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11.1随机抽样


11.1 随机抽样
一。考纲解读 1.理解随机抽样的必要性和重要性; 2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本; 3.了解分层抽样和系统抽样方法. 二. 知识梳理 1.简单随机抽样 (1)定义:设一个总体含有 N 个个体,从中逐个_________抽取 n 个个体作为样本(n≤N),如果每 次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会__________,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样. (2)最常用的简单随机抽样的方法:_________法和___________法. 2.系统抽样的步骤 假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本. (1)先将总体的 N 个个体____________; (2)____________________,对编号进行分段,当是

N N 整数时,取 k= ; n n

(3)在第 1 段用___________________确定第一个个体编号 l ( l ? k ); (4)按照一定的规则抽取样本,通常是将 l 加上__________得到第 2 个个体编号____________, 再__________得到第 3 个个体编号__________,依次进行下去,直到获取整个样本. 3.分层抽样 (1)定义:在抽样时,将总体分成__________的层,然后按照一定____________,从各层独立地 抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样. (2)分层抽样的应用范围: 当总体是由_____________的几个部分组成时,往往选用分层抽样. 注:三种抽样方法的共同点和联系: (1)抽样过程中每个个体被抽取的机会均等; (2)系统抽样中在分段后确定第一个个体时采用简单随机抽样,分层抽样中各层抽样时采用简 单随机抽样或系统抽样.

三。典型例题 例 1。 某大学为了支持 2010 年亚运会,从报名的 24 名大三的学生中选 6 人组成志愿小组,请用 抽签法和随机数表法设计抽样方案.

例 2。某校高中三年级的 295 名学生已经编号为 1,2,3,……,295,为了了解学生的学习情况, 要按 1:5 的比例抽取一个样本,用系统抽样的方法进行抽取,并写出过程.

例 3。某政府机关有在编有员 100 人,其中副处级以上干部 10 人,一般干部 70 人,工人 20 人. 上级机关为了了解政府机构改革意见,要从中抽取一个容量为 20 的样本,试确定用何种方法抽 取,请具体实施抽取.

四。练习 1.在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性( A、与第 n 次有关,第一次可能性最大 C、与第 n 次无关,与抽取的第 n 个样本有关 2.对于简单随机抽样,每次抽到的概率( A、相等 B、不相等 ) D、无法确定 ) D、与第 n 次无关,每次可能性相等 B、与第 n 次有关,第一次可能性最小

C、可相等可不相等 ) C、随机数表法 )

3.一个年级有 12 个班,每个班从 1-50 排学号,为了交流学习经验,要求每班的 14 参加交流 活动,这里运用的抽样方法是( A、简单随抽样 B、抽签法 D、以上都不对

4.搞某一市场调查,规定在大都会商场门口随机抽一个人进行询问调查,直到调查到事先规 定的调查人数为止,这种抽样方式是( A、系统抽样 个零件的长度是 B、分层抽样 ( C、简单随机抽样 B、个体 D、非以上三种抽样方法 C、总体的一个样本 D、样本容

5.为了了解所加工的一批零件的长度,抽测了其中 200 个零件的长度,在这个问题中,200 )A、总体

量 6.为了分析高三年级的 8 个班 400 名学生第一次高考模拟考试的数学成绩,决定在 8 个班中 每班随机抽取 12 份试卷进行分析,这个问题中样本容量是( A、 8 B、400 C、96 ) B.每个运动员是个体 D.样本容量是 100 ) D 、96 名学生的成绩

7. 为调查参加运动会的 1000 名运动员的年龄情况,从中抽查了 100 名运动员的年龄,就这 个问题来说,下列说法正确的是( A.1000 名运动员是总体 C.抽取的 100 名运动员是样本

8. 甲校有 3600 名学生,乙校有 5400 名学生,丙校有 1800 名学生,为统计三校学生某方面 的情况, 计划采用分层抽样法, 抽取一个样本容量为 90 人的样本, 应在这三校分别抽取学 ) ( A.30,30,30 B.30,45,15 C.20,30,10 D.30,50,10 9. 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点.公司为 了调查产品销售的情况,需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本,记这项调查为 ①;在丙地区中有 20 个特大型销售点,要从中抽取 7 个调查其销售收入和售后服务情况,记 这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( A.分层抽样法,系统抽样法 C.系统抽样法,分层抽样法 ) B.分层抽样法,简单随机抽样法 D.简单随机抽样法,分层抽样法

10. 某初级中学有学生 270 人,其中一年级 108 人,二、三年级各 81 人,现要利用抽样方法 抽取 10 人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单 随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为 1,2,…,270;使用系统 抽样时,将学生统一随机编号 1,2,…,270,并将整个编号依次分为 10 段.如果抽得号码有 下列四种情况: ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270; 关于上述样本的下列结论中,正确的是 ( A.②、③都不能为系统抽样 C.①、④都可能为系统抽样 ) B.②、④都不能为分层抽样 D.①、③都可能为分层抽样 )

11. 某学校为了解高一 800 名新入学同学的数学学习水平,从中随机抽取 100 名同学的中考 数学成绩进行分析,在这个问题中,下列说法正确的是( (A)800 名同学是总体(B)100 名同学是样本(C)每名同学是个体(D)样本容量是 100 12. 从编号为 1~50 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射实验,若 采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取 5 枚导弹的编号可能是( )

(A)5,10,15,20,25

(B)3,13,23,33,43

(C)1,2,3,4,5

(D)2,4,8,16,32

13. 某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了 了解该单位职工的健康情况, 用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为 7 人, 则样本容量为( 则样本是______. 15.对有 n(n≥4)个元素的总体 )(A)7 (B)15 (C)25 (D)35 14. 某中学为了了解高一学生的年龄情况,从所有的 1 800 名高一学生中抽出 100 名调查,

?1, 2,?, n? 进行抽样, ?1,2,?, m? 和 先将总体分成两个子总体

?m ?1, m ? 2,?, n?
元素组成样本.用 (1≤i<j≤

(m 是给定的正整数,且 2≤m≤n-2),再从每个子总体中各随机抽取 2 个 表示元素 i 和 j 同时出现在样本中的概率,则 .

P ij

P = 1n

; 所有

P ij

n?

的和等于

16. 某校有学生 1 387 名, 若采用系统抽样法从中抽取 9 名同学参加中学生身体素质检测, 若 要采用系统抽样,则先从总体中剔除的人数为______名. 17. 某校高中部有三个年级,其中高三有学生 1 000 人,现采用分层抽样法抽取一个容量为 185 的样本, 已知在高一年级抽取了 75 人, 高二年级抽取了 60 人, 则高中部共有____名学生. 18. 今用简单随机抽样从含有 6 个个体的总体中抽取一个容量为 2 的样本。问:① 总体中的

a 在第一次抽取时被抽到的概率是多少?② 个体 a 不是在第 1 次未被抽到,而是在 第 2 次被抽到的概率是多少?③ 在整个抽样过程中,个体 a 被抽到的概率是多少?
某一个体 19. 某中学举行了为期 3 天的新世纪体育运动会,同时进行全校精神文明擂台赛.为了解这次 活动在全校师生中产生的影响,分别在全校 500 名教职员工、3 000 名初中生、4 000 名高中 生中作问卷调查,如果要在所有答卷中抽出 120 份用于评估. (1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论? (2)要从 3 000 份初中生的答卷中抽取一个容量为 48 的样本,如果采用简单随机抽样,应 如何操作? (3)为了从 4 000 份高中生的答卷中抽取一个容量为 64 的样本,如何使用系统抽样抽取到 所需的样本?

11.1 随机抽样
例 1。解答:抽签法 第一步:将 24 名志愿者编号,编号为 1,2,3,……,24; 第二步:将 24 个号码分别写在 24 张外形完全相同的纸条上,并揉成团,制成号签; 第三步:将 24 个号签放入一个不透明的盒子中,充分搅匀; 第四步:从盒子中逐个抽取 6 个号签,并记录上面的编号; 第五步:所得号码对应的志愿者,就是志愿小组的成员. 随机数表法 第一步:将 24 名学生编号,编号为 01,02,03,……24; 第二步:在随机数表中任选一数开始,按某一确定方向读数; 第三步:凡不在 01~24 中的数或已读过的数,都跳过去不作记录,依次记录下得数; 第四步:找出号码与记录的数相同的学生组成志愿小组. 例 2。思路解析:按比例分组 ? 每组编号 ? 用简单随机抽样确定每一组的学生编号 ? 间隔相 同抽取 ? 组成样本. 解答:按 1:5 分段,每段 5 人,共分 59 段,每段抽取一人,关键是确定第 1 段的编号.按照 1:5 的 比例,应该抽取的样本容量为 295÷5=59,我们把 295 名同学分成 59 组,每组 5 人.第一组是编 号为 1~5 的 5 名学生,第 2 组是编号为 6~1 的 5 名学生,依次下去,第 59 组是编号为 291~295 的 5 名学生. 采用简单随机抽样的方法,从第 1 组 5 名学生中抽出一名学生,不妨设编号为 l (1 ? l ? 5) ,那么 抽取的学生编号为 l ? 5k (k ? 0,1, 2,?,58), 得到 59 个个体作为样本,如当 l ? 3 时的样本编号 为 3,8,13,……,288,293. 例 3。解答:用分层抽样方法抽取.具体实施抽取如下: (1)∵20:100=1:5,∴10/5=2,70/5=14,20/5=4,∴从副处级以上干部中抽取 2 人,从一般干部中 抽取 14 人,从工人中抽取 4 人. (2)因副处级以上干部与工人的人数较少,他们分别按 1~10 编号与 1~20 编号,然后采用抽签

法分别抽取 2 人和 4 人;对一般干部 70 人采用 00,01,02,,……,69 编号,然后用随机数表法 抽取 14 人。 (3)将 2 人,4 人,14 人的编号汇合在一起就取得了容量为 20 的样本.

1-13: DADDAC CDBBD 14. 这 100 名同学的年龄

DBB

4 15. 【答案】 m(n ? m)

, 6

1 1 Cm?1 ? Cn?m?1 4(m ? 1)(n ? m ? 1) 4 Pn ? ? ? ; 1 2 2 Cm ? Cn?m m(m ? 1)(n ? m)(n ? m ? 1) m(n ? m) 第二空可分: 【解析】 2 Cm ?1 2 Cm ;

①当

i, j ??1,2,?, m?

Pij ?
时,

?m ?1, m ? 2,?, n? 时, Pij ? 1 ; ②当 i, j ?
③当 所以

i ??1,2,?, m?, j ? ?m ?1, m ? 2,?, n? 时,
P ? 1 ?1 ? 4 ? 6. ij

Pij ? m(n ? m) ?

4 ?4 m(n ? m) ;

16. 1

17. 3700

1 1 1 18. 解析: (1) , (2) , (3) 3 。 6 6

19. 【解析】 (1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同,所以应 当采取分层抽样的方法进行抽样. 因为样本容量=120,总体个数=500+3000+4000=7500,则抽样比:

120 2 ? ,所以有 500× 7500 125

2 2 2 =8,3000× =48,4000× =64,所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分 125 125 125
别是 8,48,64. 分层抽样的步骤是: ①分层:分为教职员工、初中生、高中生,共三层.

②确定每层抽取个体的个数:在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是 8,48,64. ③各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取样本. ④综合每层抽样,组成样本. 这样便完成了整个抽样过程,就能得到比较客观的评价结论. (2)由于简单随机抽样有两种方法:抽签法和随机数法.如果用抽签法,要作 3 000 个号签, 费时费力,因此采用随机数表法抽取样本,步骤是: ①编号:将 3 000 份答卷都编上号码:0001,0002,0003,…,3000. ②在随机数表上随机选取一个起始位置. ③规定读数方向: 向右连续取数字, 4 个数为一组, 以 如果读取的 4 位数大于 3 000, 则去掉, 如果遇到相同号码则只取一个,这样一直到取满 48 个号码为止. (3)由于 4 000÷64=62.5 不是整数,则应先使用简单随机抽样从 4 000 名学生中随机剔除 32 个个体,再将剩余的 3 968 个个体进行编号:1,2,…,3968,然后将整体分为 64 个部分, 其中每个部分中含有 62 个个体,如第 1 部分个体的编号为 1,2,…,62.从中随机抽取一个 号码, 如若抽取的是 23, 则从第 23 号开始, 每隔 62 个抽取一个, 这样得到容量为 64 的样本: 23,85,147,209,271,333,395,457,…,3 929.


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