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2013届高考数学(文)第一轮总复习第2章第5讲 函数的概念及表示方法


函数的概念
【例1】 已知映射f:A→B,A=B=R,对应 法则f:x→y=-x2 +2x.若对于k∈B, 在集合A中不存在原象,求k的取值 范围.

【解析】该问题是研究,已知象k ? B(象集), 求原象x ? A(原象集). 依题意,x ? A, 则方程-x 2+2x=k 无实数根. 由判别式?=4-4k ? 0,得k ? 1. 即当k

? 1时,它在集合A中不存在原象.

关于映射,如果原象集(A)与象 集(B)是数集,则可用函数的观点研 究.本题实际上是函数y=x2 -2x+k 与x轴没有交点的问题,体现了函数 与方程的思想.

【变式练习1】 已知集合A={1,2,3,k},B={4,7,a4 , a2 +3a},其中a∈N? ,k∈N? ,f:x→y =3x+1,x∈A,y∈B是从定义域A到值 域B的一个函数,求a,k的值. 【 解 析 】( 定 义 法 ) 由 对 应 法 则 : 1→4,2→7,3→10 , k→3k + 1 , 又 a∈N? , 所以a4≠10,所以a2 +3a=10,解得a= 2(舍去-5),所以a4 =16,于是3k+1= 16,所以k=5.

【例2】

判断两个函数是 否相同

判断下列函数是否表示同一函数: 1? f ? x ?= x 2,g ? x ?=3 x 3; ? 2 ? f ? x ?=2 n ?1 x 2 n ?1,g ? x ?=( 2 n ?1 x ) 2n-1 (n ? N* ); ?

? 3? f ? x ?=

x 2 ? 2 x ? 1,g ? x ?=x-1;

?1( x ? 0) |x| ? 4 ? f ? x ?= ,g ? x ?=? x ??1( x ? 0)

【解析】1? f ? x ?= x 2= x ,g ? x ?=3 x 3=x, ? 它们的对应法则不同,故不是同一函数; 2 ? 2 ? n ? N*时,n+1, 2n-1都是奇数,故 f ? x ?=2 n ?1 x 2 n ?1=x,g ? x ?=( 2 n ?1 x ) 2n-1=x, 它们的三要素都相同,故是同一函数; 3? f ? x ?= x 2 ? 2 x ? 1= | x-1| ,g ? x ?=x-1, ? 它们的对应法则不同,故不是同一函数; |x| 0 ? 4 ?因为f ? x ?= 的定义域是(-?,) ? (0,+?), x ?1( x ? 0) g ? x ?=? 的定义域是R, ??1( x ? 0) 它们的定义域不同,故不是同一函数.

判断两个函数是否是同一函数, 要分别比较它们的定义域、对应法则 和值域,当且仅当它们的三要素都相 同时,才表示同一函数,只要三要素 中有一个要素不同,则这两个函数就 不可能是同一函数.

【变式练习2】 判断下列各组函数是否为同一函数. 1? f ? x ?=x 2+1,g ? t ?=t 2+1; ?

? 2 ? f ? x ?=

x? x ? 1?,g ? x ?= x ? x ? 1;

x2 ? 1 ,g ? x ?=x+1; ? 3 ? f ? x ?= x ?1 ? x ? 1( x ? 1) ,g ? x ?= | x-1 | . ? 4 ? f ? x ?= ? ?1 ? x( x ? 1)

【解析】(1)函数的定义域、值域、对应关 系都相同,是同一函数; (2)f(x)的定义域为(-∞,0]∪[1,+∞),g(x) 的定义域为[1,+∞),是不同函数; (3)尽管化简后f(x)=x+1,但其定义域为 {x|x∈R,且x≠1},而g(x)的定义域为R,故 它们是不同函数; (4)化简后f(x)=|x-1|=g(x),是同一函数.

求函数值
【例3】

?1? 定义在N上的函数f ? x ? 满足f ? n ?=
? n ? 2(n ? 2000) ,求f ? 2011?的值; ? ? f [ f (n ? 6)](n ? 2000) ?sin(? x 2 )( ?1 ? x ? 0) ? ? 2 ?已知函数f ? x ?=? x ?1 ? e ( x ? 0) ? .若f ?1?+f ? a ?=2,求a的所有可能的值.

【解析】1?因为2011 ? 2000,所以f ? 2011? ? =f [ f (2011-6)]=f [ f (2005-6)]=f ? f ?1999 ? ? ? ? =f ? 2001?=f ?1995 ?=1997.

? 2 ?因为f ?1?=1,所以,当a ? 0时,f ? a ?=ea-1.
故由1+e a-1=2,得a=1; 当-1 ? a ? 0时,f ? a ?=sin ?? a 2 ?. 故由1+sin ?? a ?=2,得? a = +2k? (k ? Z). 2 1 2 2 2 又a ? 1,所以,当k=0时,a = ,得a=- . 2 2 2 故a的所有可能的值是1,- . 2
2 2

?

在求函数值的训练中,分段函数 是极好的工具.求分段函数的值要明 白给定的自变量的值在哪一段定义范 围内,然后代入这一段函数表达式, 并计算出结果.如果给定的自变量是 常参数,要注意分段讨论求解.

【变式练习3】 ?2? x ( x ? 4) , ?1? 设f ? x ?=? ? f ( x ? 1)( x ? 4) 则f ? log 2 3?=_____________ 1 ? x2 ? 2 ? 设g ? x ?=1-2x,f ? g ? x ??= 2 ( x ? 0), ? ? x 1 则f (( )=_______________ 2

【解析】1?因为1 ? log 2 3 ? 2,所以 ? f ? log 2 3?=f (log 2 3+1)=?=f (log 2 3+3) 1 =2-log 2 24= . 24 1 1 1 ? 2 ? 令g ? x ?= ,即1-2x= ,得x= . 2 2 4 1 1? 1 所以f ( )= 16 =15. 1 2 16

b 1.已知 a、 为实数, b 集合 M={a, N={a,0}, 1}, f:x→x 表示把集合 M 中的元素 x 映射到集合 N 中 仍为 x,则 a+b= 1 .

b 【解析】 由题意可知a=0,a=1,解得 a=1,b=0, 所以 a+b=1.

?3x ?x≤1? 2.已知函数 f(x)=? , f(x)=2, x= 若 则 ?-x?x>1?

log32

.

?x>1 ?x≤1 ? 【解析】由? x ?x=log32,? 无解. ?-x=2?x=-2 ? ?3 =2

?1( x ? 0) ? 1 3.若函数f ? x ?=?0( x ? 0) ,则f ( x 2+1)=_____ ? ?1( x ? 0) ?

【解析】因为x2+1>0,所以f(x2+1)=1.

4.函数f ? x ? 对于任意实数x满足条件f ( x+2)=

1 1 ,若f ?1?=-5,则f ? f ? 5 ? ?=________ ? ? ? f ? x? 5
【解析】因为f ( x+4)=f [( x+2)+2] = 1 1 = = f ? x ?, 1 f ? x ? 2? f ? x? 1 1 =- , f ?1? 5

所以f ? 5 ?=f ?1?=-5, 所以f (-5)=f (-1)=f ? 3 ?=f (1+2)= 1 所以f ? f ? 5 ? ?=f (-5)=- . ? ? 5

5.判断下列函数是否表示同一函数: 1? x 2 ,y= 1 ? x ; ?1? y=( x-1) 1? x 2 ? y=lgx3,y=3lgx. ? 1? x 【解析】1?函数y=( x-1) 的定义域是 ? 1? x
[-1,1),函数y= 1 ? x 2的定义域是[-1,1], 它们的定义域不同,故不是同一函数; 2 ? y=lgx3=3lgx,y=3lgx,它们的三要素 ? 都相同,故是同一函数.

1.理解函数(映射)的概念 映射是特殊的对应,判断一个对应 是否是映射:①集合A中的每一个元素是 否在B中都有对应的元素;②这个对应元 素是否是唯一的.象与原象是映射中两 个重要的概念,象是集合B中的元素,原 象是集合A中的元素.

函数是特殊的映射,判断一个映射是否 是函数:①给定的集合A、B是不是非空数集; ②B中的每一个元素是不是都有原象,如y= x ? 3+ 2 ? x就不是函数.设两个非空数集 A、B,由f :A ? B所确定的函数,当x ? A时, y ? B,A称函数的定义域,B称函数的值域. 两个相同的函数必须定义域、值域、对应关 系(函数三要素)完全相同.对于用解析法表示 的函数,只要化简表达式后,对应关系相同 且定义域相同,就表示相同的函数.

2.分段函数是一个函数,而不是 多个函数,它的定义域是各段自变量的 取值范围的并集;值域是各段函数值的 取值范围的并集.解答分段函数问题时 要灵活运用分类讨论的思想方法.


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