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2013高考数学(理)一轮复习教案第九篇


2013 江苏高考复习资料

明远教育:郭老师

圆的方程
【2013 年高考会这样考】 1.考查根据所给的条件选取适当的方程形式,利用待定系数法求出圆的方程. 2.题型既有选择题、填空题,又有解答题.客观题突出小而巧,主要考查圆的 方程;主观题往往在知识的交汇点处命题. 【复习指导】 1.本讲复习时,应熟练掌握圆的方程的各个要素

,明确圆的标准方程,一般方 程. 2.能根据所给条件选取适当的方程形式,利用待定系数法求出圆的方程,结合 圆的几何性质解决与圆有关的问题.

基础梳理 1.圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆. 2.圆的标准方程 (1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)表示圆心为(a,b),半径为 r 的圆的标准方程. (2)特别地,以原点为圆心,半径为 r(r>0)的圆的标准方程为 x2+y2=r2. 3.圆的一般方程
2 2 ? D? ? E? D +E -4F 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 可变形为?x+ 2 ?2+?y+ 2 ?2= .故有: 4 ? ? ? ?

D2+E2-4F E? ? D (1)当 D2+E2-4F>0 时,方程表示以?- 2 ,- 2 ?为圆心,以 为半 2 ? ? 径的圆; E? ? D (2)当 D2+E2-4F=0 时,方程表示一个点?- 2 ,- 2 ?; ? ? (3)当 D2+E2-4F<0 时,方程不表示任何图形. 4.P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系 (1)若(x0-a)2+(y0-b)2>r2,则点 P 在圆外; (2)若(x0-a)2+(y0-b)2=r2,则点 P 在圆上; (3)若(x0-a)2+(y0-b)2<r2,则点 P 在圆内. 一种方法

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明远教育:郭老师

确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于 a,b,r 或 D、E、F 的方程组; (3)解出 a、b、r 或 D、E、F 代入标准方程或一般方程. 两个防范 (1)求圆的方程需要三个独立条件,所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系 数的三个独立方程. (2)过圆外一定点求圆的切线,应该有两个结果,若只求出一个结果,应该考虑 切线斜率不存在的情况. 三个性质 确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在任一弦的中垂线上; (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)圆心为点(0,1),半径为 2 的圆的标准方程为( A.(x-1)2+y2=4 C.x2+(y-1)2=4 B.x2+(y-1)2=2 D.(x-1)2+y2=2 ). ).

2.(2011· 四川)圆 x2+y2-4x+6y=0 的圆心坐标是( A.(2,3) C.(-2,-3)

B.(-2,3) D.(2,-3) ).

3.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4 的内部,则实数 a 的取值范围是( A.-1<a<1 C.a>1 或 a<-1 B.0<a<1 D.a=± 1

4.(2011· 重庆)在圆 x2+y2-2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( A.5 2 B.10 2 C.15 2 ). D.20 2

5. (2012· 长春模拟)圆心在原点且与直线 x+y-2=0 相切的圆的方程为________.

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考向一

求圆的方程

【例 1】?已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为( A.(x+1)2+(y-1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 ). B.(x-1)2+(y+1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2

求具备一定条件的圆的方程时,其关键是寻找确定圆的两个几何要素, 即圆心和半径, 待定系数法也是经常使用的方法.在一些问题中借助圆的平面几 何中的知识可以简化计算, 如已知一个圆经过两个点时,其圆心一定在这两点的 垂直平分线上,解题时要注意平面几何知识的应用. 【训练 1】 经过点 A(5,2),B(3,2),圆心在直线 2x-y-3=0 上的圆的方程为 ________. 考向二 与圆有关的最值问题 y-1 的 x-2

【例 2】?(2012· 武汉模拟)已知点 P(x,y)在圆 x2+(y-1)2=1 上运动,则 最大值与最小值分别为________.

与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型: y-b ①形如 μ= 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;②形如 t= x-a ax+by 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;③形如(x-a)2+(y -b)2 形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. 【训练 2】 圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y-14=0 的最大距离与 最小距离的差是( ). D.5 2 考向三 圆的综合应用

A.30 B.18 C.6 2

【例 3】?已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P,Q 两点,且 OP⊥OQ(O 为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径.

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(1)在解决与圆有关的问题中,借助于圆的几何性质,往往会使得思路 简捷明了,简化思路,简便运算. (2)本题中两种解法都是用方程思想求 m 值,即两种解法围绕“列出 m 的方程” 求 m 值.

【训练 3】 (2012· 广州模拟)在以 O 为原点的直角坐标系中,点 A(4,-3)为△ OAB 的直角顶点,已知|AB|=2|OA|,且点 B 的纵坐标大于 0. → (1)求AB的坐标; (2)求圆 x2-6x+y2+2y=0 关于直线 OB 对称的圆的方程.

阅卷报告 13——选择方程不当或计算失误 【问题诊断】 由于圆的方程有两种形式:标准方程和一般方程,所以在求圆的

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方程要合理选用, 如果选择不恰当, 造成构建的方程组过于复杂无法求解而失误. 【防范措施】 若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程, 通常选用圆的标准方程;若已知条件为圆经过三点,一般采用一般式,但已知点 的坐标较复杂时,采用一般式计算过繁,可以采用标准式. 【示例】?(2011· 全国新课标)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2-6x+1 与坐 标轴的交点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值.

【试一试】 (2010· 全国新课标)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y-1=0 相切于点 B(2,1),则圆 C 的方程为________.

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