解:原式=∫﹣a cosxdxdx+∫0 cosxdx. ∵原函数 y=cosx 为偶函数,∴在 y 轴两侧的图象对称, ∴对应的面积相等,则∫0 cosxdx=
a 0 a a a a



B、1 D、

= .

故选 D. 点评:本题主要考查定积分以及定积分的几何意义,属于基础题. 2 12、曲线 y=x +2 与直线 y=3x 所围成的平面图形的面积为( ) A、 C、 B、 D、1

考点:定积分。 专题:计算题。 分析:先求出曲线与直线的交点,设围成的平面图形面积为 A,利用定积分求出 A 即可. 解答:解:联立曲线与直线得 ,

6

解得


2

设曲线 y=x +2 与直线 y=3x 所围成的平面图形的面积为 A 则 A=∫1 [3x﹣(x +2)]dx=
2 2

|1 =

2

故选 A 点评:考查学生利用定积分求平面图形面积的能力. 13、下列计算错误的是( ) A、∫﹣π sinxdx=0
π

B、∫0

1

=
π 2

C、

cosxdx=2

cosxdx

D、∫﹣π sin xdx=0

考点:定积分。 专题:计算题。 分析:利用微积分基本定理求出各选项的值,判断出 D 错. 解答:解:∫﹣π sinxdx=(﹣cosx)|﹣π =(﹣cosπ)﹣(﹣cos(﹣π)=0
π π

因为 y=cosx 为偶函数所以

=π 故选 D 点评:本题考查利用微积分基本定理或定积分的几何意义求定积分值. 14、计算 A、4π C、π B、2π D、 的结果是( )

考点:定积分。 专题:计算题。 分析:根据积分所表示的几何意义是以(0,0)为圆心,2 为半径第一象限内圆弧与坐标轴 围成的面积,只需求出圆的面积乘以四分之一即可. 解答:解: 与坐标轴围成的面积 = π×4=π 故选:C 点评:本题主要考查了定积分,定积分运算是求导的逆运算,解题的关键是求原函数,也可 利用几何意义进行求解,属于基础题. 表示的几何意义是以(0,0)为圆心,2 为半径第一象限内圆弧

7

15、若∫0 (2x﹣3x )dx=0,则 k 等于( ) A、0 B、1 C、0 或 1 D、以上均不对 考点:定积分。 专题:计算题。 分析:利用定积分公式求出等式左边的值,利用其等于 0 解出 k 的值即可. 解答:解:∫0 (2x﹣3x )dx=∫0 2xdx﹣∫0 3x dx=x |0 ﹣x |0 =k ﹣k =0, 解可得 k=0 若 k=1. 故选 C 点评:考查学生利用定积分解方程的能力. 2 16、如图所示,曲线 y=x 和曲线 y= 围成一个叶形图(阴影部分) ,其面积是(
k 2 k k 2 2 k 3 k 2 3

k

2



A、1 C、

B、 D、

考点:定积分;定积分的简单应用。 专题:计算题。 2 分析:联立由曲线 y=x 和曲线 y= 两个解析式求出交点坐标,然后在 x∈(0,1)区间上 利用定积分的方法求出围成的面积即可. 解答:解:联立得 ,

解得





设曲线与直线围成的面积为 S, 则 S=∫0 (
1

﹣x )dx=

2

故选:C 点评:考查学生求函数交点求法的能力,利用定积分求图形面积的能力. 二、填空题(共 8 小题) 17、 (2010?宁夏)设 y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数,且恒有 0≤f(x)≤1,可以用随机 模拟方法近似计算积分 ,先产生两组(每组 N 个)区间[0,1]上的均匀随机

数 x1,x2,…xN 和 y1,y2,…yN,由此得到 N 个点(xi,yi) (i=1,2,…,N) ,再数出其中满 足 yi≤f(xi) (i=1,2,…,N)的点数 N1,那么由随机模拟方案可得积分 似值为 . 的近

8

考点:定积分在求面积中的应用;模拟方法估计概率;几何概型。 专题:计算题。 分析:要求∫1 f(x)dx 的近似值,利用几何概型求概率,结合点数比即可得. 解答:解:由题意可知 得 ,
0

故积分

的近似值为



点评: 本题考查几何概型模拟估计定积分值, 以及定积分在面积中的简单应用, 属于基础题. 18、如图所示,计算图中由曲线 y= 与直线 x=2 及 x 轴所围成的阴影部分的面积 S= .

考点:定积分在求面积中的应用。 专题:计算题。 分析:先将阴影部分的面积用定积分表示∫0 ( x )dx,然后根据定积分的定义求出此值即 可. 解答:解:阴影部分的面积为∫0 ( x )dx, 而∫0 ( x )dx=( x )|0 = , 故答案为: . 点评:本题主要考查了阴影部分的面积用定积分表示,以及定积分的求解,属于基础题. 2 19、由曲线 y =2x 和直线 y=x﹣4 所围成的图形的面积为 18 . 考点:定积分在求面积中的应用。 专题:计算题;数形结合。 分析:先求出曲线 y =2x 和直线 y=x﹣4 的交点坐标,从而得到积分的上下限,然后利用定 积分表示出图形面积,最后根据定积分的定义求出即可. 解答:解: 选择 y 为积分变量 ∴由曲线 y =2x 和直线 y=x﹣4 所围成的图形的面积 S=
2 2 2 2 3 2 2 2 2 2

解得曲线 y =2x 和直线 y=x﹣4 的交点坐标为: (2,﹣2)(8,4) ,

2

=( y +4y

2

9

﹣ y )|﹣2 =18 故答案为:18 点评:本题主要考查了定积分在求面积中的应用,以及会利用定积分求图形面积的能力.应 用定积分求平面图形面积时,积分变量的选取是至关重要的,属于基础题. 20、由曲线 和直线 y=x﹣4,x=1,x=2 围成的曲边梯形的面积是 ln2+1 .

3

4

考点:定积分在求面积中的应用。 专题:计算题。 分析:曲线 y= 与直线 y=x﹣4,x=2,x=1 所围成的图形面积可用定积分计算,先求出图形 横坐标范围,再代入定积分的公式求出结果即可. 解答:解:联立两条直线的方程 ,得 和

∴曲线 y= 与直线 y=x﹣4,x=2,x=1 所围成的图形面积为 =(﹣x +lnx+4x)|1 =ln2+1 故答案为:ln2+1 点评: 本题考查利用定积分求封闭图形的面积, 解题的关键是利用方程联立做出两个函数的 交点坐标,不停地交点的坐标在解题中用不到,本题是一个基础题. 21、 (2010?陕西)从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x,y) ,则点 M 取自阴影部分 部分的概率为 .
2 2

考点:定积分的简单应用。 专题:数形结合。 分析:本题利用几何概型概率.先利用定积分求出图中阴影部分部分的面积,再结合概率计 算公式求出阴影部分部分面积与长方形区域的面积之比即可. 解答:解:长方形区域的面积为 3, 阴影部分部分的面积为 所以点 M 取自阴影部分部分的概率为 故答案为: . 点评: 本题考查的定积分的简单应用, 解决本题的关键是熟练掌握定积分的几何意义及运算 公式.简单地说,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比 ,

10

例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 22、 (2008?山东)设函数 f(x)=ax +c(a≠0) ,若 x0 的值为 .
2

,0≤x0≤1,则

考点:定积分的简单应用。 分析:求出定积分∫0 f(x)dx,根据方程 ax0 +c=∫0 f(x)dx 即可求解. 解答: 解: ∵f(x)=ax +c(a≠0) (x0) 0 f ,∴f =∫ (x)dx=[ ∴x0 = ,∵x0∈[0,1]∴x0=
2 2 1 1 2 1 1 2

+cx]0 = +c.又∵f(x0)=ax0 +c.



点评:本题考查了积分和导数的公式,属于基本知识基本运算.同时考查了恒等式系数相等 的思想. 2 2 23、 (2002?天津)求由三条曲线 y=x ,4y=x ,y=1 所围图形的面积. 考点:定积分;定积分的简单应用。 专题:计算题。 分析:根据对称性,只算出 y 轴右边的图形的面积再两倍即可,求出 y=1 与 y=x ,4y=x 的 交点坐标,然后选择 x 为积分变量,利用定积分表示出阴影部分面积,根据定积分的定义求 出面积即可. 2 2 解答:解:如图,因为 y=x ,4y=x 是偶函数,根据对称性,只算出 y 轴右边的图形的面积
2 2

再两倍即可. 解方程组 和 ,

得交点坐标(﹣1,1)(1,1)(﹣2,1)(2,1) , , , . 选择 x 为积分变量,则 S=2[ ∴由三条曲线 y=x ,4y=x ,y=1 所围图形的面积 点评: 对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度. 运用微积分基本定理 计算定积分的关键是找到被积函数的原函数,属于基础题. 24、若 y=f(x)的图象如图所示,定义 则下列对 F(x)的性质描述正确的有 (1) (4) . (2) (1)F(x)是[0,1]上的增函数; (2)F′(x)=f(x) ; (3)F(x)是[0,1]上的减函数; (4)?x0∈[0,1]使得 F(1)=f(x0) . ,
2 2

+

]= .

11

考点:定积分;导数的概念。 专题:计算题;数形结合。 分析: 根据定积分的几何意义, 连续曲线 y=f x) 在[a, ( ≥0 b]上形成的曲边梯形的面积为 S=∫a f (x)dx,可得如图的阴影部分的面积为 F(x) ,根据上边的图形得到 F(x)为增函数;且 f (x)为 F(x)的原函数;根据下边的图形可得(4)正确. 解答:解:由定积分的集合意义可知,F(x)表示图中阴影部分的面积,且 F′(x)=f(x) , 当 x0 逐渐增大时,阴影部分的面积也逐渐增大, 所以 F(x)为增函数,故(1)(2)正确; 、 由定积分的几何意义可知,必然)?x0∈[0,1],使 S1=S2, 此时 S
矩形 ABCO

b

=S 曲边三角形 AOD 即 F(1)=∫01f(t)dt=f(x0) ,故(4)正确.

所以对 F(x)的性质描述正确的有(1) (4) (2) 故答案为: (2) (1) (4)

点评: 此题要求学生掌握定积分的几何意义, 理解导函数与原函数间的关系, 是一道基础题.

12


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