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2014年浙江省高中数学竞赛试题解答


2014 年浙江省高中数学竞赛试题解答
一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后
的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分)

1. 已 知 集合 P {1,| = = a |}, Q {2, b 2 } 为全集 = U {1, 2,3, a 2 + b 2 + a + b}

的子集,且 CU {P ? Q} = {6} , 则下面结论正确的是( (A)= a 3, = b 1 1.答案 D   (B) a = 3, b = ?1 ).

(C) a = (D) a = ?3, b = 1 ?3, b = ?1

解 由 CU {P ? Q 6, 显然只有答案 D 符合。  = } {6} ? a 2 + b2 + a + b = 2. 已知复数 z1 , z2 , 且 z1 = 2 z2 = 2, z1 + z2 = (A) 5 (B) 7 (C) 3 (D) 7 ,则 z1 ? z2 的值为( ) 3

答案 D  解答 因为  z1 ? = z2 3.
2 z1 + 2 z2 ? z1 + z= 1
2 2 2

3 。 

已 知 ∠A, ∠B, ∠C 为 ?ABC 的 三 个 内 角 , 命 题 P : ∠A = ∠B ; 命 题 Q : ).

sin ∠A = sin ∠B ,则 ? P 是 ?Q 的(

(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 3. 答案 C  解 在 ?ABC 中 ∠A ≠ ∠B ? sin ∠A ≠ sin ∠B 。 4. 已知等比数列 {an } : = a1 5, = a4 625 ,则 ∑
k =1 2014

1 = ( log 5 ak log 5 ak +1

).

2014 2015 4.答案  A 
(A)

(B)

2013 2014

(C)

2012 4028

(D)

2013 4030

解 设等比数列的公比为 q, 则  625 = 5q 3 ? q = 5 ?
2014 1 1 2014 。  = = ∑ ∑ log5 ak log5 ak +1 k 1 k ( k + 1) 2015 = k 1= 2014

5. 已知圆 ( x + 2) 2 + ( y ? 1) 2 = 1 与圆 x 2 + ( y + 1) 2 = 1 关于直线 l 对称,则 l 的方程为 ( ). (A) x + y + 1 = 0 (B) x ? y + 1 = 0

(C) x ? y ? 1 = 0 5. 答案 B 

(D) x + y ? 1 = 0

解 直线 l 即为两圆心(-2,1) 、 (0,-1)的垂直平分线,即为 x ? y + 1 = 0 。  6. 若某立体的三视图如下,则该立体的体积为 ( )

1

1

2 正视图 1

1 侧视图

1

2 俯视图 (A) 1 (B) 2 (C)
2 2

(D)

6.答案 B   解答 还原该几何体,是一个长、宽、高分别为 2、2、1 的长方体,并被截去两 个底面直三棱柱,该三棱柱的底面是边长为 1 等腰直角三角形,高为 1。  1 7. 若 x ∈ R + ,则 ( x 3 + 1 ? 4 )9 展开式中常数项为 ( ). x (A) ?1259 (B) ?1260 (C) ?1511 (D) ?1512 7. 答案 A  该展开式常数项有两项,其一是所有的乘积项都取 1,或 4 个乘积项取 x 3 ,3 个 乘积项取 ?

2 3

1 ?1 1 4 ( x 3 ) 4 C53 ( 4 )3 C2 +1 = ?1259 。 , 2 个乘积项取常数 1, 所以常数项为 C9   4 x x

8.设 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数, 则方程 3 x 2 ? 10 [ x ] + 3 = 0 的所有实数根的个数 为( ). (A) 0 (B) 1 8.答案 D  (C) 2 (D) 3

解 由 3x 2 ? 10 [ x ] + 3 = 0 ? 10( x ? 1) < 10 [ x ] = 3x 2 + 3 ≤ 10 x ?


1 ≤ x ≤ 3  3

1 ≤ x < 1 时,方程 3 x 2 ? 10 [ x ] + 3 = 0 无解。  3
7 。  3 17 。  3

当 1 ≤ x < 2 时,方程 3 x 2 ? 10 [ x ] + 3 = 0 的解为 x =

当 2 ≤ x < 3 时,方程 3 x 2 ? 10 [ x ] + 3 = 0 的解为 x = 当 x = 3 时,符合满足方程 3 x 2 ? 10 [ x ] + 3 = 0 。 

且 max min{2 x + 4, ax 2 + b,5 ? 3 x} = 9. 若 a ∈ R + , b ∈ R , 2 ,则 a + b 的值为(
x∈?

) .

(A) -1
9. 答案 C 

(B) 1

(C) 2

(D) 3

解:直线 y = 、 (1,2) ,且这两点关于 y 轴对称,所以, 2 x + 4, y =? 5 3x 分别经过( ?1, 2 ) 当 b = 0 时, 抛物线 y = ax 2 过 ( ?1, 2 ) (1,2) 、 两点, 得a = 2; 当 b ≠ 0 时, 抛物线 = y ax 2 + b 过( ?1, 2 ) 、 (1,2)两点,所以 a ( ?1) 2 + b = 2 。  2 。总之 a + b =

10. 已知函数 = f ( x) cos(a sin x) ? sin(b cos x) 无零点,则 a 2 + b 2 的取值范围为 ( )

(A) [0,

π
4

)

(B) [0,

π2
2

)

(C) [0,

π2
4

)

(D) [0,

π
2

)

10. 答案 C 

解 由已知得 2kπ + b cos x = ? a sin x,(2k + 1)π ? b cos x = ? a sin x ( k ∈ Z ) 无解。   2 2
所以方程 a + b sin( x + ? ) =
2 2

π

π

π

2

+ 2kπ ,  或 
b a +b
2 2

a 2 + b2 sin( x ? ? ) =

π
2

? (2k + 1)π (sin ? =

,cos ? =

a a + b2
2

), 无解 

所以 a + b <
2 2

π
2

+ 2kπ 或 (

π
2

? (2k + 1)π ) ? a + b 取值范围为 [0,
2 2

π2
4

) 。 

二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后 的横线上,每空 7 分,共 49 分)

11. 设实数 x, y 满足方程 ( x + 2) 2 + y 2 = 1 ,则 11. 答案

y 的最大值为__________。 x

3   3

解 

y 的最大值,即为过原点向圆 ( x + 2) 2 + y 2 = 1 引切线,斜线斜率最大,即为 x

3 。  3
???? ??? ? ???? 12.若平面上四点 A,B,C,D,满足任意三点不共线,且 4 AC + 2 AB = AD ,则

S ?ABD = ______________。 S ?ABC
12. 答案 4  解 由向量加法的平行四边形法则可知

S?ABD = 4 。  S?ABC

13. 如图, ABCD ? A1 B1C1 D1 为正四棱柱。已知 AB1 与底面 A1 B1C1 D1 所成角的正切 值为 a ,则二面角 A ? B1 D1 ? A1 的正切值为_____________。 13. 答案 2a   解 设正四棱柱的底面边长和高分别为 x, y ,  则

y = a, 设底面对角线的交点为 O ,则二面角 A ? B1 D1 ? A1 的平面角为 ∠AOA1 , x
2y = x
2a 。 

所以 tan ∠AOA1 =

14. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且对任意 x ∈ R ,有 f ( x + 2) = f ( x) + 2 ,则
2014 k =1

∑ f (k ) =



14. 答案 2029105  解 由 f ( x + 2) = f ( x ) + 2 ,令 x = ?1, f (1) = f ( ?1) + 2 ? f (1) = 1, 显然 f (0) = 0 。 
又 f= (2n )

f (0) ∑ ( f (2k ) ? f (2k ? 2)) +=
k =1 n

n

2n ,  

f (2n ? 1) =
2014

∑ ( f (2k ? 1) ? f (2k ? 3)) + f (1) =
k =2 2014

2n ? 1,  

= k 1= k 1

所以 ∑ f= (k )

= k ∑

2029105。 

15.

设 P 是 椭圆 2 x 2 + 3 y 2 = 1 上的一点, F1 , F2 是该椭圆的 两个焦点, 且

∠F1 PF2 = ,则 ?F1 PF2 的面积为_______________。 6
15. 答案

π

2? 3   3

解 设椭圆的长半轴、短半轴的长分别为 a, b ,则 

a=

2 , b= 2

3 ? c= 3

6 ? F1F2 = 6

6 , PF1 + P 1 F2 = 3

2 

在三角形 PF1F2 中应用余弦定理 

(

6 2 ) = PF1 3

2

+P 1 F2 ? 2 PF 1 P 1 F2 cos

2

π
6

? PF1 P 1 F2 =

4(2 ? 3) ,  3

= 所以 S?F PF
1 2

π 2? 3 1 = PF1 P   1 F2 sin 2 6 3

3 1 16. 设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,满足 | f ( x) + cos 2 x |≤ ,| f ( x) ? sin 2 x |≤ , 4 4
则函数 f ( x ) = _______________。

1 1 16. 答案 sin 2 x ? , 或写成 (1 ? 2 cos 2 x ) 。  4 4 1 3 + = 1, 所以得到  4 4 1 1 3 1 sin 2 x ? , 或写成 (1 ? 2 cos 2 x ) 。  | f ( x ) + cos2 x |= ,| f ( x ) ? sin 2 x |= ? f ( x) = 4 4 4 4 17. 有一快递公司承担某地区 13 个城市之间的快递业务,如果每个快递员最多 只能承接 4 个城市之间的快递业务,要使每两个城市之间至少有 1 名快递员,那 么此快递公司最少需要( )名快递员? 答案 13。   三、解答题(本大题共有 3 小题,每题 17 分,共 51 分)
解  1 = sin 2 x + cos2 x ≤ | f ( x ) + cos2 x | + | f ( x ) ? sin 2 x |≤ 18. 已知 b, c ∈ R ,二次函数 f ( x ) = x 2 + bx + c 在 (0,1) 上与 x 轴有两个不同的交点, 求 c 2 + (1 + b)c 的取值范围。 解法 1 令 r, s 为二次函数的两个零点,则 f ( x ) = ( x ? r )( x ? s ) 。…………(5)  从而 c = f (0) = rs;1 + b + c = f (1) = (1 ? r )(1 ? s )( r, s ∈ (0,1)), ……………………(10) 

? 0 < c 2 + (1 + b)c = f (0) f (1) = rs(1 ? r )(1 ? s ) < (

r +1? r 2 s +1? s 2 1 ) ( ) = . …(17)  2 2 4

解法 2 由已知 f (0) = c > 0, f (1) = 1 + b + c > 0 ? (1 + b)c + c 2 > 0 ,……(5)  令 r, s 为二次函数的两个零点,则 r + s = ?b, rs = c 。……………………(8)  从而 (1 + b)c + c 2 = rs(1 ? r )(1 ? s ) < (

r +1? r 2 s +1? s 2 1 ) ( ) = . ……………(17)  2 2 4

19. 已知 A 为抛物线 y 2 = 2 x 上的动点,定点 B 的坐标为(2,0),以 AB 为直径作圆
C 。若圆 C 截直线 l : x + ky ?

3 = 0 所得的弦长为定值,求此弦长和实数 k 的值。 2

2 = 2 x0 ) , 19.解 设直线上的动点 A 的坐标为 ( x0 , y0 )( y0 则以 AB 为直径的圆方程为 

  ( x ? x0 )( x ? 2) + ( y ? y0 ) y = 0 ,                          (1)…………(3) 设直线 l 与圆的交点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ), 由(1)联立直线方程 x + ky ?

3 = 0 得  2

4(1 + k 2 ) y 2 + 4( kx0 ? y0 ? k ) y + 2 x0 ? 3 = 0 
所以 y 1 + y2 = ?kx0 + y0 + k 2 x0 ? 3 ,…………………………(6)  , y 1 y2 = 2 1+ k 4(1 + k 2 )

2 = 2 x0 以及两点之间的距离公式  由 y0
4 3 2 k 2 y0 ? 4ky0 ? 8k 2 y0 + 8ky0 + 16k 2 + 12 ……(12)  4(1 + k 2 )

2 2 得, P 1P 2 = (1 + k )( y 1 ? y2 ) =

令 k = 0, 得

(17)   P 3 。所以弦长为 3, k = 0 ………………………………… 1P 2 =

1 1+ , n ≥ 1 。求所有实数 a ,使 a, an +1 = 20.设数列 {an } 定义为 a1 = a1 + a2 + ? + an ? 1
得 0 < an < 1, n ≥ 2 。 20.解:由假设,an +1 =

a1 + a2 + ? + an a , 有 a1 + a2 + ? + an ?1 = n ,……(3)   a1 + a2 + ? + an ? 1 an ? 1

2 2 a1 + a2 + ? + an an an …………………… (9)   ,n ≥ 2 。 = an +1 = = 2 a1 + a2 + ? + an ? 1 an ? an + 1 (a ? 1 ) 2 + 3 n 2 4

= a1 a= , a2 又

a1 ,从而,当 a1= a ≠ 0 时, an > 0, n ≥ 3 ,且当  a1 ? 1

0 < a2=

a < 1 ,即  a < 0 时,………………………………………………(12)  a ?1
1 1 ? < 0 , n ≥ 2 即  a1 + a2 + ? + an ?1 + an ? 1 a1 + a2 + ? + an ?1 ? 1

= an +1 ? an

an +1 < an , n ≥ 2 ,………………………………………………………………(15)  于是 0 < an < 1, n ≥ 2 。故 a < 0 。………………………………………………(17) 
四、附加题: (本大题共有 2 小题,每题 25 分,共 50 分。 )

21. 在 1~100 的 100 个整数中,任意选取三个互不相同的数组成有序三元数

( x, y, z ) 。求满足方程 x + y = 3 z + 10 的 ( x, y, z ) 的个数。
1 解. (1)当 3z + 10 ≤ 101 即 z ≤ 30 时,满足 x + y = 3 z + 10 的 ( x, y, z ) 的个数是 

= S

9) ∑ (3k +=
k =1

30

  1665. ……………………………………………………(5)

(2)当 3z + 10 ≥ 102 即 31 ≤ z ≤ 63 时,满足 x + y = 3 z + 10 的 ( x, y, z ) 个数是       T =

= k 31 = k 1

) ∑ [191 ? 3(k + 30)] = ∑ (191 ? 3k=

63

33

  1650. …………………………(10)

再来考虑 x , y , z 有相等的情况:首先 x , y , z 不可能都相等.  (3)当 x = y ,那么满足 x + y = 3 z + 10 的 ( x, y, z ) 的个数是 A = 31 ……(15)  (4)当 x = z ,那么满足 x + y = 3 z + 10 的 ( x, y, z ) 的个数是 B = 45   (5)当 y = z ,那么满足 x + y = 3 z + 10 的 ( x, y, z ) 的个数是 C = 45. ……(20)  综上所述题目所求的 ( x, y, z ) 个数是 S +T ? A ? B ? C = (25)   3194. ………………   ? a 2 + b2 = 3 ? 2 2 22.设正实数 a, b, c 满足 ? a + c + ac = 4 ,求 a, b, c 的值。 ? 2 2 7 ?b + c + 3bc = 22.解 

  如 图 , 以 O 为 出 发 点 , 作 长 度 为 a, b, c 的 三 条 线 段 OA, OB, OC , 使 得
∠AOB =90? , ∠AOC =120? ,那么 ∠COB = 150? , ……………………………………(5)

由余弦定理知 AB =

a2 + b 2 =

3.= AC 2, = BC

90? , ,过 O 作 7. 于是 ∠CAB =

OE ⊥ AC , OF ⊥ AB ,设 = AE m = ,OE n , 由于 ∠ABO = ∠OAE , 所以 
OF OE n m = 即 =   . ………………………………………………………(10) BF AE m 3?n
m 2?m + ? n n 又 ∠AOC = ? 3 ,即 120 , 所以 tan ∠AOC = = ? 3. …………(15)  m 2?m 1? ? n n 30 ? m = ? ? 37 于是可以求得 ? . ……………………………………………………(20) 12 ?n = 3 ? 37 ?
6 ? ?a = 37 37 ? 5 ? 于是 ?b = 111 ………………………………………………………………(25) 37 ? 8 ? ?c = 37 37 ?


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