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山东省实验中学高三三下学期6月模拟考试数学(理)试题


山东省实验中学 2012 级高三第二次模拟考试 理学试题(理) 2015,6

说明:试题分为第 I 卷(选择题)和第 I 卷(非选择题)两部分.试题答案请用 2B 铅 笔或 0,5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上,书写在试题上的答案无效,考试时间 120 分 钟. 一、选择题(本题包括 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题只有一个选项符合题意)
x l-已知全集 U=R,集合 A ? x | 0 ? 2 ? 1 , B ? ? x | log 3 x ? 0? ,则

?

?

A.

?x | x ? 1?

B.

?x | x ? 0?

C.

?x | 0 ? x ? 1?

D.

?x | x ? 0?

2.若 ? , ? ? R , 则

? ? ? ? 90? 是 sin ? ? sin ? ? 1 的
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充耍条件

3.复数 z 满足 (1 ? 2i) z ? 7 ? i ,则复数 z ? =( ) A. 1 ? 3i B. 1 ? 3i C. 3 ? i D. 3 ? i 4.执行下图所示的程序框图,若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值的个 数是 A. 1 B. 2 C. 3 D.4 5.下列四个命题: ①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度; ②某只股票经历了 l0 个跌停(每次跌停,即下跌 l0%)后需再经 过如个涨停(每次涨停,印上涨 10%)就酉以回到原来的净值; ③某校高三一级部和二级部的人数分别是 m、n,本次期末考试 两级部;学平均分分别是 a、b,则这两个级部的数学平均分为

na mb ? m n
④某中学采伯系统抽样方法,从该校高一年级全体 800 名学生中 抽 50 名学生做牙齿健康检查,现将 800 名学生从 001 到 800 进行 编号,已知从 497--512 这 16 个数中取得的学生编号是 503,则初始在第 1 小组 00l~016 中 随机抽到的学生编号是 007. 其中真命题的个数是 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 6.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A>0, ? ?

? )的部分图象 2

如图所示,为了得到 g(x)=sin 2x 的图象,则只需将 f (x)的图象 A.向右平移

? 个长度单位 6

B.向右平移

? 个长度单位 12

C.向左平移 7.已知数列 和为 A.

? 个长度单位 6

D.向左平移

? 个长度单位 12

?an ??bn ? 满足
B.

a1 ? b1 ? 1, an?1 ? an ?? 2, n ? N ? ,则数列 ban 的前 10 项
1 9 ? 4 ? 1? 3 4 9 ? 4 ? 1? 3

? ?

1 10 ? 4 ? 1? 3

4 10 ? 4 ? 1? 3

C.

D.

8.函数 f ( x) ? ( x2 ? 2 x)e x 的图像大致是

9.已知 A、B 是圆 O : x2 ? y 2 ? 1上的两个点,P 是 AB 线段上的动点,当 ? AOB 的面积最 大时,则 AO ? AP ? AP 的最大值是 A. -1 B.0 C.

???? ??? ? ??? ?2

1 8

D.

1 2

10.已知 a>0,b>0,c>0,且 ab ? 1, a2 ? b2 ? c2 ? 4 ,则 ab+bc+ac 的最大值为 A. 1 ? 2 2 B. 3 C. 3 D. 4

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二.填空题(本题包括 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
2 11.已知 f ( x) ? x ? 2 ? x ? 4 的最小值是 n, 则二颈式 ( x ? ) 展开式中 x 项的系数为
n

1 x

__________. 12. 若双曲线 C : 2 x2 ? y 2 ? m(m ? 0) 与抛物线 y 2 ? 16 x 的准线交于 A , B 两点,且

AB ? 4 3 则 m 的值是__________.
? x ? y ? 2 ? 0, ? 13.若实数 x,y 满足条件 ? x ? y ? 0, , 则 z=3x-4y 的最大值是__________. ? x ? 3, ?
14.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为__________. 15 .用 [x] 表示不大于实数 x 的最大整数, __________. 方程 lg x ? ?lg x? ? 2 ? 0 的实根个数是
2

三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) . 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ? sin ? x(? ? 0) 在区间 ? 0, ? 上单调递减, 在区间 ? , 上单调递 ? 3? ?3 3 ? ? 增;如图,四边形 OACB 中,a,b,c 为△ABC 的内角以 B, C 的对边,且 满足 tan A ?

? ??

? ? 2? ?

sin B ? sin c 4? ? cos B ? cos C 3



(I)证明:b+c =2a: (Ⅱ)若 b=c,设 ?AOB ? ? .

(0 ? ? ? ? ), OB ? 2OB ? 2 ,求四边形 OACB 面积的最大值.
17. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P –ABCD 中,PA ? 平面 ABCD, ? DAB 为直角, AB//CD,AD=CD=2AB=2,E,F 分别为 PC,CD 的中点. ( I)证明:AB ? 平面 BEF: (Ⅱ)设 PA =h,若二面角 E-BD-C 大于 45
?

,求 h 的取值范

围. 18.(本小题满分 12 分) 一个袋子装有大小形状完全相同的 9 个球,其中 5 个红球编号分别为 l,2,3,4,5:4 个 白球编号分别为 1,2,3,4,从袋中任意取出 3 个球. (I)求取出的 3 个球编号都不相同的概率; (II)记 X 为取出的 3 个球中编号的最大值,求 X 的分布列与数学期望, 19. (本小题满分 12 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 2, an?1 ? Sn ? n , 等差数列

?bn ? 的各项为正,其前

n 项和为 Tn ,且 T3 ? 9 ,又 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列. (I)求

?an ? , ?bn ? 的通项公式}
1 1 1 4 ? 2 ? ??? ? 2 ? 2 5 b1 b2 bn

( II)求证:当 n ? 2 时, 20. (本小题满分 13 分) 如图,椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 a 2 b2

2 2 ,x 轴被曲线 C2 : y ? x ? b 截 2

得的线段长等于 C1 的短轴长, C2 与 y 轴的交点为 M,过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交于 点 A、B,直线 MA,MB 分别与 C1 相交于点 D、E.

(I)求 C1 、 C2 的方程; (Ⅱ)求证:MA ? MB:

(Ⅲ)记 ? MAB , ? MDE 的面积分别为 S1 , S 2 ,若 求 ? 的最小值. 21. (本小题满分 l4 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? (1 ? a ) ln x ? (I)当 a=0 时,求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)当 a<0 时,求 f ( x ) 的单调区间;

S1 ? ?, S2

1 , (a ? R) . x

(Ⅲ)方程 f ( x) ? 0 的根的个数能否达到 3,若能请求出此时 a 的范围,若不能,请说 明理由, 第二次模拟试题答案(理科数学) 一、 二、 三、 选择: DDBDC AABCA 填空 11. 15;12. 20;13. -1;14. 8:27;15. 3 解答题

2?
16 解: (Ⅰ)由题意知: ?

?

4? 3 ?? 3 ,解得: 2,

……………………2 分

? tan A ?

sin A sin B ? sin C ? sin B 2 ? cos B ? cos C

? sin B cos A ? sin C cos A ? 2 sin A - cos B sin A - cos C sin A ? sin B cos A ? cos B sin A ? sin C cos A ? cos C sin A ? 2 sin A
? sin ( A ? B) ? sin ( A ? C ) ? 2 sin A ……………………………………4 分

? sin C ? sin B ? 2 sin A ?? b ? c ? 2a …………………………………………………6 分
(Ⅱ)因为 b ? c ? 2a,b ? c ,所以 a ? b ? c ,所以 △ ABC 为等边三角形 分 …………8

1 3 SOACB ? S?OAB ? S?ABC ? OA ? OB sin ? ? AB 2 2 4

……………9 分

? sin ? - 3 cos? ?
?? ? (0,? ) ,?? 当且仅当 ? -

5 3 ? 5 3 , ?…………………10 分 ? 2sin (? - ) ? 4 3 4

?

? 2? ?(- , ), 3 3 3
5? 5 3 时取最大值, S OACB 的最大值为 2 ? ………………12 分 6 4

?
3

?

?
2

, 即? ?

17.解: (Ⅰ)证:由已知 DF∥AB 且 ? DAB 为直角,故 ABFD 是矩形, 从而 AB ? BF. ??(1 分) 又 PA ? 底面 ABCD, ∴平面 PAD ? 平面 ABCD, ??(2 分) ∵AB ? AD,故 AB ? 平面 PAD,∴AB ? PD, ??(3 分) 在Δ PCD 内,E、F 分别是 PC、CD 的中点,EF//PD,??(4 分) ∴ AB ? EF. ??(5 分) 由此得 AB ? 平面 BEF .??(6 分) (Ⅱ)以 A 为原点,以 AB,AD,AP 为 x 轴,y 轴,z 轴正向建立空间直角坐标系, 则 BD ? (?1,2,0), BE ? (0,1 )

h 2

??(8 分)

设平面 CDB 的法向量为 n1 ? (0,0,1) ,平面 EDB 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) ,



? ?n 2 ? BD ? 0 ? ? ? n 2 ? BE ? 0

?? x ? 2 y ? 0 2? ? ? 可取 n2 ? ? 2,?1, ? ? hz h? y? ?0 ? ? 2 ?

??(10 分)
z P

设二面角 E?BD?C 的大小为 ? ,则

cos? ?| cos ? n1 , n2 ?|?

| n1 ? n2 | = | n1 | ? | n2 |

2 h 5? 4 h2

?

2 , 2
D

E

y F

C

2 化简得 h ?

4 2 5 ,所以 h ? ?(12 分) 5 5

A

B

x

18 解:(I)设“取出的 3 个球编号都不相同”为事件 A,则“取出的 3 个球中恰有两个球编号 相同”为事件 A ,则

P( A) ?

1 1 2 C4 C7 1 所以 P ( A) ? 1 ? P( A) ? ? 3 3 C9 3

??????(4 分) (II) X 的取值为 2,3,4,5
1 2 2 1 1 2 2 1 C2 C2 ? C2 C2 1 C2 C4 ? C2 C4 4 P( X ? 2) ? ? , P( X ? 3) ? ? 3 3 C9 21 C9 21 1 2 2 1 C2 C6 ? C2 C6 3 C82 1 P( X ? 3) ? ? , P( X ? 5) ? 3 ? 3 C9 7 C9 3

???????(8 分)

所以 X 的分布列为: X

2

3

4

5

4 3 1 P 7 3 21 1 4 3 1 85 ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? ………..12 分 的数学期望 EX ? 2 ? 21 21 7 3 21 19 解: (Ⅰ)由 an ?1 ? Sn ? n ,得

1 21

an ? Sn ?1 ? (n ? 1) (n ? 2) ,两式相减得
an ?1 ? an ? Sn ? Sn ?1 ? 1 ? an ? 1 ,所以 an ?1 ? 2an ? 1
所以 an ?1 ? 1 ? 2(an ? 1) (n ? 2) ---------------------------------2 分

-------------------------------------3 分

又 a2 ? 3, 所以 an ? 1 ? 2n ? 2 (a2 ? 1) ? 2n ,从而 an ? 2n ? 1 (n ? 2) ----------------5 分 而 a1 ? 2 ,不符合上式,所以 an ? ?

?2 ,

n ?1

n ?2 ? 1, n ? 2

-------------------------------------6 分

因为 {bn } 为等差数列,且前三项的和 T3 ? 9 ,所以 b2 ? 3 ,--------7 分 可设 b1 ? 3 ? d , b3 ? 3 ? d , 由于 a1 ? 2, a2 ? 3, a3 ? 7 ,于是

a1 ? b1 ? 5 ? d , a2 ? b2 ? 6, a3 ? b3 ? 10 ? d ,因为 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,
所以 (5 ? d )(10 ? d ) ? 36 , d ? 2 或 d ? ?7 (舍) 所以 bn ? b1 ? (n ? 1)d ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 (Ⅱ)因为 -----------------------------------9 分

1 1 1 1 1? 1 1? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 (2k ? 1) (2k ? 1) ? 1 2k (2k ? 2) 4 ? k ? 1 k ? bk

所以,当 n ? 2 时

1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? 2 ? 2 ?? 2 1 3 (2n ? 1)2 b1 b2 bn
1 5 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? 1? ? 1 ? 1 ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 1 ? ?1 ? ? ? 1 ? ? 4 4 4 ? n? 4 ?? 2 ? ? 2 3 ? ? n ? 1 n ??
----------------------------------------------------12 分 -------

20.解(1)

c 2 ? ? a 2 ? 2b 2 a 2

(1 分)

又 2 b ? 2b ,得 b ? 1 ? C2 : y ? x 2 ? 1, C1 :

x2 ? y2 ? 1 2

(3 分)

? y ? kx (2)设直线 AB : y ? kx, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则 ? ? x 2 ? kx ? 1 ? 0 2 y ? x ? 1 ?

(4 分)

???? ???? MA ? MB ? ( x1 , y1 ? 1) ? ( x2 , y2 ? 1) ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1=0

?MA ? MB
(3)设直线 MA : y ? k1 x ? 1; MB : y ? k2 x ? 1, k1k2 ? ?1

(6 分)

? ? y ? k1 x ? 1 ?x ? 0 ? x ? k1 , 解得 ? 或? ? A(k1 , k12 ? 1) ,同理可得 B(k2 , k22 ? 1) ? 2 2 y ? ? 1 ? y ? k1 ? 1 ? ? y ? x ?1 ?

S1 ?

1 1 2 MA MB ? 1 ? k12 1 ? k2 k1 k2 2 2

(8 分)

4k1 ? x? ? y ? k1 x ? 1 2 ? ?x ? 0 4k1 2k12 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2k1 , 解得 或 ? D ( , ) ?x ? ? 2 2 1 ? 2k12 1 ? 2k12 ? y ? ?1 ? y ? 2k1 ? 1 ? ? y ?1 ?2 ? 1 ? 2k12 ?
16k1k2 4k 2 2k 2 2 ? 1 1 1 2 , ) ? S2 ? MD ME ? 同理可得 E ( 1 ? k12 1 ? k2 2 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2 k 2 2 2 (1 ? 2k12 )(1 ? 2k2 )
分) (11

S1 (1 ? 2k )(1 ? 2k ) ?? ? ? S2 16
2 1 2 2

5 ? 2(

1 ? k12 ) 2 k1 9 ? 16 16
(13

所以 ? 的最小值为 分)

9 16

,此时 k=1 或-1.

21 解: (Ⅰ) f ( x ) 其定义域为 (0,??) . 当 a ? 0 时, f ( x ) ? ln x ? 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 ,

?????1 分

1 1 1 x ?1 , f ?( x) ? ? 2 ? 2 . x x x x

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x ) 的单调递减区间是 (0,1) ,单调递增区间是 (1,??) ; 所以 x ? 1 时, f ( x ) 有极小值为 f (1) ? 1 ,无极大值 ?????3 分 (Ⅱ) f ?( x) ? a ?

a ? 1 1 ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 (ax ? 1)( x ? 1) ? 2? ? ( x ? 0) ???4 分 x x x2 x2

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? 当 ? 1 ? a ? 0 时, 1 ? ?

1 a

1 1 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 或 x ? ? , a a 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 1 ? x ? ? ; a

当 a ? ?1 时, f ?( x) ? ? 当 a ? ?1 时, 0 ? ?

( x ? 1) 2 ? 0. x2

1 1 ? 1 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? ? 或 x ? 1 , a a 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 ? ? x ? 1 ; a

综上所述: 当 ? 1 ? a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间是 (0,1) , (? 单调递增区间是 (1,? ) ; 当 a ? ?1 时, f ( x ) 的单调递减区间是 (0,??) ; 当 a ? ?1 时, f ( x ) 的单调递减区间是 (0,? ) , (1,??) ,单调递增区间是 ( ?

1 ,?? ) , a

1 a

1 a

1 ,1) a

????????10 分 (Ⅲ) a ? 0 时? f ?( x) ?

(ax ? 1)( x ? 1) ( x ? 0) x2

? f ?( x) ? 0 ( x ? 0) 仅有 1 解,方程 f ( x) ? 0 至多有两个不同的解.
(注:也可用 f min ( x) ? f (1) ? a ? 1 ? 0 说明.) 由(Ⅱ)知 - 1 ? a ? 0 时 ,极小值 f (1) ? a ? 1 ? 0 , 方程 f ( x) ? 0 至多在区间 (? 有 1 个解.

1 ,?? ) 上 a

a ? -1 时 f ( x) 单调, 方程 f ( x) ? 0 至多有 1 个解.;
1 1 a ? -1 时, f (? ) ? f (1) ? a ? 1 ? 0 ,方程 f ( x) ? 0 仅在区间 (0,? ) 内有 1 个解; a a
故方程 f ( x) ? 0 的根的个数不能达到 3. ???????14 分


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