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专题10 几何三大变换之平移探讨


【2013 年中考攻略】专题 10:几何三大变换之平移探讨
轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。平移变换是指在同一平面内,将一个图形(含点、线、 面)整体按照某个直线方向移动一定的距离,这样的图形变换叫做图形的平移变换,简称平移。平移由移 动的方向和距离决定。经过平移,平移前后图形的形状、大小不变,只是位置发生改变;平移前后图形的 对应点所连的线段平行且相等;平移前

后图形的对应线段平行且相等,对应角相等。 在初中数学以及日常生活中有着大量的平移变换的知识,是中考数学的必考内容。 结合 2011 和 2012 年全国各地中考的实例,我们从下面七方面探讨平移变换: (1)构造平移图形; (2) 点的平移; (3)直线(线段)的平移; (4)曲线的平移; (5)三角形的平移; (6)四边形的平移; (7)圆 的平移。 一、构造平移图形: 典型例题:例 1. (2012 黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西 6 分)顶点在网格交点的多边形叫 做格点多边形,如图,在一个 9 X 9 的正方 形网格中有一个格点△ABC.设网格中小正方形的边长为 l 个 单位长度. (1)在网格中画出△ABC 向上平 移 4 个单位后得到的△AlBlCl. (2)在网格中画出△ABC 绕点 A 逆时针旋转 90 后得到的△AB2C2 (3)在(1)中△ABC 向上平移过程中,求边 AC 所扫过区域的面积.
0

【答案】解: 、 (1)(2)如图所示:

(3)∵△ABC 向上平移 4 个单位后得到的△A1B1C1,△ABC 向上平移过程中,边 AC 所扫过区域 是以 4 为边长,以 2 为高的平行四边形, ∴边 AC 所扫过区域的面积=4?2=8。
用心 爱心 专心 1

【考点】作图(旋转和平移变换) ,平行四边形的判定和性质。 【分析】 (1)根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1 即可。 (2)根据图形旋转的性质画出△ABC 绕点 A 逆时针旋转 90°后得到的△AB2C2。 (3)根据△ABC 向上平移 4 个单位后得到的△A1B1C1,△ABC 向上平移过程中,求边 AC 所扫过区域 是以 4 为边长,以 2 为高的平行四边形,由平行四边形的面积公式即可得出结论。 例 2.(2012 黑龙江龙东地区 6 分)如图,方格纸中每个小正方形的边长都是单位 1,△ABC 的三个顶点都 在格点上,结合所给的平面直角坐标系解答下列问题: (1)将△ABC 向右平移 3 个单位长度再向下平移 2 个单位长度,画出两次平移后的△A1B1C1; (2)写出 A1、C1 的坐标; (3)将△A1B1C1 绕 C1 逆时针旋转 90°,画出旋转后的△A2B2C1,求线段 B1C1 旋转过程中扫过的面积(结 果保留 π )。

【答案】解: (1)两次平移后的△A1B1C1 如图所示:

(2)由△A1B1C1 在坐标系中的位置可知,A1(0,2) 1(2,0) ;C 。 (3)旋转后的图形如图所示:

用心

爱心

专心

2

∵由勾股定理可知, B1C1 ? 1 ? 4 ? 17 ,∴ S扇形 ?
2 2

90 ? ? ?

?

17

?

2

360

?

17 ?。 4

∴线段 B1C1 旋转过程中扫过的面积为 【考点】作图(旋转和平移变换) ,扇形面积的计算。

17 ?。 4

【分析】 (1)根据图形平移的性质画出两次平移后的△A1B1C1 即可。 (2)根据△A1B1C1 在坐标系中的位置写出 A1、C1 的坐标; (3)根据图形旋转的性质画出旋转后的△A2B2C1,再根据勾股定理求出 B1C1 的长,由扇形的面积公 式即可计算出线段 B1C1 旋转过程中扫过的面积。 例 3.(2012 贵州六盘水 10 分)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形.Rt△ABC 的 顶点均在格点上,建立平面直角坐标系后,点 A 的坐标为(﹣4,1) ,点 B 的坐标为(﹣1,1) . (1) 先将 Rt△ABC 向右平移 5 个单位, 再向下平移 1 个单位后得到 Rt△A1B1C1. 试在图中画出图形 Rt△A1B1C1, 并写出 A1 的坐标; (2) Rt△A1B1C1 绕点 A1 顺时针旋转 90°后得到 Rt△A2B2C2, 将 试在图中画出图形 Rt△A2B2C2. 并计算 Rt△A1B1C1 在上述旋转过程中 C1 所经过的路程.

【答案】解: (1)如图所示,△A1B1C1 即为所求作的三角形。点 A1 的坐标为(1,0) 。 (2)如图所示,△A2B2C2 即为所求作的三角形。
用心 爱心 专心 3

根据勾股定理,A1C1= 22 +32 = 13 , ∴旋转过程中 C1 所经过的路程为

90 ? ? ? 13 13 = ?。 180 2

【考点】网格问题,作图(旋转和平移变换) ,勾股定理,弧长的计算。 【分析】 (1)根据网格结构找出点 A.B.C 平移后的对应点 A1、B1、C1 的位置,然后顺次连接即可,再根 据平面直角坐标系写出点 A1 的坐标即可。 (2)根据网格结构找出点 A1、B1、C1 绕点 A1 顺时针旋转 90°后的对应点 A2、B2、C2 的位置,然后 顺次连接即可,再根据勾股定理求出 A1C1 的长度,然后根据弧长公式列式计算即可得解。 例 4.(2012 安徽省 8 分)如图,在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC(顶 点是网格线的交点)和点 A1. (1)画出一个格点△A1B1C1,并使它与△ABC 全等且 A 与 A1 是对应点;

(2)画出点 B 关于直线 AC 的对称点 D,并指出 AD 可以看作由 AB 绕 A 点经过怎样的旋转而得到的. 【答案】解: (1)答案不唯一,如图,平移即可:

用心

爱心

专心

4

(2)作图如上, ∵AB= 10 ,AD= 10 ,BD= 2 5 ,∴AB +AD =BD 。 ∴△ABD 是直角三角形。 ∴AD 可以看作由 AB 绕 A 点逆时针旋转 90°得到的。 【考点】作图(平移变换、轴对称变换) ,全等图形,旋转和轴对称的性质,勾股定理和逆定理。 【分析】 (1)利用△ABC 三边长度,画出以 A1 为顶点的三角形三边长度即可,利用图象平移,可得出 △A1B1C1。 (2)利用点 B 关于直线 AC 的对称点 D,得出 D 点坐标,根据勾股定理和逆定理可得出 AD 与 AB 的 位置关系。 例 5.(2012 海南省 8 分)如图,在正方形网络中,△ABC 的三个顶点都在格点上,点 A、B、C 的坐标分别 为(-2,4)(-2,0)(-4,1) 、 、 ,结合所给的平面直角坐标系解答下列问题: (1)画出△ABC 关于原点 O 对称的△A1B1C1. (2)平移△ABC,使点 A 移动到点 A2(0,2) ,画出平移后的△A2B2C2 并写出点 B2、C2 的坐标. (3)在△ABC、△A1B1C1、△A2B2C2 中,△A2B2C2 与 成中心对称,其对称中心的坐标为 .
2 2 2

用心

爱心

专心

5

【答案】解: (1)△ABC 关于原点 O 对称的△A1B1C1 如图所示:

(2)平移后的△A2B2C2 如图所示:

点 B2、C2 的坐标分别为(0,-2)(-2,-1) , 。 (3)△A1B1C1; (1,-1) 。 【考点】网格问题,作图(中心对称变换和平移变换) ,中心对称和平移的性 质。 【分析】 (1)根据中心对称的性质,作出 A、B、C 三点关于原点的对称点 A1、 B1、C1,连接即可。

用心

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6

(2)根据平移的性质,点 A(-2,4)→A2(0,2) ,横坐标加 2,纵坐标减 2,所以将 B(-2, 0) 、C(-4,1)横坐标加 2,纵坐标减 2 得到 B2(0,-2) 2(-2,-1) 、C ,连接即可。 (3)如图所示。 例 6.(2012 江苏泰州 10 分)如图,在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC 的顶点 A、 B、 在小正方形的顶点上, C 将△ABC 向下平移 4 个单位、 再向右平移 3 个单位得到△A1B1C1, 然后将△A1B1C1 绕点 A1 顺时针旋转 90°得到△A1B2C2. (1)在网格中画出△A1B1C1 和△A1B2C2; (2)计算线段 AC 在变换到 A1C2 的过程中扫过区域的面积(重叠部分不重复计算)

【答案】解: (1)如图所示:

(2)∵图中是边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格, ∴ AC ?

22 ? 22 ? 2 2 。

∵将△ABC 向下平移 4 个单位 AC 所扫过的面积是以 4 为底, 以 2 为高的平行四边形的面积:4?2=8。 再向右平移 3 个单位 AC 所扫过的面积是以 3 为底,以 2 为高的平行四边形的面积:4?2=6。 当△A1B1C1 绕点 A1 顺时针旋转 90°到△A1B2C2 时,A1C1 所扫 过的面积是以 A1 为圆心以以 2

2 为半径,圆心角为 90°的扇形的面积,重叠部分是以 A1 为圆心,以

用心

爱心

专心

7

2 2 为半径,圆心角为 45°的扇形的面积,去掉重叠部分,面积为:

45 ? ? ? 2 2 360

?

?

2

=?

∴线段 AC 在变换到 A1C2 的过程中扫过区域的面积=8+6+π ?=14+π 。 【考点】作图(平移和旋转变换),平移和旋转的性质,网格问题,勾股定理,平行四边形面积和扇形面 积的计算。 【分析】(1)根据图形平移及旋转的性质画出△A1B1C1 及△A1B2C2 即可。 (2)画出图形,根据图形平移及旋转的性质分三部分求取面积。 例 7.(2012 甘肃白银 3 分)将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是【 】

A. 【答案】A。 【考点】生活中的平移现象。

B.

C.

D.

【分析】根据平移的性质,平移只改变图形的位置,不改变图形的形状与大小。观察各选项图形可知,A 选项的图案可以通过平移得到。故选 A。 练习题: 1. (2012 江苏常州 6 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 和△DEF 的顶点坐标分别为 A(1,0) 、B (3,0) 、C(2,1) 、D(4,3) 、E(6,5) 、F(4,7) 。按下列要求画图:以点 O 为位似中心,将△ABC 向 y 轴左侧按比例尺 2:1 放大得△ABC 的位似图形△A1B1C1,并解决下列问题: (1)顶点 A1 的坐标为 ▲ ,B1 的坐标为 ▲ ,C1 的坐标为 ▲ ;

(2)请你利用旋转、平移两种变换,使△A1B1C1 通过变换后得到△A2B2C2,且△A2B2C2 恰与△DEF 拼接成一个 平行四边形(非正方形) 。写出符合要求的变换过程。

3.(2012 福建泉州 9 分)如图,在方格纸中(小正方形的边长为 1) ,反比例函数 y ?
用心 爱心 专心

k 与直线的交点 A、 x
8

B 均在格点上,根据所给的直角坐标系(点 O 是坐标原点) ,解答下列问题: (1)分别写出点 A、B 的坐标后,把直线 AB 向右平移平移 5 个单位,再在向上平移 5 个单位,画出平移 . . 后的直线 A B . (2)若点 C 在函数 y ?
′ ′

k 的图像上,△ABC 是以 AB 为底边的等腰三角形,请写出点 C 的坐标. x

4.(2012 湖北武汉 7 分)如图,在平面直角坐标系中,点 A、B 的坐标分别为(-1,3)、(-4,1),先 将线段 AB 沿一确定方向平移得到线段 A1B1,点 A 的对应点为 A1,点 B1 的坐标为(0,2),在将线段 A1B1 绕远点 O 顺时针旋转 90°得到线段 A2B2,点 A 1 的对应点为点 A2. (1)画出线段 A1B1、A2B2; (2)直接写出在这两次变换过程中,点 A 经过 A1 到达 A2 的路径长.

5.(2012 湖南张家界 6 分)如图,在方格纸中,以格点连线为边的三角形叫格点三角形,请按要求完成下 列操作:先将格点△ABC 向右平移 4 个单位得到△A1B1C1,再将△A1B1C1 绕点 C1 点旋转 180°得到△A2B2C2.

6.(2012 四川凉山 6 分)如图,梯形 ABCD 是直角梯形.
用心 爱心 专心 9

(1)直接写出点 A、B、C、D 的坐标; (2)画出直角梯形 ABCD 关于 y 轴的对称图形,使它与梯形 ABCD 构成一个等腰梯形. (3)将(2)中的等腰梯形向上平移四个单位长度,画出平移后的图形. (不要求写作法)

7.(2012 辽宁丹东 8 分)已知:△ABC 在坐标平面内,三个顶点的坐标分别为 A(0,3) ,B(3,4) ,C(2, 2).(正方形网格中, 每个小正方形的边长是 1 个单位长度) (1)画出△ABC 向下平移 4 个单位得到的△A1B1C1,并直接写出 C1 点的坐标; (2)以点 B 为位似中心,在网格中画出△A2BC2,使△A2BC2 与△ABC 位似,且位似比为 2︰1,并直接写 ... 出 C2 点的坐标及△A2BC2 的面积.

二、点的平移: 典型例题: 1. (2012 广东肇 庆 3 分) M 2, 1) 例 点 ( ? 向上平移 2 个单位长度得到的点的坐标是 【 A. (2,0) 【答案】B。 【考点】坐标平移。 【分析】根据坐标的平移变化的规律,左右平移只改变点的横坐标,左减右加。上下平移只改变点的纵坐 标,下减上加。因此, ∵点 M(2,-1)向上平移 2 个单位长度,∴-1+2=1。 B. (2,1) C. (2,2) D. (2, ? 3 ) 】

用心

爱心

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10

∴平移后的点坐标是(2,1) 。故选 B。 例 2. (2012 辽宁鞍山 3 分)在平面直角坐标系中,将点 P(﹣1,4)向右平移 2 个单位长度后,再向下 平移 3 个单位长度,得到点 P1,则点 P1 的坐标为 【答案】 (1,1) 。 【考点】坐标平移。 【分析】根据坐标的平移变化的规律,左右平移只改变点的横坐标,左减右加。上下平移只改变点的纵坐 标,下减上加。因此, ∵点 P(﹣1,4)向右平移 2 个单位长度,向下平移 3 个单位长度,∴﹣1+2=1,4﹣3=1。 ∴点 P1 的坐标为(1,1) 。 例 2. (2012 江苏泰州 3 分) 如图, 数轴上的点 P 表示的数是-1, 将点 P 向右移动 3 个单位长度得到点 P′, 则点 P′表示的数是 ▲ . ▲ .

【答案】2。 【考点】数轴和数,平移的性质。 【分析】如图,根据平移的性质,点 P′表示的数是 2。 例 3.(2012 安徽省 4 分)如图,A 点在半径为 2 的⊙O 上,过线段 OA 上的一点 P 作直线 ? ,与⊙O 过 A 点 的切线交于点 B,且∠APB=60°,设 OP= x,则△PAB 的面积 y 关于 x 的函数图像大致是【 】

【答案】D。 【考点】动点问题的函数图象,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。 【分析】利用 AB 与⊙O 相切,△BAP 是直角三角形,把直角三角形的直角边表示出来,从而用 x 表示出三 角形的面积,根据函数解析式确定函数的图象: ∵AB 与⊙O 相切,∴∠BAP=90°, ∵OP=x,AP=2-x,∠BPA=60°,∴AB= 3(2 ? x) , ∴△APB 的面积 y ?

3 (0≤x≤2) 。 (2 ? x) 2 , 2

∴△PAB 的面积 y 关于 x 的函数图像是经过(2,0)的抛物线在 0≤x≤2 的部分。故选 D。
用心 爱心 专心 11

例 4. 2012 浙江嘉兴、 ( 舟山 4 分) 如图, 正方形 ABCD 的边长为 a, 动点 P 从点 A 出发, 沿折线 A→B→D→C→A 的路径运动,回到点 A 时运动停止.设点 P 运动的路程长为长为 x,AP 长为 y,则 y 关于 x 的函数图象大 致是【 】

A. 【答案】D。

B.

C.

D.

【考点】动点问题的函数图象。 【分析】因为动点 P 按沿折线 A→B→D→C→A 的路径运动,因此,y 关于 x 的函数图象分为四部分:A→B, B→D,D→C,C→A。 当动点 P 在 A→B 上时,函数 y 随 x 的增大而增大,且 y=x,四个图象均正确。 当动点 P 在 B→D 上时,函数 y 在动点 P 位于 BD 中点时最小,且在中点两侧是对称的,故选项 B 错误。 当动点 P 在 D→C 上时,函数 y 随 x 的增大而增大,故选项 A,C 错误。 当动点 P 在 C→A 上时,函数 y 随 x 的增大而减小。故选项 D 正确。故选 D。 例 5.(2012 浙江温州 4 分)如图,在△ABC 中,∠C=90°,M 是 AB 的中点,动点 P 从点 A 出发, 沿 AC 方向匀速运动到终点 C,动点 Q 从点 C 出发,沿 CB 方向匀速运动到终点 B.已知 P,Q 两点同时出发, 并同时到达终点.连结 MP,MQ,PQ.在整个运动过程中,△MPQ 的面积大小变化情况是【 】

A.一直增大 【答案】C。

B.一直减小

C.先减小后增大

D.先增大后减小

【考点】动点问题的函数图象。 【分析】如图所示,连接 CM,∵M 是 AB 的中点,

用心

爱心

专心

12

1 S△ABC, 2 1 开始时,S△MPQ=S△ACM= S△ABC; 2
∴S△ACM=S△BCM= 由于 P,Q 两点同时出发,并同时到达终点,从而点 P 到达 AC 的中点时,点 Q 也到达 BC 的中点, 此时,S△MPQ=

1 S△ABC; 4 1 S△ABC。 2

结束时,S△MPQ=S△BCM=

△MPQ 的面积大小变化情况是:先减小后增大。故选 C。 例 6.(2012 湖北黄石 3 分)如图所示,已知 A ( , y1 ) ,B (2, y 2 ) 为反比例函数 y ?

1 2

1 图像上的两点,动 x


点 P (x, 0) 在 x 正半轴上运动,当线段 AP 与线段 BP 之差达到最大时,点 P 的坐标是【

A. ( , 0) 【答案】D。

1 2

B. (1, 0)

C. ( , 0)

3 2

D. ( , 0)

5 2

【考点】反比例函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,三角形三边关系。 【分析】∵把 A ( , y1 ) ,B (2, y 2 ) 分别代入反比例函数 y ? ∴A(

1 2

1 1 得:y1=2,y2= , x 2

1 1 ,2) ,B(2, ) 。 2 2

∵在△ABP 中,由三角形的三边关系定理得:|AP-BP|<AB, ∴延长 AB 交 x 轴于 P′,当 P 在 P′点时,PA-PB=AB, 即此时线段 AP 与线段 BP 之差达到最大。 设直线 AB 的解析式是 y=kx+b,把 A、B 的坐标代入得:

? 1 ?k= ? 1 ?2= 2 k+b 5 ? ? ,解得: ? 5 。∴直线 AB 的解析式是 y ? ?x ? 。 ? 1 2 ?b= 2 ? =2k+b ? ?2 ? 5 5 当 y=0 时,x= ,即 P( ,0) 。故选 D。 2 2
用心 爱心 专心 13

例 7.(2012 辽宁大连 3 分)如图,一条抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点,其顶点 P 在折线 C-D-E 上移动, 若点 C、D、E 的坐标分别为(-1,4)(3,4)(3,1) 、 、 ,点 B 的横坐标的最小值为 1,则点 A 的横坐标的 最大值为【 】

A.1 【答案】B。

B.2

C.3

D.4

【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质,二次函数的性质。 【分析】∵抛物线的点 P 在折线 C-D-E 上移动,且点 B 的横坐标的最小值为 1, ∴观察可知,当点 B 的横坐标的最小时,点 P 与点 C 重合。 ∵C(-1,4) ,∴设当点 B 的横坐标的最小时抛物线的解析式为 y=a ? x+1? +4 。
2

∵B(1,0) ,∴ 0=a ?1+1? +4 ,解得 a=-1。
2

∴当点 B 的横坐标的最小时抛物线的解析式为 y= ? ? x+1? +4 。
2

∵观察可知,当点 A 的横坐标的最大时,点 P 与点 E 重合,E(3,1) , ∴当点 A 的横坐标的最大时抛物线的解析式为 y= ? ? x ? 3? +1 。
2

令 y=0 ,即 ? ? x ? 3? +1=0 ,解得 x=2 或 x=4 。
2

∵点 A 在点 B 的左侧,∴此时点 A 横坐标为 2。故选 B。 ∴点 A 的横坐标的最大值为 2。 例 8(2012 北京市 5 分)操作与探究:
1 (1)对数轴上的点 P 进行如下操作:先把点 P 表示的数乘以 ,再把所得数对应的点向右平移 1 个 3

单位,得到点 P 的对应点 P′. 点 A,B 在数轴上,对线段 AB 上的每个点进行上述操作后得到线段 A′B′,其中点 A,B 的对 应点分别为 A′,B ′.如图 1,若点 A 表示的数是 ?3 ,则点 A′表示的数是 数是 2,则点 B 表示的数是 合,则点 E 表示的数是 ; ;若点 B′表示的

;已知线段 AB 上的点 E 经过上述操作后得到的对应点 E′与点 E 重

用心

爱心

专心

14

(2)如图 2,在平面直角坐标系 xoy 中,对正方形 ABCD 及其内部的每个点进行如下操作:把每个 点的横、纵坐标都乘以同一种实数 a,将得到的点先向右平移 m 个单位,再向上平移 n 个单位(m>0, n>0) ,得到正方形 A′B′C′D′及其内部的点,其中点 A,B 的对应点分别为 A′,B′。已知正方形 ABCD 内部的一个点 F 经过上述操作后得到的对应点 F′与点 F 重合,求点 F 的坐标。

【答案】解: (1)0;3;

3 。 2

1 ? ?a ? 2 ? ?3a ? m ? ?1 ? 1 ? ? (2)根据题意得, ?3a ? m ? 2 ,解得 ?m ? . 2 ?0 ? a ? n ? 2 ? ? ?n ? 2 ? ?
设点 F 的坐标为(x,y) ,

1 ?1 ?2 x ? 2 ? x ?x ? 1 ? ∵对应点 F′与点 F 重合,∴ ? ,解得 ? 。 ?y ? 4 ?1 y ? 2 ? y ?2 ?
∴点 F 的坐标为(1,4) 。 【考点】坐标与图形的平移变化,数轴,正方形的性质,平移的性质。 【分析】 (1)根据题目规定,以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点 A′,设点 B 表示的数为 a, 根据题意列出方程求解即可得到点 B 表示的数,设点 E 表示的数为 b,根据题意列出方程计算即可得解:

1 点 A′:-3? +1=-1+1=0。 3 1 设点 B 表示的数为 a,则 a+1=2,解得 a=3。 3 3 1 设点 E 表示的数为 b,则 a+1=b,解得 b= 。 2 3
(2)先根据向上平移横坐标不变,纵坐标加,向右平移横坐标加,纵坐标不变求出平移规律,
用心 爱心 专心 15

然后设点 F 的坐标为(x,y) ,根据平移规律列出方程组求解即可。 例 9. (2012 江苏常州 9 分)已知,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=2,点 M 为边 BC 的中点,点 P 为边 CD 上 的动点 (点 P 异于 C、D 两点) 连接 PM, 。 过点 P 作 PM 的垂线与射线 DA 相交于点 E(如图) 设 CP=x,DE=y。 。 (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式 (2)若点 E 与点 A 重合,则 x 的值为 ▲ ▲ ; ;

(3)是否存在点 P,使得点 D 关于直线 PE 的对称点 D′落在边 AB 上?若存在,求 x 的值;若不存在,请 说明理由。

【答案】解: (1)y=-x +4x。 (2) 2+ 2 或 2 ? 2 。 (3)存在。 过点 P 作 PH⊥AB 于点 H。则 ∵点 D 关于直线 PE 的对称点 D′落在边 AB 上, ∴P D′=PD=4-x,E D′=ED= y=-x +4x, EA=AD-ED= x -4x+2,∠P D′E=∠D=90 。 在 Rt△D′P H 中,PH=2, D′P =DP=4-x,D′H=
0 0 0 2 0 2

2

?4 ? x?

2

? 22 ? x 2 ? 8x+12 。
0

∵∠ E D′A=180 -90 -∠P D′H=90 -∠P D′H=∠D′P H,∠P D′E=∠P HD′ =90 , ∴△E D′A∽△D′P H。∴

? x 2+4x x 2 ? 4x+2 E D? EA ,即 , ? ? 4?x D?P D?H x 2 ? 8x+12
2

即x ?

x 2 ? 4x+2 x ? 8x+12
2

,两边平方并整理得,2x -4x+1=0。解得 x ?
2

2? 2 。 2

? 2+ 2 ? 2+ 2 5+2 2 2+ 2 ∵当 x ? 时,y= ? ? ? 2 ? +4 ? 2 = 2 > 2 , ? 2 ? ?
∴此时,点 E 已在边 DA 延长线上,不合题意,舍去(实际上是无理方程的增根) 。

用心

爱心

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?2? 2 ? 2 ? 2 5+2 2 2? 2 = <2, ∵当 x ? 时,y= ? ? ? +4 ? ? 2 ? 2 2 2 ? ?
∴此时,点 E 在边 AD 上,符合题意。 ∴当 x ?

2

2? 2 时,点 D 关于直线 PE 的对称点 D′落在边 AB 上。 2

【考点】矩形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,折叠对称的性质,解无理方程。 【分析】 (1)∵CM=1,CP=x,DE=y,DP=4-x,且△MCP∽△PDE, ∴

DE DP y 4?x 2 ,即 ? 。∴y=-x +4x。 ? CP CM x 1
2 2

(2)当点 E 与点 A 重合时,y=2,即 2=-x +4x,x -4x+2=0。 解得 x ? 2 ? 2 。 (3)过点 P 作 PH⊥AB 于点 H,则由点 D 关于直线 PE 的对称点 D′落在边 AB 上,可得△E D′A 与△D′P H 相似,由对应边成比例得得关于 x 的方程即可求解。注意检验。 例 10. (2012 江苏苏州 8 分)如图,已知半径为 2 的⊙O 与直线 l 相切于点 A,点 P 是直径 AB 左侧半圆 上的动点, 过点 P 作直线 l 的垂线, 垂足为 C, 与⊙O 交于点 D, PC 连接 PA、 设 PC 的长为 x ? 2 < x < 4 ? . PB, ⑴当 x=

5 时,求弦 PA、PB 的长度; 2

⑵当 x 为何值时, PD ? PC 的值最大?最大值是多少?

B P O D C A l

【答案】解: (1)∵⊙O 与直线 l 相切于点 A,AB 为⊙O 的直径,∴AB⊥l。 又∵PC⊥l,∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB。 ∵AB 为⊙O 的直径,∴∠APB=90°。 ∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB。 ∴

PC PA 2 ,即 PA =PC?PD。 ? AP AB

用心

爱心

专心

17

5 ∵PC= x= ,AB=4,∴ PA ? 2

5 ? 4 ? 10 。 2

∴在 Rt△APB 中,由勾股定理得: PB ? 16 ? 10 ? 6 。 (2)过 O 作 OE⊥PD,垂足为 E。 ∵PD 是⊙O 的弦,OF⊥PD,∴PF=FD。 在矩形 OECA 中,CE=OA=2,∴PE=ED=x-2。 ∴CD=PC-PD= x-2(x-2)=4-x 。 ∴

PD ? PC=2 ? x ? 2 ? ? ? 4 ? x ? = ? 2x 2 +12x ? 16

= ? 2 ? x ? 3? +2 。
2

∵ 2<x <4 ∴当 x=3 时, PD ? PC 有最大值,最大值是 2。 【考点】切线的性质,平行的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,垂径定理,矩形的判定 和性质,二次函数的最值。 【分析】(1)由直线 l 与圆相切于点 A,且 AB 为圆的直径,根据切线的性质得到 AB 垂直于直线 l,又 PC 垂直于直线 l,根据垂直于同一条直线的两直线平行,得到 AB 与 PC 平行,根据两直线平行内错角相等得 到一对内错角相等,再由一对直角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PCA 与△PAB 相似, 由相似得比例,将 PC 及直径 AB 的长代入求出 PA 的长,在 Rt△APB 中,由 AB 及 PA 的长,利用勾股定理 即可求出 PB 的长。 (2)过 O 作 OE 垂直于 PD,与 PD 交于点 E,由垂径定理得到 E 为 PD 的中点,再由三个角为直角 的四边形为矩形得到 OACE 为矩形,根据矩形的对边相等,可得出 EC=OA=2,用 PC-EC 的长表示出 PE,根 据 PD=2PE 表示出 PD,再由 PC-PD 表示出 CD,代入所求的式子中,整理后得到关于 x 的二次函数,配方后 根据自变量 x 的范围,利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时 x 的取值 练习题: 1. (2012 山东东营 3 分)将点 A(2,1)向左平移 2 个单位长度得到点 A′,则点 A′的坐标是【 .. A.(2,3) B. (2,-1) C. (4,1) D. (0,1) 】

2.(2012 广西来宾 3 分)在平面直角坐标系中,将点 M(1,2)向左平移 2 个长度单位后得到点 N,则点 N 的坐标是【 】 B. (3,2) C. (1,4) D. (1,0)

A. (-1,2)

3.(2012 广西玉林、防城港 3 分)在平面直角坐标系中,一青蛙从点 A(-1,0)处向右跳 2 个单位长度,
用心 爱心 专心 18

再向上跳 2 个单位长度到点 A′处,则点 A′的坐标为



.

4.(2012 四川攀枝花 3 分)如图,直角梯形 AOCD 的边 OC 在 x 轴上,O 为坐标原点,CD 垂直于 x 轴,D(5, 4) ,AD=2.若动点 E、F 同时从点 O 出发,E 点沿折线 OA→AD→DC 运动,到达 C 点时停止;F 点沿 OC 运动, 到达 C 点是停止,它们运动的速度都是每秒 1 个单位长度.设 E 运动秒 x 时,△EOF 的面积为 y(平方单 位) ,则 y 关于 x 的函数图象大致为【 】

A.

B.

C.

D.

5. 2012 四川内江 3 分) ( 如图, 正△ABC 的边长为 3cm,动点 P 从点 A 出发, 以每秒 1cm 的速度, A ? B ? C 沿 的方向运动,到达点 C 时停止,设运动时间为 x(秒) y ? PC ,则 y 关于 x 的函数的图像大致为【 ,
2



A.

B.

C.

D. cm/s 的

6.(2012 江苏无锡 10 分)如图,菱形 ABCD 的边长为 2cm,∠DAB=60°.点 P 从 A 点出发,以

速度,沿 AC 向 C 作匀速运动;与此同时,点 Q 也从 A 点出发,以 1cm/s 的速度,沿射线 AB 作匀速运动.当 P 运动到 C 点时,P、Q 都停止运动.设点 P 运动的时间为 ts. (1)当 P 异于 A.C 时,请说明 PQ∥BC; (2)以 P 为圆心、PQ 长为半径作圆,请问:在整个运动过程中,t 为怎样的值时,⊙P 与边 BC 分别有 1 个公共点和 2 个公共点?

7. (2012 广东河 源 9 分)如图,矩形 OABC 中,A(6,0)、C(0,2 3)、 D(0,3 3),射线 l 过点 D 且与 x 轴平行, 点 P、Q 分别是 l 和 x 轴的正半轴上的动点,满足∠PQO=60?. (1)点 B 的坐标是 为 ;
用心 爱心 专心 19

,∠CAO=

?,当点 Q 与点 A 重合时,点 P 的坐标

(2)设点 P 的横坐标为 x,△OPQ 与矩形 OABC 重叠部分的面积为 S,试求 S 与 x 的函数关系式和相应 的自 变量 x 的取值范围.

8. (2012 福建南平 14 分)如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在边 BC、AC 上,连接 AD、DE,且∠1=∠B=∠C. (1)由题设条件,请写出三个正确结论: (要求不再添加其他字母和辅助线,找结论过程中添加的字母和 辅助线不能出现在结论中,不必证明) 答:结论一: ;结论二: ;结论三: .

(2)若∠B=45°,BC=2,当点 D 在 BC 上运动时(点 D 不与 B、C 重合) , ①求 CE 的最大值; ②若△ADE 是等腰三角形,求此时 BD 的长. (注意:在第(2)的求解过程中,若有运用(1)中得出的结论,须加以证明)

9. (2012 福建漳州 14 分)如图,在 ? OABC 中,点 A 在 x 轴上,∠AOC=60 ,OC=4cm.OA=8cm.动
o

点 P 从点 O 出发,以 1cm/s 的速度沿线段 OA→AB 运动;动点 Q 同时从点 O 出发,以 .. acm/s 的速度沿线段 OC→CB 运动,其中一点先到达终点 B 时,另一点也随之停止运动. 设运动时间为 t 秒. (1)填空:点 C 的坐标是(______,______),对角线 OB 的长度是_______cm; (2)当 a=1 时,设△OPQ 的面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式,并直接写出当 t 为何值时,S 的值最大? (3)当点 P 在 OA 边上,点 Q 在 CB 边上时,线段 PQ 与对角线 OB 交于点 M.若以 O、M、P 为顶点的三角 形与△OAB 相似,求 a 与 t 的函数关系式,并直接写出 t 的取值范围.

用心

爱心

专心

20

10. (2012 福建福州 13 分)如图①,在 Rt△ABC 中,∠C=90?,AC=6,BC=8,动点 P 从点 A 开始沿边 AC 向点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动,动点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以每秒 2 个单 位长度的速度 运动,过点 P 作 PD∥BC,交 AB 于点 D,连接 PQ.点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发,当其中一点到达端点 时,另一点也随之停止运动,设运动时间为 t 秒(t≥0). (1) 直接用含 t 的代数式分别表示:QB=______,PD=______. (2) 是否存在 t 的值,使四边形 PDBQ 为菱形?若存在,求出 t 的值;若不存在,说明理由.并探究 如 何改变点 Q 的速度(匀速运动),使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形,求点 Q 的速度; (3) 如图②,在整个运动过程中,求出线段 PQ 中点 M 所经过的路径长.

11.(2011 湖北黄石 3 分)初三年级某班有 54 名学生,所在教室有 6 行 9 列座位,用 (m, n) 表示第 m 行第

n 列的座位,新学期准备调整座位,设某个学生原来的座位为 (m, n) ,如果调整后的座位为 (i, j ) ,则称该
生作了平移[ a, b ] ? ? m ? i, n ? j ? 值时, m ? n 的最大值为 ▲

? ,并称 a ? b 为该生的位置数。若某生的位置数为
.

10,则当 m ? n 取最小

三、直线(线段)的平移: 典型例题:例 1. (2012 湖南娄底 3 分)对于一次函数 y=﹣2x+4,下列结论错误的是【 A. 函数值随自变量的增大而减小 B. 函数的图象不经过第三象限 】

用心

爱心

专心

21

C. 函数的图象向下平移 4 个单位长度得 y=﹣2x 的图象 D. 函数的图象与 x 轴的交点坐标是(0,4)

例 2.(2012 福建南平 3 分)将直线 y=2x 向上平移 1 个单位长度后得到的直线是 【答案】y=2x+1。



【考点】一次函数图象与平移变换,待定系数法,直线上点的坐标理性认识各式的关系。 【分析】直线 y=2x 经过点(0,0) ,向上平移 1 个单位后对应点的坐标为(0,1) , ∵平移前后直线解析式的 k 值不变,∴设平移后的直线为 y=2x+b。 则 2?0+b=1,解得 b=1。∴所得到的直线 是 y=2x+1。 例 3. (2012 湖南娄底 4 分)如图,A.B 的坐标分别为(1,0)(0,2) 、 ,若将线段 AB 平移到至 A1B1,A1、 B1 的坐标分别为(2,a)(b,3) 、 ,则 a+b= ▲ .

【答案】2。 【考点】坐标与图形平移变化。 【分析】∵A(1,0)转化为 A1(2,a)横坐标增加了 1,B(0,2)转化为 B1(b,3)纵坐标增加了 1, ∴a=0+1=1,b=0+1=1。∴a+b=1+1=2。

用心

爱心

专心

22

例 4.(2012 江西南昌 3 分)如图,有 a、b、c 三户家用电路接入电表,相邻电路的电线等距排列,则三 户所用电线【 】

A. a 户最长 C. c 户最长 【答案】D。

B. b 户最长 D. 三户一样长

【考点】生活中的平移现象,平移的性质。 【分析】根据平移的性质,对于电线中横的和竖的线段分别采用割补法将线段向右进行 平移,便可直观观察到都是相等的。因此 a b c 三线长度相等。故选 D。 例 5.(2012 广西河池 12 分)如图,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,以底边 BC 的垂直平分线和 BC 所在 的直线建立平面直角坐标系,抛物线 y = (1)写出点 A、点 B 的坐标; (2)若一条与 y 轴重合的直线 l 以每秒 2 个单位长度的速度向右平移,分别交线段 OA、CA 和抛物 线于点 E、M 和点 P,连结 PA、PB.设直线 l 移动的时间为 t(0<t<4)秒,求四边形 PBCA 的面积 S(面 积单位)与 t(秒)的函数关系式,并求出四边形 PBCA 的最大面积; (3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在一点 P,使得△PAM 是直角三角形?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

1 2 7 x + x + 4 经过 A、B 两点. 2 2

【答案】解: (1)A(8,0) ,B(0,4) 。 (2)∵AB=AC,∴OB=OC。∴C(0,-4) 。

用心

爱心

专心

23

设直线 AC: y=kx+b ,由 A(8,0) ,C(0,-4)得

? 1 ?8k+b=0 1 ?k= ,解得 ? 2 。∴直线 AC: y= x ? 4 。 ? 2 ? b= ? 4 ?b= ? 4 ?
∵ 直线 l 移动的速度为 2,时间为 t,∴OE=2t。 设 P 2t,? 2t 2 ? 7t ? 4 ,

?

?

1 在 y= x ? 4 中,令 x=2t,得 y=t ? 4 ,∴M(2t, t ? 4 ) 。 2
∵BC=8,PM= ?2t 2 ? 7t ? 4 ? ? t ? 4 ? = ? 2t 2 ? 6t ? 8 ,OE=2t,EA= 4 ? 2t , ∴ S ? S梯形BCMP ? S?PMA ?

1 1 ? ?2t 2 ? 6t ? 8 ? 8 ? 2t ? ? ? 4 ? 2t ? ? ?2t 2 ? 6t ? 8 2 2

?

?

?

?

= ? 4t 2 ? 20t ? 16 。
∴四边形 PBCA 的面积 S 与 t 的函数关系式为 S= ? 4t 2 ? 20t ? 16 (0<t<4) 。

? 5? ∵ S= ? 4t ? 20t ? 16= ? 4 ? t ? ? ? 41 , ? 2?
2

2

∴四边形 PBCA 的最大面积为 41 个平方单位。 (3)存在。∵由(2) ,在 0<t<4,即 0<t<8 时,∠AMP 和∠APM 不可能为直角。 若∠PAM 为直角,则 PA⊥CA,∴△AOC∽△PEA。∴ 设 P ?p, ? ∴

OC OA 。 ? EA EP

骣 ? 桫

1 2 7 1 7 p + p + 4÷,则 OC=4,OA=8,EA=8-p,EP= - p2 + p + 4 , ÷ ÷ 2 2 2 2

4 8 2 ,整理得 p - 11p + 24=0 ,解得 p1 =3,p 2 =8 (舍去) 。 ? 1 2 7 8?p ? p ? p?4 2 2

当 p=3 时, -

1 2 7 1 p + p + 4= - ? 32 2 2 2

7 。 ? 3 4=10 。∴P(3,10) 2

∴当 P(3,10)时,△PAM 是直角三角形。 【考点】二次函数综合题,动直线问题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数最值,相 似三角形的判定和性质,直角三角形的判定。 【分析】 (1)在 y = -

1 2 7 x + x + 4 中,令 x=0,得 y=4;令 y=0,得 x=-1 或 x=8。 2 2

∴A(8,0) ,B(0,4) 。 (2)由 AB=AC,根据等腰三角形三线合一的性质可得点 C 的坐标,从而用待定系数法求出直线 AC
用心 爱心 专心 24

的解析式,得到点 M 关于 t 的表达式,根据 S ? S梯形BCMP ? S?PMA 求出四边形 PBCA 的面积 S 与 t 的函数关 系式,应用二次函数最值的求法求出四边形 PBCA 的最大面积。 (3)存在。易知,∠AMP 和∠APM 不可能为直角。当∠PAM 为直角时,△AOC∽△PEA,根据比例关 系列出方程求解即可。

3 3 例 6.(2012 广东广州 14 分)如图,抛物线 y= ? x 2 ? x+3 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧) , 8 4
与 y 轴交于点 C. (1)求点 A、B 的坐标; (2)设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时,求点 D 的坐标; (3)若直线 l 过点 E(4,0) 为直线 l 上的动点,当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三 ,M 个时,求直线 l 的解析式.

3 3 3 3 【答案】解: (1)在 y= ? x 2 ? x+3 中,令 y=0,即 ? x 2 ? x+3=0 ,解得 x1=﹣4,x2=2。 8 4 8 4
∵点 A 在点 B 的左侧,∴A、B 点的坐标为 A(﹣4,0) 、B(2,0) 。

3 3 (2)由 y= ? x 2 ? x+3 得,对称轴为 x=﹣1。 8 4 3 3 在 y= ? x 2 ? x+3 中,令 x=0,得 y=3。 8 4 1 1 ∴OC=3,AB=6, S?ACB ? AB ? OC ? ? 6 ? 3 ? 9 。 2 2
在 Rt△AOC 中, AC= OA 2 +OC2 ? 42 +32 ? 5 。 设△ACD 中 AC 边上的高为 h,则有 解得 h=

1 AC?h=9, 2

18 。 5

如图 1,在坐标平面内作直线平行于 AC,且到 AC 的距离 =h=

18 ,这样的直线有 2 条,分别是 L1 和 L2,则直线与对称轴 x=﹣1 的两个交 5

点即为所求的点 D。

用心

爱心

专心

25

设 L1 交 y 轴于 E,过 C 作 CF⊥L1 于 F,则 CF=h=

18 , 5

18 CF CF 9 ?? ? 5 ? 。 ∴ CE ? sin ?CEF sin ?OCA 4 2 5
设直线 AC 的解析式为 y=kx+b, 将 A(﹣4,0) ,B(0,3)坐标代入,得

? 3 ??4k+b=0 ? k= ,解得 ? 4 。来源:21 ? ?b=3 ? b=3 ?
∴直线 AC 解析式为 y ?

3 x ?3。 4
9 个长度单位)而形成的, 2

直线 L1 可以看做直线 AC 向下平移 CE 长度单位( ∴直线 L1 的解析式为 y ?

3 9 3 3 x ?3? ? x ? 。 4 2 4 2 3 3 9 9 则 D1 的纵坐标为 ? ? ?1? ? ? ? 。∴D1(﹣4, ? ) 。 4 2 4 4 9 27 同理,直线 AC 向上平移 个长度单位得到 L2,可求得 D2(﹣1, ) 。 2 4 9 27 综上所述,D 点坐标为:D1(﹣4, ? ) 2(﹣1, ,D ) 。 4 4
(3)如图 2,以 AB 为直径作⊙F,圆心为 F.过 E 点作⊙F 的切线,这样的切线有 2 条. 连接 FM,过 M 作 MN⊥x 轴于点 N。 ∵A (﹣4, ,(2, , (﹣1, , 半径 FM=FB=3。 0) B 0) ∴F 0) ⊙F 又 FE=5,则在 Rt△MEF 中,-

4 3 ,cos∠MFE= 。 5 5 4 12 在 Rt△FMN 中,MN=MN?sin∠MFE=3? ? , 5 5 3 9 FN=MN?cos∠MFE=3? ? 。 5 5 4 4 12 则 ON= 。∴M 点坐标为( , ) 。 5 5 5 4 12 直线 l 过 M( , ) ,E(4,0) , 5 5
ME= 52 ? 32 ? 4 ,sin∠MFE=

12 3 ?4 ? ? k+b= ? k= ? 设直线 l 的解析式为 y=k1x+b1,则有 ? 5 5 ,解得 ? 4。 ? 4k+b=0 ? b=3 ? ?
用心 爱心 专心 26

3 ∴直线 l 的解析式为 y= ? x+3。 4 3 同理,可以求得另一条切线的解析式为 y= ? x﹣3。 4 3 3 综上所述,直线 l 的解析式为 y= ? x+3 或 y= ? x﹣3。 4 4
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,勾股定理,直 线平行和平移的性质,直线与圆的位置关系,直线与圆相切的性质,圆周角定理,锐角三角函数定义。 【分析】 (1)A、B 点为抛物线与 x 轴交点,令 y=0,解一元二次方程即可求解。 (2)根据题意求出△ACD 中 AC 边上的高,设为 h.在坐标平面内,作 AC 的平行线,平行线之 间 的距离等于 h.根据等底等高面积相等的原理,则平行线与坐标轴的交点即为所求的 D 点.从一次函数的 观点来看,这样的平行线可以看做是直线 AC 向上或向下平移而形成.因此先求出直线 AC 的解析式,再求 出平移距离,即可求得所作平行线的解析式,从而求得 D 点坐标。这样的平行线有两条。 (3)本问关键是理解“以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义.因为过 A、 B 点作 x 轴的垂线,其与直线 l 的两个交点均可以与 A、B 点构成直角三角形,这样已经有符合题意的两个 直角三角形;第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑,以 AB 为直径作圆,当直线与圆相切时, 根据圆周角定理,切点与 A、B 点构成直角三角形.从而问题得解。这样的切线有两条。 例 7.(2012 广东深圳 9 分)如图,在平面直角坐标系中,直线 l :y=-2x+b (b≥0)的位置随 b 的不同取 值而变化. (1)已知⊙M 的圆心坐标为(4,2),半径为 2. 当 b= 当 b= 时,直线 l :y=-2x+b (b≥0)经过圆心 M: 时,直线 l :y=-2x+b(b≥0)与 OM 相切:

(2)若把⊙M 换成矩形 ABCD,其三个顶点坐标分别为:A(2,0)、B(6,0) 、C(6,2). 设直线 l 扫过矩形 ABCD 的面积为 S,当 b 由小到大变化时 ,请求出 S 与 b 的函数关系式,

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爱心

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27

【答案】解: (1)10; 10 ? 2 5 。 (2)由 A(2,0)、B(6,0)、C(6,2),根据矩形的性质,得 D(2,2)。 如图,当直线 l 经过 A(2,0)时,b=4;当直线 l 经过 D(2,2)时,b=6;当直线 l 经过 B (6,0)时,b=12;当直线 l 经过 C(6,2)时,b=14。

当 0≤b≤4 时,直线 l 扫过矩形 ABCD 的面积 S 为 0。 当 4<b≤6 时,直线 l 扫过矩形 ABCD 的面积 S 为△EFA 的面积(如图 1), 在 y=-2x+b 中,令 x=2,得 y=-4+b,则 E(2,-4+b),

1 1 令 y=0,即-2x+b=0,解得 x= b ,则 F( b ,0)。 2 2 1 ∴AF= b ? 2 ,AE=-4+b。 2
1 1 ?1 1 ? ∴S= ? AF ? AE ? ? ? b ? 2 ? ? ?-4+b ? ? b 2-2b+4 。 2 2 ?2 4 ?
当 6<b≤12 时,直线 l 扫过矩形 ABCD 的面积 S 为直角梯 形 DHGA 的面积(如图 2),

1 1 在 y=-2x+b 中,令 y=0,得 x= b ,则 G( b ,0), 2 2 1 1 令 y=2,即-2x+b=2,解得 x= b ? 1 ,则 H( b ? 1 ,2)。 2 2 1 1 ∴DH= b ? 3 ,AG= b ? 2 。AD=2 2 2 1 1 ∴S= ? ? DH+AG ? ? AD ? ? ? b ? 5? ? 2 ? b ? 5 。 2 2
当 12<b≤14 时,直线 l 扫过矩形 ABCD 的面积 S 为五边形 DMNBA 的面积=矩形 ABCD 的面积-△CMN 的面积(如图 3)

用心

爱心

专心

28

1 1 在 y=-2x+b 中,令 y=2,即-2x+b=2,解得 x= b ? 1 ,则 M( b ? 1 ,0), 2 2
令 x=6,得 y=-12+b,,则 N(6,-12+b)。

1 ∴MC= 7 ? b ,NC=14-b。 2
∴S= 4 ? 2 ?

1 1 ? 1 ? 1 ? MC ? NC ? 8 ? ? ? 7 ? b ? ? ?14-b ? ? ? b 2 +7b ? 41 。 2 2 ? 2 ? 4

当 b>14 时,直线 l 扫过矩形 ABCD 的面积 S 为矩形 ABCD 的面积,面积为民 8。 综上所述。S 与 b 的函数关系式为:

?0 ? 0 ? b ? 4 ? ? ? 1 b 2-2b+4 ? 4 < b ? 6 ? ?4 ? S ? ? b ? 5 ? 6 < b ? 1? 。 ? 1 ? ? b 2 +7b ? 41?12 < b ? 14 ? ? 4 ?8 ? b > 14 ? ?
【考点】直线平移的性质,相似三角形的判定和性质 ,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,直线 与圆相切的性质,勾股定理,解一元二次方程,矩形的性质。 【分析】 (1)①∵直线 y=-2x+b (b≥0)经过圆心 M(4,2), ∴2=-2?4+b,解得 b=10。 ②如图,作点 M 垂直于直线 y=-2x+b 于点 P, 过点 P 作 PH∥x 轴,过点 M 作 MH⊥PH,二者交于点 H。设直线 y= -2x+b 与 x,y 轴分别交于点 A,B。

MH AO 1 ? ? 。 PH OB 2 1 ∴可设直线 MP 的解析式为 y ? x+b1 。 2 1 1 由 M(4,2),得 2 ? ? 4+b1 ,解得 b1 ? 0 。∴直线 MP 的解析式为 y ? x 。 2 2 1 2 1 联立 y=-2x+b 和 y ? x ,解得 x= b, y ? b 。 2 5 5 2 1 ∴P( b, b ) 。 5 5
则由△OAB∽△HMP,得

?2 ? ?1 ? 由 PM=2,勾股定理得, ? b -4? + ? b -2? ? 4 ,化简得 4b2 - 20b+80=0 。 5 5 ? ? ? ?
用心 爱心 专心 29

2

2

解得 b=10 ? 2 5 。 (2)求出直线 l 经过点 A、B、C、D 四点时 b 的值,从而分 0≤b≤4,4<b≤6,6<b≤12,12<b≤14, b>14 五种情况分别讨论即可。 例 8.(2012 广东珠海 9 分)如图,在等腰梯形 ABCD 中,ABDC,AB=3 2 ,DC= 2 ,高 CE=2 2 ,对角线 AC、BD 交于 H,平行于线段 BD 的两条直线 MN、RQ 同时从点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速平移,分别交等 腰梯形 ABCD 的边于 M、N 和 R、Q,分别交对角线 AC 于 F、G;当直线 RQ 到达点 C 时,两直线同时停止移 动.记等腰梯形 ABCD 被直线 MN 扫过的图形面积为 S1、被直线 RQ 扫过的图形面积为 S2,若直线 MN 平移的 速度为 1 单位/秒,直线 RQ 平移的速度为 2 单位/秒,设两直线移动的时间为 x 秒. (1)填空:∠AHB= (2)若 S2=3S1,求 x; (3)设 S2=mS1,求 m 的变化范围. ;AC= ;

【答案】解: (1)90°;4。 (2)直线移动有两种情况:0<x< ①当 0<x<

3 3 及 ≤x≤2。 2 2

3 时,∵MN∥BD,∴△AMN∽ △ARQ。 2

∵直线 MN 平移的速度为 1 单位/秒,直线 RQ 平移的速度为 2 单位/秒, ∴△AMN 和△ARQ 的相似比为 1:2。

S ?2? ∴ 2 ? ? ? ? 4 。∴S2=4S1,与题设 S2=3S1 矛盾。 S1 ? 1 ?
∴当 0<x< ②当

2

3 时,不存在 x 使 S2=3S1。 2

3 ≤x≤2 时, 2

∵AB∥CD,∴△ABH∽△CDH。
用心 爱心 专心 30

∴CH:AH=CD:AB=DH:BH=1:3。

1 AC=1,AH═BH=4﹣1=3。 4 1 ∵CG=4﹣2x,AC⊥BD,∴S△BCD= ?4?1=2 2
∴CH=DH= ∵RQ∥BD,∴△CRQ∽△CDB。 ∴ S?CRQ
2 ? 4 ? 2x ? ? 2?? ? =8 ? 2 ? x ? 。 ? 1 ? 2

又 S梯形ABCD ? (AB ? CD) CE ? ( 2 ? 2 ? 2 2 ? 8,S? ABD ? AB ? CE ? ? 3 2 ? 2 2 ? 6 , ? ?3 ) ∵MN∥BD,∴△AMN∽△ADB。∴

1 2

1 2

1 2

1 2

S1 S?ABD

x2 ? AF ? ?? ? , ? 9 ? AH ?

2

∴S1=

2 2 2 x ,S2=8﹣8(2﹣x) 。 3
2

∵S2=3S1,∴8﹣8(2﹣x) =3? ∴x 的值为 2。 (3)由(2)得:当 0<x< 当

2 2 6 2 x ,解得:x1= < (舍去) 2=2。 ,x 3 5 3

3 时,m=4, 2

3 ≤x≤2 时,∵S2=mS1, 2
2 2

8 ? 8? 2 ? x ? S 36 48 ? 1 2? = ? 2 + ? 12= ? 36 ? ? ? +4 。 ∴ m= 2 ? 2 2 S1 x x ? x 3? x 3

3 1 1 1 2 1 的二次函数,当 ≤x≤2 时,即当 ? ? 时,m 随 的增大而增大, 2 x 2 x 3 x 3 ∴当 x= 时,m 最大,最大值为 4;当 x=2 时,m 最小,最小值为 3。 2
∴m 是 ∴m 的变化范围为:3≤m≤4。 【考点】相似三角形的判定和性质,平移的性质,二次函数的最值,等腰梯形的性质。 【分析】 (1)过点 C 作 CK∥BD 交 AB 的延长线于 K, ∵CD∥AB,∴四边形 DBKC 是平行四边形。 ∴BK=CD= 2 ,CK=BD。 ∴AK=AB+BK= 3 2+ 2=4 2 。 ∵四边形 ABCD 是等腰梯形,∴BD=AC。

用心

爱心

专心

31

∴AC=CK。∴AE=EK=

1 AK=2 2 =CE。 2

∵CE 是高,∴∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°。 ∴∠ACK=90°。∴∠AHB=∠ACK=90°

2 ?4。 2 3 3 (2)直线移动有两种情况:0<x< 及 ≤x≤2;然后分别从这两种情况分析求解:当 2 2 3 3 0<x< 时, 易得 S2=4S1≠3S1; 当 ≤x≤2 时, 根据相似三角形的性质与直角三角形的面积的求解方法, 2 2
∴AC=AK?cos45°= 4 2 ? 可求得△BCD 与△CRQ 的面积,继而可求得 S2 与 S1 的值,由 S2=3S1,即可求得 x 的值;

8 ? 8? 2 ? x ? S 3 3 (3)由(2)可得当 0<x< 时,m=4;当 ≤x≤2 时,可得 m= 2 ? ,化为关 2 2 S1 2 2 x 3
2



1 ? 1 2? 的二次函数 m= ? 36 ? ? ? +4 ,利用二次函数的性质求得 m 的变化范围。 x ? x 3?
2

2

例 9.(2012 福建福州 14 分)如图①,已知抛物线 y=ax +bx(a≠0)经过 A(3,0)、B(4,4)两点. (1) 求抛物线的解析式; (2) 将直线 OB 向下平移 m 个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点 D,求 m 的值及点 D 的坐标; (3) 如图②,若点 N 在抛物线上,且∠NBO=∠A BO,则在(2)的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB 的点 P 的坐标(点 P、O、D 分别与点 N、O、 B 对应).

【答案】解:(1) ∵抛物线 y=ax +bx(a≠0)经过点 A(3,0)、B(4,4).
?9a+3b=0 ?a=1 ∴? ,解得:? 。 ?16a+4b=4 ?b=-3

2

用心

爱心

专心

32

∴抛物线的解析式是 y=x -3x。 (2) 设直线 OB 的解析式为 y=k1x,由点 B(4,4), 得:4=4k1,解得 k1=1。 ∴直线 OB 的解析式为 y=x。 ∴直线 OB 向下平移 m 个单位长度后的解析式为:y=x-m。 ∵点 D 在抛物线 y=x -3x 上,∴可设 D(x,x -3x)。 又点 D 在直线 y=x-m 上,∴ x -3x =x-m,即 x -4x+m=0。 ∵抛物线与直线只有一个公共点, △=16-4m=0,解得:m=4。 此时 x1=x2=2,y=x -3x=-2。∴ D 点坐标为(2,-2)。 (3) ∵直线 OB 的解析式为 y=x,且 A(3,0), ∴点 A 关于直线 OB 的对称点 A'的坐标是(0,3)。 设直线 A'B 的解析式为 y=k2x+3,过点 B(4,4), 1 ∴4k2+3=4,解得:k2= 。 4 1 ∴直线 A'B 的解析式是 y= x+3。 4 ∵∠NBO=∠ABO,∴点 N 在直线 A'B 上。 1 2 ∴设点 N(n, n+3),又点 N 在抛物线 y=x -3x 上, 4 1 3 2 ∴ n+3=n -3n,解得:n1=- ,n2=4(不合题意,会去)。 4 4 3 45 ∴ 点 N 的坐标为(- , )。 4 16 如图,将△NOB 沿 x 轴翻折,得到△N1OB1, 3 45 则 N1(- ,- ),B1(4,-4)。 4 16 ∴O、D、B1 都在直线 y=-x 上。 ∵△P1OD∽△NOB,∴△P1OD∽△N1OB1。 ∴ OP1 OD 1 3 45 = = 。∴点 P1 的坐标为(- ,- )。 ON1 OB1 2 8 32
2 2 2 2 2

2

45 3 将△OP1D 沿直线 y=-x 翻折,可得另一个满足条件的点 P2( , )。 32 8 3 45 45 3 综上所述,点 P 的坐标是(- ,- )或( , )。 8 32 32 8 【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质,一元二次方程根的 判别式,翻折对称的性质,旋转的性质,相似三角形的判定和性质。
用心 爱心 专心 33

【分析】(1) 利用待定系数法求出二次函数解析式即可。 (2) 根据已知可求出 OB 的解析式为 y=x,则向下平移 m 个单位长度后的解析式为:y=x-m。 由于抛物线与直线只有一个公共点,意味着联立解析式后得到的一元二次方程,其根的判别式等于 0,由 此可求出 m 的值和 D 点坐标。 (3) 综合利用几何变换和相似关系求解:翻折变换,将△NOB 沿 x 轴翻折。 (或用旋转)求出 P 点 坐标之后,该点关于直线 y=-x 的对称点也满足题意,即满足题意的 P 点有两个。 练习题: 1. (2012 山东枣庄 3 分)将直线 y ? 2x 向右平移 1 个单位后所得图象对应的函数解析式为【 A. y ? 2x ? 1 B. y ? 2x ? 2 C. y ? 2x ? 1 D. y ? 2x ? 2 】

2.(2012 天津市 3 分)将正比例函数 y=-6x 的图象向上平移,则平移后所得图象对应的函数解析式可以 是 ▲ (写出一个即可) . 】

3. (2011 湖北随州 4 分) 如图: 矩形 ABCD 的对角线 AC=10, BC=8, 则图中五个小矩形的周长之和为 【 A、14 B、16 C、20 D、28

4. (2011 云南昭通 10 分) 如图 (1) 所示, 是⊙O 的直径, 是弦, AB AC 直线 EF 和⊙O 相争于点 C, AD⊥EF, 垂足为 D。 (1)求证:∠DAC=∠BAC; (2)若把直线 EF 向上平行移动,如图(2)所示,EF 交⊙O 于 G、C 两点,若题中的其它条件不变,这时 与∠DAC 相等的角是哪一个?为什么?

5. (2011 四川广安 12 分) 如图所示, 在平面直角坐标系中, 四边形 ABCD 是直角梯形, BC∥AD, ∠BAD=90°, BC 与 y 轴相交于点 M,且 M 是 BC 的中点,A、B、D 三点的坐标分别是 A( ?1 ,0 ) ,B( ?1 , ) 2 ,D(3,

用心

爱心

专心

34

0) .连接 DM,并把线段 DM 沿 DA 方向平移到 ON.若抛物线 y ? ax ? bx ? c 经过点 D、M、N.
2

(1)求抛物线的解析式. (2)抛物线上是否存在点 P,使得 PA=PC,若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. (3)设抛物线与 x 轴的另一个交点为 E,点 Q 是抛物线的对称轴上的一个动点,当点 Q 在什么位置时有 |QE-QC|最大?并求出最大值. m 6. (2011 辽宁盘锦 14 分) 如图,直线 y= x+m(m≠0)交 x 轴负半轴于点 A、交 y 轴正半轴于点 B 且 AB 3 =5,过点 A 作直线 AC⊥AB 交 y 轴于点 C.点 E 从坐标原点 O 出发,以 0.8 个单位/秒的速度沿 y 轴向上运 动;与此同时直线 l 从与直线 AC 重合的位置出发,以 1 个单位/秒的速度沿射线 AB 方向平行移动. 直线 l 在平移过程中交射线 AB 于点 F、交 y 轴于点 G.设点 E 离开坐标原点 O 的时间为 t(t≥0)s. (1)求直线 AC 的解析式; (2)直线 l 在平移过程中,请直接写出△BOF 为等腰三角形时点 F 的坐标; (3)直线 l 在平移过程中,设点 E 到直线 l 的距离为 d,求 d 与 t 的函数关系.

备用图 四、曲线的平移: 典型例题:例 1. (2012 上海市 4 分)将抛物线 y=x2+x 向下平移 2 个单位,所得抛物线的表达式是 ▲ .
2

【答案】y=x +x﹣2。 【考点】二次函数图象与平移变换。 【分析】根据平移变化的规律,左右平移只改变点的横坐标,左减右加。上下平移只改变点的纵坐标,下 减上加。因此,将抛物线 y=x +x 向下平移 2 个单位,所得抛物线的表达式是 y=x +x﹣2。 例 2. (2012 广东广州 3 分)将二次函数 y=x 的图象向下平移一个单位,则平移以后的二次函数的解析式 为【 】 A.y=x ﹣1
2 2 2 2

B.y=x +1

2

C.y=(x﹣1)
用心

2

D.y=( x+1)
专心

2

爱心

35

【答案】A。 【考点】二次函数图象与平移变换。 【分析】根据平移变化的规律,左右平移只改变横坐标,左减右加。上下平移只改变纵坐标,下减上加。 因此,将二次函数 y=x 的图象向下平移一个单位,则平移以后的二次函数的解析式为:y=x ﹣1。故选 A。 例 3.(2012 陕西省 3 分)在平面直角坐标系中,将抛物线 y ? x 2 ? x ? 6 向上(下)或向左(右)平移了 m 个单位,使平移后的抛物线恰好经过原点,则 m 的最小值为【 A.1 【答案】B。 【考点】二次函数图象与平移变换 【分析】计算出函数与 x 轴、y 轴的交点,将图象适当运动,即可判断出抛物线移 动的距离及方向: 当 x=0 时,y=-6,故函数与 y 轴交于 C(0,-6) , 当 y=0 时,x -x-6=0, 解得 x=-2 或 x=3,即 A(-2,0) ,B(3,0) 。 由图可知,函数图象至少向右平移 2 个单位恰好过原点,故|m|的最小值为 2。故选 B。
2 2 2

】 D.6

B.2

C.3

例 5.(2012 甘肃兰州 4 分)抛物线 y=(x+2) -3 可以由抛物线 y=x 平移得到,则下列平移过程正确的 是【 】
用心 爱心 专心 36

2

2

A.先向左平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位 B.先向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单 位 C.先向右平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位 D.先向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位 【答案】B。 【考点】二次函数图象与平移变换。 【分析】根据“左加右减,上加下减”的原则进行解答即可: ∵ y=x 2 ??????? y=(x ? 2) 2 ??????? y=(x ? 2) 2 ? 3 y=x , ? ?
2

向左平移 2个单位

向下平移3个单位

∴平移过程为:先向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位。故选 B。

1 2 x 平移得到抛物线 m,抛物线 m 经过点 A(﹣6,0)和原 2 1 2 点 O(0,0) ,它的顶点为 P,它的对称轴与抛物线 y= x 交于点 Q,则图中阴影部分的面积为 2
例 6.(2012 四川广安 3 分)如图,把抛物线 y= ▲ .

【答案】

27 。 2

【考点】二次函数图象与平移变换,平移的性质,二次函数的性质。 【分析】根据点 O 与点 A 的坐标求出平移后的抛物线的对称轴,然后求出点 P 的坐标,过点 P 作 PM⊥y 轴于点 M,根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积 等于四边形 NPMO 的面积,然后求解即可: 过点 P 作 PM⊥y 轴于点 M,设 PQ 交 x 轴于点 N, ∵抛物线平移后经过原点 O 和点 A(﹣6,0) ,∴平移后的抛物线对称轴为 x=﹣3。 ∴平移后的二次函数解析式为:y= 将(﹣6,0)代入得出:0=

1 2 (x+3) +h, 2

1 9 9 2 (﹣6+3) +h,解得:h=﹣ 。∴点 P 的坐标是(3,﹣ ) 。 2 2 2

根据抛物线的对称性可知,阴影部分的面积等于矩形 NPMO 的面积,

用心

爱心

专心

37

∴S= 3 ? ?

9 27 。 = 2 2
2

例 7.(2012 广西桂林 3 分)如图,把抛物线 y=x 沿直线 y=x 平移 2 个单位后,其顶点在直线上的 A 处,则平移后的抛物线解析式是【 】

A.y=(x+1) -1 【答案】C。

2

B.y=(x+1) +1

2

C.y=(x-1) +1

2

D.y=(x-1) -1

2

【考点】二次函数图象与平移变换,二次函数的性质,勾股定理。 【分析】首先根据 A 点所在位置设出 A 点坐标为(m,m)再根据 AO= 2 ,利用勾股定理求出 m 的值, 然后根据抛物线平移的性质:左加右减,上加下减可得解析式: ∵A 在直线 y=x 上,∴设 A(m,m), ∵OA=

2 ,∴m2+m2=( 2 )2,解得:m=±1(m=-1 舍去)。∴A(1,1)。
2

∴抛物线解析式为:y=(x-1) +1。故选 C。 例 8.(2012 江苏南通 14 分)如图,经过点 A(0,-4)的抛物线 y= 0)和 C,O 为坐标原点. (1)求抛物线的解析式; (2)将抛物线 y= 物 线.若新抛物线的顶点 P 在△ABC 内,求 m 的取值范围; (3)设点 M 在 y 轴上,∠OMB+∠OAB=∠ACB,求 AM 的长. 1 2 7 x +bx+c 向上平移 个单位长度、再向左平移 m(m>0)个单位长度,得到新抛 2 2 1 2 x +bx+c 与 x 轴相交于点 B(-0, 2

用心

爱心

专心

38

【答案】解: (1)将 A(0,-4) 、B(-2,0)代入抛物线 y=

1 2 x +bx+c 中,得: 2

?0 ? c ? ?4 ? b ? ?1 ,解得, ? 。 ? ?2 ? 2b ? c ? 0 ? c ? ?4
∴抛物线的解析式:y= 1 2 x -x-4。 2

(2)由题意,新抛物线的解析式可表示为: y=

1 7 ? x+m ?2 ? ? x+m ? ? 4+ , 2 2

1 1 1 即: y= x 2 + ? m ? 1? x+ m2 ? m ? 。它的顶点坐标 P(1-m,-1) 。 2 2 2
由(1)的抛物线解析式可得:C(4,0) 。 ∴直线 AB:y=-2x-4;直线 AC:y=x-4。 当点 P 在直线 AB 上时,-2(1-m)-4=-1,解得:m=

5 ; 2

当点 P 在直线 AC 上时, (1-m)+4=-1,解得:m=-2; 又∵m>0, ∴当点 P 在△ABC 内时,0<m<

5 。 2

(3)由 A(0,-4) 、B(4,0)得:OA=OC=4,且△OAC 是等腰直角三角形。 如图,在 OA 上取 ON=OB=2,则∠ONB=∠ACB=45°。 ∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB, 即∠ONB=∠OMB。 如图,在△ABN、△AM1B 中, ∠BAN=∠M1AB,∠ABN=∠AM1B, ∴△ABN∽△AM1B,得:AB =AN?AM1; 由勾股定理,得 AB =(-2) +4 =20, 又 AN=OA-ON=4-2=2,
2 2 2 2

用心

爱心

专心

39

∴AM1=20÷2=10,OM1=AM1-OA=10-4=6。 而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN,∴OM1=OM2=6,AM2=OM2-OA=6-4=2。 综上,AM 的长为 6 或 2。 【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质,二次函数的性质,等腰直角三角 形的判定和性质,勾股定理。 【分析】 (1)该抛物线的解析式中只有两个待定系数,只需将 A、B 两点坐标代入即可得解。 (2)首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式,从而用 m 表示出该函数的顶点坐标,将其 代入直线 AB、AC 的解析式中,即可确定 P 在△ABC 内时 m 的取值范围。 (3)先在 OA 上取点 N,使得∠ONB=∠ACB,那么只需令∠NBA=∠OMB 即可,显然在 y 轴的正负半 轴上都有一个符合条件的 M 点;以 y 轴正半轴上的点 M 为例,先证△ABN、△AMB 相似,然后通过相关比例 线段求出 AM 的长。 例 9.(2012 北京市 7 分)已知二次函数 y ? (t ? 1)x 2 ? 2(t ? 2)x ? (1) 求二次函数的解析式; (2) 若一次函数 y ? kx ? 6 的图象与二次函数的图象都经过点 A (?3,m) ,求 m 和 k 的值; (3) 设二次函数的图象与 x 轴交于点 B,C(点 B 在点 C 的左侧) ,将二次函数的图象在点 B,C 间 的部分 (含点 B 和点 C) 向左平移 n(n ? 0) 个单位后得到的图象记为 C, 同时将 (2) 中得到的直线 y ? kx ? 6 向上平移 n 个单位。请结合图象回答:当平移后的直线与图象 G 有公共点时,n 的取值范围。

3 在 x ? 0 和 x ? 2 时的函数值相等。 2

【答案】解: (1)∵二次函数在 x ? 0 和 x ? 2 时的函数值相等,∴二次函数图象的对称轴为 x ? 1 。 ∴?
2 ? t ? 2? 2 ? t ? 1?
3 ? 1 ,解得 t ? ? 。 2

1 3 ∴二次函数解析式为 y ? ? x 2 ? x ? 。 2 2

(2)∵二次函数图象经过 A (?3,m) 点,

用心

爱心

专心

40

1 3 2 ∴ m ? ? × ? ?3? ? ? ?3? ? ? ?6 ,A(-3,-6) 。 2 2

又∵一次函数 y ? kx ? 6 的图象经过 A 点, ∴ ?3k ? 6 ? ?6 ,解得 k ? 4 。 (3)由题意可知,二次函数在点 B,C 间的部分图象的解析式为
y?? 1 ? x ? 3?? x ? 1? , ?1≤ x ≤3 , 2

则向左平移后得到的图象 C 的解析式为 y ? ?

1 ? x ? 3 ? n ?? x ? 1 ? n ? , ?n ?1≤ x ≤3 ? n 。 2

此时一次函数 y ? 4x ? 6 的图象平移后的解析式为 y ? 4x ? 6 ? n 。

0 0 ∵平移后的直线与图象 C 有公共点,∴两个临界的交点为 ? ?n ? 1, ? 与 ? 3 ? n, ? 。
∴当 x= ? n ? 1 时, 0 ? 4 ? ?n ? 1? ? 6 ? n ,即 n ? 当 x=3 ? n 时, 0 ? 4 ? 3 ? n ? ? 6 ? n ,即 n ? 6 。
2 ∴ ≤n ≤6 3 2 ; 3

【考点】二次函数综合题,二次函数的性质,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质。 【分析】 (1)由二次函数在 x ? 0 和 x ? 2 时的函数值相等,可知二次函数图象的对称轴为 x ? 而由对称轴公式 x ? ?
3 b =1 可求得 t ? ? ,从而求得二次函数的解析式。 2 2a
0+2 =1 ,从 2

1 3 (2)由二次函数图象经过 A (?3,m) 点代入 y ? ? x2 ? x ? 可求得 m ? ?6 ,从而由一次函数 2 2

y ? kx ? 6 的图象经过 A 点,代入可求得 k ? 4 。

(3)根据平移的性质,求得平移后的二次函数和一次函数表达式,根据平移后的直线与图象 C 有公共点,求得公共点的坐标即可。
用心 爱心 专心 41

例 10.(2012 广西柳州 12 分)如图,在△ABC 中,AB=2,AC=BC= 5 . (1)以 AB 所在的直线为 x 轴,AB 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系如图,请你分别写出 A、B、C 三点的坐标; (2)求过 A、B、C 三点且以 C 为顶点的抛物线的解析式; (3)若 D 为抛物线上的一动点,当 D 点坐标为何值时,S△ABD=

1 S△ABC; 2

(4)如果将(2)中的抛物线向右平移,且与 x 轴交于点 A′B′,与 y 轴交于点 C′,当平移多少个单位 时, 点 C′同时在以 A′B′为直径的圆上(解答过程如果有需要时,请参看阅读材料) .

附:阅读材料 一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法,对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元 二次方程求解.如解方程:y -4y +3=0. 解:令 y =x(x≥0) ,则原方程变为 x -4x+3=0,解得 x1=1,x2=3. 当 x1=1 时,即 y =1,∴y1=1,y2=-1. 当 x =3,即 y =3,∴y3= 3 ,y4=- 3 . 所以,原方程的解是 y1=1,y2=-1,y3= 3 ,y4=- 3 . 再如 x ? 2 ?
2
2 2 2 2 2 4 2

x 2 ? 2 ,可设 y ? x 2 ? 2 ,用同样的方法也可求解.

【答案】解: (1)∵AB 的垂直平分线为 y 轴,∴OA=OB=

1 1 AB= ?2=1。 2 2

∴A 的坐标是(-1,0) 的坐标是(1,0) ,B 。 在 Rt△OBC 中, OC ?

BC2 ? OB2 ?
2

? 5?

2

。 ? 12 ? 2 ,∴C 的坐标为(0,2)

(2)设抛物线的解析式是:y=ax +b,

用心

爱心

专心

42

根据题意得: ?

?a ? b ? 0 ? a ? ?2 ,解得: ? 。 ?b ? 2 ?b ? 2
2

∴抛物线的解析式是: y ? ?2x ? 2 。 (3)∵S△ABC=

1 1 1 1 AB?OC= ?2?2=2,S△ABD= S△ABC,∴S△ABD= S△ABC=1。 2 2 2 2 1 设 D 的纵坐标是 m,则 AB?|m|=1,∴m=±1。 2
当 m=1 时,-2x +2=1,解得:x=±
2

2 。 2
6 。 2

当 m=-1 时,-2x +2=-1,解得:x=±

2

∴D 的坐标是: (

2 2 6 6 ,1)或(- ,1)或( ,-1) ,或(- ,-1) 。 2 2 2 2

(4)设抛物线向右平移 c 个单位长度,则 0<c≤1,OA′=1-c,OB′=1+c。 平移以后的抛物线的解析式是: y ? ?2 ? x ? c ? ? 2 。
2

令 x=0,解得 y=-2c +2,即 OC′= +2c +2。 当点 C′同时在以 A′B′为直径的圆上时有:OC′ =OA′?OB′, 则(-2c +2) =(1-c) (1+c) ,即(4c -3) -1)=0。 (c 解得:c=
2 2 2 2 2

2

2

3 3 ,? (舍去) ,1,-1(舍去) 。 2 2

故平移

3 或 1 个单位长度。 2

【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,线段垂直平分线的性质,勾股定 理,平移的性质,相似三角形的判定和性质,解多元方程。 【分析】 (1)根据 y 轴是 AB 的垂直平分线,则可以求得 OA,OB 的长度,在直角△OAC 中,利用勾股 定理求得 OC 的长度,则 A、B、C 的坐标即可求解。 (2)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式。 (3)首先求得△ABC 的面积,根据 S△ABD=

1 S△ABC,以及三角形的面积公式,即可求得 D 的 2

纵坐标,把 D 的纵坐标代入二次函数的解析式,即可求得横坐标。 (4)设抛物线向右平移 c 个单位长度,则 0<c≤1,可以写出平移以后的函数解析式,当点 C′
用心 爱心 专心 43

同 时在以 A′B′为直径的圆上时由相似三角形的性质有:OC′ =OA?OB,据此即可得到一个关于 c 的方程求 得 c 的值。 练习题: 1. (2012 贵州黔东南 4 分)抛物线 y=x ﹣4x+3 的图象向右平移 2 个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐 标为【 】 B. (0,﹣3) C. (﹣2,﹣3) D. (﹣2,﹣1)
2 2 2

A. (4,﹣1)

2.(2012 江苏宿迁 3 分)在平面直角坐标系中,若将抛物线 y=2x - 4x+3 先向右平移 3 个单位长度,再 向上平移 2 个单位长度,则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是【 A.(-2,3) B.(-1,4)
2



C.(1 ,4)

D.(4,3)

3.(2012 江苏扬州 3 分)将抛物线 y=x +1 先向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位,那么所得抛物 线的函数关系式是【
2

】 B.y=(x+2) -2
2

A.y=(x+2) +2

C.y=(x-2) +2

2

D.y=(x-2) -2

2

4.(2012 湖北鄂州 3 分)把抛物线 y ? x 2 ? bx ? 4 的图像向右平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位,所得 到的图象的解析式为 y ? x 2 ? 2x ? 3 ,则 b 的值为【 A.2 B.4 C.6 D.8
2



5.(2012 浙江丽水、金华 10 分)在直角坐标系中,点 A 是抛物线 y=x 在第二象限上的点,连接 OA,过 点 O 作 OB⊥OA,交抛物线于点 B,以 OA、OB 为边构造矩形 AOBC.

(1)如图 1,当点 A 的横坐标为 (2)如图 2,当点 A 的横坐标为 ? ①求点 B 的坐标;

时,矩形 AOBC 是正方形;

1 时, 2
2 2

②将抛物线 y=x 作关于 x 轴的轴对称变换得到抛物线 y=-x ,试判断抛物线 y=-x 经过平移交换后, 能否经过 A,B,C 三点?如果可以,说出变换的过程;如果不可以,请说明理由.
用心 爱心 专心 44

2

6.(2012 福建三明 12 分)已知直线 y=2x ? 5 与 x 轴和 y 轴分别交于点 A 和点 B,抛物线 y= ? x 2 +bx+c 的 顶点 M 在直线 AB 上,且抛物线与直线 AB 的另一个交点为 N. (1)如图①,当点 M 与点 A 重合时,求: ①抛物线的解析式; 分) (4 ②点 N 的坐标和线段 MN 的长; 分) (4 (2)抛物线 y= ? x 2 +bx+c 在直线 AB 上平移,是否存在点 M,使得△OMN 与△AOB 相似?若存在, 直接写出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. 分) (4

7. (2011 广西崇左 14 分)已知抛物线 y=x +4x+m(m 为常数)经过点(0,4). (1) 求 m 的值; (2) 将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线.已知平移后的抛物线满足下述两个条件:的 对称轴(设为直线 l2)与平移前的抛物线的对称轴(设为直线 l1)关于 y 轴对称;它所对应的函数的最小 值为-8. ① 试求平移后的抛物线的解析式; ② 试问在平移后的抛物线上是否存在点 P,使得以 3 为半径的圆 P 既与 x 轴相切,又与直线 l2 相交?若存在,请求出点 P 的坐标,并求出直线 l2 被圆 P 所截得的弦 AB 的长度;若不存在,请说明理由. 8. (2011 山东枣 庄 1 0 分 )如图,在平面直角坐标系 xoy 中,把抛物线 y ? x 2 向左平移 1 个单位,再向 下平移 4 个单位,得到抛物线 y ? ( x ? h)2 ? k .所得抛物线与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左边) ,与

2

y 轴交于点 C,顶点为 D.
(1)写出 h、k 的值; (2)判断△ACD 的形状,并说明理由; (3)在线段 AC 上是否存在点 M,使△AOM∽△ABC?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.

用心

爱心

专心

45

9. (2011 内蒙古呼和浩特 12 分)已知抛物线 y1 ? x 2 ? 4 x ? 1 的图象向上平移 m 个单位( m ? 0 )得到的 新抛物线过点(1,8). (1)求 m 的值,并将平移后的抛物线解析式写成 y2 ? a( x ? h )2 ? k 的形式; (2)将平移后的抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻 折到 x 轴 上方,与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象.请写出这个图象对应的函数 y 的解
3 析式,并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图,同时写出该函数在 ?3 ? x ≤ ? 时对应的函数值 y 的 2

取值范围; (3)设一次函数 y3 ? nx ? 3( n ? 0 ) ,问是否存在正 整数 n 使得(2)中函数的函数值 y ? y3 时,对应的 x 的值为 ?1 ? x ? 0 ,若存在,求出 n 的值;若不存在, 说明理由.

10. (2011 四川绵阳 12 分)已知抛物线 y = x -2x + m-1 与 x 轴只有一个交点,且与 y 轴交于 A 点, 如图,设它的顶点为 B. (1)求 m 的值; (2)过 A 作 x 轴的平行线,交抛物线于点 C,求证:△ABC 是等腰直角三角形; (3)将此抛物线向下平移 4 个单位后,得到抛物线 C′,且与 x 轴的左半轴 交于 E 点,与 y 轴交于 F 点,如图.请在抛物线 C′上求点 P,使得△EFP 是以
用心 爱心 专心 46

2

EF 为直角边的直角三角形.

五、三角形的平移: 典型例题:例 1. (2012 湖北孝感 3 分)如图,△ABC 在平面直角坐标系中的第二象限内,顶点 A 的 坐标是(-2,3), 先把△ABC 向右平移 4 个单位长度得到△A1B1C1,再作△A1B1C1 关于 x 轴的对称图形△A2B2C2,则顶点 A2 的坐标是【 】

A.(-3,2) 【答案】B。

B.(2,-3)

C.(1,-2)

D.(3,-1)

【考点】坐标与图形的对称和平移变化。 【分析】∵将△ABC 向右平移 4 个单位得△A1B1C1,∴A1 的横坐标为-2+4=2;纵坐标不变为 3; ∵把△A1B1C1 以 x 轴为对称轴作轴对称图形△A2B2C2,∴A2 的横坐标为 2,纵坐标为-3。 ∴点 A2 的坐标是(2,-3) 。故选 B。 例 3.(2012 江苏无锡 2 分) 如图,△ABC 中,∠ACB=90°,AB=8cm,D 是 AB 的中点.现将△BCD 沿 BA 方向平移 1cm,得到△EFG,FG 交 AC 于 H,则 GH 的长等于 ▲ cm.

【答案】3。 【考点】直角三角形斜边上中线的性质,平移的性质,相似三角形的判定和性质。
用心 爱心 专心 47

【分析】由∠ACB=90°,AB=8,D 是 AB 的中点,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,得 AD=BD=CD=

1 AG GH AB=4。然后由平移的性质得 GH∥CD,因此△AGH∽△ADC。 ∴ 。 ? 2 AD DC

又∵△EFG 由△BCD 沿 BA 方向平移 1cm 得到的, ∴AG=4-1=3。

3 GH ,解得 GH=3。 ? 4 4 例4.(2012湖北黄冈3分)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(-2,3) ,B(-4,
∴ -1) ,C(2,0) ,将△ABC平移至△A1B1C1 的位置,点A、B、C 的对应点分别是A1B1C1,若点A1 的 坐标为(3,1).则点C1 的坐标为 【答案】 (7,-2) 。 【考点】坐标与图形的平移变化。 【分析】根据A点平移后的坐标变化,确定三角形的平移方法,得到C点的平移方法: 由A(-2,3)平移后点A1的坐标为(3,1) ,可得A点横坐标加5,纵坐标减2, 则点C的坐标变化与A点的变化相同,故C1(2+5,0-2) ,即(7,-2) 。 例 5.(2012 浙江义乌 3 分)如图,将周长为 8 的△ABC 沿 BC 方向平移 1 个单位得到△DEF,则四边形 ABFD 的周长为【 】 ▲ .

A.6 【答案】C。

B.8

C.10

D.12

【考点】平移的性质。 【分析】根据题意,将周长为 8 个单位的等边△ABC 沿边 BC 向右平移 1 个单位得到△DEF, ∴AD=1,BF=BC+CF=BC+1,DF=AC。 又∵AB+BC+AC=8, ∴四边形 ABFD 的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10。故选 C。 例 6(2012 贵州安顺 12 分)在如图所示的方格图中,我们称每个小正方形的顶点为“格点”,以格点为 顶点的三角形叫做“格点三角形”,根据图形,回答下列问题. (1)图中格点△A′B′C′是由格点△ABC 通过怎样的变换得到的? (2)如果以直线 a、b 为坐标轴建立平面直角坐标系后,点 A 的坐标为(﹣3,4) ,请写出格点△DEF 各顶 点的坐标,并求出△DEF 的面积.

用心

爱心

专心

48

【答案】解: (1)图中格点△A′B′C′是由格点△ABC 向右平移 7 个单位长度得到的; (2)如果以直线 a、b 为坐标轴建立平面直角坐标系后,点 A 的坐标为(﹣3,4) ,则格点 △DEF 各顶点的坐标分别为 D(0,﹣2) ,E(﹣4,﹣4) ,F(3,﹣3) , 过点 F 作 FG∥x 轴,交 DE 于点 G, 则 G(-2,-3) 。

1 1 ?5?1+ ?5?1=5。 2 2 【考点】作图(平移变换) ,网格问题,三角形的面积。
∴S△DEF=S△DGF+S△GEF= 【分析】 (1)直接根据图形平移的性质得到△A′B′C′即可。 (2) 根据△DEF 所在的格点位置写出其坐标, 过点 F 作 FG∥x 轴,交 DE 于点 G, ,再根据三角形的面积公式求解。 例 7.(2012 浙江温州 8 分)如图,△ABC 中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,将△ABC 沿射线 BC 方向平移 10cm,得到△DEF,A,B,C 的对应点分别是 D,E,F,连结 AD,求证:四边形 ACFD 是菱形。

【答案】证明:由平移变换的性质得,CF=AD=10,DF=AC。 ∵∠B=90°,AB=6,BC=8, ∴ AC ?

AB2 ? CB2 ?

36 ? 64 ? 10 。

∴AC=DF=AD=CF=10。∴四边形 ACFD 是菱形。 【考点】平移的性质,勾股定理,菱形的判定。 【分析】根据平移的性质可得 CF=AD=10,DF=AC,再在 Rt△ABC 中利用勾股定理求出 AC 的长为 10,就可 以根据四条边都相等的四边形是菱形得到结论。

用心

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49

例 8.(2012 湖南湘潭 8 分)如图,△ABC 是边长为 3 的等边三角形,将△ABC 沿直线 BC 向右平移,使 B 点与 C 点重合,得到△DCE,连接 BD,交 AC 于 F. (1)猜想 AC 与 BD 的位置关系,并证明你的结论; (2)求线段 BD 的长.

【答案】解: (1)AC⊥BD。证明如下: ∵△DCE 由△ABC 平移而成,∴△DCE≌△ABC。 又∵△ABC 是等边三角形,∴BC=CD=CE=DE,∠E=∠ACB=60°。 ∴∠DBC=∠BDC=30°。∴∠BDE=90°。∵BD⊥DE, ∵∠E=∠ACB=60°,∴AC∥DE。∴BD⊥AC。 (2)在 Rt△BED 中,∵BE=6,DE=3,∴ BD ? BE 2 ? DE 2 ? 62 ? 32 ? 3 3 。 【考点】等边三角形的性质,平移的性质,三角形内角和定理,平行的判定和性质,勾股定理。 【分析】 (1)由平移的性质可知△DCE≌△ABC。故可得出 BD⊥DE,由∠E=∠ACB=60°可知 AC∥DE,故可 得出结论。 (2)在 Rt△BDE 中利用勾股定理即可得出 BD 的长。 例 9.(2012 广西北海 12 分)如图,在平面直角坐标系中有 Rt△ABC,∠A=90°,AB=AC,A(-2,0) 、 B(0,1) 、C(d,2) 。

(1)求 d 的值; (2)将△ABC 沿 x 轴的正方向平移,在第一象限内 B、C 两点的对应点 B′、C′正好落在某反比例函数图 像上。请求出这个反比例函数和此时的直线 B′C′的解析式;
用心 爱心 专心 50

(3)在(2)的条件下,直线 B′C′交 y 轴于点 G。问是否存在 x 轴上的点 M 和反比例函数图像上的点 P, 使得四边形 PGMC′是平行四边形。如果存在,请求出点 M 和点 P 的坐标;如果不存在,请说明理由。 【答案】解: (1)作 CN⊥x 轴于点 N。 在 Rt△CNA 和 Rt△AOB 中, ∵NC=OA=2,AC=AB ∴Rt△CNA≌Rt△AOB(HL) 。 ∴AN=BO=1,NO=NA+AO=3, 又∵点 C 在第二象限,∴d=-3。 (2)设反比例函数为 y ? 例函数图像上, 设 C′(c,2) ,则 B′(c+3,1) 。

k ,点 C′和 B′在该比 x

k ,得 k=2 c;k=c+3。 x 6 ∴2 c=c+3,c=3,则 k=6。∴反比例函数解析式为 y ? 。 x
把点 C′和B′的坐标分别代入 y ? 得点 C′(3,2) ;B′(6,1) 。 设直线 C′B′的解析式为 y=ax+b,把 C′、B′两点坐标代入得 ?

?3a ? b ? 2 ,解 得 ?6a ? b ? 1

1 ? ?a ? ? 3。 ? ?b ? 3 ?
∴直线 C′B′的解析式为 y ? ? x ? 3 。 (3)设 Q 是 G C′的中点,由 G(0,3) ,C′(3,2) ,得点 Q 的横坐标为 为 2+

1 3

3 ,点 Q 的纵坐标 2

3? 2 5 3 5 。 = 。∴Q( , ) 2 2 2 2
过点 Q 作直线 l 与 x 轴交于 M′点, y ? 与

6 的 x

图象交于 P′点, 若四边形 P′G M′ C′是平行四边形, 则有 P′Q =Q M′,易知点 M′的横坐标大于

3 3 ,点 P′的横坐标小于 。 2 2

作 P′H⊥x 轴于点 H,QK ⊥y 轴于点 K,P′H

用心

爱心

专心

51

与 QK 交于点 E,作 QF⊥x 轴于点 F, 则△P′EQ≌△QFM′ 。

设 EQ=FM′=t,则点 P′的横坐标 x 为

3 6 6 12 , ? t ,点 P′的纵坐标 y 为 ? ? 2 x 3 ? t 3 ? 2t 2

点 M′的坐标是(

3 。 ? t ,0) 2 12 5 ∴P′E= ? 。 3 ? 2t 2
由 P′Q=QM′,得 P′E +EQ =QF +FM′ ,∴ ? 整理得:
2 2 2 2

5? ? 12 ?5? ? ? ? t2 ? ? ? ? t2 , ? 3 ? 2t 2 ? ?2?

2

2

12 3 。 ? 5 ,解得 t ? (经检验,它是分式方程的解) 3 ? 2t 10 3 3 3 6 3 3 3 9 12 12 ∴ ?t ? ? ? , ? ?5, ?t ? ? ? 。 2 2 10 5 3 ? 2t 3 ? 2 ? 3 2 2 10 5 10 6 9 ∴P′( ,5) ,M′( ,0) ,则点 P′为所求的点 P,点 M′为所求的点 M。 5 5
【考点】反比例函数综合题,全等三角形的判定和性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,平 移的性质,平行四边形的和性质,勾股定理,解分式方程和二元一次方程组。 【分析】 (1)作 CN⊥x 轴于点 N,由 Rt△CNA≌Rt△AOB 即可求得 d 的值。 (2)根据平移的性质,用待定系数法求出反比例函数和直线 B′C′的解析式。 (3)根据平行四边形对角线互相平分的性质,取 G C′的中点 Q,过点 Q 作直线 l 与 x 轴交于 M′ 点,与 y ?

6 的图象交于 P′点,求出 P′Q=Q M′的点 M′和 P′的坐标即可。 x
2 2 x +bx+c 经过点 B,且顶点在直 3

例 10.(2012 甘肃兰州 12 分)如图,Rt△ABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上, O 为坐标原点,A、B 两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线 y= 线 x=

5 上. 2

(1)求抛物线对应的函数关系式; (2)若把△ABO 沿 x 轴向右平移得到△DCE,点 A、B、O 的对应点分别是 D、C、E,当四边形 ABCD 是菱形时, 试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上,并说明理由; (3)在(2)的条件下,连接 BD,已知对称轴上存在一点 P 使得△PBD 的周长最小,求出 P 点的坐标; (4)在(2)、(3)的条件下,若点 M 是线段 OB 上的一个动点(点 M 与点 O、B 不重合),过点 M 作∥B D 交 x 轴 于点 N,连接 PM、PN,设 OM 的长为 t,△PMN 的面积为 S,求 S 和 t 的函数关系式,并写出自变量 t 的取

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52

值范围,S 是否存在最大值?若存在,求出最大值和此时 M 点的坐标;若不存在,说明理由.

【答案】解: (1)∵抛物线 y=

2 2 x +bx+c 经过点 B(0,4),∴c=4。 3 5 b 5 10 ∵顶点在直线 x= 上,∴ ? = ,解得 b= ? 。 2 2 2 3 2? 3 2 10 ∴所求函数关系式为 y= x 2 ? x+4 。 3 3

(2)在 Rt△ABO 中,OA=3,OB=4,∴ AB= OA 2 ? OB2 ? 5 。 ∵四边形 ABCD 是菱形,∴BC=CD=DA=AB=5。 ∴C、D 两点的坐标分 别是(5,4)、(2,0),

2 10 当 x=5 时, y= ? 52 ? ? 5+4=4 ; 3 3 2 10 当 x=2 时, y= ? 22 ? ? 2+4=0 。 3 3
∴点 C 和点 D 都在所求抛物线上。 (3)设 CD 与对称轴交于点 P,则 P 为所求的点, 设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b,

? 4 ? k= 3 ?5k+b=4 4 8 ? 则? ,解得, ? 。∴直线 CD 对应的函数关系式为 y= x ? 。 3 3 ? 2k+b=0 ? b= ? 8 ? 3 ?
当 x=

5 4 5 8 2 5 2 时, y= ? ? = 。∴P( , )。 2 3 2 3 3 2 3

(4)∵MN∥BD,∴△OMN∽△OBD。 ∴

OM ON t ON t ,即 ? ,得 ON ? 。 ? OB OD 4 2 2
1 1 ?2 ? 5 5 5 ? ? PF ? OM ? ? OF= ? ? +t ? ? = t+ 。 2 2 ?3 ? 2 4 6

设对称轴交 x 于点 F,则 S梯形PFOM ?

用心

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53

∵ S?MON ?

1 1 1 1 ? OM ? ON= ? t ? t= t 2 , 2 2 2 4

S?PME ?

1 1 ?5 1 ? 2 1 5 ? NF ? PF= ? ? ? t ? ? = ? t+ , 2 2 ?2 2 ? 3 6 6

S=S梯形PFOM ? S?MON ? S?PME

5 5 1 1 17 ? 1 5? ? t+ ? t 2 ? ? ? t+ ? ? ? t 2 + t (0<t<4)。 4 6 4 4 12 ? 6 6?
∵ S= ?

1 2 17 1 ? 17 ? 289 1 17 t + t= ? ? t ? ? + , ? < 0 ,0< <4, 4 12 4? 6 ? 144 4 6

2

∴当 t=

17 289 17 时,S 取最大值是 。此时,点 M 的坐标为(0, )。 6 144 6

【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,菱形的性质, 相似三角形的判定和性质。 【分析】 (1)根据抛物线 y=

2 2 5 x +bx+c 经过点 B(0,4),以及顶点在直线 x= 上,得出 b,c 即可。 3 2

(2)根据菱形的性质得出 C、D 两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),利用图象上点的性质得出 x =5 或 2 时,y 的值即可。

5 时,求出 y 即可。 2 OM ON t (4)利用 MN∥BD,得出△OMN∽△OBD,进而得出 ,得到 ON ? ,从而表示出△PMN ? OB OD 2
(3)首先设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b,求出解析式,当 x= 的面积,利用二次函数最值求出即可。 练习题: 1. (2012 福建莆田 4 分)如图,△A’B’C’是由 ? ABC 沿射线 AC 方向平移 2 cm 得到,若 AC=3cm,则 A’C= ▲ cm.

2.(2012 山东聊城 3 分)如图,在方格纸中,△ABC 经过变换得到△DEF,正确的变换是【



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54

A.把△ABC 绕点 C 逆时针方向旋转 90°,再向下平移 2 格 B.把△ABC 绕点 C 顺时针方向旋转 90°,再向下平移 5 格 C.把△ABC 向下平移 4 格,再绕点 C 逆时针方向旋转 180° D.把△ABC 向下平移 5 格,再绕点 C 顺时针方向旋转 180° 3.(2012 宁夏区 3 分)如图,将等边△ABC 沿 BC 方向平移得到△A1B1C1.若 BC=3, S?PB1C ? 3 ,则 BB1 = ▲ .

4. (2012 湖北宜昌 3 分) 如图, 10?6 的网格中, 在 每个小方格的边长都是 1 个单位, 将△ABC 平移到△DEF 的位置,下面正确的平移步骤是【 】

A.先把△ABC 向左平移 5 个单位,再向下平移 2 个单位 B.先把△ABC 向右平移 5 个单位,再向下平移 2 个单位 C.先把△ABC 向左平移 5 个单位,再向上平移 2 个单位 D.先把△ABC 向右平移 5 个单位,再向上平移 2 个单位 5.(2012 辽宁铁岭 3 分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC 经过平移后点 A 的对应点为点 A′,则平移 后点 B 的对应点 B′的坐标为 ▲ .

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专心

55

6. (2012 山东济南 3 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,将△ABC 沿 CB 向右平移得到△DEF, 若平移距离为 2,则四边形 ABED 的面积等于 ▲ .

7. (2011 山西省 9 分)如图(1) ,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为 D.AF 平分∠CAB,交 CD 于点 E,交 CB 于点 F (1)求证:CE=CF. (2)将图(1)中的△ADE 沿 AB 向右平移到△A′D′E′的位置,使点 E′落在 BC 边上,其它条件不变, 如图(2)所示.试猜想:BE′与 CF 有怎样的数量关系?请证明你的结论.

8.(2011 广东珠海 7 分)如图,Rt△OAB 中,∠OAB=90°,O 为坐标 原点,边 OA 在 x 轴上,OA=AB=1 个单位长度.把 Rt△OAB 沿 x 轴正方向平移 1 个单位长度后得△AA1B. (1)求以 A 为顶点,且经过点 B1 的抛物线的解析式; (2)若(1)中的抛物线与 OB 交于点 C,与 y 轴交于点 D, 求点 D、C 的坐标.

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56

六、四边形的平移: 典型例题:例 1. (2012 山东青岛 3 分)如图,将四边形 ABCD 先向左平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位,那么点 A 的对应点 A1 的坐标是【 】

A.(6,1) 【答案】B。

B.(0,1)

C.(0,-3)

D.(6,-3)

【考点】坐标与图形的平移变化。 【分析】∵四边形 ABCD 先向左平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位, ∴点 A 也先向左平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位, ∴由 A(3,-1)可知,A′坐标为(0,1) 。故选 B。 例 2.(2012 江西省 8 分)如图,等腰梯形 ABCD 放置在平面直角坐标系中,已知 A(-2,0) 、B(6,0) 、 D(0,3) ,反比例函数的图象经过点 C. (1)求点 C 坐标和反比例函数的解析式; (2)将等腰梯形 ABCD 向上平移 m 个单位后,使点 B 恰好落在双曲线上,求 m 的值

【答案】解: (1)过点 C 作 CE⊥AB 于点 E, ∵四边形 ABCD 是等腰梯形, ∴AD=BC,DO=CE。 ∴△AOD≌△BEC(HL) 。∴AO=BE=2。

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57

∵BO=6,∴DC=OE=4,∴C(4,3) 。

k (k≠0) , x k ∵反比例函数的图象经过点 C,∴ 3= ,解得 k=12; 4 12 ∴反比例函数的解析式为 y= 。 x
设反比例函数的解析式为 y= (2)将等腰梯形 ABCD 向上平移 m 个单位后得到梯形 A′B′C′D′, ∴点 B′(6,m) , ∵点 B′(6,m)恰好落在双曲线 y= ∴当 x=6 时, m= 即 m=2。 【考点】反比例函数综合题,等腰梯形的性质,全等三角形的判定和性质,待定系数法,曲线上点的坐标 与方程的关系,平移的性质。 【分析】 (1)C 点的纵坐标与 D 的纵坐标相同,过点 C 作 CE⊥AB 于点 E,则△AOD≌△BEC,即可求得 BE 的长度,则 OE 的长度即可求得,即可求得 C 的横坐标,然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析 式。 (2)得出 B′的坐标是(6,m),代入反比例函数的解析式,即可求出答案。 例 3.(2012 重庆市 12 分)已知:如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=90°,AD=2,BC=6,AB=3.E 为 BC 边上一点,以 BE 为边作正方形 BEFG,使正方形 BEFG 和梯形 ABCD 在 BC 的同侧. (1)当正方形的顶点 F 恰好落在对角线 AC 上时,求 BE 的长; (2)将(1)问中的正方形 BEFG 沿 BC 向右平移,记平移中的正方形 BEFC 为正方形 B′EFG,当点 E 与点 C 重合时停止平移.设平移的距离为 t,正方形 B′EFG 的边 EF 与 AC 交于点 M,连接 B′D,B′M,DM,是 否存在这样的 t,使△B′DM 是直角三角形?若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由; (3)在(2)问的平移过程中,设正方形 B′EFG 与△ADC 重叠部分的面积为 S,请直接写出 S 与 t 之间的 函数关系式以及自变量 t 的取值范围.

12 上, x

12 =2 。 6

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58

【答案】解: (1)如图①,设正方形 BEFG 的边长为 x, 则 BE=FG=BG=x。 ∵AB=3,BC=6,∴AG=AB﹣BG=3﹣x。 ∵GF∥BE,∴△AGF∽△ABC。 ∴

AG GF 3? x x ,即 = = 。 AB BC 3 6

解得:x=2,即 BE=2。 (2)存在满足条件的 t,理由如下: 如图②,过点 D 作 DH⊥BC 于 H, 则 BH=AD=2,DH=AB=3, 由题意得:BB′=HE=t,HB′=|t﹣2|,EC=4﹣t, ∵EF∥AB,∴△MEC∽△ABC。

1 ME EC ME 4 ? t ,即 。∴ME=2﹣ t。 = = 2 AB BC 3 6 1 2 2 2 2 2 1 2 在 Rt△B′ME 中,B′M =ME +B′E =2 +(2﹣ t) = t ﹣2t+8。 2 4
∴ 在 Rt△DHB′中,B′D =DH +B′H =3 +(t﹣2) =t ﹣4t+13。 过点 M 作 MN⊥DH 于 N,则 MN=HE=t,NH=ME=2﹣ ∴DN=DH﹣NH=3﹣(2﹣
2 2 2 2 2 2

1 t, 2

1 1 t)= t+1。 2 2 1 2 2 2 2 2 5 2 在 Rt△DMN 中,DM =DN +MN =( t+1) + t = t +t+1。 2 4
(Ⅰ)若∠DB′M=90°,则 DM =B′M +B′D , 即
2 2 2

5 2 1 2 20 2 t +t+1=( t ﹣2t+8)+(t ﹣4t+13) ,解得:t= 。 4 4 7
2 2 2

(Ⅱ)若∠B′MD=90°,则 B′D =B′M +DM , 即 t ﹣4t+13=( ∴t=﹣3+ 17 。 (Ⅲ)若∠B′DM=90°,则 B′M =B′D +DM ,
2 2 2 2

1 2 5 2 t ﹣2t+8)+( t +t+1) ,解得:t1=﹣3+ 17 ,t2=﹣3﹣ 17 (舍去) 。 4 4

1 2 5 2 2 t ﹣2t+8=(t ﹣4t+13)+( t +t+1) ,此方程无解。 4 4 20 综上所述,当 t= 或﹣3+ 17 时,△B′DM 是直角三角形; 7


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59

?1 2 ? 4? ?4 t ?0 ? t ? 3 ? ? ? ? ? 1 2 2? 4 ? ?? t ? t ? ? <t ? 2 ? 3? 3 ? 8 ? (3) S ? ? 。 ?? 3 t 2 ? 2t ? 5 ? 2<t ? 10 ? ? ? ? 8 3? 3? ? ?? 1 t ? 5 ? 10 <t ? 4 ? ? ? ? 2 2? 3 ? ?
【考点】相似三角形的判定和性质,勾股定理和逆定理,正方形的性质,直角梯形的性质,平移的性质。 【分析】 (1)首先设正方形 BEFG 的边长为 x,易得△AGF∽△ABC,根据相似三角形的对应边成比例,即可 求得 BE 的长。 (2)首先由△MEC∽△ABC 与勾股定理,求得 B′M,DM 与 B′D 的平方,然后分别从若∠DB′M、 ∠DB′M 和∠B′DM 分别是直角,列方程求解即可。 (3)分别从 0 ? t ?

4 4 10 10 , <t ? 2 , 2<t ? 和 <t ? 4 时去分析求解即可求得答案: 3 3 3 3

①如图③,当 F 在 CD 上时,EF:DH=CE:CH,

8 即 2:3=CE:4,∴CE= 。 3 8 4 ∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣ = 。 3 3 1 1 ∵ME=2﹣ t,∴FM= t, 2 2 1 1 1 2 4 ∴当 0 ? t ? 时,S=S△FMN= ?t? t= t 。 2 2 4 3
②如图④,当 G 在 AC 上时,t=2, ∵EK=EC?tan∠DCB= EC ?

DH 3 3 ? ? 4 ? t ? =3 ? t , CH 4 4

3 ∴FK=2﹣EK= t ﹣1。 4 4 2 4 ∵NL= AD= ,∴FL=t﹣ , 3 3 3 1 2 1 4 4 3 ∴当 <t ? 2 时,S=S△FMN﹣S△FKL= t ﹣ (t﹣ ) t ( 4 2 3 3 4 1 2 ﹣1)= ? t 2 ? t ? 。 8 3
③如图⑤,当 G 在 CD 上时,B′C:CH=B′G:DH,

8 即 B′C:4=2:3,解得:B′C= , 3

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60

2 10 。∴t= 。 3 3 1 1 1 ∵B′N= B′C= (6﹣t)=3﹣ t, 2 2 2 1 ∴GN=GB′﹣B′N= t﹣1。 2 1 1 1 1 4 10 3 ∴当 2<t ? 时,S=S 梯形 GNMF﹣S△FKL= ?2?( t﹣1+ t)﹣ (t﹣ ) t ﹣1) ( 2 2 2 2 3 3 4 3 5 = ? t 2 ? 2t ? 。 8 3 10 ④如图⑥,当 <t ? 4 时, 3 3 3 3 3 ∵B′L= B′C= (6﹣t) ,EK= EC= (4﹣t) , 4 4 4 4 1 1 1 1 B′N= B′C= (6﹣t)EM= EC= (4﹣t) , 2 2 2 2 1 5 ∴S=S 梯形 MNLK=S 梯形 B′EKL﹣S 梯形 B′EMN= ? t ? 。 2 2
∴EC=4﹣t=B′C﹣2=

?1 2 ? 4? ?4 t ?0 ? t ? 3 ? ? ? ? ? 1 2 2? 4 ? ?? t ? t ? ? <t ? 2 ? 3? 3 ? 8 ? 综上所述: S ? ? 。 ?? 3 t 2 ? 2t ? 5 ? 2<t ? 10 ? ? ? ? 8 3? 3? ? ?? 1 t ? 5 ? 10 <t ? 4 ? ? ? ? 2 2? 3 ? ?
例 4.(2012 江苏宿迁 12 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知直线 l1:y= 交于点 M,直 线 l2 与 x 轴 相较于点 N. (1) 求 M,N 的坐标; (2) 在矩形 ABCD 中,已知 AB=1,BC=2,边 AB 在 x 轴上,矩形 ABCD 沿 x 轴自左向右以每秒 1 个 单位长度的速度移动.设矩形 ABCD 与△OMN 的重叠部分的面积为 S.移动的时间为 t(从点 B 与点 O 重合时 开始计时,到点 A 与点 N 重合时计时结束) 。直接写出 S 与自变量 t 之间的函数关系式(不需要给出解答 过程) ; (3) 在(2)的条件下,当 t 为何值时,S 的值最大?并求出最大值.

1 x 与直线 l2:y=-x+6 相 2

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61

? 1 ? x=4 ? y= x 【答案】解: (1)解 ? 2 得? 。∴M 的坐标为(4,2) 。 ?y ? ?x ? 6 ?y ? 2 ?
在 y=-x+6 中令 y=0 得 x=6,∴N 的坐标为(6,0) 。 (2)S 与自变量 t 之间的函数关系式为:

?1 2 ? 4 t ? 0 ? t ? 1? ? ? 1 t ? 1 ?1 < t ? 4 ? ?2 4 ? 3 2 13 49 ? S= ? ? t + t ? ? 4 < t ? 5 ? 2 4 ? 4 13 ? ? ? t+ 2 ? 5 < t ? 6 ? ? ? 1 t 2 ? 7t+ 49 6 < t ? 7 ? ? ?2 2 ?

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62

①当 0≤t≤1 时,矩形 ABCD 与△OMN 的重叠部分的面积为一三角形面积(不含 t=0) ,三角

1 1 1 1 形的底为 t,高为 t ,∴ S= ? t ? t= t 2 。 2 2 2 4
②当 1<t≤4 时, 矩形 ABCD 与△OMN 的重叠部分的面积为一梯形面积, 梯形的上底为

1 ? t ? 1? , 2

1 ?1 1 ? 1 1 1 下底为 t ,高为 1。∴ S= ? ? t ? 1? + t ? ?1= t ? 。 2 ?2 2 ? 2 4 2
③当 4<t≤5 时,矩形 ABCD 与△OMN 的重叠部分的面积为两梯形面积的和,第一个梯形的上

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63

底为

1 ? t ? 1? ,下底为 2,高为 4 ? ? t ? 1? =5 ? t ;第二个梯形的上底为-t +6,下底为 2,高为 t ? 4 。 2

1 ?1 1 3 13 49 ? ∴ S= ? ? t ? 1? +2? ? ? 5 ? t ? + ? ?t +6+2? ? ? t ? 4 ? = ? t 2 + t ? 。 2 ?2 2 4 2 4 ?
④当 5<t≤6 时,矩形 ABCD 与△OMN 的重叠部分的面积为一梯形面积,梯形的上底为 6-t ,下底为 7-t,高为 1。∴ S=

1 13 ?6 ? t+7 ? t ? ?1= ? t+ 。 2 2

⑤当 6<t≤7 时,矩形 ABCD 与△OMN 的重叠部分的面积为一三角形面积(不含 t=7) ,三角

1 1 49 形的底为 7-t,高为 7-t,∴ S= ? ? 7 ? t ? ? ? 7 ? t ? = t 2 ? 7t+ 。 2 2 2
(3)分别讨论各分段函数的最大值而得所求。 例 5.(2012 四川达州 12 分)如图 1,在直角坐标系中,已知点 A(0,2) 、点 B(-2,0) ,过点 B 和线 段 OA 的中点 C 作直线 BC,以线段 BC 为边向上作正方形 BCDE. (1)填空:点 D 的坐标为( ) ,点 E 的坐标为( ).

(2)若抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 经过 A、D、E 三点,求该抛物线的解析式.? (3)若正方形和抛物线均以每秒 5 个单位长度的速度沿射线 B C 同时向上平移,直至正方形的顶点 E 落在 y 轴上时,正方形和抛物线均停止运动. ①在运动过程中,设正方形落在 y 轴右侧部分的面积为 s,求 s 关于平移时间 t(秒)的函数关系 式, 并写出相应自变量 t 的取值范围. ②运动停止时,求抛物线的顶点坐标.?

? 【答案】解: (1)D(-1,3) ,E(-3,2) 。 ? (2)抛物线经过(0,2)(-1,3)(-3,2) 、 、 ,则

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64

?c ? 2 ? ?a ? b ? c ? 3 ,解得 ?9a ? 3b ? c ? 2 ?

1 ? ?a ? ? 2 ? 1 2 3 1 ? ? b ? ? 。∴抛物线的解析式为 y ? ? x ? x ? 2 3 2 2 ? ?c ? 2 ? ?

?

(3)①求出端点的时间: 当点 D 运动到 y 轴上时,如图 1,DD1=

1 1 1 5 DC= BC = ,t= 。 2 2 2 2
5 5 ?1。

当点 B 运动到 y 轴上时,如图 2,BB1=BC= 5 ,t=

当点 E 运动到 y 轴上时,如图 2,EE1=ED+DE1= 5+

3 5 3 ? 5 ,t= 。 2 2 2

?

当 0<t≤

1 时,如图 4,正方形落在 y 轴右侧部分的面积 2

为△CC′F 的面积,设 D′C′交 y 轴于点 F。

OB =2,∠BCO=∠FCC′, OC FC' ∴tan∠FCC′=2, 即 =2。 CC'
∵tan∠BCO= ∵CC′= 5 t,∴FC′=2 5 t。 ∴S△CC′F?= 当

1 1 2 CC′?FC′= 5 t? 2 5 t=5 t 。 2 2

1 <t≤1 时,如图 5,正方形落在 y 轴右侧部分的面积为 2

直角梯形 CC′D′G 的面积,设 D′E′交 y 轴于点 G,过 G 作 GH⊥B′C′于 H。 ? ∵GH=BC= 5 ,∴CH=

1 5 GH= 。 2 2
5 。 2

∵CC′= 5 t,∴HC′= GD′= 5 t-

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65

?∴ S梯形CC?D?G ? ? ?当 1<t≤

? 1 ?? 5? 5 ?? 5t ? ? + 5t ? ? 5=5t ? ? ? 2 ?? 2 ? 4 ? ? ?

3 时,如图 6,正方形落在 y 轴右侧部分的面积为 2

五边形 B′C′D′MN 的面积,设 D′E′、E′B′分别交 y 轴于点 M、N。 ? ∵CC′= 5 t,B′C′= 5 , ∴CB′= 5 t- 5 。∴B′N=2CB′= 2 5 t- 2 5 。 ∵B′E′= 5 ,∴E′N=B′E′-B′N= 3 5 - 2 5 t。

?

1 1 E′N= ( 3 5 - 2 5 t)。 2 2 1 1 45 ∴ S? MNE? ? 3 5 ? 2 5t ? 3 5 ? 2 5t =5t 2 ? 15t+ 。 2 2 4
∴E′M=

?

? ?

?

?∴ S五边形B?C?D?MN ? S正方形B?C?D?E? ? S?MNE? = 综上所述,S 与 x 的函数关系式为:

? 5?

2

45 ? 25 ? 。 ? ? 5t 2 ? 15t+ ? = ? 5t 2 +15t ? 4 ? 4 ?

? 2? 1? ?5t ? 0 ? t ? 2 ? ? ? ? ? 5?1 ? 。 s= ?5t ? ? < t ? 1? 4? 2 ? ? ? 2 25 ? 3? ? ?5t +15t ? ?1 < t ? ? 4 ? 2? ?
②当点 E 运动到点 E′时,运动停止,如图 7 所示。 ? ∵∠CB′E′=∠BOC=90°,∠B CO=∠B′CE′, ?∴△BOC∽△E′B′C。∴

OB BC 。 ? B?E? E?C
2 5 ? 5 。 E?C

∵OB=2,B′E′=BC= 5 ,∴

∴CE′=

5 。 2

∴OE′=OC+CE′=1+ ? 移了

7 5 7 。 ? 。∴E′(0, ) 2 2 2 7 由点 E(-3,2)运动到点 E′(0, ),可知整条抛物线向右平移了 3 个单位,向上平 2

3 个单位。 2
用心 爱心 专心 66

?

1 3 1 3 25 3 25 ∵ y ? ? x 2 ? x ? 2 ? ? (x ? )2 ? ,∴原抛物线顶点坐标为( ? , ) 2 2 2 2 8 2 8 3 37 ?∴运动停止时,抛物线的顶点坐标为( , ) 。 2 8

例 6.(2012 江西南昌 6 分)如图,等腰梯形 ABCD 放置在平面坐标系中,已知 A(﹣2,0) 、B(6,0) 、D (0,3) ,反比例函数的图象经过点 C. (1)求点 C 的坐标和反比例函数的解析式; (2)将等腰梯形 ABCD 向上平移 2 个单位后,问点 B 是否落在双曲线上?

【答案】解: (1)过点 C 作 CE⊥AB 于点 E,

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67

∵四边形 ABCD 是等腰梯形, ∴AD=BC,DO=CE。 ∴△AOD≌△BEC(HL) 。∴AO=BE=2。 ∵BO=6,∴DC=OE=4,∴C(4,3) 。 设反比例函数的解析式为 y=

k (k≠0) , x

∵反比例函数的图象经过点 C, ∴ 3=

k ,解得 k=12; 4 12 。 x

∴反比例函数的解析式为 y=

(2)将等腰梯形 ABCD 向上平移 2 个单位后得到梯形 A′B′C′D′,则点 B′(6,2) 。 ∵当 x=6 时, y=

12 ? 2 ,∴即点 B′恰好落在双曲线上。 6

【考点】反比例函数综合题,等腰梯形的性质,全等三角形的判定和性质,待定系数法,曲线上点的坐标 与方程的关系,平移的性质。 【分析】 (1)C 点的纵坐标与 D 的纵坐标相同,过点 C 作 CE⊥AB 于点 E,则△AOD≌△BEC,即可求得 BE 的长度,则 OE 的长度即可求得,即可求得 C 的横坐标,然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析 式。 (2)将等腰梯形 ABCD 向上平移 2 个单位后,点 B 向上平移 2 个单位长度得到的点的坐标即可得 到,代入函数解析式判断即可。 例 7.(2012 江苏苏州 9 分)如图,正方形 ABCD 的边 AD 与矩形 EFGH 的边 FG 重合,将正方形 ABCD 以 1cm/s 的速度沿 FG 方向移动,移动开始前点 A 与点 F 重合.在移动过程中,边 AD 始终与边 FG 重合, 连接 CG,过点 A 作 CG 的平行线交线段 GH 于点 P,连接 PD.已知正方形 ABCD 的边长为 1cm,矩形 EFGH 的边 FG、GH 的长分别为 4cm、3cm.设正方形移动时间为 x(s) ,线段 GP 的长为 y(cm) ,其中 0≤x≤2.5. ⑴试求出 y 关于 x 的函数关系式,并求出 y =3 时相应 x 的值; ⑵记△DGP 的面积为 S1,△CDG 的面积为 S2.试说明 S1-S2 是常数; ⑶当线段 PD 所在直线与正方形 ABCD 的对角线 AC 垂直时,求线段 PD 的长.

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68

【答案】解: (1)∵CG∥AP,∴∠CGD=∠PAG,则 tan ?CGD=tan ?PAG 。∴ ∵GF=4,CD=DA=1,AF=x,∴GD=3-x,AG=4-x。

CD PG 。 = GD AG

1 y 4?x 4?x ,即 y= 。∴y 关于 x 的函数关系式为 y= 。 = 3? x 4? x 3? x 3? x 4?x 当 y =3 时, 3= ,解得:x=2.5。 3? x 1 1 4?x 1 1 1 1 3 (2) S1 = ? GP ? GD= ? ∵ ? ? 3 ? x ? ? ? x+2,S2 = ? GD ? CD= ? ? 3 ? x ? ?1 ? ? x+ , 2 2 3? x 2 2 2 2 2


? 1 ? ? 1 3? 1 ∴ S1 ? S2 = ? ? x+2 ? ? ? ? x+ ? ? 为常数。 ? 2 ? ? 2 2? 2
(3)延长 PD 交 AC 于点 Q. ∵正方形 ABCD 中,AC 为对角线,∴∠CAD=45°。 ∵PQ⊥AC,∴∠ADQ=45°。 ∴∠GDP=∠ADQ=45°。 ∴△DGP 是等腰直角三角形,则 GD=GP。

5? 5 4?x ,化简得: x 2 ? 5x+5=0 ,解得: x= 。 2 3? x 5? 5 ∵0≤x≤2.5,∴ x= 。 2
∴ 3 ? x= 在 Rt△DGP 中, PD=

? 5? 5 ? 2+ 10 = 2 ?3 ? x ? = 2 ? 3 ? 。 ?= ? ? 2 ? 2 cos 45 ? GD
0

【考点】正方形的性质,一元二次方程的应用,等腰直角三角形的性质,矩形的性质,解直角三角形,锐 角三角函数定义,特殊角的三角函数值。 【分析】 (1)根据题意表示出 AG、GD 的长度,再由 tan ?CGD= tan ?PAG 可解出 x 的值。 (2)利用(1)得出的 y 与 x 的关系式表示出 S1、S2,然后作差即可。 (3)延长 PD 交 AC 于点 Q,然后判断△DGP 是等腰直角三角形,从而结合 x 的范围得出 x 的值, 在 Rt△DGP 中,解直角三角形可得出 PD 的长度。
用心 爱心 专心 69

练习题: 1. (2011 江苏徐州 2 分)如图,将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 平移,使点 A 移至线段 AC 的中 点 A′处,得新正方形 A′B′C′D′,新正方形与原正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积是【 】

1 1 C.1 D. 2 4 2.(2011 辽宁葫芦岛 3 分)两个全等的梯形纸片如图(1)摆放,将梯形纸片 ABCD 沿上底 AD 方向向右平移
A. 2 B. 1 得到图(2). 已知 AD=4, BC=8, 若阴影部分的面积是四边形 A′B′CD 的面积的 , 则图(2)中平移距离 A′A 3 = ▲ .

3.(2012 辽宁本溪 14 分)如图,已知抛物线 y=ax?+bx+3 经过点 B(-1,0) 、C(3,0) ,交 y 轴于点 A, 将线段 OB 绕点 O 顺时针旋转 90°,点 B 的对应点为点 M,过点 A 的直线与 x 轴交于点 D(4,0) .直角梯形 EFGH 的上底 EF 与线段 CD 重合,∠FEH=90°,EF∥HG,EF=EH=1。直角梯形 EFGH 从点 D 开始,沿射线 DA 方 向匀速运动,运动的速度为 1 个长度单位/秒,在运动过程中腰 FG 与直线 AD 始终重合,设运动时间为 t 秒。 (1)求此抛物线的解析式; (2)当 t 为何值时,以 M、O、H、E 为顶点的四边形是特殊的平行四边形; (3)作点 A 关于抛物线对称轴的对称点 A′,直线 HG 与对称轴交于点 K,当 t 为何值时,以 A、A′、G、 K 为顶点的四边形为平行四边形。请直接写出符合条件的 t 值。

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专心

70

4.(2012 辽宁丹东 14 分)已知抛物线 y ? ax 2 ? 2ax ? c 与 y 轴交于 C 点,与 x 轴交于 A、B 两点,点 A 的 坐标是(-1,0) 是坐标原点,且 OC ? 3 OA . ,O (1)求抛物线的函数表达式; (2)直接写出直线 BC 的函数表达式; (3)如图 1,D 为 y 轴的负半轴上的一点,且 OD=2,以 OD 为边作正方形 ODEF.将正方形 ODEF 以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴的正方向移动,在运动过程中,设正方形 ODEF 与△OBC 重叠部分的面积 为 s,运动的时间为 t 秒(0<t≤2). 求:①s 与 t 之间的函数关系式; ②在运动过程中,s 是否存在最大值?如果存在,直接写出这个最大值;如果不存在,请 说明理由. (4)如图 2,点 P(1,k)在直线 BC 上,点 M 在 x 轴上,点 N 在抛物线上,是否存在以 A、M、 N、P 为顶点的平行四边形?若存在,请直接写出 M 点坐标;若不存在,请说明理由.

5.(2012 贵州安顺 14 分)如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,矩形 OABC 的边长 OA、OC 分别为 12cm、 6cm,点 A、C 分别在 y 轴的负半轴和 x 轴的正半轴上,抛物线 y=ax +bx+c 经过点 A、B,且 18a+c=0.
用心 爱心 专心 71
2

(1)求抛物线的解析式. (2)如果点 P 由点 A 开始沿 AB 边以 1cm/s 的速度向终点 B 移动,同时点 Q 由点 B 开始沿 BC 边以 2cm/s 的速度向终点 C 移动. ①移动开始后第 t 秒时,设△PBQ 的面积为 S,试写出 S 与 t 之间的函数关系式,并写出 t 的取值范围. ②当 S 取得最大值时,在抛物线上是否存在点 R,使得以 P、B、Q、R 为顶点的四边形是平行四边形?如果 存在,求出 R 点的坐标;如果不存在,请说明理由.

6.(2011 广东台山 10 分)如图,正方形 ABCD 和正方形 EFGH 的边长分别为 2 2和 2 ,对角线 BD、FH 都在 直线 L 上,O1、O2 分别是正方形的中心,线段 O1O2 的长叫做两个正方形的中心距。当中心 O2 在直线 L 上平移 时,正方形 EFGH 也随平移,在平移时正方形 EFGH 的形状、大小没有改变。 (1)计算:O1D= ,O2F= 。

(2)当中心 O2 在直线 L 上平移到两个正方 形只有一个公共点时,中心距 O1O2= 。

(3)随着中心 O2 在直线 L 上的平移,两个正方形的公共 点的个数还有哪些变化?并求出相对应的中心距的值或取 值范围(不必写出计算过程) 。

A E B O1 C
五、圆的平移: πr 典型例题:例 1. (2012 福建厦门 4 分)如图,已知∠ABC=90°,AB=π r,BC= ,半径为 r 的 2 ⊙O 从点 A 出发, A→B→C 方向滚动到点 C 时停止.请你根据题意, 沿 在图上画出圆心 O 运动路径的示意图; ..
用心 爱心 专心 72

D

F O2 G

H

L

圆心 O 运动的路程是



.

【答案】2π r。

【考点】作图题,弧长的计算。 【分析】根据题意画出图形,将运动路径分为三部分:OO1,O1O2 ,O2O3,分别计算出各部分的长再相加即 可: 圆心 O 运动路径如图:

90? r 1 1 ? ? r ;O2O3=BC= ? r , 180 2 2 1 1 ∴圆心 O 运动的路程是 π r+ ? r + ? r =2π r。 2 2
∵OO1=AB=π r;O1O2 = 【注:本题实质是圆心的平移,圆是滚动】 例 2.(2012 黑龙江大庆 8 分) 已知半径为 1cm 的圆,在下面三个图中 AC=10cm,AB=6cm,BC=8cm,在图 2 中∠ABC=90°.

(1)如图 1,若将圆心由点 A 沿 A ? C 方向运动到点 C,求圆扫过的区域面积;

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(2)如图 2,若将圆心由点 A 沿 A ? B ? C 方向运动到点 C,求圆扫过的区域面积; (3)如图 3,若将圆心由点 A 沿 A ? B ? C ? A 方向运动回到点 A. 则 I)阴影部分面积为_ ___;Ⅱ)圆扫过的区域面积为__
2

__.
2

【答案】解: (1)由题意得,圆扫过的面积=DE?AC+π r =(20+π )cm 。 (2)圆扫过的区域面积=AB 的面积+BC 的面积-一个圆的面积。 结合(1)的求解方法,可得所求面积 =(2r?AB+π r )+(2r?BC+π r )﹣π r =2r(AB+BC)+π r =(28+π )cm 。 (3)I)
2 2 2 2 2

55 263 2 2 cm ;Ⅱ) ( +π )cm 。 12 6

例 3.(2011 四川攀枝花 12 分)如图(Ⅰ) ,在平面直角坐标系中,⊙O′是以点 O′(2,﹣2)为圆心, 半径为 2 的圆,⊙O″是以点 O″(0,4)为圆心,半径为 2 的圆.
用心 爱心 专心 74

(1)将⊙O′竖直向上平移 2 个单位,得到⊙O1,将⊙O″水平向左平移 1 个单位,得到⊙O2 如图(Ⅱ) , 分别求出⊙O1 和⊙O2 的圆心坐标. (2)两圆平移后,⊙O2 与 y 轴交于 A、B 两点,过 A、B 两点分别作⊙O2 的切线,交 x 轴与 C、D 两点,求 △O2AC 和△O2BD 的面积.

【答案】解: (1)∵﹣2+2=0,∴点 O1 的坐标为: (2,0) 。 ∵0﹣1=﹣1,∴点 O2 的坐标为: (﹣1,4) 。 (2)如图,连接 O2A,O2B, ∵⊙O2 的半径为 2,圆心 O2 到 y 轴的距离是 1, ∴∠O2AB=∠O2BA=30°。 ∴AB=2?2cos30°=2 3 , ∴点 A、B 的坐标分别为 A(0,4﹣ 3 ) ,B(0,4+ 3 ) 。 ∵AC,BD 都是⊙O2 的切线,∴∠OAC=180°﹣90°﹣30°=60°,∠OBD=90°﹣30°=60°。 ∴AC=(4﹣ 3 )÷cos60°=8﹣2 3 ,BD=(4+ 3 )÷cos60°=8+2 3 。 ∴S△O2AC=

1 1 ?AC?O2A= ?(8﹣2 3 )?2=8﹣2 3 , 2 2 1 1 S△O2BD= ?BD?O2B= ?(8+2 3 )?2=8+2 3 。 2 2

【考点】切线的性质,坐标与图形的平移变化,锐角三角函数,特殊角的三角函数值。 【分析】 (1)根据“左减右加,下减上加”的规律对点 O′,O″的坐标进行平移即可得到点 O1,O2 的坐标。 (2)先求出点 A、B 的坐标,然后连接 O2A,O2B,根据直角三角形 30 度角所对的直角边等于斜边 的一半得出∠O2AB=∠O2BA=30°,又 AC 与 BD 是圆的切线,然后求出∠OAC=∠OBD=60°,利用特殊角的三 角函数与点 A,B 的坐标即可求出 AC、BD 的长,最后代入三角形的面积公式进行计算即可。 练习题: 1.(2011 广西河池 3 分)如图,已知点 A(1,0)、B(7,0),⊙A、⊙B 的半径分别为 1 和 2,将⊙A 沿
用心 爱心 专心 75

x 轴向右平移 3 个单位,则此时该圆与⊙B 的位置关系是【



A.外切

B.相交

C.内含

D.外离

2.(2011 广东省 6 分)如图,在平面直角坐标系中,点 P 的坐标为(-4,0) ,⊙P 的半径为 2,将⊙P 沿

x 轴向右平移 4 个单位长度得⊙P1.
(1)画出⊙P1,并直接判断⊙P 与⊙P1 的位置关系; (2)设⊙P1 与 x 轴正半轴, y 轴正半轴的交点分别为 A,B,求劣弧 AB 与弦 AB 围成的图形的面积(结果 保留 π ) .

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