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10常州市2014届高三上学期期中考试数学试题参考答案


常州市 2013 年高三年级期中考试 数学试题答案
?? ,0 ,1 1、若集合 A , B ?? 1 ,3 ?1 ? ? ,则 A ? B =___▲_____.
2、命题:“ ? , x? ”的否定是 x ?? 10 x ? ( 0 ,? ? )
2



.

3 ? iz )? 1

0 i( i 为虚数单位),则 z 的模为___▲_____. 3、已知复数 z 满足 (
7? = ▲ 6 5、一根绳子长为 6 米,绳上有 5 个节点将绳子 6 等分,现从 5 个节点中随机选一个将绳子剪 断,则所得的两段绳长均不小于 2 米的概率为 ▲ .
4、求值: c o s 6、为了了解高三学生的身体状况,抽取了部分男生的体重,将所得的数据整理后,画出了 频率分布直方图(如图) 。已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1:2:3,第 2 小组的 频数为 12,则抽取的男生人数是 ▲ 。 7、 设等比数列 { a n } 的各项均为正数, 其前 n 项和为 S n . 若 a1 ? 1 ,

a3 ? 4 , Sk ? 63 ,则 k ? __▲___.
x ? 2 y ?? 10 8 、 设 a?R , 则 “ a ? 1 ” 是 “ 直 线 a 与直线 x ?? ( a1 ) y ? 40 ? 平行”的___▲____. (填充要条件、充分不 必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件之一) 9 、阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为 ▲ .
10、已知向量 a 的模为 2,向量 e 为单位向量, e ?(a?e ) ,则 向量 a 与 e 的夹角大小为 ▲ .

开始

x←1, y←1 z←x + y

z ? 20
11、椭圆
2 2 x y + ? 1 b ? 0 ?a? ?的右焦点为 F 1 ,右准线为 l 1 ,若 2 2 a b

否 输出



y x

x←y y←z (第 9 题图) 。

过点 F 1 且垂直于 x 轴的弦的弦长等于点 F 1 到 l 1 的距离,则 椭圆的离心率是 12 、 设 集 合 ▲ .

结束

2 2 , M ? { y | y ? | c o s x ? s i n x | , x ? R }

1 N? { x|| x? |? 2, i 为虚数单位, x ? R } ,则 M N为 i

1

13、定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x∈(-∞,0)时,f(x) =x +2x-1,则不等式 f(x)<-1 的解集 是___▲___. 14、设函数 f(x)=x3-2ex2+mx-lnx,记 g(x)=f(x)/x,若函数 g(x)至少存在一个零点,则实 数 m 的取值范围是__▲___

2

1、 {1}

2 2、 ? x ? ( 0 , ?? ), x ? x ? 1 ? 0

3、 1 0

4、 ?

3 2

5、

3 5
9、 1 3 8

6、48 10、

7、6

8、充分不必要条件 12、 [ 0 , 1 ) .

?
3

11、

1 2

13、(-2,0)( 1+ 3, +?)

1? ? 2 14、 ? -?,e ? ? e? ?

(2)∵

C ? 3 ? ? s .由正弦 f (? )s ? i n C ?, 0 ? C ?? ,C ? ∵ 2 i n A ? s i n B 2 1 2 2 2 3
∵ c ? 3, 由余弦定理, 得9 ? a? b? 2 a b c o s , ②
2 2

定理得 b ? 2a, ① 解①②组成的方程组,得 ?

?

3

?a ? 3 . ?b ? 2 3

14 分

B C ? A B C 16、 (本小题满分 14 分)如图,在三棱柱 A 中. 1 1 1 B C, B C?A B,证明:平面 ABC (1)若 B 1 ?B 1 1 1 ? 平面 A 1 BC1 ;
(2)设 D 是 B C 的中点, E 是 A1 C 1 上的点,且 A1 B // 平面 B1 DE ,求

A1E 的值. EC1

B C, C?B C 解: (1) 因为 B 所以侧面 BCC 所以 B 又 1 ?B 1B 1 是菱形, 1 1. C?A B,且 A B ? B C B 因为 B ,所以 BC1 ? 平面 A1 BC1 ,又 1 1 1 1?
2

B1C ? 平面 AB1C ,所以平面 ABC 1 ? 平面 7 分 A1 BC1 . (2)设 B 1 D 交 B C 1 于点 F ,连结 EF ,则平面 AB 1 C 1 ?平面 B1 DE = EF , A E BF BF BD 1 因为 A1 B // 平面 B1 DE , A1 B ? 平面 A1 BC1 ,所以 1 ? .又因为 ? ? , EC1 FC1 FC BC 2 1 1 1 AE 1 所以 1 ? . 14 分 E C1 2 17、 (本小题满分 14 分)如图,某农业研究所要在一个矩形试验田 ABCD 内种植三种农作
物,三种农作物分别种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的矩形中.试验田四周和三 个种植区域之间设有 1 米宽的非种植区.已知种植区的占地面积为 800 平方米. (1)设试验田 ABCD 的面积为 S , AB )的解析式; ?x,求函数 S ? f (x (2)求试验田 ABCD 占地面积的最小值.

解:(1)设 ABCD 的长与宽分别为 x 和 y ,则

S ?xy?

(792 ? 2x) x x?4

( x ? 4 )( y ? 2 ) ? 800 ?2 分 792? 2x ?????4 分 y? x ?4 试验田 ABCD 的面积
??????????????6 分

(2 令 x? t? 4?t , t ? 0 ,则 S?2

? 968
当且仅当 2t ?

3 2 0 0 , ?????????????9 分 ? 8 0 8 t
?????????????11 分

3200 时, t ? 40,即 x ? 44 ,此时, y ? 22. ??13 分 t 2 答: 试验田 ABCD 的长与宽分别为 44 米、22 米时,占地面积最小为 968 米 .??14 分

2 () x? x? 8 l n x 18、 (本小题满分 16 分)已知函数 f ,g . () x? ? x ? 1 4 x
2

, f (1 ))处的切线方程; (Ⅰ) 求函数 f ( x ) 在点 (1
(Ⅱ) 若函数 f ( x ) 与 g ( x ) 在区间 ?a, a ?1? 上均为增函数,求 a 的取值范围; (Ⅲ) 若方程 f 有唯一解,试求实数 m 的值. () x? g () x ? m (1)6x+y-7=0
a?2

(2)f(x)的增区间为 ? 2, ?? ? , g(x)的增区间为 ? ??,7? , 由 ? a ? 1? 7 得 a 的取值范围 ? 2, 6 ? (3)令 h ( x ) ? fx ( ) ? g ( x )
2 h ( x ) ? 2 x ? 1 48 x ? l n x 8 / h (x )?4 x? 1 4? x 得 h(x)在 ? 0, 4 ? 上递减,在 ? 4, ??? 上递增

5 分

10 分

3

有唯一解 () x? g () x ? m 所以 x ? 4 时,方程 f m ? ?? 2 4 1 6 l n 2 16 分 19、 (本小题满分 16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l: 2 2 x -y+3+ 8 2 =0 和圆 C 1 : x 2 + y 2 +8x+F=0.若直线 l 被圆 C 1 截得的弦长为 2 3 . (1)求圆 C 1 的方程; (2)设圆 C 1 和 x 轴相交于 A,B 两点,点 P 为圆 C 1 上不同于 A,B 的任意一点,直线 PA, PB 交 y 轴于 M,N 两点.当点 P 变化时,以 MN 为直径的圆 C 2 是否经过圆 C 1 内一定点?请证 明你的结论; (3)若△RST 的顶点 R 在直线 x=-1 上,点 S,T 在圆 C 1 上,且直线 RS 过圆心 C 1 ,∠SRT = 30 ? ,求点 R 的纵坐标的范围.

? ?8 2 ?3?8 2 ? (1)圆 C 1 : (x ? 4) + y =16-F.由题意,可得 ( 3 ) + ? ? ? ? =16-F,所 3 ? ? 2 2 以 F=12,所以圆 C 1 的方程为 (x ? 4) + y =4. (4 分)
2 2
2

2

(2)设 P( x 0 , y 0 )( y 0 ≠0),则 (x0 ? 4)2 + y 02 =4.又 A(-6,0),B(-2,0), 所以 l P A :y=

y0 6 y0 y0 2 y0 (x+6),M(0, ), l P B :y= (x+1),N(0, ). (6 分) x0 ? 6 x0 ? 6 x0 ? 2 x0 ? 2
2

6 y0 2 y0 ? 2 y0 ? ? 6 y0 ? ? ? ? ? x ? 6 x0 ? 2 x ? 6 x0 ? 2 ? =? 0 圆 C 2 的方程为 x 2 + ? y ? 0 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 y0 + )y-12=0,令 y=0,得 x= ? 2 3 (9 分) x0 ? 2

? ? 6 y0 ? .化简得 x 2 + y 2 -( x0 ? 6 ? ? ?

2

又点( ? 2 3 ,0)在圆 C 1 内,所以当点 P 变化时,以 MN 为直径的圆 C 2 经过圆 C 1 内一定点 ( ? 2 3 ,0). (10 分) (3)设 R(-1,t),作 C 1 H ⊥RT 于 H,设 C 1 H =d,由于∠ C1 RH = 30 ? ,所以 R C 1 =2d. 由题意 d≤2,所以 R C 1 ≤4,即 9 ? t 2 ≤4,所以 ? 7 ≤t≤ 7 . 所以点 A 的纵坐标的范围为[ ? 7 , 7 ]. 20、 (本小题满分 16 分)已知数列 ? a n ? 的首项为 a (a?0 ),前 n 项和为 S n ,且有 (1)求数列 ? a n ? 的通项公式;
n

(16 分)

,b S ? t S ? a ( t ? 0 ) 1. n ? 1 n n ?S n?

(2)当 t ? 1 时,若对任意 n? N* ,都有 bn ? b5 ,求 a 的取值范围; (3)当 t ? 1 时,若 cn ? 2 ?

? b ,求能够使数列 ? c ? 为等比数列的所有数对 ( a , t ) .
i ?1 i

n

t S a解得 a2 ? at ,当 n ? 2 时, S t S a 解: (1)当 n ? 1 时,由 S , 2? 1? n? n ? 1? ?? S (n ? S ) 所以 S ,即 a n ? 1 n tS n ? 1 n? 1 ?at n ,
又因为 a 1 ?a?0,综上,有
n? 1 所以 a . n ? at

an?1 ? t(n?N*) ,所以 ? a n ? 是首项为 a ,公比为的等比数列, an
4 分

(2)当 t ? 1 时, S ,此时 ? b n ? 为等差数列; ? n a , b ? n a ? 1 , bb ? ? a n n n ? 1 n
4

当 a ? 0 时,? b n ? 为单调递增数列,且对任意 n? N* , an ? 0 恒成立,不合题意; 当 a ? 0 时, ? b n ? 为单调递减数列,由题意知得 b ,且有 ? 0 ,b 0 4? 6?

6 分

? ? b4 ? b5 ,解得 ? ? ? b6 ? b5

2 2 2? ? 2 10 分 ? ? a ? ? .综上 a 的取值范围是 ? ? , ? ? . 9 11 ? 9 11 ? a a tn (3)因为 t ? 1 , b , ? 1 ? ? n 1?t 1?t n ? 1 a a 2 aa ( t ? t ) n 所以 c ? 2 ? ( 1 ? ) n ? ( t ? t ? ? t ) ? 2 ? ( 1 ? ) n ? n 1 ? t 1 ? t 1 ? t ( 1 ? t ) 2
n ? 1 a t 1 ? t ? a a t ,由题设知 ? c n ? 为等比数列,所以有 ?? 2 ? n ? 2 2 ( 1 ? t ) 1 ? t ( 1 ? t ) at ? 2? ? 0 ? ?a ? 1 (1 ? t ) 2 ? ,解得 ? ,即满足条件的数对是 (1, 2) . ? ?t ? 2 ?1 ? t ? a ? 0 ? ? 1?t

16 分

(或通过 ? c n ? 的前 3 项成等比数列先求出数对 ( a , t ) ,再进行证明)

5


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