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函数的奇偶性测试题


函数的奇偶性测试题
姓名: 得分:

一、
题号 答案

选择题(每小题 5 分,计 5×12=60 分)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1. 函数f(x)是周期为4的偶函数,且当x∈[2,4]时,f(x)=4-x,则f(-7.4)等于( ) A.11.4 B.0.

4 C.0.6 D.-3.4 2. 设函数 f(x)是定义在 R 上且以 3 为周期的奇函数,若 f(2)=1,f(1)=a,则( A. a=2 B. a=-2 C. a=1 D. a=-1

)

3. 设函数 f ( x ) 是奇函数,当 x ? ( 0 , ?? ) 时, f ( x ) ? x ? 1 ,则使不等式 f ( x ) ? 0的 x 的取 值范围是( A. x ? 1 ) B. ? 1 ? x ? 0 或 x ? 0 C. ? 1 ? x ? 0 D. ? 1 ? x ? 0 或 x ? 1

4. 定义在 R 上的函数 f(x)不是常数函数,且满足 f(x-1)=f(x+1) ,f(x+1)=f (1- x) ,则 f(x) ( A.是奇函数也是周期函数 C.是奇函数但不是周期函数 ) B.是偶函数也是周函数 D.是偶函数但不是周期函数
1

5. 已知偶函数 f (x)在区间[0,+∞)单调递增, 则满足 f ( 2 x ? 1) ? f ( ) 的 x 取值范围是 (
3



A .(

1 2 3, 3

)

B .[

1 2 , ) 3 3

(C C .(

1 2 , ) 2 3

D .[

1 2 , ) 2 3
x x

6. 函数①y=2(x-1)2-1

②y=x2-3|x|+4

③y= x

④y=

中即非奇函数也非偶函数的

是( ) A、①②③ B、①③④ C、①③ D、① 7. 下面四个结论:①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③偶 函数的图象关于 y 轴对称; ④既是奇函数、 又是偶函数的函数一定是 f ( x ) ? 0 ( x ? R ). 其 中正确的命题的个数是 ( A.1 个 B.2 个 ) C.3 个 D.4 个

8. 已知函数 f ( x )、 g ( x ) 定义在 R 上, h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ,则“ f ( x )、 g ( x ) 均为奇函 数”是“ h ( x ) 为偶函数”的( )

A.充分不必要条件. B.必要不充分条件. C.充要条件. D.既不充分也不必要条件. 9. 函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,则( ) A. f(x) 是偶函数 B. f(x) 是奇函数 C. f(x) =f(x+2) D. f(x+3) 是奇函数 10. f ( x ) 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f ( 2 ) ? 0 在区间(0,6)内解的个数的 最小值是( )

A.2

B.3
3

C.4

D.5

11. 给出下列函数:① y ? x ? x ,② y ? x ? sin x ? cos x ,③ y ? sin x ? cos x ,④
y ? 2
x

? 2

?x

,其中是偶函数的有( B.2 个

) C.3 个 D.4 个

A.1 个

12. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且当 x≥0 时 f ( x ) 是单调函数,则满足
? x?3? f (x) ? f ? ? 的所有 x 之和为( ? x?4?

) D.8

A.-3

B.-5

C.-8

二、

填空题(每小题 4 分,计 4×4=16 分)
1 2 ?1
x

13. 如果函数 y=f(x+1)是偶函数,那么函数 y=f(x)的图象关于_________对称. 14. 若 f ( x ) ?
? a 是奇函数,则 a ?
( x ? 4) ( x ? 4)

. .

15. 已知函数 f(x)= ?

? 1 x ?( ) 2 ? f ( x ? 1) ?

则 f(log23)的值为

16. 对于函数 f(x)定义域中任意的 x1,x2 (x1≠x2),?有如下结论:? ①f(x1+x2)=f(x1)f(x2);?②f(x1·2)=f(x1)+f(x2);?③ x 当 f(x)=2 时,上述结论中正确结论的序号是 三、解答题(共计 74 分) 17. 判断下列函数的奇偶性.? (1)f(x)=
x ?1 ? 1? x
2 2

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

>0;?④f(

x1 ? x 2 2

)<

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2

x

.

;?(2)f(x)=log2(x+

x ?1
2

) (x∈R).

18. 已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-xlg(2-x),求 f(x)的解析式.

19. 已知 y=f(x)是定义域为[-6,6]的奇函数,且当 x∈[0,3]时是一次函数,当 x∈[3,6]时 是二次函数,又 f(6)=2,当 x∈[3,6]时,f(x)≤f(5)=3。求 f(x)的解析式。

20. 是否存在实数 a .使函数 f ( x ) ? x ? 2 a x ? a 的定义域为 [ ? 1,1] .值域为 [ ? 2, 2 ] . 若存在. 求 a 的值;若不存在.说明理由
2

21. 设 a>0,f(x)= 是增函数

e

x

?

a e
x

是 R 上的偶函数.(1)求 a 的值; (2)求证:f(x)在(0,+∞)上

a

22. 已知函数

f (x)

和 g ( x ) 的图象关于原点对称,且

f (x) ?

2 x

?

1 a

.

(1)求函数 g ( x ) 的解析式; (2)解关于 x 的不等式 g ( x ) ? (3)若 g (
t ?1 t
2

0



) ? 0 在t ?

(1, ? ? )时恒成立,求 a 的取值范围.

函数的奇偶性测试题答案
一、
题号 答案

选择题(每小题 5 分,计 5×12=60 分)
1 C 2 D 3 D 4 B 5 A 6 C 7 A 8 A 9 D 10 D 11 B 12 C

二.

填空题(每小题 4 分,计 4×4=16 分)
14.
1 2

13. 直线 x=1 三.

15.

1 24

16. ①③④

解答题(共计 74 分)

17. 解: (1)∵x2-1≥0 且 1-x2≥0,∴x=±1,即 f(x)的定义域是{-1,1}.?
∵f(1)=0,f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),? 故 f(x)既是奇函数又是偶函数.? (2)易知 f(x)的定义域为 R,? 又∵f(-x)=log2[-x+ ∴f(x)是奇函数. 18. 解:∵f(x)是奇函数,可得 f(0)=-f(0),∴f(0)=0.? 当 x>0 时,-x<0,由已知 f(-x)=xlg(2+x),∴-f(x)=xlg(2+x) ,? 即 f(x)=-xlg(2+x) (x>0).∴f(x)= ?
? ? x lg( 2 ? x ) ? ? x lg( 2 ? x ) ( x ? 0 ), ( x ? 0 ).

(? x) ? 1
2

]=log2
x?

1 x ?1
2

=-log2(x+

x ?1
2

)=-f(x),?

19. 解:因为 f(x)为奇函数,所以 f(0)=-f(0), f(0)=0,当 x∈[0, 3]时,设 f(x)=kx+b, 则 b=0。
当 x∈[3, 6]时,由题设可设 f(x)=-a(x-5)2+3。因为 f(6)=2,所以-a+3=2,所以 a=1. 所以 x∈[3, 6]时 f(x)=-(x-5)2+3=-x2+10x-22,所以 f(3)=-1,所以 3k=-1,所以 k ? ? 时,f(x)=-f(x)= ?
1 3 1 3

。又 x∈[-3, 0]

x,当 x∈[-6, -3]时,f(x)=-f(-x)=x2+10x+22.
x ? [ ? 6 ,? 3] x ? [ ? 3 ,3 ] x ? [3,6 ]
2

? x 2 ? 10 x ? 22 ? ? 1 所以 f(x)= ? ? x ? 3 ? ? x 2 ? 10 x ? 22 ?

20. 解:

f ( x ) ? ( x ? a ) ? a ? a .对称轴是 x ? a .
2

(1)当 a ? 1 时. f ( x ) 在 [ ? 1,1] 上是减函数. 有 ? (2)当 0 ? a ? 1 时.有 ?
? f (a ) ? ?2 ? f ( ? 1) ? 2 ? f (1) ? 2

? f ( ? 1) ? 2 ? f (1) ? ? 2

.得 a ? ? ;

.得 a ? ? ; .得 a ? ? 1 ;
? f ( ? 1) ? ? 2 ? f (1) ? 2

(3)当 ? 1 ? a ? 0 时.有 ?

? f (a ) ? ?2

(4)当 a ? ? 1 时. f ( x ) 在 [ ? 1,1] 上是增函数.有 ?

.得 a ? ? .

于是存在 a ? ? 1 .使 f ( x ) 的定义域为 [ ? 1,1] .值域为 [ ? 2, 2 ]

e 21. 解: (1)解: ∵f(x)是 R 上的偶函数,∴f(-x)=f(x) ,?∴

?x

?

a e
?x

?

e

x

?

a e
x

,

a

a

∴(a-

1 a

)( e ?
x

1 e
x

)

=0 对一切 x 均成立,?∴a-

1 a

=0,而 a>0,∴a=1.

(2)证明 在(0,+∞)上任取 x1、x2,且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)= e ∵x1<x2,∴ e
x1
x1

+

1 e
x1

-e x2

1 e
x2

= (e

x2

?e )
x1

(
e

1
x1 ? x 2

? 1).

?e ,
x2

有e

x2

?e

x1

? 0 . ??∵x1>0,x2>0,∴x1+x2>0,∴ e

x1 ? x 2

>1,
e

1
x1 ? x 2

-1<0.

∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 故 f(x)在(0,+∞)上是增函数.

22. 解:(1) 设 g ( x ) 图象上任意一点为 P(x,y) ,它关于原点的对称点为 P′ x,– y) (–
易知 P′ x,– y)在函数 (– ∴ ∴
?y ? ? 2 x g (x) ? 2 x ? ? 1 a 1 a f (x) ? 2 x 1 a 2 x ? 1 a

的图象上

,即: y

?

?

(2) 由 g ( x )

? 0



2 x

?

1 a

? 0

,即:

2a ? x ax

? 0

等价于 a x ?( x ? 2 a ) ? 0 ①当 a > 0 时,化为 x ?( x ? 2 a ) ? ②当 a < 0 时,化为 x ?( x ? 2 a ) ? ∴ 当 a > 0 时,不等式 g ( x ) 当 a < 0 时,不等式 g ( x ) (3) 由 g ( ∴
1 a ? 2t
2

0 0

∴ ∴

0 ? x ? 2a

x ? 0 或 x ? 2a

? 0

的解集为 { x | 0 ?

x ? 2a }

? 0

的解集为 { x | x
2t
2

? 0 或 x ? 2a }

t ?1 t
2

) ? 0 ,得:

t ?1

?

1 a

? 0

t ?1 1 a ?
2

由已知得:
2t
2

2t

2

t ?1

在 (1, ? ? )

上恒成立
2 t ?1 ? 4? 4? 4 ?8

t ?1

?

2 ( t ? 1) ? 4 ( t ? 1) ? 2 t ?1
2

? 2 ( t ? 1) ?



(

2t

t ?1

) m in ? 8



1 a

?8


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