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第五节


第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
基础梳理
1. 直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义

如果一条直线a与一个平面α内的任意 一条直线都垂直,就说直
线a与平面α互相垂直. (2)直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线 垂直于这个平面. (3)直线与平面垂直的性质定理 如果两条

直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.

2. 点面、线面距离及线面角
(1)点到平面的距离 从平面外一点引平面的垂线, 这个点和垂足间 的距离,叫做这 个点到这个平面的距离. (2)直线和平面的距离 一条直线和一个平面 平行,这条直线上任意一点 到这个平面的距 离,叫做这条直线和这个平面的距离. (3)直线与平面所成的角 ①平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的 锐角,叫做这 条直线与这个平面所成的角. ②一条直线 垂直于平面,则称它们所成的角是直角;一条直线与 平面平行或 在平面内,则称它们所成的角是0°的角.

3. 二面角及其平面角 (1)二面角的定义 一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 二面角, 这条直线叫做二面角的棱 ,每个半平面叫做二面角的 面 .

(2)二面角平面角的定义
以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的 射线,这两条射线所成的角叫做二面角的 平面角. 4. 平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直二面角,那么就说这两个平面 互相垂直.

(2)平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的 一条垂线,那么这两个平面互相垂直. (3)平面与平面垂直的性质定理

如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直
线垂直于另一个平面.

典例分析
题型一 线线垂直

【例1】如图,α∩β=CD,EA⊥α,垂足为A, EB⊥β,垂足为B,求证:CD⊥AB. 分析 要证CD⊥AB,只需证CD⊥平面ABE即可.

证明 ∵α∩β=CD,∴CD ? α,CD ?β. 又∵EA⊥α,CD ? α,∴EA⊥CD. 同理EB⊥CD. ∵EA⊥CD,EB⊥CD,EA∩EB=E, ∴CD⊥平面EAB. ∵AB ? 平面EAB, ∴AB⊥CD. 学后反思 证明空间中两直线互相垂直,通常先观察两直线是

否共面.若两直线共面,则一般用平面几何知识即可证出,如勾
股定理、等腰三角形的性质等;若两直线异面,则转化为线面垂 直进行证明.

举一反三
1. 如图所示,四边形ABCD为正方形,SA垂直于ABCD所在的平

面,过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G.
求证:AE⊥SB,AG⊥SD. 证明: ∵SA⊥平面ABCD, BC

? 平面ABCD,

∴SA⊥BC.又∵BC⊥AB,SA∩AB=A,∴BC⊥平面SAB. 又∵AE ? 平面SAB,∴BC⊥AE. ∵SC⊥平面AEFG,AE? 平面AEFG,∴SC⊥AE. ∵BC∩SC=C,∴AE⊥平面SBC.又∵SB? 平面SBC, ∴AE⊥SB.同理可证,AG⊥SD.

题型二 线面垂直 【例2】如图,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面 ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F. 求证:(1)BC⊥平面PAB; (2)AE⊥平面PBC; (3)PC⊥平面AEF. 分析 要证明线面垂直,只要证明这条直线与这个平面内的两 条相交直线垂直即可. 证明 (1)PA⊥平面ABC?PA⊥BC

AB⊥BC
PA∩AB=A

? BC⊥平面PAB.

(2)AE ? 平面PAB,由(1)知AE⊥BC AE⊥PB PB∩BC=B (3)PC ? 平面PBC,由(2)知PC⊥AE PC⊥AF AE∩AF=A

? AE⊥平面PBC.

? PC⊥平面AEF.

学后反思 本题的证明过程是很有代表性的,即证明线面垂直, 可先证线线垂直,而已知的线面垂直又可以产生有利于题目的线 线垂直.在线线垂直和线面垂直的相互转化中,平面在其中起着 至关重要的作用.由于线线垂直是相互的,应充分考虑线和线各 自所在平面的特征,以顺利实现证明需要的转化.

举一反三
2. 已知P为Rt△ABC所在平面外的一点,且PA=PB=PC,D为斜边AB

的中点,求证:PD⊥平面ABC.
证明: 如图,连接CD.

∵PA=PB,D为斜边AB的中点,
∴PD⊥AB.∴ PA2 ? AD2 ? PD2 ∵D为斜边AB的中点,∴CD= 1 AB=AD.

又∵PA=PC,∴ PC ? CD ? PD2
2 2

2

∴PD⊥DC. 又AB∩CD=D,∴PD⊥平面ABC.

题型三 面面垂直
【例3】如图所示,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且 CE=CA=2BD,M是EA的中点.

求证:(1)DE=DA;
(2)平面MBD⊥平面ECA; (3)平面DEA⊥平面ECA. 分析 (1)要证明DE=DA,只需证明取EC中点F构造的 Rt△DEF≌Rt△ADB.(2)注意到M为EA中点,可取CA中点N,先证明N

点在平面BDM内,再证明BN与平面ECA垂直即可.(3)仍需证明平面
DEA经过平面ECA的一条垂线.

证明 (1)方法一:如图,取EC的中点F,连接DF.
∵EC⊥平面ABC,∴EC⊥BC. ∵CE=2BD,∴BD=CF.

又∵BD∥CE,∴BD

CF.

∴四边形BDFC是平行四边形. ∴BC DF.∴DF⊥EC.

在Rt△DEF和Rt△ADB中,
1 ∵EF= EC=BD,FD=BC=AB, 2

∴Rt△DEF≌Rt△ADB.∴DE=DA. 方法二:如图,取AC中点N,连接BN、MN. ∵△ABC是正三角形,∴BN⊥AC于点N. 又∵EC⊥平面ABC,EC ? 平面CAE,

∴平面ACE⊥平面ABC,交线为AC.∴BN⊥平面ACE. 又∵M、N分别是AE、AC中点, 1 ∴在△ACE中,MN CE, 2 1 又BD∥CE且2BD=CE,∴BD CE
2

MN.

∴四边形BDMN是平行四边形, ∴MD BN.∴DM⊥平面ACE. 又AE ?平面ACE,∴DM⊥AE于点M. 又∵M是AE中点,∴DA=DE. (2)取CA的中点N,连接MN、BN,则MN 又∵BD∥EC且EC=2BD,∴MN ∴N点在平面BDM内. DB.
1 EC. 2

∵EC⊥平面ABC,BN? 平面ABC,∴EC⊥BN.
∵△ABC为正三角形,∴BN⊥AC. 又AC∩EC=C,EC 平面ACE,AC ? 平面ACE,

∴BN⊥平面ACE.
∵BN ? 平面MBN, ∴平面MBN⊥平面ECA,即平面MBD⊥平面ECA.

(3)DM∥BN,BN⊥平面ECA,∴DM⊥平面ECA. 又DM ? 平面DEA,∴平面DEA⊥平面ECA.
学后反思 在求证面面垂直时,一般要用性质定理,在一个平

面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线
线垂直,要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂 直”间的转化条件和转化运用,这种转化方法是本节内容的显

著特征.掌握转化思想方法是解决这类问题的关键.

举一反三
3. 如图所示,在三棱锥S ABC中,SA⊥平面ABC,平面 SAB⊥平面SBC. 求证:AB⊥BC. 证明: 如图,作AH⊥SB于H,连接EH、AE, ∵平面SAB⊥平面SBC, ∴AH⊥平面SBC,∴AH⊥BC. 又SA⊥平面ABC,∴SA⊥BC. 又SA∩AH=A,SA,AH 平面SAB, ∴BC⊥平面SAB. ∴BC⊥AB.

题型四

二面角的求法

【例4】(14分)如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中, AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动. (1)求证:D1E⊥A1D; (2)AE等于何值时,二面角D1-EC-D的大小为

(3)当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离.

π . 4

分析 (1)线面垂直的性质;(2)二面角的逆用;(3)根据三棱锥等 体积法. 解 (1)证明:∵AE⊥平面AA1D1D,

∴AE⊥A1D. ………………………………………………….2′
又∵AA1D1D为正方形,∴A1D⊥AD1, ∴A1D⊥面AD1E,∴A1D⊥D1E. ……………………………….4′

(2)过D作DH⊥CE于H, 连接D1H、DE,则D1H⊥CE, …………………………………….5′ ∴∠DHD1为二面角D1ECD的平面角. ………………………….7′ 设AE=x,则BE=2-x.

π ,∴DH=1. 4 ∵在Rt△DAE中,DE= 1 ? x2 ,
在Rt△D1DH中,∵∠DHD1= ∴在Rt△DHE中,EH=x. ∵在Rt△DHC中,CH= 3 , 在Rt△CBE中,CE= x2 ? 4x ? 5 , ∴x ? 3 ? x2 ? 4x ? 5 ? x ? 2 ? 3 , ………………………..9′ π ∴当AE= 2 ? 3 时,二面角D1-EC-D的大小为 . ……………10′

4

(3)设点E到面ACD1的距离为h.

在△ACD1中,AC=CD1= 5,AD1= 2 ,故S△ACD1= 1 ? 2 ? 5 ? 1 ? 3 2 2 2 1 1 而S△ACE= ×AE×BC= , 2 2 1 1 ∴VD1ACE= S△ACE×DD1= S△ACD1×h,……………………….13′ 3 3 1 2 1 ∴ ×1= ×h,∴h= . ………………………………….14′ 2 3 3
学后反思 确定二面角的平面角的方法:(1)定义法:在二面角的棱 上找一特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.

(2)垂面法:过棱上一点作与棱垂直的平面,该平面与二面角的两个
半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角. (3)垂线法:过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足

作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.此种
方法通用于求二面角的所有题目,具体步骤为:一找,二证,三求.

举一反三
4. 如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形,O1、O

分别为上、下底面的中心,且A1在底面ABCD上的射影是O.
(1)求证:面O1DC⊥面ABCD; (2)若点E、F分别在棱AA1、BC上,

且AE=2EA1,问:点F在何处时,EF⊥AD?
(3)若∠A1AB=60°,求二面角C-AA1-B的余弦值的大小. 解析: (1)证明:连接AC、BD、A1C1,则O为 AC、BD的交点,O1为A1C1、B1D1的交点.由平行

六面体的性质可知, A1O1∥OC,所以四边形
A1OCO1为平行四边形,A1O∥O1C.

又A1O⊥平面ABCD, 所以O1C⊥平面ABCD. 又O1C? 平面O1DC,所以平面O1DC⊥平面ABCD. (2)当F为BC的三等分点(靠近B)时,有EF⊥AD. (3)连接A1C,A1B,作BG⊥A1A与A1A交于点G, 连接OG,可证OG⊥AA1, 则∠OGB为二面角C-AA1-B的平面角. 3 1 2 设AB=1,则OB= ,BG=AB· sin 60°= ,AG= . 2 2 2 2 1 又OA= ,所以OG= OA 2 ? AG2 ? . 2 2 在△OGB中,利用余弦定理得 3 1 1 ? ? BG2 ? OG2 ? OB2 3 4 4 2 cos ?OGB ? ? ? 2BG ? OG 2 3 1 2? ? 2 2

易错警示
【例】设平面α与平面β的交线为l,直线AB在平面α内,且

AB⊥l,垂足为B,直线CD垂直于平面β,且CD∥平面α.
求证:AB⊥平面β. 错解 如图1所示,

∵CD⊥平面β,且CD∥平面α,
而AB⊥l,∴AB∥CD, ∴AB⊥平面β. 错解分析 错解仅将已知条件复述一遍,就直接从CD∥平面α, 得出CD∥AB,这是没有根据的,犯了论据不足的错误.

正解 如图2所示,过CD及平面α内任一异于AB的点P作平面γ, 设平面α与平面γ的交线为EF. ∵CD∥平面α,∴EF∥CD. ∵CD⊥平面β,∴EF⊥平面β,EF⊥l. ∵EF、AB均在平面α内,且EF、AB均与l垂直, ∴AB∥EF. 又EF⊥平面β,∴AB⊥平面β.

考点演练
10. 如图,在直角三角形ABC中,D是斜边AB的 中点,AC=6,BC=8,M是平面ABC外的一点,MC⊥ 平面ABC,且MC=12,求MD的长.

解析: 如图,连接CD,∵MC⊥平面ABC, ∴ MD 2 ? MC 2 ? CD 2
?1 ? ? 12 ? ? AC 2 ? BC 2 ? ? 132 ?2 ?
2 2

∴MD=13.

11. (2009· 江苏)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,E、F
分别是 A1B 、AC 的中点,点D在 B1C1 上,A1D ⊥ B1C 1 求证:

(1)EF∥平面ABC;
(2)平面 A1FD ⊥平面 BB1C1C .

证明: (1)∵E、F分别是 A1B 、AC 的中点, 1
∴EF∥BC,EF ? 平面ABC,BC ? 平面ABC. ∴EF∥平面ABC.

(2)∵三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱,
∴ BB1 ⊥平面 A1B1C1 , BB1 ⊥ A1D ,又 A1D⊥ B1C , ∴ A1D⊥平面 BB1C1C

又∵ A1D

? 平面

∴平面 A1FD⊥平面 BB1C1C 12. (2010· 淮安质检)如图,在三棱柱BCE ADF中,四边形

ABCD是正方形,DF⊥平面ABCD,M、N分别是AB、AC的中点,
G是DF上的一点. (1)求证:GN⊥AC;

(2)若FG=GD,求证:GA∥平面FMC.

证明: (1)连接DN, ∵四边形ABCD是正方形,∴DN⊥AC. ∵DF⊥平面ABCD,AC? 平面ABCD, ∴DF⊥AC. 又DN∩DF=D,∴AC⊥平面DNF. ∵GN ?平面DNF,∴GN⊥AC. (2)取DC的中点S,连接AS、GS, ∵G是DF的中点,∴GS∥FC,AS∥CM. 又GS,AS ?平面FMC,FC、CM ? 平面FMC, ∴GS∥平面FMC,AS∥平面FMC. 而AS∩GS=S,∴平面GSA∥平面FMC. ∵GA ? 平面GSA,∴GA∥平面FMC.


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