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高一数学同步测试(3)绝对值不等式一元二次不等的解法4


高一数学同步测试(3)
绝对值不等式一元二次不等的解法
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号 填在题后的括号内。 1.不等式 1 ? 2 x ? 5 ? 7 的解集是 A. ? x ?2 ? x ? 1, 或 ? 6 ? x ? ?3? C. x ?2 ? x ? 1, 或 ? 6 ? x ? ?3 ( ) B. ? x ?2 ? x ? 1, 或 ? 6 ? x ? ?3?

?

2.设集合 P ? x x ? 4 x ? 5 ? 0 , Q ? x x ? a ? 0 ,则能使 P ? Q ? ? 成立的 a 的值是
2

?

?

?

?

D. ? x ?2 ? x ? 1, 或 ? 6 ? x ? ?3?

?

? ? C. ?a ?1 ? a ? 5?
A. a a ? 5 3.不等式 3 x ? 12 ? 9 的整数解的个数是 A.7 B.6

? ? D. ?a a ? 1?
B. a a ? 5 C.5 D.4









3x ? 1 4.不等式 ? 1 的解集是 2? x
A. ? x 3 ? x ? 2 ? ? ?
? 4 ? ? 3 C. ? x x ? 或x ? 2 ? ? 4 ? ?

( B. ? x 3 ? x ? 2 ? ? ?
? 4 ?



D. ? x x ? 2? ( )

5.不等式 4 ? x 2 ?

x x

? 0 的解集是

A. ? x ?2 ? x ? 2? C.

? x ?2 ? x ? 0或0 ? x ? 2?

? D. ?x ?

B. x ? 3 ? x ? 0或0 ? x ? 2

3 ? x ? 0或0 ? x ?

? 3?

6.某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装 磁盘,软件至少买 3 片,磁盘至少买 2 盒,则不同的选购方式共有 ( ) A.5 种 B.6 种 C.7 种 D.8 种 7.已知 a ? 0 ,不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 在实数集 R 上的解集不是空集,则 a 的取值范围是 ( A. a ? 0 B. a ? 1 C. a ? 1 D. a ? 2 ) 8.设集合 A ? x x ? a ? 2 , B ? ? x A. a 0 ? a ? 1 )

?

?

?

?

? 2x ?1 ? ? 1? ,若 A ? B ,则 a 的取值范围是( ? x?2 ?
B. a 0 ? a ? 1

?

?

-1-

C. a 0 ? a ? 1

?

?

D. a 0 ? a ? 1

?

?

9.下列不等式: (1) |10000 x ? 1|? 0 , (2) | 3 ? 10000 x |? ?1, (3) | x ? 3| ? | x ? 3|? 6 中,解 集不是空集的有 ( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 10.不等式 ax2 +bx+c>0 的解是 0<α <x<β ,则不等式 cx2- bx +a>0 的解为 ( )

1 1 <x< ? ? 1 1 C.- <x<- ? ?
A.

B.-

1

? 1 1 D. < x< ? ?

<x<—

1 ?

二、填空题:请把答案填在题中横线上。 11.己知关于 x 的方程(m+3)x 2-4mx +2m-1= 0 的两根异号,且负根的绝对值比正根大,那 么实数 m 的取值范围是 ; 12.如果不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是空集,那么系数 a,b,c 应满足的条件为 ; 2 13.已知集合 A={x||x+2|≥5},B={x|-x +6x-5>0},则 A∪B= ; 14.若不等式 2x-1> m(x2-1)对满足 -2 ≤ x ≤2 的所有 m 都成立,则 x 的取值范围是 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.以知 A ? ? x || x ? 1|? c, c ? 0?, B ? ?x || x ? 3 |? 4 ?, 且A ? B ? ? ,求 C 的范围。

16.解下列不等式:

(1)

x?4 ?0 x ?1

(2)

5 ? ?1 x ?1

(3) ? 4 ? x 2 ? 5 x ? 2 ? 26

(4) | 3x ? 2 |?| x |

-2-

17.解关于 x 的不等式:

(1)56 x 2 ? ax ? a 2 ? 0,

(2)2 x 2 ? mx ? 2 ? 0

18.若不等式

1 2 x ? qx ? p ? 0 的解集为 ?x | 2 ? x ? 4?,求实数 p 与此同时 q 的值。 p

19.己知函数 f (x) = ax2 +bx+c 的图象经过点(-1,0),且不等式 x≤ f(x) ≤ 意 x ∈ R 恒成立,求函数 f (x)的解析表达式.

1 (1+x2 )对任 2

-3-

2 2 ? ? a ? 1? ? ? a ? 1? ? , B ? x 2 ? x ? 3a ? 1 (其中 a ? R )是否存 ? ? 20.设集合 A ? ? x x ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? 在实数 a 使 A ? B ? A ?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由。

参考答案(3)
一、选择题:BBABB CBABC -4-

二、填空题: 11.-3< m<0;12.a<0 且 b2-4ac≤0;13.{x|x≤-7 或 x>1};14. 三、解答题: 15.分析:先把 C 看成常数,解绝对值不等式,求集合 A、B 中 X 的取值范围,再利用 A ? B ? ? 确定 C 的范围 。 解:化简 A ? ? x | ?c ? 1 ? x ? c ? 1? , B ?

?1? 7 1? 3 。 ?x? 2 2

?x | x ? 7或x ? ?1? ,由A ? B ? ?



?? c ? 1 ? ?1 ?c ? 2 即? ? ?c ? 1 ? 7 ?c ? 6

∴C 的范围是 0<C≤6。

点评:⑴在解涉及不等式或不等式组的问题时,运用不等式(组)的意义与交集的意义正确求解,利用 解集的数轴表示,往往是很有帮助的; ⑵对于不等式 c1 借助绝对值的几何意义可简捷得到 c1 ? ax ? b ? c2 或者 ?| ax ? b |? c2 (c2 ? c1 ? 0) ,

?c2 ? ax ? b ? ?c1
? 16.解:⑴原不等式可化为 ?? x ? 4 ?? x ? 1? ? 0 ,解得 x ? ?4, 或者x ? 1; ? ? ?x ?1 ? 0
⑵原不等式可化为

x?4 ? 0 ,由⑴得 x ? ?4, 或者x ? 1; x ?1
? x 2 ? 5 x ? 2 ? 26
2 ? x ? 5 x ? 2 ? ?4 ?

⑶原不等式可化为 ? ?

,即 ?

? x 2 ? 5 x ? 24 ? 0 ? ?3 ? x ? 8 ? ,从而 ? 2 ? x ? 5x ? 6 ? 0 ? x ? 3, 或者x ? 2 ?
2

故 ?3 ? x ? 2, 或者3 ? x ? 8 ; ⑷原不等式可化为 ? 3 x ? 2 ? ? x 2 ,即 2 x

2

?3 x ? ?0 ,故 ?1? x?? 1 。 1
2

点评:①一元一次分式不等式可转化为一元二次不等式求解,但要注意分母不能为 0; ②形如 | 3x ? 2 |?|

x | 的绝对值不等式,平方法求解比零点分类讨论的解法要简捷得多。

17.分析:基本解法:数轴标根,图像定解。 解: (1)方程 56 x 2 ? ax ? 2 ? 0 的根为 x ? ? a , x ? a 1, 2 ∵ x 2 ? x1 ?

7

8.

15 于是 a. 56

①当 a

? 0 时, x1 ? x2 ? 0 ,∴原不等式的解集为 ? ;
? 7 8?

②当 a ? 0, 时, x2 ? x1, ∴原不等式的解集为: ? x | ? a ? x ? a ?. ? ?

③当 a

a? ? a ? 0时x2 ? x1 ,∴原不等式解集为 ? x | ? x ? ? ? 7? ? 8

点评:引起分类讨论的原因是两根大小关系不确定,因此需比较两根的大小,才可在数轴上标根。 -5-

(2)分析:方程 2 x 解:△= m
2

2

? mx ? 2 ? 0 的实数根情况不清楚,因此需要对△的符号分类讨论。
①当 m
2

? 16 。

? 16 ? 0即m ? ?4或m ? 4时 ,△>0。
? m ? m 2 ? 16 ? m ? m 2 ? 16 , x2 ? . 4 4

方程 2 x

2

? mx ? 2 ? 0 有二实数根: x1 ?
? ? ? x?

∴原不等式的解集为 ? x | ?

? ? m ? m 2 ? 16 ? m ? m 2 ? 16 ? 或x ? ?. 4 4 ? ?

①当 m =±4 时,△=0,两根为 x1 若m

? x2 ? ?

m . 4

? 4, 则其根为-1。∴原不等式的解集为 ?x | x ? R, 且x ? 1?。

②当 -4< m ?

4 时,方程无实数根。∴原不等式的解集为 R。

点评:引起分类讨论的原因是对相应方程的实数根的判别,故需对△的符号分类讨论。 18.分析:已知不等式的解集,如何待定不等式中的参系数? 需要从一元二次不等式与一元二次方程、二次 函数的关系分析入手。 解:由不等式

1 2 x ? qx ? p ? 0 的解集为 ?x | 2 ? x ? 4?,得 p

2 和 4 是方程

1 1 2 (如图) x ? qx ? p ? 0 的两个实数根,且 ? 0 。 p p

?

?1 ?P ? 0 ? ?2 ? 4 ? ? pq ? p ? 0. ?2 ? 4 ? p 2 ? ?

解得 P ? ?2 2 (舍去p ? 2 2 ).q ? 故?

3 2. 2

? p ? ?2 2 为所求。 ? 3 q? 2 ? ? 2

点评:①也可从

1 2 1 x ? px ? q ? ( x ? 2)( x ? 4) 展开,比较系数可得。 p p

②(2)对(1) ,变解集为

?x | x ? 2或x ? 4 }呢?

答:解集的形式对开口方向有影响。

-6-

(3)若

??1 ? ?? ? 0 ? 1 2 x ? x ? p 2 ? 0 的解集中,求 p 的取值集合; ? ? p ?. p ? ?? ? 1 ? 4 p ? 0 ? ?? ?

(4)若

1 2 x ? x ? p 2 ? 0 的解集为 R,求 p 的取值集合。 p

?? 1 ? ?? ? 0 ? ?? p ?. ? ?? ? 1 ? 4 p ? 0 ? ?? ?

归纳:已知一元二次不等式的解集,待定不等式的参系数问题,应理解解集的端点是相应一元二次方程 的根,解集的形式对应着二次项系数的符号。 19.解:由题意可知 f(-1)=0,有 a-b+c=0,……(1) 又不等式 x ? f ( x) ?

1 (1 ? x 2 ) 对 x ? R 恒成立,取 x=1 即成立, 2
于是 a ? b ? c ? 1,?(2)

则有 1 ? a ? b ? c ? 1 , 由(1)(2)得 b ? ,

1 1 1 1 , a ? c ? ,? f ( x) ? ax 2 ? x ? ? a. 2 2 2 2

由题给条件:对 x ? R, x ? f ( x) ?

1 (1 ? x 2 ) 恒成立, 2

? x ? ax 2 ?
2

1 1 1 x ? ? a ? (1 ? x 2 ) 对 x ? R 恒成立. 2 2 2
? x ? 2a ? 0 对 x ? R 恒成立.
2

2 即 ax 2 ? 1 x ? 1 ? a ? 0 且 (1 ? 2a) x

所以有 ?

?a ? 0 ?1 ? 2a ? 0 且? ? 1 2 1 2 ?? ? (? 2 ) ? 4a ( 2 ? a ) ? 0 ?? ? (?1) ? 4(1 ? 2a)( 2a) ? 0 ?

?a ? 0 ?a ? 解得 ? 且? ∴得 a= c= 1 . 2 2 4 ( 4a ? 1) ? 0 ? 2 ? ?( 4a ? 1) ? 0
2 2

?

1

故所求函数为 f(x)= 1 x 2 ? 1 x ? 1 .

4

2

4

20.解:由关于实数 x 的不等式 x ? ? a ? 1? ? ? a ? 1? ,可得: ? ?

a ? 1? 2

2

? x?

? a ? 1?
2

2

?

? a ? 1?
2

2

,即

2

2

2 A ? x 2a ? x ? a 2 ? 1 ; ∵ A ? B ? A ,∴ A ? B , ∴ 2 ? 2a ? a ? 1 ? 3a ? 1 ,即 1 ? x ? 3

?

?

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-7-


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