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清北学堂自主招生理科精英力学篇


力学篇
第一讲 点的直线运动 例题 1(2008 华约)在赤道上的 A 处静止放置一个小物体。现在设想地球对小物体的万有引 力突然消失,则在数小时内,小物体相对于 A 点处的地面来说,将 。 A.水平向东飞去 B.原地不动,物体对地面的压力消失 C.向上并渐偏向西方飞去 D.向上并渐偏向东方飞去 E.一直垂直向上飞去

练习 1 (13 苏大)太阳从

东边升起,西边落下是地球上的自然现象,但是在某些条件下, 在纬度较高地区上空飞行的飞机上, 旅客可以看到太阳从西边升起的奇特现象, 这些条件是 ( ) A 时间必须在清晨,飞机正在由东向西飞行,飞机的速度必须较大 B 时间必须在清晨,飞机 正在由西向东飞行,飞机的速度必须较大 C 时间必须在傍晚,飞机正在由东向西飞行,飞 机的速度必须较大 D 时间必须在傍晚,飞机正在由西向东飞行,飞机的速度不能太大。 练习 2 (12 复旦)在马路旁观察会感觉马路上开行的汽车白天快夜晚慢,这是因为( ) A 夜晚看不清马路两旁的参照物(房屋,行道等)B 夜晚看不清车身 C 白天车速的确较快 D 夜晚司机比较小心会降低车速。 练习 3(12 复旦)对不同的惯性参照物,如下物理量中与参照系无关的是( A 动能 B 功 C 力 D 声音频率 )

例题 2(10 南大强化) 图示,地面上有一固定的小球,球面的斜上方 P 处有一小球。现要求 确定一条从 P 到球面的光滑斜直轨道,使小球从静止开始沿轨道滑行到球面上经历时间最 短。

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练习 4(11 北大保送)PQC 三点在同一竖直平面圆周上,PQ、QC、CP 均为光滑细杆,PC 为 直径,Q 处有一小圆环连接使小球顺利转弯,如果套在 PC 杆上的小球从顶点 P 静止释放, 分别沿 PQC 轨道和 PC 竖直轨道运动, 若沿 PQC 运动时间是沿 PQ 时间的 1.5 倍, 求∠PCQ。

C 练习 5 如图所示,竖直平面上有一条光滑的 1/4 圆轨道 AB 弧,圆心 O 与 A 点等高,A 到 B 又有一条直线轨道。小球从 A 点自静止出发沿 AB 弧轨道到达 B 点需要时间为 t1,沿直线轨 道到 B 点的时间为 t2,比较 t1 与 t2 哪个大?

例题 3 图示, 在光滑水平面上立着一根半径为 R 的竖直圆柱子, 借组长为 L 的细长线将小冰 球与圆柱子相连。开始冰球位于水平面上并且线被拉紧,现在猛一推冰球,使其具有垂直于 线的初速度 v0,于是冰球开始绕柱子运动,将线缠在柱子上。不计一切摩擦。线系在柱子下 部,位于冰球滑动的水平面内。问经过多少时间后线全部缠在柱子上?

练习 6(05 同济)老鼠离开洞穴沿直线行进,它的速度与到洞穴的距离成反比,当它行进到 离洞穴距离为 d1 的甲处时速度是 v1,则它行进到离洞穴距离为 d2 的乙处时的速度是多少?从 甲到乙用去的时间是多少?

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例题 4(12 华约)如图所示为测量重力加速度的实验装置。装置包括:固定在水平底板上带 有刻度的直杆;三个可通过螺丝固定在直杆上的支架 A、B、C(这些支架上可以固定相应 器材) ;小钢珠一个;小型电磁铁一个(用于吸住或释放小钢珠) ;光电门两个(用于测量钢 珠通过两个光电门之间距离所需的时间,另一个光电门触发后停止计时) 。 (1)试设计实验,通过测量小球在不同路程下的平均速度,作图求出当地重力加速度 的值。 (2)出实验原理(3)写出实验步骤,及需要测量的物理量。

练习 7(12 卓越)液体的黏滞系数是描述液体粘滞性大小的物理量。落球法测定蓖麻油的粘滞 系数? ,通常是将蓖麻油装满长为 1 m 左右圆柱形玻璃筒,通过测得小球竖直落入蓖麻油 后做匀速运动时的速度来获得。 小球在蓖麻油中下落时刻受到重力、 浮力和粘滞阻力 F 的作 用,其中粘滞阻力 F ? 3?? vd (其中 d、v 分别是小球的直径和速度) ,当小球匀速运动时, 利用受力平衡条件求出? ,于是测得小球匀速运动的速度是这个实验的关键。若你手中只有 秒表和毫米刻度尺可以利用, ①你怎样确定小球已经做匀速运动了?②如何测得小球的匀速 运动速度?

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第二讲 相对运动
例 1 一人骑自行车向东行驶, 当车速为 4m/s 时, 他感到风从正南方吹来, 当车速增加到 7m/s 时, 他感到风从东南方向 (东偏南 45°) 吹来, 则风对地的速度大小为( ) A 7m/s B 6m/s C 5m/s D 4m/s 练习 1(11 西交大)如图所示,P 是从港口 A 出发去拦截正以速度 v 0 沿直线匀速航行的 B 船,P 船与 B 船所在航线的垂直距离为 a 。P 启航时,P 船与 B 船的距离为 b(b > a) ,P 船一启航就匀速运动,求 P 船能拦截到 B 船的最小速率。

练习 2 如图所示,几辆相同的汽车以相等的速度 v 沿宽为 c 的直公路行驶,每车宽为 b,头 尾间距为 a,则人能以最小的速度沿一直线穿过马路所用的时间为多少?

例 2 图 1,汽车 A 在水平的河岸上,通过定滑轮拖动河中的船 B ,当车 A 的速度为 v 时,它的加速度为 a ,此时 OB 绳与水平方向夹角为 ? , OB ? l 。求此时刻船 B 的速 度 v ? 及加速度 a ? 。

练习 3(18 预赛)如图所示,杆 OA 长为 R ,可绕过 O 点的水平轴在竖直平面内转动,其端点 A 系着一跨过定滑轮 B 、 C 的不可伸长的轻绳,绳的另一端系一物块 M ,滑轮的半径可忽 略,B 在 O 的正上方,OB 之间的距离为 H 。 某一时刻, 当绳的 BA 段与 OB 之间的夹角为 ? 时,杆的角速度为 ? ,求此时物块 M 的速率 vM 。

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练习 4(11 华约)图示,AB 杆以恒定角速度绕 A 点转动,并带动套在水平杆 OC 上的小球 M 运动。运动开设时,AB 杆在竖直位置,则小环 M 的加速度将( ) A。逐渐增大。B。先减小后增大。C。先增大后减小。D。逐渐减小。

例 3(11 预赛)顶杆 AB 可在竖直滑槽 K 内滑动,其下端由凹轮 M 推动,凸轮绕 O 轴以匀角 速 ω 转动,图 1。在图示的瞬时,OA=r,凸轮轮缘与 A 接触法线 n 与 OA 之间的夹角为 α , 求此瞬时顶杆 AB 的速度。

练习 32 图示, 杆 AB 搁置在半径为 R 的半圆柱上, A 端沿水平面以相等的速度 v 做直线运动, 杆与水平面夹角 ? 。图示瞬间。杆与半圆柱相切于 C 点,此时杆上 C 点的速度大小是多少? 圆柱上与杆相切的切点移动的速度又是多少?

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例 4 平面上两直线夹角为 ? ( ? ? 90 ) ,若它们各以垂直于自身的速度 v1 、 v 2 在该平面上
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作如图所示的横向运动,求交点相对于纸平面的速率及交点相对于每一直线的速率。

练习 6 一个半径为 R 的圆环(环心为 O2)立在水平面上,另一个同样的圆环(环心为 O1)以速度 v 从前一环的旁边经过。试求当两环的环心相距 d( 2R ? d ? 0 )时,两 环上部的交点 A 的运动速度。

练习 7(13 北约)图示,在同一平面上的 AC、BD 两杆,以角速度 ? 分别绕相距 L 的 A、 B 两轴逆时针转动,若 ?CAB ? ?DBA ? 60 ,求此时两杆交点 M 的速度和加速度。
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练习8 (11华约样题)如图所示,水平高台上有一小车,水平地面上有一拖车,两车之间用一 根不可伸长的绳跨过定滑轮相连。 拖车从滑轮正下方以恒定速度沿直线运动, 则在拖车行进 的过程中,小车的加速度 ( ) A 逐渐减小 B 逐渐增大 C 先减小后增大 D 先增大后减小

练习 9 (09 同济) 距河岸 (看成直线) 500m 处有一艘静止的船, 船上的探照灯一转速为 n =1 r/min 转动。当光速与岸成 60 角时,光束沿岸移动的速率为 A 52.3m/s B 69.8m/s C 3.14 ? 10 m/s D 4.18 ? 10 m/s
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练习 10 图示,半径为 R 的半圆凸轮以速度 v0 沿水平面向右运动,带动从动杆 AB 沿竖直方 向上升,O 为凸轮圆心,P 为顶点。求当 ?PAO ? ? 时,AB 杆的速度。

练习 11 图示, 质点 p1 以速度 v1 由 A 向 B 匀速运动, 同时点 p2 速度 v2 从 B 指向 C 做匀速运动, AB=l,∠ABC= ? 锐角,确定何时刻 t,p1、p2 的间距 d 最短?

练习 12(26 预赛)在海面上有三艘轮船,船 A 以速度 u 向正东方向航行,船 B 以速度 2u 向正北方向航行,船 C 以速度 2 2 u 向东偏北 450 方向航行.在某一时刻,船 B 和 C 恰好同时经过船 A 的航线并位于船 A 的前方, 船 B 到船 A 的距离为 a, 船 C 到船 A 的距离为 2a.若以此时刻作为计算时间的零点,求在 t 时刻 B、C 两船间距离的中点 M 到船 A 的连线 MA 绕 M 点转动的角速度。

第三节 共点力物体的平衡
例 1(11 北约数学)一个有底无盖的圆柱形桶,底面质量不计,桶侧面质量为 ag,桶的重 心在中轴线上的正中间位置,装满水后水的质量为 bg。 (1)若 b=3a,水装到一半,求系统合重心到桶底面是距离与桶的高度之比。 (2)装入水的 质量 m 为多少,水和桶的合重心最低? 练习 1(7 预赛)一薄壁圆柱形烧杯,半径为 r,质量为 m, 重心位于中心线上, 离杯底的距离为 H.今将水慢慢注入杯中,问烧杯连同杯内的水共同重心最低时水面离杯底的距离等于多少? 为什么?(设水的密度为ρ ) 练习 2 图示,均匀圆板半径为 R,在板内挖去半径为 r 的小圆,两个圆的圆心相距为 a,求 剩余部分的重心。

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例题 2(06 南大强化)一个质量 m ? 20kg 的钢件,架在两根完全相同的、平行的长直圆柱 上(如图所示) 。钢件的重心与两柱等距,两柱的轴线在同一水平面内。圆柱的半径

r ? 0.025 m ,钢件与圆柱间的动摩擦因数 ? ? 0.20 。两圆柱各绕自己的轴线做转向相反的
转动,角速度 ? ? 40rad / s 。若沿平行于柱轴的方向施力推着钢件做速度为

v0 ? 0.05m / s

的匀速运动,推力是多大?设钢件左右受光滑导槽限制(图中未画出) ,不发生横向运动。

练习 3(10 西交大)图示,一半径 r=0.2m 的圆柱,绕竖直轴 OO′以角速度 ? =9rad/s 匀速 转动,用力吧一质量 m=1kg 的物体 A 压在圆柱面上,使其以 v0=2.4m/s 的速度匀速下降。若 物体 A 与圆柱面的动摩擦因数 ? =0.25,求例 F 的大小。已知物体 A 在水平方向上受挡板作 用,所以它不随轴一起转动。

例题 3 如示,在水平面上有一表面光滑、半径为 R 的半圆柱面,上面有一条长为 ?R 的均匀 链条,链条的质量为 m,其两端刚好分别与两侧的水平面相接触,则此链条中张力的最大值 为多少?

例题 4 图示,一条足够长的轻绳跨过两个等高的轻质定滑轮,两端分别挂上质量为 m1=4kg 和 m2=2kg 的物体,在滑轮之间的一段绳上悬挂质量为 m 的物体,为使三个物体处于不平衡
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状态,则 m 的取值范围如何?

练习 4 质量为 m、长为 l 的均匀细杆 AB,杆端 A 用轻绳连接,绳的另一端悬于 O 点,绳长 OA= 3 l,现用外力 F 作用于杆的 B 端,使 B 点保持在绳固定的点 O 的正下方,并使绳与杆 成 90°保持平衡,试求外力 F 的方向。 练习 5(11 南理工)在图中,A、B 是两个带柄(a 和 b)的完全相同的长方形物体,C 是另 一长方体,其厚度可以忽略,质量为 m,A、B 与斜面间以及与 C 之间皆有摩擦,C 与 A 或 B 间的静摩擦系数均为μ 0,设它们原来都处于静止状态。 (1)若一手握住 a,使 A 不动,另一手握住 b,逐渐用力将 B 沿倾角为θ 的斜面向上拉。当 力增大到能使 B 刚刚开始向上移动时,C 动不动?若动,如何动(2)此时 A 与 C 之间的摩 擦力为多大(3)若握住 b 使 B 不动,握住 a 逐渐用力将 A 沿倾角为θ 的斜面向下拉。当 A

θ

开始移动时,C 动不动?若动,如何动? 练习 6(13 苏大)水平地面上有一木箱,木箱与地面之间的动摩擦因 数为 μ (0<μ<1) 。 现对木箱施加一拉力 F, 使木箱做匀速直线运动。 设 F 的方向与水平面夹角为 θ,如图,在 θ 从 0 逐渐增大到 90° 的 过程中,木箱的速度保持不变,则 ( ) A F 先减小后增大 B F 一直增大 C F 的功率减小 D F 的功率不变

F θ

第四节 刚体的平衡
例 5(25 预赛).磅秤由底座、载物平台 Q、杠杆系统及硅码组成,图示为其等效的在竖直 平面内的截面图。Q 是一块水平放置的铁板,通过两侧的竖直铁板 H 和 K 压在 E、B 处的刀 口上。杠杆系统由横杆 DEF、ABCP 和竖杆 CF、MP 以及横梁 MON 组成,另有两个位于 A、D 处的刀口分别压在磅秤的底座上(Q、K、H、E、B、A、D 沿垂直于纸面的方向都有一定的长 度,图中为其断面) 。C、F、M、N、O、P 都是转轴,其中 O 被位于顶部并与磅秤底座固连的 支架 OL 吊住,所以转轴 O 不能发生移动,磅秤设计时,已做到当载物平台上不放任何待秤 物品、游码 S 位于左侧零刻度处、砝码挂钩上砝码为零时,横梁 MON 处于水平状态,这时横 杆 DEF、ABCP 亦是水平的,而竖杆 CF、MP 则是竖直的。当重为 W 的待秤物品放在载物平台 Q 上时,用 W1 表示 B 处刀口增加的压力,W2 表示 E 处刀口增加的压力,由于杠杆系统的调 节,横梁 MON 失去平衡,偏离水平位置。适当增加砝码 G 或移动游码 S 的位置,可使横梁 MON 恢复平衡,回到水平位置。待秤物品的重量(质量)可由砝码数值及游码的位置确定。
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为了保证待秤物品放在载物台上不同位置时磅秤都能显示出相同的结果, 在设计时, AB、 DE、 AC、DF 之间应满足怎样的关系?

练习 7(22 预赛)现有一个弹簧测力计(可随便找地方悬挂) ,一把匀质的长为 l 的有刻度、 零点位于端点的直尺,一个木块及质量不计的细线.试用这些器件设计一实验装置(要求画 出示意图) ,通过一次测量(弹簧测力计只准读一次数) ,求出木块的质量和尺的质量。

例 6(93 高考)有一准确的杆秤。今只给你一把有刻度的直尺,要求用它测出这杆秤的秤砣 的质量。试导出表示秤砣质量的公式,并说明所需测量的量。

练习 8(04 上海)有人设计了一种新型伸缩拉杆秤.结构如图,秤杆的一端固定一配重物并悬 一挂钩, 秤杆外面套有内外两个套筒, 套筒左端开槽使其可以不受秤纽阻碍而移动到挂钩所 在位置 (设开槽后套筒的重心仍在其长度中点位置) , 秤杆与内层套筒上刻有质量刻度.空载 (挂钩上不挂物体,且套筒未拉出)时,用手提起秤纽,杆秤恰好平衡,当物体挂在挂钩上 时,往外移动内外套筒待测物体的质量.已知秤杆和两个套筒的长度均为 16cm,套筒可移出 的最大距离为 15cm,秤纽到挂钩的距离为 2cm,两个套筒的质量均为 0.1kg.取重力加速度 2 g=10m/s , (1)当杆秤空载平衡时,秤杆、配重物及挂钩所受重力相对秤纽的合力矩(2) 当在秤钩上挂一物体时,将内套筒向右移动 5cm,外套筒相对内套筒向右移动 8cm,杆秤达 到平衡,物体的质量多大(3)若外层套筒不慎丢失,在称某一物体时,内层套筒的左端在 读数为 1 千克处杆秤恰好平衡,则该物体实际质量多大?

例 7(13 南大)图示,AO 是质量为 m 的均匀细杆,可绕 O 轴在竖直平面内自由转动。细杆 上的 P 点与放在水平桌面上的圆柱体接触, 圆柱体靠在竖直的档板上而保持平衡。 已知杆的 倾角为 θ ,AP 长度是杆长的 1/4,各处的摩擦都不计,求档板对圆柱体的作用力。

练习 9(09 清华)如图,一细棒质量位 m,初始时 ? =30°,方形木块以恒定速度向向左运动。 则细棒受到木块的力 A 一直增大 B 一直减小 C 先增大后减小 D 先减小后增大 ( )

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例 8(90 高考) 质量 m=2.0kg 的小铁块静止于水平导轨 AB 的 A 端.导轨及支架 ABCD 形状及尺 寸如图,它只能绕通过支架 D 点的垂直于纸面的水平轴转动,其重心在图中的 O 点,质量 M=4.0kg.现用一细线沿导轨拉铁块,拉力 F=12N.铁块和导轨之间的摩擦因数μ =0.50.重力 2 加速度 g=10m/s .从铁块运动时起,导轨(及支架)能保持静止的最长时间是多少?

练习 10(00 上海)图中是用电动砂轮打磨工件的装置,砂轮的转轴过图中 O 点垂直于纸 面,AB 是一长度 l ? 0.60m ,质量 m1 ? 0.50kg 的均匀刚性细杆,可绕过 A 端的固定轴在竖 直面(中纸面)内无摩擦地转动,工件 C 固定在 AB 杆上,其质量 m2 ? 1.5kg ,工件的重心、 工件与砂轮的接触点 P 以及 O 点都在过 AB 中点的竖直线上, P 到 AB 杆的垂直距离 d ? 0.1m , AB 杆始终处于水平位置,砂轮与工件之间的动摩擦因数 ? ? 0.06 。 (1)当砂轮静止时,要 使工件对砂轮的压力 F0 ? 100 N,则施于 B 端竖直向下的力 FB 应 是多大(2)当砂轮逆时针转动时,要使工件对砂轮的压力仍为

? F0 ? 100 N,则施于 B 端竖直向下的力 FB 应是多大?

例 9(1 竞赛)有一长为 l,重为 Wo 的均匀杆 AB,A 端顶在竖直的粗糙墙壁上,杆端与墙面间 的静摩擦因数为 ? ;B 端用一强度足够而不可伸长的绳悬挂,绳的另一端固定在墙壁 C 点, 木杆呈水平状态,绳与杆的夹角为θ ,图示。求(1)求杆能保持平衡时 ? 与θ 应满足的条 件(2)杆保持平衡时,杆上有一点 P 存在,若在 A 点与 P 点间任一点悬挂一重物,则当重 量 W 足够大时总可以使平衡破坏; 而在 P 点与 B 点之间任一点悬挂任意重量的重物, 都不能 使平衡破坏。求出这一 P 点与 A 点的距离。

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图1 练习 11 质量 m、长度 L 的均质杆竖直放置,下端与地面间的摩擦因数为 ? ,上端用水平绳 索拉住,绳与直杆间夹角为 ? 。在离地面高度 h 处以水平例 F 作用于直杆。问为使直杆不滑 到,F 的最大值是多少?

例 10 (10 南大强化)图 1 示,一个质量均匀分布的直杆搁置在质量均匀的圆环上,杆与圆 环相切,系统静止在水平面上,杆与地面接触点为 A,与环面接触点为 B。已知两个物体的 质量线密度均为 ? ,直杆与地面夹角为 ? ,圆环半径为 R,所有接触点的摩擦力足够大。求 (1)地给圆环的摩擦力(2)求 A、B 两点静摩擦系数的取值范围。

练习 12(10 北大)如图,质量为 M,棱长为 L 的正方体放在粗糙平面上,在左上棱施力使 正方体向前或向后翻转, 正方体不与平面发生相对滑动。 求向前和向后施力的最小值及对应 的摩擦因数。

F





例 11(26 竞赛)图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿 1、2、3、4 支撑 于桌角 A、B、C、D 处,桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生弹性微 小形变。 现于桌面中心点 O 至角 A 的连线 OA 上某点 P 施加一竖直向下的力 F, 令 OP/OA=c, , 求桌面对桌腿 1 的压力 F1。

练习 13(6 预赛)有六个完全相同的刚性长条薄片 AiBi(i=1,?,6)其两端下方各有一个小 突起,薄片及突起的重量均可以不计。现将此六个薄片架在一只水平的碗口上,使每个薄片 一端的小突起 Bi 恰在碗口上,另一端小突起 Ai 位于其下方薄片的正中,由正下方俯视如图 所示。若将一质量为 m 的质点放在薄片 A6B6 上一点,这一点与此薄片中点的距离等于它与小 突起 A6 的距离,求薄片 A6B6 中点所受的(由另一薄片的小突起 A1 所施的)压力。

例 12(09 清华)质量为 m、长为 l 的三根相同匀质细棒对称地搁在地面上,三棒的顶端 O
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重合,底端 A、B、C 的间距均为 l,图 1 示。求(1)A 棒顶端所受的作用力 F 的大小。(2) 若有一质量也为 m 的人(视为质点)坐在 A 棒的中点处,三棒仍保持不动,这时 A 棒顶端所 受作用力 F 的大小又为多大?(3)在(2)情形下, 地面与棒之间的静摩擦系数 ? 至少为多大?

练习 14 (08 上交大) 质量为 80kg 的人沿如图所示的梯子从底部向上攀登, 梯子质量为 25kg, 顶角为 30 。已知 AC 和 CE 都为 5m,且用铰在 C 点处相连,BD 为一段轻绳,两端固定在梯 子高度一半处。 设梯子与地面的摩擦可以忽略, 求在人向上攀登过程中轻绳中张力的变化规 律。
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例 13(04 江苏)图示,半径为 R、圆心为 O 的大圆环固定在竖直平面内,两个轻质小圆环套 在大圆环上.一根轻质长绳穿过两个小圆环,它的两端都系上质量为 m 的重物,忽略小圆环 的大小。 (1)将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧θ =30°的位置上(如图).在— 两个小圆环间绳子的中点 C 处, 挂上一个质量 M= 2 m 的重物, 使两个小圆环间的绳子水平, 然后无初速释放重物 M. 设绳子与大、 小圆环间的摩擦均可忽略, 求重物 M 下降的最大距离. (2)若不挂重物 M.小圆环可以在大圆环上自由移动,且绳子与大、小圆环间及大、小圆 环之间的摩擦均可以忽略,问两个小圆环分别在哪些位置时,系统可处于平衡状态?

第五节 功、动能定理
例 1 图示,速度为 v 的向右匀速运动的车厢内,在光滑水平桌面上有一个弹簧系统,质量 为 m 的物体与弹簧的自由端靠在一起(不连接) ,压缩的弹簧放手后,物体受到弹力作用在 桌面上运动,离开弹簧时(仍在桌面上)对车厢的速度为 v1,问从放手到物体离开弹簧瞬间, 车厢壁板对弹簧的作用力做了多少功?(在地面参考系中计算)

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练习 1 图示,一帆船在静水中顺风漂行,风速为 v0,问船速 V 为多大时,风供给船的功率 最大?

练习 2(13 卓越)汽车在水平面上以速度 v 匀速运动,把它视为横截面积为 S 的长方体,已知 空气密度为 ? ,求汽车运动过程中受到的空气阻力和克服空气阻力的功率。

例 2(10 全国)如图,MNP 为竖直面内一固定轨道,其圆弧段 MN 与水 平段 NP 相 切于 N,P 端固定一竖直挡板。M 相对于 N 的高度为 h,NP 长 度为 s.一物块自 M 端从静止开始沿轨道下滑,与挡板发生一次完全弹 性碰撞后停止在水平轨道上某处。MN 段的摩擦不计,物块与 NP 段轨道间的滑动摩擦因数为

? ,求物块停止的地方与 N 点距离的可能值。
练习 3(03 全国)一传送带装置示意图,其中传送带经过 AB 区域时是水平的,经过 BC 区域 时变为圆弧形(圆弧由光滑模板形成,未画出) ,经过 CD 区域时是倾斜的,AB 和 CD 都与 BC 相切。 现将大量的质量均为 m 的小货箱一个一个在 A 处放到传送带上, 放置时初速为零, 经传送带运送到 D 处,D 和 A 的高度差为 h。稳定工作时传送带速度不变,CD 段上各箱等 距排列,相邻两箱的距离为 L。每个箱子在 A 处投放后,在到达 B 处之前已经相对于传送带 静上,且以后也不再滑动(忽略经 BC 段时的微小滑动) 。已知在一段相当长的时间 T 内, 共运送小货箱的数目为 N。这装置由电动机带动,传送带与轮子间无相对滑动,不计轮轴处 的摩擦。求电动机的平均输出功率 P 。

例 3(07 江苏)图示,一轻绳吊着粗细均匀的棒,棒下端离地面高 H,上端套着一个 细环。棒和环的质量均为 m,相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力 kmg(k>1) 。断开轻绳 棒和环自由下落。 假设棒足够长, 与地面发生碰撞时, 触地时间极短, 无动能损失。 棒在整 环 个运动过程中始终保持竖直,空气阻力不计。求⑴棒第一次与地面碰撞弹起上升过 程中,环 的加速度 ⑵从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间,棒运动的路程 S ⑶从断开 棒 轻绳到棒和环都静止,摩擦力对环及棒做的总功 W。
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H

练习 4(03 上交大)图示,在水平地面 xOy 上有一沿 x 正方向做匀速运动的传送带,运动速 度为 v1 ,传送带上有一质量为 m 的正方形物体随传送带一起运动,当物体运动到 yOz 平面 时遇到一阻挡板 C,阻止其继续向 x 正方向运动,设物体与传送带间的动摩擦因数为 ?1 ,与 挡板之间的动摩擦因数为 ? 2 ,此时若要使物体沿 y 轴正方向以匀速 v 2 运动,问 ⑴沿 y 轴 方向所加外力为多少 ⑵若物体沿 y 轴方向运动了一段时间 t,则在此期间摩擦力所做的功 为多少?

例 4(11 预赛)跳水运动员从高于水面 H =10m 的跳台自由落下,假设运动员的质量 m=60kg, 其体形可等效为一长度 L=1.0m、直径 d=0.3m 的圆柱体,略去空气阻力,运动员入水后,水 的等效阻力 F 作用于圆柱体的下端面,F 的量值随入水深度 Y 变化的函数曲线,如图所示, 该曲线可近似看作椭圆的一部分,该椭圆的长、短轴分别与坐标轴 OY 和 OF 重合,椭圆与 Y 轴相较于 Y=h 处,与 F 轴相较于 F=5mg/2 处,为了确保运动员的安全,试计算水池中水的深 度 h 至少应等于多少?(水的密度取 ? ? 1.0 ? 10 kg / m )
3 3

练习 5(09 东南)图示,细绳的一端绕过定滑轮与木箱相连,当以大小恒定的力 F 拉动细绳, 将静置于 A 点的木箱经 B 点拉到 C 点(AB=BC) ,地面平直且摩擦因数处处相等。设从 A 到 B 和从 B 到 C 的过程中,F 做功分别为 W1、W2,克服摩擦力做功分别为 A1、A2,木箱 经过 B、 C 时的动能和 F 的功率分别为 EKB、 EKC 和 PB、 PC , 则下列关系一定成立的有 ( )
15

A W1>W2 B A1>A2 C EKB>EKC

D. PB>PC

例 5 一列总质量为 M 的列车,沿平直铁路匀速行驶,某时刻质量为 m 的末节车厢脱钩,司 机发现时车的前部自脱钩处又前进了距离 L,司机立即关闭了发动机。设车受的阻力与车重 成正比,机车的牵引力恒定,求列车的两部分最后都停下来时相距多少? 练习 6(07 北大)长为 6L、质量为 6m 的匀质绳,置于特制的水平桌面上,绳的一端悬垂于 桌边外,另一端系有一个可视为质点的质量为 M 的木块,如图所示,木块在 AB 段与桌面无 摩擦,在 BE 段与桌面有摩擦,匀质绳与桌面的摩擦可忽略。初始时刻用手按住木块使其停 在 A 处,绳处于绷紧状态,AB=BC=CD=DE= L,放手后,木块最终停在 C 处,桌面距地面高度 大于 6L。⑴求木块与 BE 段的动摩擦因素 ? ;⑵若木块在 BE 段与桌面的动摩擦因素变为

? ? ? 21m / 4M ,则木块最终停在何处?⑶是否存在一个 ? 值,能使木块从 A 处释放后,
最终停在 E 处,且不再运动?若能,求出该 ? 值;若不能,简要说明理由。

练习 7(13 北约)将斜面分成 3 等分,从下到上依次为 AB、BC、CD。小球从 A 点以初速度 v0 向上运动,斜面光滑时,刚好到达 D 点。若只有 AB 间有摩擦,小球释放的初速度为 v, 刚好到达 C 点,然后滑下。求再次到达 B 点和 A 点的速度?

例 6(12 江苏)为测定木块与桌面之间的动摩擦因数,小亮设计了如图所示的装置进行实验. 实 验中,当木块 A 位于水平桌面上的 O 点时,重物 B 刚好接触地面。将 A 拉到 P 点,待 B 稳定 后静止释放,A 最终滑到 Q 点,分别测量 OP、OQ 的长度 h 和 s.。改变 h,重复上述实验, 分别记录几组实验数据.

(1)实验开始时,发现 A 释放后会撞到滑轮, 请提出两个解决方法 (2)请根据下表的实验数据 作出 s-h 关系的图象 (3)实验测得 A、 B 的质量分别为 m = 0. 40 kg、 M =0. 50 kg. 根据 s -h 图 象可计算出 A 块与桌面间的动摩擦因数 ? = ____ (结果保留一位有效数字) (4)实验中,滑轮 轴的摩擦会导致 μ 的测量结果_________(选填“偏大冶或“偏小冶). 练习 8(07 北大自主)图示,固定斜面 ABC 的水平面长 l ,两个底角分别为 ? 1 和 ? 2 ,小物

16

块从 A 端以某初速度沿 AB 面向上运动,到达顶端 B 处后能平稳地拐弯再沿 BC 面向下运动, 达到 C 端时的速度恰好为在 A 处初速度的 1 / 2 倍。将小物块到达 C 端时的速度记为 v,设 小物块与斜面体间的摩擦因数出处相同 ⑴求摩擦因数 ? ⑵小物块若以同样的初速度改从 C 端沿 CB 面向上运动,试求小物块到达 A 端时的速度 v A 和小物块到达顶端 B 处时的速度 v B ; 并取 ?1 ? 45 0 , ? 2 ? 30 , v ? 2 gl ,计算 v B 。
0 2

第六节 能量和动量
例 9(93 高考)31 一平板车,质量 M=100kg,停在水平路面上,车身的平板离地面的高度 h=1.25m,一质量 m=50kg 的小物块置于车的平板上,它到车尾端的距离 b=1.00m,与车板间 的滑动摩擦因数 μ =0.20,如图所示。今对平板车施一水平方向的恒力,使车向前行驶,结 果物块从车板上滑落。物块刚离开车板的时刻,车向前行驶的距离 s0=2.0m。求物块落地时, 落地点到车尾的水平距离 s。不计路面与平板车间以及轮轴之间的摩擦。

练习 10(09 重庆)探究某种笔的弹跳问题时,把笔分为轻质弹簧、内芯和外壳三部分,其中 内芯和外壳质量分别为 m 和 4m.,笔的弹跳过程分为三个阶段,①把笔竖直倒立于水平硬桌 面,下压外壳使其下端接触桌面 ②由静止释放,外壳竖直上升至下端距桌面高度为 h1 时, 与静止的内芯碰撞 ③碰后,内芯与外壳以共同的速度一起上升到外壳下端距桌面最大高度
17

为 h2 处。设内芯与外壳的撞击力远大于笔所受重力。求(1)外壳与内芯碰撞后瞬间的共同 速度大小(2)从外壳离开桌面到碰撞前瞬间,弹簧做的功; (3)从外壳下端离开桌面到上 升至 h2 处,笔损失的机械能。

例 10(10 全国)小球 A 和 B 的质量分别为 mA 和 mB 且 mA>mB 。 在某高度处将 A 和 B 先后 从静止释放。 小球 A 与水平地面碰撞后向上弹回, 在释放处下方与释放处距离为 H 的地方 恰 好与正在下落的小球 B 发生正碰,设所有碰撞都是弹性的,碰撞时间极短。求小球 A、B 碰 撞后 B 上升的最大高度。 练习 11(11 重庆)图示,静置于水平地面的三辆手推车沿一直线排列,质量均为 m,人在极 短的时间内给第一辆车一水平冲量使其运动, 当车运动了距离 L 时与第二辆车相碰, 两车以 共同速度继续运动了距离 L 时与第三车相碰,三车以 共同速度又运动了距离 L 时停止。车 运动时受到的摩擦阻力恒为车所受重力的 k 倍,重力加速度为 g,若车与车之间碰撞时间很 短。求⑴整个过程中摩擦阻力 所做的总功 ⑵人给第一辆车水平冲量的大小 ⑶第一次与第 二次碰撞系统动能损失之比。

例 11(11 全国)装甲车和战舰采用多层钢板比采用同样质量的单层钢板更能抵御穿甲弹的 射击。通过对以下简化模型的计算可以粗略说明其原因。质量 2 m 、厚度 2 d 的钢板静止在 水平光滑桌面上。质量 m 的子弹以某一速度垂直射向该钢板,刚好能将钢板射穿。现把钢 板分成厚度均为 d 、质量 m 相同的两块,间隔一段距离平行放置,图示。若子弹以相同的 速度垂直射向第一块钢板,穿出后再射向第二块钢板,求子弹射入第二块钢板的深度。设子 弹阻力恒力,且两块钢板不会发生碰撞。
m 2m

m

m

m

练习 12(04 全国)图示,光滑水平面上有两块相同木板 B 和 C。小物体 A 位于 B 右端,A、B、 C 质量相等。现 A 和 B 以同一速度滑向静止的 C,B 与 C 发生正碰。碰后 B 和 C 粘在一起运 动,A 在 C 上滑行,A 与 C 有摩擦力。已知 A 滑到 C 的右端而未掉下。试问:从 B、C 发生正 碰到 A 刚移到 C 右端期间,C 所走过的距离是 C 板长度的多少倍。
B A C

18

例 12(08 广东)如图所示,固定的凹槽水平表面光滑,其内放置U形滑板N,滑板两端为半 径R=0.45m 的 1/4 圆弧面, A和D分别是圆弧的端点, BC段表面粗糙, 其余段表面光滑. 小 滑块P1 和P2 的质量均为 m,滑板的质量M=4m.P1 和P2 与BC面的动摩擦因数分别为μ 1=0.10 和μ 2=0.40,最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力.开始时滑板紧靠槽的左端,P2 静 止在粗糙面的B点.P1 以 v0=4.0m/s 的初速度从A点沿弧面自由滑下,与P2发生弹性碰撞 后,P1 处在粗糙面B点上.当P2 滑到C点时,滑板恰好与槽的右端碰撞并牢固粘连,P2 继续滑动, 到达D点时速度为零, 问 (1) P1 在BC段向右滑动时, 滑板的加速度为多大 (2) BC长度为多少?N、P1、P2 最终静止后,P1 与P2 间的距离为多少?

AP
1

D

R

N

P B 2

R
C

练习 13(11 卓越)长为 l 、质量为 M 的木块静止在光滑水平面上,质量为 m 的子弹以水平 速度

v0

射入木块并且从中射出。 已知从子弹射入到射出木块的过程中, 木块移动的距离为 s, )

子弹穿过木块所用的时间为(

1 l?s v v A 0 B 0

? ?M ? ? 1 ?l ? ? m ? 1? s ? v ? ? C 0 ? ?

? ?m ? ? 1 ?l ? ? M ? 1? s ? v ? ? D 0 ? ?

?? M ? ? ?? m ? 1?l ? s ? ? ?? ?

例 13(05 江苏)图示,三个质量均为 m 的弹性小球用两根长均为 L 的轻绳连成一条直线而静 止在光滑水平面上.现给中间的小球 B 一个水平初速度 v0,方向与绳垂直.小球相互碰撞时 无机械能损失,轻绳不可伸长.求(1)当小球 A、C 第一次相碰时,小球 B 的速度(2)当三个 小球再次处在同一直线上时, 小球 B 的速度(3)运动过程中小球 A 的最大动能 EKA 和此时两根 绳的夹角θ .(4)当三个小球处在同一直线上时,绳中的拉力 F 的大小。

练习 14(08 东南)图示,竖直平面内有一光滑圆弧形轨道,O 为最低点,A、B 两点距 O 点 的高度分别为 h 和 4h。现从 A 点释放一质量为 M 的大物体,且每个适当的时间从 B 点释放 一质量为 m 的小物体,它们和大物体碰撞后都合为一体,已知 M=100m。⑴若每当大物体向 右运动到 O 点时, 都有一个小物体与之碰撞, 问碰撞多少次后大物体的速度最小?⑵若大物 体第一次向右运动到 O 点时和小物体碰撞, 以后每当大物体向左运动到 O 点时, 才与一个小 物体碰撞, 问共碰撞多少次后大物体能越过 A 点?⑶若每当大物体运动到 O 点时, 都有一个 小物体与之碰撞,问碰撞 50 次后,大物体运动的最大高度为 h 的几分之几?

19

例 14(06 重庆)如图,半径为 R 的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球 A、B 质量分别为 m、 β m(β 为待定系数) 。A 球从圆边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑, 与静止于轨道最低点的 B 球相撞,碰撞后 A、B 球能达到的最大高度均为 R/4,碰撞中无机械能损失。试求(1)待定系数β (2)第一次碰撞刚结 束时小球 A、B 各自的速度和 B 球对轨道的压力(3)小球 A、B 在轨道最 低处第二次碰撞刚结束时各自的速度,并讨论小球 A、B 在轨道最低处第 n 次碰撞刚结束时各自的速度。 练习 15 (09 北大) 光滑的水平面上放着一个半径为 R、 内壁光滑的固定圆环, 质量分别为 m、 2m、m 的小球 A、B、C 在圆环内侧的初始位置和初始速度均在图中标出,注意此时 B 球静止。 已知两球间发生的碰撞都是弹性的,试问经多长时间,A、B、C 又第一次恢复到图中的位置 和运动状态?

例 15(11 华约)图示,轻弹簧的一端固定,另一端与滑块 B 相连,B 静止在水平导轨上, 弹簧处在原长状态。另一质量与 B 相同滑块 A,从导轨上的 P 点以某一初速度向 B 滑行, 当 A 滑过距离 l1 时,与 B 相碰,碰撞时间极短,碰后 A、B 紧贴在一起运动,但互不粘连。 已知最后 A 恰好返回出发点 P 并停止。滑块 A 和 B 与导轨的滑动摩擦因数都为 ? ,运动过 程中弹簧最大形变量为 l 2 ,求 A 从 P 出发时的初速度 v0 。

练习 16(12 北大保送)图示,A、B、C 三个物块的质量皆为 m,与 B、C 板相连的弹簧的劲 度系数为 k,A 与 B 相距 h,现无初速度放开物块 A,它与 B 碰撞后黏在一起向下运动 ⑴ 若在之后的运动中,物 C 能够离开地面,h 应满足什么条件 ⑵若在 C 物刚好能被拉起的情 况下,则 B 下降的最大高度为多少?

练习 17(06 同济)如图所示,光滑水平面上放有 A、B、C 三个物体,质量分别是 m A ? 2kg 、

mB ? mC ? 1kg

,用一弹簧连接 A 和 B 两个物块,现用力压缩弹簧使三个物块靠近,此过

程中外力做功 72J,然后释放,求:⑴当物块 B 与物块 C 分离时,B 对 C 做功多少 ⑵当弹簧 再次被压缩到最短而又伸长到原长时,物块 A 与物块 B 的速度各是多少?

20

例 16 (00 全国) 在原子核物理中, 研究核子与核子关联的最有效途径是 “双电荷交换反应” 。 这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似, 两个小球 A 和 B 用轻质弹簧相连, 在光滑的 水平直轨道上处于静止状态,在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板 P。右边有一小球 C 沿 轨道以速度 v0 向 B 球,如图所示。C 与 B 发生碰撞并立即结成一个整体 D,在它们继续向左 运动的过程中,当弹簧长度变到最短时,长度突然被锁定,不再改变,然后,A 球与挡板 P 发生碰撞,碰撞后 A、B 都静止不动,A 与 P 接触而不粘连,过一段时间,突然解除锁定(锁 定及解除锁定均无机械能损失) ,已知 A、B、C 三球的质量均为 m 。 (1)求弹簧长度刚被锁 定后 A 球的速度。 (2)求在 A 球离开挡板 P 之后的运动过程中,弹簧的最大弹性势能。

练习 17(03 全国)如图,将 N 个振子放在轨道上,最左边的振子 1 被压缩至弹簧为某一长度 后锁定,静止,弹性势能 E0。其余各振子间都有一定的距离,现解除对振子 1 的锁定,任 其自由运动,当它第一次恢复到自然长度时,刚好与振子 2 碰撞,此后,继续发生一系列碰 撞, 每个振子被碰后刚好都是在弹簧第一次恢复到自然长度时与下一个振子相碰。 求所有可 能的碰撞都发生后,每个振子弹性势能的最大值。

例 17 (28 预赛)如图所示,一木块位于光滑的水平桌面上,木块上固连一支架,木块与支架 的总质量为 M.一摆球挂于支架上,摆球的质量为 m,m<M/2,摆线的质量不计.初始时,整 个装置处于静止状态. 一质量为 m 的子弹以大小为 v0、 方向垂直于图面向里的速度射人摆球 0 并立即停留在球内,摆球和子弹便一起开始运动.已知摆线最大的偏转角小于 90 ,在小球 往返运动过程中摆线始终是拉直的,木块未发生转动。 (1)求摆球上升的最大高度。 (2)求 木块的最大速率。 (3)求摆球在最低处时速度的大小和方向.

练习 18(00 上海)24 相隔一定距离的 A、B 两球,质量相等,假定它们之间存在恒定的斥 力作用.原来两球被按住,处在静止状态.现突然松开两球,同时给 A 球以速度 ? 0 ,使之 沿两球连线射向 B 球,B 球初速为零.若两球间的距离从最小值(两球未接触)到刚恢复到 原始值所经历的时间为 t 0 .求 B 球在斥力作用下的加速度。
21

例 18(92 高考)如图所示,一质量为 M、长为 l 的长方形木板 B 放在光滑的水平地面上,在 其右端放一质量为 m 的小木块 A,m〈M。现以地面为参照系,给 A 和 B 以大小相等、方向相 反的初速度(如图),使 A 开始向左运动、B 开始向右运动,但最后 A 刚好没有滑离 L 板。以 地面为参照系。(1)若已知 A 和 B 的初速度大小为 v0,求它们最后的速度的大小和方向。(2) 若初速度的大小未知,求小木块 A 向左运动到达的最远处(从地面上看)离出发点的距离。

练习 19(04 全国)如图,木板 ab 的 b 端固定一档板,木板质量 M=4.0kg,ab 间距 s=2.0m。 木板位于光滑水平面上。a 端有一小物块,m=1.0kg,小物块与木板间 ? ? 0.10 ,它们都处 于静止状态。现令小物块初速

v0 ? 4.0m / s

沿木板向前滑动,直到和档板相撞。碰后,小

物块恰好回到 a 端不脱离木板。求碰撞过程中损失的机械能。

练习 20(04 北京)A、B 两物体位于光滑水平面上,仅限于沿同一直线运动。当它们间的距 离 ? 定值 d 时,相互作用力零;当它们之间距离<d 时,存在恒力 F 的斥力。A,m1=1.0kg, 开始时静止;B,m2=3.0kg,以 v0 从远处向 A 运动。若 d=0.10m,F=0.60N,v0=0.20m/ s,求(1)A、B 加速度(2)A、B 距离最小时,系统动能减少量; (3)A、B 最小距离。 例 20(91 高考)34 在光滑的水平轨道上有两个半径都是 r 的小球 A 和 B,质量分别为 m 和 2m, 当两球心间的距离大于 l》r 时,两球之间无相互作用力;当两球心间的距离等于或小于 l 时,两球间存在相互作用的恒定斥力 F。设 A 球从远离 B 球处以速度 v0 沿两球连心线向原来 静止的 B 球运动,如图所示.欲使两球不发生接触,v0 必须满足什么条件?

练习 21(12 广东)图 1,小物块 A、B 均为 m,水平面上 PQ 长 l,与物块间的动摩擦因数μ , 其余段光滑。初始时,挡板上的轻质弹簧原长;r 连杆处于虚线位置;A 紧靠滑杆(AB>2r) 。 连杆以角速度ω 匀速转动,带动滑杆水平运动,滑杆的 v-t 图像图 2 示。A 在滑杆推动下运 动,并在脱离滑杆后与静止 B 发生完全非弹性碰撞。求(1)A 脱离滑杆时速度 vo,AB 碰撞 过程机械能损失Δ E(2)若 AB 不能与弹簧相碰,设 AB 从 P 到运动停止用时 t1,ω 的取值范 围,t1 与ω 关系式(3)若 AB 能与弹簧相碰,但不能返 P 点左侧,设每次压缩弹簧过程中弹 簧的最大弹性势能为 Ep,ω 的范围,Ep 与ω 关系式。
22

例 21(10 南大)图示, A 是放在光滑水平面上滑块,质量 M,滑块上端面是一水平台面, 台面长 度、高度均为 h,滑块侧面有一条长度 1/8 圆周的圆弧形光滑槽,槽底跟水平面相切.另有 一条高为 H 的固定光滑导轨,导轨底端对准 A 的滑槽。B 是质量为 m 小球,m = 0.4 M,它 由导轨的顶端滑下,初速为零.问,欲使小球撞击中 A 的平台,H/h 的数值范围是多少?

练习 22(07 重庆)一种实验装置图示。用轻绳将 N 个大小相同、质量不等的小球并列悬挂 于一水平杆,球间有微小间隔,从左到右,球的编号依次为 1、2、3??N,球的质量依次 递减,每球质量与其相邻左球质量之比为 k<1。将 1 号球向左拉起,静止释放,使其与 2 球 碰撞,2 球再与 3 球碰撞??所有碰撞皆为无机械能损失正碰 ⑴设与 n+1 号球碰撞前 n 号 球的速度为 vn,求 n+1 号球碰撞后的速度 ⑵若 N=5,1 号球向左拉高 h 情况下,要使 5 球碰 后升高 16h(16 h 小于绳长) ,求 k 值 ⑶在第⑵问的条件下,悬挂哪个球的绳最容易断?

例22(11华约样题)一质点从高处自由下落距离h后,落到倾角为45° 的很长的光滑斜面上,并 与斜面发生多次弹性碰撞。如图选取直角坐标,求(1)经过 n 次(n=1,2,3,…)碰撞后刚 弹起时速度x分量un和y分量vn(2)任意两次碰撞间的时间间隔。

练习 23(12 北大保送)图示,质量 M 木板放在光滑水平面上以速度 v 0 向左运动。现另有 一个质量为 m 的小球以大小为 v1 、方向和竖直方向成 ? 角的速度斜向右下方撞击木板,则 要使球与板弹性碰撞,球不向前运动,应满足什么条件?设球和板间的动摩擦因数为 ? 。

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