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(选修1-1)《椭圆的简单性质》教案


《椭圆的简单性质》教案
教学目的: 1.熟练掌握椭圆的范围,对称性,顶点等简单几何性质。 2.掌握标准方程中 a, b, c 的几何意义,以及 a, b, c, e 的相互关系。 3.理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法。 教学重点:椭圆的几何性质 教学难点:如何贯彻数形结合思想,运用曲线方程研究几何性质 授课类型:新授课。 课时安排:1 课时。

教 具:多媒体、实物投影仪。

内容分析: 根据曲线的方程,研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形,是解析几何的基本问 题之一,根据曲线的条件列出方程,如果说是解析几何的手段,那么根据曲线的方程研究它 的性质、画图就是解析几何的目的。怎样用代数的方法来研究曲线原性质呢?本节内容为系 统地按照方程来研究曲线的几何性质提供了一个范例,因此,本节内容在解析几何中占有非 常重要的地位。 通过本节的学习,使学生掌握应从哪些方面来讨论一般曲线的几何性质,从而对曲线的 方程和方程的曲线彼此之间的相辅相成的辩证关系,对解析几何的基本思想有更深的了解。 通过对椭圆几种画法的学习,能深化对椭圆定义的认识,提高画图能力;通过几何性质的简 单的应用,了解到如何应用几何性质去解决实际问题,提高学生用数学知识解决实际问题的 能力。 本节内容的重点是椭圆的几何性质――范围、对称性、顶点、离心率、准线方程;根据 方程研究曲线的几何性质的思路与方法;椭圆的几种画法。难点是椭圆的离心率、准线方程 及椭圆的第二定义的理解,关键是掌握椭圆的标准方程与椭圆图形的对应关系,理解关掌握 两种椭圆的定义的等价性。 根据教学大纲的安排,本节内容分 4 个课时进行教学,本节内容的课时分配作如下设计: 第一课时,椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率、椭圆的画法;第二课时,椭圆的第二 定义、椭圆的准线方程;第三课时,焦半径公式与椭圆的标准方程;第四课时,椭圆的参数 方程及应用。 教学过程:

一、复习引入: 1.椭圆定义:在平面内,到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的动 点的轨迹。
x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 ? ?1 ( a ? b ? 0 ) , a 2 b2 a 2 b2

2.标准方程:

3.问题: (1)椭圆曲线的几何意义是什么? (2)“范围”是方程中变量的取值范围,是曲线所在的位置的范围,椭圆的标准方程中 的 x , y 取值范围是什么?其图形位置是怎样的? (3)标准形式的方程所表示的椭圆,其对称性是怎样的? (4)椭圆的顶点是怎样的点?椭圆的长轴与短轴是怎样定义的?长轴长、短轴长各是多 少? a, b, c 的几何意义各是什么? (5)椭圆的离心率是怎样定义的?用什么来表示?它的范围如何?在这个范围内,它的 变化对椭圆有什么影响? (6)画椭圆草图的方法是怎样的? 二、讲解新课:
x2 y2 由椭圆方程 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) 研究椭圆的性 a b

y P′ A1 B2 P F2 A2 x

质.(利用方程研究,说明结论与由图形观察一致) (1)范围: 从 标 准 方 程 得 出
x2 y2 ? 1 ?1 , 即 有 , a2 b2

F1
Q

O

B1 P″

? a ? x ? a , ? b ? y ? b ,可知椭圆落在 x ? ?a, y ? ?b 组

成的矩形中. (2)对称性:

把方程中的 x 换成 ? x 方程不变,图象关于 y 轴对称. y 换成 ? y 方程不变,图象关于

x 轴对称.把 x , y 同时换成 ? x,? y 方程也不变,图象关于原点对称.
如果曲线具有关于 x 轴对称,关于 y 轴对称和关于原点对称中的任意两种,则它一定 具有第三种对称
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原点叫椭圆的对称中心,简称中心. x 轴、 y 轴叫椭圆的对称轴.从椭圆的方程中直接可 以看出它的范围,对称的截距
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(3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点

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x2 y2 在 椭 圆 2 ? 2 ? 1 的 方 程 里 , 令 y ? 0 得 x ? ?a , 因 此 椭 圆 和 x 轴 有 两 个 交 点 a b

A (?a,0), A2 (a,0) ,它们是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的顶点 a2 b2

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令 x ? 0 ,得 y ? ?b ,因此椭圆和 y 轴有两个交 B (0,?b), B2 (0, b) ,它们也是椭圆
x2 y2 ? ? 1 的顶点 因此椭圆共有四个顶点: a2 b2
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A (?a,0), A2 (a,0) , B (0,?b), B2 (0, b)

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加两焦点 F1 (?c,0), F2 (c,0) 共有六个特殊点.

A1 A2 叫椭圆的长轴, B1 B2 叫椭圆的短轴.长分别为 2a,2b
a , b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点.

至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围, 对称性, 顶点.因而只需少量描点 就可以较正确的作图了. (4)离心率: 发现长轴相等,短轴不同,扁圆程度不同 这种扁平性质由什么来决定呢? 概念:椭圆焦距与长轴长之比 定义式: e ?
c b ? e ? 1 ? ( )2 a a
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y

范围: 0 ? e ? 1 。 考察椭圆形状与 e 的关系:
e ? 0, c ? 0 ,椭圆变圆,直至成为极限位置圆,此

B2 A1
O

A2 B1

x

时也可认为圆为椭圆在 e ? 0 时的特例。

e ? 1, c ? a, 椭圆变扁,直至成为极限位置线段 F1 F2 ,此时也可认为圆为椭圆在 e ? 1

时的特例。 三、讲解范例: 例 1 求椭圆 16x 2 ? 25y 2 ? 400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描 点法画出它的图形。 解:把已知方程化成标准方程
x2 y2 ? ?1 52 4 2

所以, a ? 5, b ? 4, c ? 5 2 ? 4 2 ? 3 , 因此,椭圆的长轴的长和短轴的长分别为 2a ? 10,2b ? 8 ,离心率 e ?
c 3 ? ,两个焦 a 5
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点分别为 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,椭圆的四个顶点是 A (?5,0), A2 (5,0) , B (0,?4), B2 (0,4) 将已知方程变形为 y ? ? 几个点的坐标 ( x, y ) :

4 4 25 ? x 2 ,根据 y ? 25 ? x 2 ,在 0 ? x ? 5 的范围内算出 5 5

x
y

0 4

1 3.9

2 3.7

3 3.2

4 2.4

5 0

先描点画出椭圆的一部分,再利用椭圆的对称性画出整个椭圆:
y 4

-5

O -4

5

x

例 2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图: (1)
x2 y2 ? ?1 25 16

(2)

x2 y2 ? ?1 25 9

答:简图如下:
y 4

3
-5 O -3 -4 5 x

例 3 分别在两个坐标系中,画出以下椭圆的简图:

(1)

x2 y2 ? ?1 9 4

(2)

x2 y2 ? ?1 49 36

答:简图如下:
y 2

6

y

-3

O -2

3

x

-7

O -6

7

x

四、课堂练习: 1.已知椭圆的一个焦点将长轴分为 3 : 2 两段,求其离心率 解:由题意, (a ? c) : (a ? c) = 3 : 2 ,即
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1? e 3 ,解得 e ? 5 ? 2 6 ? 1? e 2

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x2 y2 2 .如图,求椭圆 2 ? 2 ? 1 ,( a ? b ? 0 ) 内接正方形 a b

ABCD 的面积

y
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解 由椭圆和正方形的中心对称性知,正方形 BFOE 的面积是所求正方形面积的 1/4,且 B 点横纵坐标相等,故
a 2b 2 设B ( t , t ),代入椭圆方程求得 t ? 2 ,即正方形 ABCD a ? b2
2

A

B2
E O B F

A1
D

A2 x

B1

C

4a 2 b 2 面积为 2 a ? b2

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五、 小结 : 这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的思想方法; 学习了椭圆的几何性质: 对称性、顶点、范围、离心率;学习了椭圆的描点法画图及徒手画椭圆草图的方法 第二课时 教学目的: 1. 掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质; 2.理解椭圆第二定义与第一定义的等价性; 3. 掌握根据曲线方程来研究曲线性质的基本思路与方法; 培养学生观察能力, 概括能力; 提高学生画图能力;提高学生分析问题与解决问题的能力 教学重点:椭圆的第二定义、椭圆的准线方程 教学难点:椭圆第二定义
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授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪

教学过程: 一、复习引入: 1.椭圆定义:在平面内,到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的动 点的轨迹
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x2 y2 y2 x2 2.标准方程: 2 ? 2 ? 1 , 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) a b a b x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) a2 b2
P′

3.椭圆的性质:由椭圆方程

y B2 P F2 A2 x

(1)范围:
? a ? x ? a , ? b ? y ? b ,椭圆落在 x ? ?a, y ? ?b 组成的矩
A1

F1
Q

O

形中. (2)对称性: 图象关于 y 轴对称.图象关于 x 轴对称.图象关于原点对称
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B1 P″

原点叫椭圆的对称中心,简称中心. x 轴、 y 轴叫椭圆的对称轴.从椭圆的方程中直接可 以看出它的范围,对称的截距
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(3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点

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椭圆和 x 轴有两个交点 A (?a,0), A2 (a,0) ,它们是椭圆 两 个 交 B (0,?b), B2 (0, b) , 它 们 也 是 椭 圆
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x2 y2 ? ? 1 的顶点 a2 b2
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椭圆和 y 轴有

x2 y2 ? ?1 的顶点 a2 b2

因此椭圆共有四个顶点:

A (?a,0), A2 (a,0) , B (0,?b), B2 (0, b) 加两焦点 F1 (?c,0), F2 (c,0) 共有六个特殊点.
A1 A2 叫椭圆的长轴, B1 B2 叫椭圆的短轴.长分别为 2a,2b
a , b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点
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(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比

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e?

c b ? e ? 1 ? ( )2 a a

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0 ? e ?1

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y

椭圆形状与 e 的关系:
e ? 0, c ? 0 ,椭圆变圆,直至成为极限位置圆,

B2 A1
O

此时也可认为圆为椭圆在 e ? 0 时的特例。
e ? 1, c ? a, 椭圆变扁,直至成为极限位置线段

A2 B1

x

F1 F2 ,此时也可认为圆为椭圆在 e ? 1 时的特例。
4. 回顾一下焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程的推导过程:如果对椭圆标准方程推导过程 中的关键环节进行适当变形,我们会有新的发现:
( x ? c) 2 ? y 2 + ( x ? c) 2 ? y 2 = 2 a



? ( x ? c) 2 ? y 2 ? a ?

( x ? c) 2 ? y 2 a x? c
2

c c a2 x ? ( ? x) , a a c

?

c a



同时还有

( x ? c) 2 ? y 2 a2 x ? (? ) c

?

c a

(3)

观察上述三式的结构,说出它们各自的几何意义,从而引出椭圆的第二定义 二、讲解新课:

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1.椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 (0,1) 内常 数 e ,那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数 e 就是离心率
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y
N1 K1 P

y
K2

N2 P

B2
O F2

A2
N2

F2

A1

F1

A2

K2

x

B1

O

B2
N1

x

B1
2.椭圆的准线方程

A1
K1

F1

对于

x2 y2 a2 ? ? 1 l : x ? ? ,相对于左焦点 对应着左准线 ;相对于右焦点 F ( ? c , 0 ) 1 1 c a2 b2 a2 y2 x2 对于 2 ? 2 ? 1 ,相对于下焦点 F1 (0,?c) 对应着下准线 c a b
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F2 (c,0) 对应着右准线 l 2 : x ?

a2 a2 l1 : y ? ? ;相对于上焦点 F2 (0, c) 对应着上准线 l 2 : y ? c c

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准线的位置关系: x ? a ? 焦点到准线的距离 p ?

a2 c

a2 a2 ? c2 b2 ?c ? ? (焦参数) c c c
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其上任意点 P ( x, y ) 到准线的距离:(分情况讨论)

点评:(1)从上面的探索与分析可知,椭圆的第二定义与第一定义是等价的,它是椭圆 两种不同的定义方式
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(2)椭圆的准线方程有两条,这两条准线在椭圆外部,与短轴平行,且关于短轴对称 三、讲解范例: 例 1 求下列椭圆的准线方程:(1) x 2 ? 4 y 2 ? 4 解:⑴ 方程 x 2 ? 4 y 2 ? 4 可化为
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(2)

x2 y2 ? ?1 16 81

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x2 ? y 2 ? 1 ,是焦点在 x 轴上且 a ? 2, b ? 1,c ? 3 的椭圆 4

所以此椭圆的准线方程为 x ? ? ⑵ 方程

4 3

??

4 3 3

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x2 y2 ? ? 1 是焦点在 y 轴上且 a ? 9, b ? 4 , c ? 65 的椭圆 16 81

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所以此椭圆的准线方程为 y ? ? 例2

81 65

??

81 65 65

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x2 y2 ? ? 1 上有一点 P, 椭圆 它到椭圆的左准线 100 36
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y
N1 K1 10 P

距离为 10,求点 P 到椭圆的右焦点的距离

B2
O F2

4 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 e ? ,根据椭圆的第 解:椭圆 5 100 36

A1

F1

A2

x

二定义得,点 P 到椭圆的左焦点距离为 10 e ? 8

B1
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再根据椭圆的第一定义得,点 P 到椭圆的右焦点的距离为 20-8=12

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四、课堂练习: 1.求下列椭圆的焦点坐标与准线方程 (1)
x2 y2 ? ?1 100 36

(2) 2 x 2 ? y 2 ? 8
100 25 ?? 8 2
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答案:⑴ 焦点坐标 F1 (?8,0), F2 (8,0) ;准线方程 x ? ? ⑵ 焦点坐标 F1 (0,?2), F2 (0,2) ;准线方程 x ? ?
8 ? ?4 2

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1 2.已知椭圆的两条准线方程为 y ? ?9 ,离心率为 ,求此椭圆的标准方程 3

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答案:

x2 y2 ? ?1 8 9

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五、小结 :本节课学习了椭圆的第二定义,椭圆两种定义是等价的;椭圆的两种类型的 准线方程也是不同的,须区别开来
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c a2 上面 ( x ? a) 2 ? y 2 ? ( ? x) (2) a c

即 ( x ? a) 2 ? y 2 ?

c a2 ( ? x) ? a ? ex a c
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同样(3)也可以这样处理,这是椭圆的焦半径公式

六、课后记:本课时背景材料是课本例 4,学生解答例 4 并不困难,但对例 4 中直线的出 现感到突然与困难,对由此得出的第二定义与第一定义有何内在联系搞不清楚
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本设计通过

反思椭圆标准方程的推导过程, 引导学生自己去发现椭圆的第二定义 使学生明白两种定义是 等价的,消除了学生困惑
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利用引导学生去发现定义的教学,调动学生的积极性,加强了知
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识发生过程的教学 使用多媒体辅助教学,增加了课堂教学容量,提高了课堂教学效益 第三课时 教学目的:

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1. 能推导,掌握椭圆的焦半径公式,并能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问 题; 2.能利用椭圆的有关知识解决实际问题,及综合问题; 3.体会数学形式的简洁美,增强爱国主义观念。 教学重点:焦半径公式的的推导及应用 教学难点:焦半径公式的的推导,应用问题中坐标系的建立

授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教
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具:多媒体、实物投影仪

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教学过程: 一、复习引入: 1.椭圆定义:在平面内,到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的动 点的轨迹
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x2 y2 y2 x2 2.标准方程: 2 ? 2 ? 1 , 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) a b a b x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) a2 b2

3.椭圆的性质:由椭圆方程

(1)范围: ? a ? x ? a , ? b ? y ? b ,椭圆落在 x ? ?a, y ? ?b 组成的矩形中. (2)对称性:图象关于 y 轴对称.图象关于 x 轴对称.图象关于原点对称 原点叫椭圆
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的对称中心,简称中心. x 轴、 y 轴叫椭圆的对称轴.从椭圆的方程中直接可以看出它的 范围,对称的截距
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(3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点

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椭圆共有四个顶点: A (?a,0), A2 (a,0) ,B (0,?b), B2 (0, b) 加两焦点 F1 (?c,0), F2 (c,0) 共
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有六个特殊点. A1 A2 叫椭圆的长轴, B1 B2 叫椭圆的短轴.长分别为 2a,2b 圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点 (4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比 e ?
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a , b 分别为椭

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c b ? e ? 1 ? ( )2 a a

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0 ? e ?1

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椭圆形状与 e 的关系: e ? 0, c ? 0 ,椭圆变圆,直至成为极限位置圆,此时也可认为圆 为椭圆在 e ? 0 时的特例 e ? 1, c ? a, 椭圆变扁,直至成为极限位置线段 F1 F2 ,此时也可认为
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圆为椭圆在 e ? 1 时的特例
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4.椭圆的第二定义 :一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 (0,1) 内常数

e ,那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数 e 就是离心率
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椭圆的第二定义与第一定义是等价的,它是椭圆两种不同的定义方式

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5.椭圆的准线方程:椭圆的准线方程有两条,这两条准线在椭圆外部,与短轴平行,且 关于短轴对称 对于 对于
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x2 y2 a2 a2 l : x ? ? ? 1 l : x ? ? ,左准线 ;右准线 2 1 c c a2 b2 y2 x2 a2 a2 l : y ? ? ? 1 l : y ? ? ,下准线 ;上准线 2 1 c c a2 b2 a2 a2 ? c2 b2 ?c ? ? (焦参数) c c c

焦点到准线的距离 p ? 二、讲解新课:

椭圆的焦半径公式:设 M ( x0 , y0 ) 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的一点, r1 和 r2 分别是点 M a2 b2

与点 F1 (?c,0) , F2 (c,0) 的距离.那么(左焦半径) r1 ? a ? ex0 ,(右焦半径) r2 ? a ? ex0 ,其中 e 是 离心率
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推导方法一: MF1 ? ( x0 ? c) 2 ? y 0 , MF 2
? MF1 ? MF 2
2 2

2

2

2

? ( x0 ? c) 2 ? y 0

2

? 4cx 0 , 又? MF1 ? MF2 ? 2a

2c ? x0 ? MF1 ? MF2 ? ?? a ? ? MF1 ? MF2 ? 2a

c ? ? MF1 ? a ? a x0 ? a ? ex0 ?? c ? MF2 ? a ? x0 ? a ? ex0 a ?
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即 (左焦半径) , r1 ? a ? ex0(右焦半径) r2 ? a ? ex0 推导方法二:

r1 r2 ? e, ?e | MF1 | | MF2 |
a2 ? x0 ) ? a ? ex0 , c
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y
N1 K1 M

B2
O F2

N2

? r1 ? e | MF1 |? e(
r2 ? e | MF2 |? e(
2

A1

F1

A2

K2

x

B1

a ? x0 ) ? a ? ex0 c

? MF1 ? a ? ey0 同理有焦点在 y 轴上的椭圆的焦半径公式: ? ? MF2 ? a ? ey0

( 其中 F1 F2 分别是椭圆的下上焦点) 注意:焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有 关,而与点在左在右无关 三、讲解范例
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y

可以记为:左加右减,上减下加

a+c
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a-c
F1 O F2 A

B

x

例 1 如图所示, 我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心) F2 为 一个焦点的椭圆,已知它的近地点 A(离地面最近的点)距地面 439km,远地点 B(离地面最 远的点)距地面 2384km,并且 F2 、A、B 在同一直线上,设地球半径约为 6371km,求卫 星运行的轨道方程 (精确到 1km). 解:建立如图所示直角坐标系,使点 A、B、 F2 在 x 轴上, 则

a ? c =|OA|-|O F2 |=| F2 A|=6371+439=6810

a ? c =|OB|+|O F2 |=| F2 B|=6371+2384=8755
解得 a =7782.5, c =972.5
b ? a 2 ? c 2 ? (a ? c)( a ? c) ? 6810 ? 8755 ? 7722 .

卫星运行的轨道方程为 例 2 椭圆 椭圆方程
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x2 y2 ? ?1 77832 77222

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,其上一点 P(3, y )到两焦点的距离分别是 6.5 和 3.5,求 a2 b2

解:由椭圆的焦半径公式,得

?a ? 3e ? 6.5 1 5 75 ,解得 a ? 5, e ? ,从而有 c ? , b 2 ? a 2 ? c 2 ? ? 2 2 4 ?a ? 3e ? 3.5
所求椭圆方程为 四、课堂练习: 1.P 为椭圆
x2 4y2 ? ?1 25 75

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x2 y2 ? ? 1 上的点,且 P 与 F1 , F2 的连线互相垂直,求 P 25 9
4 4 7 ? 25 81 2 x0 ) 2 ? (5 ? x 0 ) 2 =64 ? x0 ? , y2 ? 5 5 16 16
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解:由题意,得 (5 ?

?P 的坐标为 (

5 7 9 5 7 9 5 7 9 5 7 9 , ) , (? , ) , (? ,? ) , ( ,? ) 4 4 4 4 4 4 4 4

9 x2 y2 ? ? 1 上不同三点 A( x1 , y1 ), B(4, ), C ( x 2 , y 2 ) 与焦点 F(4,0)的距离成等差数 2.椭圆 5 25 9

列,求证 x1 ? x2 ? 8 证明:由题意,得 (5 ?
4 4 4 x1 ) ? (5 ? x 2 ) =2 (5 ? ? 4) ? x1 ? x2 ? 8 5 5 5

3.设 P 是以 0 为中心的椭圆上任意一点, F2 为右焦点,求证:以线段 F2 P 为直径的圆与

此椭圆长轴为直径的圆内切 证明:设椭圆方程为

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x2 y2 ? ? 1 ,( a ? b ? 0 ), a2 b2

y
P

焦半径 F2 P 是圆 O1 的直径, 则由 a ?

PF2 2

?

2a ? PF2 2

?

PF1 2

? OO1 知,两圆半径

O1 A1
F1 O F2

A2

x

之差等于圆心距, 所以,以线段 F2 P 为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切
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五、小结 :焦半径公式的推导方法及形式;实际问题中坐标系的建立应使问题易求解 第四课时 教学目的: 1. 了解椭圆的参数方程,了解参数方程中系数 a , b 的含义.

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2.通过学习椭圆的参数方程,进一步完善对椭圆的认识,理解参数方程与普通方程的相 互联系.并能相互转化.提高综合运用能力
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教学重点:进一步巩固和掌握由曲线求方程及由方程研究曲线的方法及椭圆参数方程的推导. 教学难点:深入理解推导方程的过程.灵活运用方程求解问题. 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教

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具:多媒体、实物投影仪

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教学过程: 一、复习引入: 1.椭圆定义:在平面内,到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的动 点的轨迹
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2.标准方程:

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ?1 (a ? b ? 0) , a2 b2 a2 b2

x2 y2 3.椭圆的性质:由椭圆方程 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) a b

(1)范围: ? a ? x ? a , ? b ? y ? b ,椭圆落在 x ? ?a, y ? ?b 组成的矩形中. (2)对称性:图象关于 y 轴对称.图象关于 x 轴对称.图象关于原点对称 原点叫椭圆的
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对称中心,简称中心. x 轴、 y 轴叫椭圆的对称轴.从椭圆的方程中直接可以看出它的范 围,对称的截距
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(3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点

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椭圆共有四个顶点: A (?a,0), A2 (a,0) ,B (0,?b), B2 (0, b) 加两焦点 F1 (?c,0), F2 (c,0) 共
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有六个特殊点. A1 A2 叫椭圆的长轴, B1 B2 叫椭圆的短轴.长分别为 2a,2b 圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点 (4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比 e ?
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a , b 分别为椭

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c b ? e ? 1 ? ( )2 0 ? e ? 1 a a
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椭圆形状与 e 的关系: e ? 0, c ? 0 ,椭圆变圆,直至成为极限位置圆,此时也可认为圆 为椭圆在 e ? 0 时的特例 e ? 1, c ? a, 椭圆变扁,直至成为极限位置线段 F1 F2 ,此时也可认为
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圆为椭圆在 e ? 1 时的特例
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4.椭圆的第二定义 :一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 (0,1) 内常数

e ,那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数 e 就是离心率
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椭圆的第二定义与第一定义是等价的,它是椭圆两种不同的定义方式 5.椭圆的准线方程 对于 对于
x2 y2 a2 a2 l : x ? ? ? 1 l : x ? ? ,左准线 ;右准线 2 1 c c a2 b2
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y2 x2 a2 a2 l : y ? ? ? 1 l : y ? ? ,下准线 ;上准线 2 1 c c a2 b2

a2 a2 ? c2 b2 ?c ? ? 焦点到准线的距离 p ? (焦参数) c c c

椭圆的准线方程有两条,这两条准线在椭圆外部,与短轴平行,且关于短轴对称

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6.椭圆的焦半径公式:(左焦半径) r1 ? a ? ex0 ,(右焦半径) r2 ? a ? ex0 ,其中 e 是离心 率
? MF1 ? a ? ey0 焦点在 y 轴上的椭圆的焦半径公式: ? ( 其中 F1 , F2 分别是椭圆的下上 ? MF2 ? a ? ey0
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焦点)

焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关,而与点在左在右无关 左加右减,上减下加
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可以记为:

二、讲解新课: 1.问题:如图,以原点 O 为圆心,分别以 a , b ( a ? b ? 0 )为半径作两个图,点 B 是大 圆半径 OA 与小圆的交点, 过点 A 作 NA⊥ OX 垂足为 N, 过点 B 作 BM⊥ AN, 垂足为 M. 求 当半径 OA 绕点 O 旋转时点 M 的轨迹的参数方程
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解答:设 A 的坐标为 ( x, y), ?NOA ? ? ,取 ? 为参数,那么

? x ? ON ?| OA | cos? ? ? y ? NM ?| OB | sin ?
也就是

y B ?
O
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s ?x ? a c o ? (?为参数) ? ? ? y ? bs i n

A M N x

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这就是所求点 A 的轨迹的参数方程

?x ? ? cos? ? x ? a cos? 将? 变形为 ? a y ? y ? b sin ? ? ? sin ? ?b
发现它可化为

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x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,说明 A 的轨迹是椭圆 a2 b2
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? x ? a cos? 2.椭圆的参数方程 ? (?为参数) 注意: ? 角不是角 ?NOM ? y ? b sin ?
三、讲解范例: 例 1 把下列参数方程化为普通方程,普通方程化为参数方程

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? x ? 3 cos? (1) ? (?为参数) ? y ? 4 sin ? ? x ? 3 cos? x2 y2 解:(1) ? (?为参数) ? 2 ? 2 ? 1 3 4 ? y ? 4 sin ?
(2)
? x ? 2 2 cos? x2 (?为参数) ? y2 ? 1 ? ? 8 y ? sin ? ?

(2)

x2 ? y2 ? 1 8

? x ? cos? 1 例 2 已知椭圆 ? (a ? 0, b ? 0, ?为参数) 上的点 P( x , y ),求 x ? y 的取值范围. 2 ? y ? 2 sin ?
解: x ?
1 ? y = cos ? ? sin ? ? 2 sin(? ? ) ? ? 2 , 2 2 4

?

?

例 3 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与 x 轴的正半轴交于 A,O 是原点,若椭圆上存在一点 a2 b2
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M,使 MA⊥ MO,求椭圆离心率的取值范围

解:A( a ,0),设 M 点的坐标为 (a cos? , b sin ? ) ( 0 ? ? ?
b sin ? b sin ? ? ? ?1 a cos? ? a a cos?

?
2

),由 MA⊥ MO 得

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化简得

b2 c o ? s (1 ? c o ? s) c o? s 1 ? 1? ? ? ? 1? ? ? 0, ? 2 2 1? c o ? s 1? c o ? s ? 2? a s i n?
e ? 1? b2 ? 2 ? ?? ,1? ? 2 a2 ? ? ?

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所以

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四、课堂练习:

? x ? 4 cos? 1.参数方程 ? (?为参数) 表示的曲线的焦点坐标是: ? y ? 3 sin ?
答案: F1 (? 7 ,0), F2 ( 7 ,0) ; e ? 2.求椭圆
7 4
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离心率是:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的内接矩形面积的最大值 a2 b2
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答案: S ? 4a cos? ? b sin ? ? 2absin 2? ? S max ? 2ab 五、小结 : 椭圆的参数方程及形式,与普通方程的互化
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椭圆的参数方程的应用

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