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成才之路·人教A版数学选修课件2-3 2.2.1


成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-3

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
随机变量及其分布

第二章

随机变量及其分布

成才之路 · 高

中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

第二章 2.2 二项分布及其应用
2.2.1 条件概率

第二章

随机变量及其分布

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1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

巩固提高学案

第二章

2.2

2.2.1

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自主预习学案

第二章

2.2

2.2.1

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通过实例,了解条件概率的概念,能利用条件概率的公式 解决简单的问题.

第二章

2.2

2.2.1

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重点:条件概率的定义及计算.

难点:条件概率定义的理解.

第二章

2.2

2.2.1

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条件概率

思维导航
在 10 件产品中有 9 件产品的长度合格, 8 件产品的质量合 格,7件产品的长度、质量都合格. 令A={任取一件产品其长度合格 },B={任取一件产品其 质量合格 } , AB = { 任取一件产品其长度、质量都合格 } , C =

{任取一件产品,在其长度合格的条件下,其质量也合格},试
讨论概率P(A),P(B),P(AB),P(C)的值,你发现了什么?

第二章

2.2

2.2.1

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新知导学 1.条件概率

P?AB? P?A? 一般地, 设 A、 B 为两个事件, 且 P(A)>0, 称 P(B|A)=_______
为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率. 一般把 P(B|A)

A发生的条件下B发生的概率 . 读作_______________________________
如果事件 A 发生与否,会影响到事件 B 的发生,显然知道 了 A 的发生,研究事件 B 时,基本事件发生变化,从而 B 发生 条件概率 要研究的问题. 的概率也相应的发生变化,这就是__________

第二章

2.2

2.2.1

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2.条件概率的性质 性质1:0≤P(B|A)≤1; 性 质 2 : 如 果 B 和 C 是 两 个 互 斥 事 件 , 那 么 P(B∪C|A) = P(B|A)+P(C|A).

第二章

2.2

2.2.1

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牛刀小试 3 3 1.已知 P(AB)=10,P(A)=5,则 P(B|A)为( 9 A.50 9 C.10 1 B.2 1 D.4 )

[答案] B

第二章

2.2

2.2.1

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2 .甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分 别为 0.6 和 0.5 ,现已知目标被击中,则它是被甲击中的概率为 ( ) A.0.45 B.0.6

C.0.65
[答案] D

D.0.75

第二章

2.2

2.2.1

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[解析] 设“甲击中目标”为事件 A, “目标被击中”为事 件 B,则所求概率为事件 B 发生的条件下 A 发生的条件概率, ∵P(AB)=0.6, P(B)=0.6×0.5+0.6×0.5+0.4×0.5=0.8, P?AB? 0.6 ∴P(A|B)= =0.8=0.75. P?B?

第二章

2.2

2.2.1

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3.(2013·福州文博中学高二期末)在100件产品中有95件合 格品, 5 件不合格品.现从中不放回地取两次,每次任取一 件,则在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的

概率为__________________.
[答案] 4 99

第二章

2.2

2.2.1

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[解析] 解法 1: 在第一次取到不合格品以后, 由于不放回, 故还有 99 件产品, 其中 4 件次品, 故第二次再次取到不合格产 4 品的概率为99. 5 1 解法 2:第一次取到不合格品的概率为 P1=100=20,两次 C2 1 P2 5 都取到不合格产品的概率为 P2=C2 =495,∴所求概率 P=P 100 1 1 495 4 = 1 =99. 20
第二章 2.2 2.2.1

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4.在一个口袋里装有大小相同的红色小球 3个,蓝色小球
5个,从中任取1球观察颜色,不放回,再任取一球,则 (1) 在第一次取到红球条件下,第二次取到红球的概率为 ________; (2)在第一次取到蓝球的条件下,第二次取到红球的概率为

________;
(3)在第一次取到蓝球的条件下,第二次取到蓝球的概率为 ________.

2 3 4 [答案] (1)7 (2)7 (3)7

第二章

2.2

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[解析]

解法 1:(1)第一次取到红球不放回,此时口袋里

2 有 2 个红球,5 个蓝球,故第二次取到红球的概率为 P1=7. (2)第一次取到蓝球后不放回,这时口袋里有 3 红 4 蓝 7 个 3 小球,从中取出一球,取到红球的概率为7. (3)第一次取到蓝球后不放回,这时口袋里有 3 红 4 蓝 7 个 4 小球,从中取出一球,取到蓝球的概率为 P3=7.

第二章

2.2

2.2.1

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解法 2: (1)记事件 A 为“第一次取到红球”, 事件 B 为“第 C2 3 3 3 二次取到红球”,∵P(AB)=C2=28,P(A)=8, 8 3 P?AB? 28 2 ∴P(B|A)= = 3 =7. P?A? 8

第二章

2.2

2.2.1

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(2)设 C=“第一次取到蓝球”,B=“第二次取到红球”,
1 A1 A 15 5 5 3 则 P(CB)= A2 =56,P(C)=8, 8

15 56 3 ∴P(B|C)= 5 =7. 8 (3)记 C=“第一次取到蓝球”, D=“第二次取到蓝球”, C2 5 5 5 则 P(CD)=C2=14,P(C)=8, 8 P?CD? 4 ∴P(D|C)= =7. P?C?
第二章 2.2 2.2.1

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典例探究学案

第二章

2.2

2.2.1

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利用定义求P(B|A)
掷两颗均匀的骰子,问 (1)至少有一颗是 6 点的概率是多少? (2)在已知它们点数不同的条件下,至少有一颗是 6 点的概 率又是多少?

第二章

2.2

2.2.1

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[分析] 设 A={至少有一颗是 6 点},B={两颗骰子点数 不同},则问题(2)就是在事件 B 发生条件下事件 A 发生的概 率.因为事件 A· B 中去掉基本事件(6,6),只有 10 个基本事件, 10 从而 A 与 B 同时发生的概率 P(AB)=36.故可用条件概率公式求 解.

第二章

2.2

2.2.1

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[解析] (1)对两颗骰子加以区别,则共有 36 种不同情况, 它们是等可能的. 设 A=“至少有一颗是 6 点”, 则事件 A 共包含 11 种不同 11 情况,∴P(A)=36. (2)由(1)知,共有 36 种不同情况.又设 B=“两颗骰子点 数不同”,则事件 A· B 共包含 10 种不同情况. 10 5 30 5 ∴P(AB)=36=18,P(B)=36=6. P?AB? 1 ∴P(A|B)= = . P?B? 3
第二章 2.2 2.2.1

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[方法规律总结]

求条件概率时一般应用其定义式 P(B|A)

P?AB? = 求解, 其推导是利用古典概型概率公式进行的, 应注意 P?A? n?AB? P(AB)是事件 A 与事件 B 同时发生的概率,P(AB)= ,其 n? Ω ? 中 Ω 是所有基本事件的集合.因而求条件概率也可以直接利用 古典概型求解.

第二章

2.2

2.2.1

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抛掷红、蓝两颗骰子,设事件A为“蓝色骰子的点数为3或 6”,事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”. (1)求P(A)、P(B)、P(AB); (2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时,求两颗骰子的点数之 和大于8的概率.

第二章

2.2

2.2.1

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[解析]

(1)设 x 为掷红骰子得的点

数,y 为掷蓝骰子得的点数,则所有可能 的事件与(x,y)建立对应如图 12 1 显然:P(A)=36=3, 10 5 5 P(B)=36=18,P(AB)=36.

第二章

2.2

2.2.1

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n?AB? 5 (2)方法 1:P(B|A)= = . n?A? 12 5 P?AB? 36 5 方法 2:P(B|A)= = 1 =12. P?A? 3
[点评] 在等可能事件的问题中,求条件概率采用方法 1

P?AB? 更易理解,然而最通用的方法是条件概率公式 P(B|A)= , P?A? 这就需要求出 P(AB)和 P(A).

第二章

2.2

2.2.1

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有无放回抽样的概率
一个口袋内装有 2 个白球和 2 个黑球,那么. (1)先摸出 1 个白球不放回,再摸出 1 个白球的概率是多 少? (2)先摸出 1 个白球后放回,再摸出 1 个白球的概率是多 少? [分析]

(1)先摸出1个白球不放回,再摸出1个白球的概率

是条件概率. (2)先摸出一个白球后放回,第二次摸球不受第一次摸球的 影响.
第二章 2.2 2.2.1

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[解析] 解法 1: (1)记“先摸出 1 个白球不放回”为事件 A, “再摸出 1 个白球”为事件 B, 则“先后两次摸白球”为 A∩B, 先摸 1 球不放回,再摸 1 球共有 4×3 种结果. 1 C2 1 2 ∴P(A)=2,P(AB)=C2=6, 4 1 P?AB? 6 1 ∴P(B|A)= = = . P?A? 1 3 2

第二章

2.2

2.2.1

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(2)记“先摸出 1 个白球放回”为事件 A1, “再摸出 1 个白 球”为事件 B1,两次都摸出白球为事件 A1B1. 2×2 1 2 1 ∴P(A1)=4=2,P(A1B1)= =4, 4×4 1 P?A1B1? 4 1 ∴P(B1|A1)= = = . P?A1? 1 2 2 1 即先摸 1 个白球不放回,再摸 1 个白球的概率为3;先摸 1 1 个白球后放回,再摸 1 个白球的概率为2.
第二章 2.2 2.2.1

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解法 2:(1)先摸出 1 个白球不放回,则此时口袋内有 1 个 白球和 2 个黑球,∴从中摸出一个球,此球是白球的概率 P1= 1 3. (2)先摸出一个白球后放回,这时口袋内仍然是 2 白 2 黑共 4 个小球,从中摸出一球,该球是白球的概率 P2 与第一次摸球 2 1 无关,∴P2=4=2.

[方法规律总结 ]

解答抽样问题,审题时必须搞清题目是

“放回”还是“不放回”抽样,不放回抽样,后面抽样受前面

抽样的制约,放回抽样的各次抽样之间互不影响.
第二章 2.2 2.2.1

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把一枚硬币任意抛掷两次,事件A=“第一次出现正
面”,事件B=“第二次出现正面”,则P(B|A)=________.

[答案]

1 2

1 1 [解析] P(AB)=4,P(A)=2, P?AB? 1 ∴P(B|A)= = . P?A? 2

第二章

2.2

2.2.1

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设 10 件产品中有 4 件不合格,从中任意取出 2 件,在所取得的产品中发现有一件不合格品,求另一件也是不 合格品的概率.
[分析] “在所取得的产品中发现有一件为不合格品”,

即“在所取得的产品中至少有一件为不合格品”,其对立事件

为“取得的两件产品都合格”;“在所取得的产品中发现有一
件为不合格品,另一件也是不合格品”,即从这10件产品中取 出2件,2件都是不合格品.

第二章

2.2

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[解析] 设事件 A 为“在所取得的产品中发现有一件不合 格品”,事件 B 为“另一件产品也是不合格品”,则
2 C2 2 C 2 6 4 P(A)=1-P( A )=1-C2 =3,P(AB)=C2 =15. 10 10

P?AB? 1 因此 P(B|A)= = . P?A? 5

第二章

2.2

2.2.1

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[解法探究]

m 本题也可直接利用公式 P= n 进行计算,在所 m P(B|A) = n =

2 取得的产品中发现有一件不合格品的取法有 n=C2 - C 10 6种,两

件产品均为不合格品的取法有 C2 1 4 2= . 5 C2 - C 10 6

m=C2 4 种,所以

第二章

2.2

2.2.1

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盒子中有20个外形相同的球,其中10个白球、6个黄球、4
个黑球. (1)从中任取1球,已知它不是白球,则它是黑球的概率为 ________. (2)从中任取2球,已知其中有一个黑球,则另一个也是黑

球的概率为________. 2 3 [答案] (1)5 (2)35

第二章

2.2

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[解析] (1)设 A=“取出的球不是白球”, B=“取出的球 10 1 4 1 是黑球”,则 P(A)=20=2,P(B)=20=5, P?AB? 2 ∴P(B|A)= =5. P?A? (2)设 C=“取出的两球中,至少有一个黑球”,D=“取
2 C2 7 C 3 16 4 出的两球都是黑球”, 则 P(C)=1-C2 =19, P(CD)=C2 =95, 20 20

P?CD? 3 ∴P(D|C)= =35. P?C?

第二章

2.2

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注意区分条件概率 P(B|A)与积事件的概率 P(AB) 袋中装有大小相同的 6 个黄色的乒乓球, 4 个白 色的乒乓球,每次抽取一球,取后不放回,连取两次,求在第 一次取到白球的条件下第二次取到黄球的概率.

第二章

2.2

2.2.1

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[错解] 记“第一次取到白球”为事件 A, “第二次取到黄 球 ” 为事件 B , “ 在第一次取到白球的条件下第二次取到黄 球”为事件 C, 4×6 4 ∴P(C)=P(AB)= = . 10×9 15
[ 辨析 ] 应注意 P(AB) 是事件 A 和 B 同时发生的概率,而 P(B|A)是在事件A已经发生的条件下事件B发生的概率.

第二章

2.2

2.2.1

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[正解] 记“第一次取到白球”为事件 A, “第二次取到黄 球”为事件 B ,“在第一次取到白球的条件下第二次取到黄 球”为事件 C. 在事件 A 已经发生的条件下,袋中只有 9 个球,其中 3 个 6 2 白球,故此时取到黄球的概率为 P(C)=P(B|A)=9=3或者 P(C) 4 P?AB? 15 2 =P(B|A)= = 2 =3. P?A? 5

第二章

2.2

2.2.1

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[警示 ]

记 A1 为“两次都取到黄球”,A2 为“第一次取到

黄球,第二次取到白球”, A3 为“两次都取到白球”, A4 为 “第一次取到白球,第二次取到黄球”,A为“第一次取到白 球”,B为“第二次取到黄球”,C为“第一次取到白球的条件

下,第二次取到黄球”,则

第二章

2.2

2.2.1

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6×5 1 6×4 4×3 4 A4=AB, P(A1)= = , P(A2)= = , P(A3)= = 10×9 3 10×9 15 10×9 4×6 6×5+4×6 3 2 4 4 2 15,P(A4)=10×9=15,P(A)=10=5,P(B)= 10×9 =5, 4 P?AB? 15 2 P(B|A)= = 2 =3,要将以上各事件的关系及其概率切实 P?A? 5 弄清,准确理解条件概率的含义.

第二章

2.2

2.2.1

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巩固提高学案
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第二章

2.2

2.2.1


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