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辽宁省五校协作体学年高二上学期期中考试数学理试题


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2013——2014 学年度上学期五校联考高二期中考试 数学试题(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1 、 已 知 集 合 ( , N ? ?y

? x y

? ? ? 1? , 则 M ? N ? ? 3 2 ?

) A、 ? B、 ?(3,0), (2,0)? C、 [?3,3] D、 ?3,2? 2 、 以 下 有 关 命 题 的 说 法 错 误 的 是 ( ) 2 2 A、命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ” B、若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题 C、“ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 2 D、对于命题 p : ?x0 ? R ,使得 x02 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,则 x ? x ? 1 ? 0 3、某单位共有老、中、青职工 430 人,其中青年职工 160 人,中年职工人数是老年职工人数 的 2 倍。为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工 32 人 , 则 该 样 本 中 的 老 年 职 工 人 数 为 ( ) A、9 B、18 C、27 D、36 4、已知向量 a =(1,1,0),b =(-1,0,2),且 ka+b 与 2a-b 互相垂直,则 k 值是 ( ) A、1 B、

1 5

C、

3 5

D、

7 5

5、在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,设 AC1 ? x AB ? 2 y AC ? 3zCC1 ,则 x ? y ? z 等于 ( ) A、 1 6、若双曲线 B、

2 3

C、

5 6

D、

11 6

x2 y2 ? ? 1 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则 a2 b2 该双曲线的离心率为 ( ) A、 5 B、5 C、 2 D、2
7、对任意非零实数 a , b ,定义 a ? b 的算法原理如上右侧 程序框图所示。设 a 为函数 y ? 2 ? sin x cos x 的最大值,

b 为双曲线
出结果是

x2 y2 ? ? 1 的离心率,则计算机执行该运算后输 4 12
( )

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A、

7 3
挡 住 ,

B、

7 4


C、

7 5
a 的

D、

7 2
值 范 围 是

8、已知曲线 C:y=2 x 2 ,点 A(0,-2)及点 B(3,a),从点 A 观察点 B,要使视线不被曲线 C ( ) B、(-∞,4] C、(10,+∞) D、(-∞,10] 则 数 取

A、(4,+∞)

9、已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 与双曲线 点, 且 ( A、 ) 5+1 2 B、 3+1 AF⊥x 轴 , 则

x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点 F,点 A 是两曲线的交 a2 b2





线











C、 2+1

2 2+1 D、 2

10、 棱长均为 1 三棱锥 S ? ABC , 若空间一点 P 满足 SP ? xSA ? y SB ? z SC ( x ? y ? z ? 1) , 则 SP 的最小值为 ( A、 1 11、已知椭圆 B、 )

6 3

C、

3 6

D、

6 2

x2 y2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1 和 A2,垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆 9 4 的两个交点分别为 P1 和 P2,其中 P1 的纵坐标为正数,则直线 A1P1 与 A2P2 的交点 M 的轨 迹方程( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 y y y y x x x x ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 A、 B、 C、 D、 9 4 9 4 9 4 9 4
12、如图,过双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左焦点 F 引圆 x2+y2=16 的切线,切点为 T,延长 FT 交 16 25

双曲线右支于 P 点,若 M 为线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则 MO ? MT ? ( )

A、 1

B、

3 2

C、

5 4

D、 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13、在随机数模拟试验中,若 x ? 3 ? rand ( ), y ? 2 ? rand ( ) ? rand ()表示生

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2

成 0 到 1 之间的随机数

? , 共做了 m 次试验,其中有 n 次满足


y x ? ? 1 ,则椭圆 9 4

2

x2 y2 ? ? 1 的面积可估计为 9 4

?

rand ()表示生成 0 到 1 之间的随机数

?


14、与双曲线

x2 y2 ? ? 1 有共同渐近线,且过点 (2,2) 的双曲线方程是 5 4

15、以下四个关于圆锥曲线的命题中: ① 设 A、B 为两个定点,k 为非零常数,若||PA|﹣|PB||=k,则动点 P 的轨迹为双曲线; ② 过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB,O 为坐标原点,若 学科网 OP ? 则动点 P 的轨迹为椭圆; ③ 抛物线 x ? ay 2 (a ? 0) 的焦点坐标是 ( ④ 曲线

1 1 OA ? OB , 2 2

1 ,0) ; 4a

y2 x2 y2 x2 ? ? 1 与曲线 ? ? 1 ( ? <35 且 ? ≠10)有相同的焦点. 16 9 35 ? ? 10 ? ? 其中真命题的序号为 。

x2 16 、点 P?x, y ? 在函数 y ? 3 1 ? 的图象上运动,则 2x ﹣ y 的最大值与最小值之比 4
为 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
x 17 、 ( 10 分 ) 已 知 a ? 0 , 设 命 题 p: 函 数 y ? a 在 R 上 单调 递 增 ; 命 题 q: 不 等 式

ax2 ? ax ? 1 ? 0 对 ?x ? R 恒成立,若 p 且 q 为假,p 或 q 为真,求 a 的取值范围。

18、 (12 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, 侧棱 PA⊥底面 ABCD,AB= 3,BC=1,PA=2,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅱ)在侧面 PAB 内找一点 N,使 NE⊥面 PAC, 并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离。

19、 (12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为梯形, ?DAB ? 60? , AB ∥ CD , AD ? CD ? 2 AB ? 2 , PD ? 底面 ABCD , M 为 PC 的中点. (Ⅰ)证明: BD ? PC ;

P M D C B
第 19 题图

A

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(Ⅱ)若 PD ?

2 AD ,求二面角 D ? BM ? P 的余弦值。 2

20、 (12 分)在△ ABC 中, a 、b 、 c 分别是角 A 、 B 、C 的对边,且 (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b ? 13 , a ? c ? 4 ,求△ ABC 的面积。

cos B b ?? 。 cos C 2a ? c

21、(12 分)已知抛物线 C:y =4x,直线 l:y= x+b 与 C 交于 A、B 两点,O 为坐标 原点. (Ⅰ)当直线 l 过抛物线 C 的焦点 F 时,求|AB|; (Ⅱ)是否存在直线 l 使得直线 OA、OB 倾斜角之和为 135° ,若存在,求出直线 l 的方程; 若不存在,请说明理由。

2

1 2

22、 (12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 4,且过点 P( 2,3) . a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 Q ( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0) 为椭圆 C 上一点 , 过点 Q 作 x 轴的垂线 , 垂足为 E . 取点

A(0, 2 2) ,连接 AE ,过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D .点 G 是点 D 关于 y 轴的对 称点,作直线 QG ,问这样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点?并说明理
由。

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2013——2014 学年度上学期五校联考高二期中考试 数学试题(理科答案) 一.选择题: 1.C;2.B;3.B;4.D;5.D;6.A;7.B;8.D;9.C;10.B;11.C;12.A. 二.填空题: 13.
24n ; m

14.

5y2 ? x2 ?1 ; 4

15.

③④;

16. ?

4 . 5

三、解答题: 17、解:∵y=ax 在 R 上单调递增,∴a>1;……………2 分 又不等式 ax2-ax+1>0 对 ? x∈R 恒成立, ∴△<0,即 a2-4a<0,∴0<a<4,……………4 分 ∴q:0<a<4. 而命题 p 且 q 为假,p 或 q 为真,那么 p、q 中有且只有一个为真,一个为假. ①若 p 真,q 假,则 a≥4;……………6 分 ②若 p 假,q 真,则 0<a≤1.……………8 分 所以 a 的取值范围为(0,1]∪[4,+∞) .……………10 分 18、解:方法一、 (1)设 AC∩ BD=O,连 OE,则 OE//PB, ∴∠EOA 即为 AC 与 PB 所成的角或其补角. ………2 分
1 7 在△AOE 中,AO=1,OE= PB ? , 2 2 AE ? 1 5 PD ? , 2 2

7 5 ? 4 4 ?3 7. ∴ cos EOA ? 14 7 2? ?1 2 1?
即 AC 与 PB 所成角的余弦值为
3 7 . 14

………6 分

(2)在面 ABCD 内过 D 作 AC 的垂线交 AB 于 F,则 ?ADF ? 连 PF,则在 Rt△ADF 中 DF ?

?
6

.

AD 2 3 3 ? , AF ? AD tan ADF ? . cos ADF 3 3

设 N 为 PF 的中点,连 NE,则 NE//DF, ∵DF⊥AC,DF⊥PA,∴DF⊥面 PAC,从而 NE⊥面 PAC. ∴N 点到 AB 的距离 ?
1 1 3 AP ? 1 ,N 点到 AP 的距离 ? AF ? . ………12 分 2 2 6

方法二、 (Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,

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则 A、B、C、D、P、E 的坐标为 A(0,0,0) 、 B( 3 ,0,0) 、C( 3 ,1,0) 、D(0,1,0) 、 1 P(0,0,2) 、E(0, ,1) , ………3 分 2 从而 AC ? ( 3,1,0), PB ? ( 3,0,?2). 设 AC与PB 的夹角为 θ,则

cos ? ?

| AC ? PB | | AC | ? | PB |

?

3 2 7

?

3 7 , 14

3 7 . ………6 分 14 (Ⅱ)由于 N 点在侧面 PAB 内,故可设 N 点坐标为(x,O, 1 z) ,则 NE ? (? x, ,1 ? z ) ,由 NE⊥面 PAC 可得, 2

∴AC 与 PB 所成角的余弦值为

? ? NE ? AP ? 0, ? ? ? NE ? AC ? 0.

1 ? (? x, ,1 ? z ) ? (0,0,2) ? 0, ? z ? 1 ? 0, ? ? ? 2 即? 化简得? 1 1 ? 3 x ? ? 0. ?(? x, ,1 ? z ) ? ( 3 ,1,0) ? 0. ? 2 ? ? 2 ?

? 3 ?x ? ∴? 6 ………10 分 ?z ? 1 ?
即 N 点的坐标为 ( 分 19 、 解 : ( Ⅰ ) 由 余 弦 定 理 得 BD ? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2cos60? ? 3 ,
z

3 3 .…12 ,0,1) ,从而 N 点到 AB、AP 的距离分别为 1, 6 6

∴ BD2 ? AB2 ? AD2 , ∴
?ABD ? 90?

,P

BD ? AB,? AB // DC, ∴ BD ? DC .∵ PD ? 底面 ABCD ,
BD ? 底 面 A B C D, ∴ BD ? PD . 又 ∵ PD

M D B
x y

DC ? D ,

∴ BD ? 平面 PDC , 又 PC ? 平面 PDC ,∴ BD ? PC . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 (Ⅱ)已知 AB ? 1, AD ? CD ? 2 , PD ? 2 ,由(Ⅰ)可知 BD ? 平面 PDC , 如图, 以 D 为坐标原点, 射线 DB 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D ? xyz ,

C

A

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则 D(0,0,0), B( 3,0,0), C (0,2,0), P(0,0, 2 ) , M (0,1,

2 ). 2

DB ? ( 3,0,0) , DM ? (0,1,

2 · · · · · · · ·8 分 ) , CP ? (0,?2, 2 ) , CB ? ( 3, ?2,0) . · 2

? ? m ? DB ? 0 设平面 BDM 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,则 ? , m ? DM ? 0 ? ?

∴ x ? 0, y ?

2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 z ? 0 ,令 z ? 2 ,∴可取 m ? (0,?1, 2 ) . · 2

? ?n ? CP ? 0 同理设平面 BMP 的法向量为 n ? (a, b, c) ,则 ? , n ? CB ? 0 ? ?

∴n ? (

2 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 ,1, 2 ) .· 3

∴ cos ? m, n ??

1 3 13 3

?

13 13

∴二面角 D ? BM ? P 的余弦值大小为

13 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 13

20、解: (1) c cos B ? b cos C ? ?2a cos B ∴由正弦定理: sin C cos B ? sin B cos C ? ?2 sin A cos B ∴ sin(B ? C ) ? ?2 sin A cos B ……………………………………………………3 分 又∵ sin(B ? C ) ? sin A 1 ∴ cos B ? ? 2 0? B ?? 2? ∴B ? ………………………………………………………6 分 3 (2)∵ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ………………………………………………8 分

? 1? 2 ∴ 13 ? ?a ? c ? ? 2ac ? 2ac? ? ? ? 16 ? ac ? 2? ∴ ac ? 3
∴ S ?ABC ?
1 1 2 3 3 ac sin B ? ? 3 ? ? ………………………12 分 2 2 2 4

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1 21、解: (1)抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F(1,0),代入直线 y=2x+b 1 可得 b=-2,………………………………………………1 分 1 1 ∴l:y=2x-2,设 A(x1,y1),B(x2,y2), y2=4x ? ? 联立? 1 1 y= x- ? ? 2 2 ,消去 y 得 x2-18x+1=0,

∴x1+x2=18,x1x2=1,

(方法一)|AB|= 1+k2· |x1-x2| = 5 2 4· x1+x2 -4x1x2=20. ………………………………………………4 分

(方法二)|AB|=x1+x2+p=18+2=20. ………………………………4 分 1 (2)假设存在满足要求的直线 l:y=2x+b, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), y2=4x ? ? 联立? 1 y= x+b ? ? 2 ,消去 x 得 y2-8y+8b=0, …………………………6 分

∴y1+y2=8,y1y2=8b,

设直线 OA、OB 的倾斜角分别为 α、β,斜率分别为 k1、k2,则 α+β=135° , tan(α+β)=tan135° ? k1+k2 =-1, 1-k1k2
2 2

……………………8 分

y1 4 y2 4 其中 k1=x =y ,k2=x =y ,代入上式整理得
1 1

y1y2-16+4(y1+y2)=0,

……………………………………10 分

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∴8b-16+32=0,即 b=-2,………………………………………11 分 代入 Δ=64-32b=128>0,满足要求. 1 综上,存在直线 l:y=2x-2 使得直线 OA、OB 的倾斜角之和为 135°.…12 分

22、解: (1)因为椭圆过点 P( 2,3)
?

2 3 ? 2 ?1 2 a b
b2 ? 4

且 a 2 ? b2 ? c2
c2 ? 4

? a2 ? 8

椭圆 C 的方程是

x2 y 2 ? ?1 8 4

…(4 分)

(2)

由题意,各点的坐标如上图所示,

…(6 分)

则 QG 的直线方程:

8 x0 y?0 ? 8 y0 x0 ? x0 x?

化简得 x0 y0 x ? ( x0 2 ? 8) y ? 8 y0 ? 0
2 2 又 x0 ? 2 y0 ? 8 ,

…(8 分)

x2 y 2 ?1 所以 x0 x ? 2 y0 y ? 8 ? 0 带入 ? 8 4
得 x2 ? 2xx0 ? x0 ? 0 求得最后 ? ? 0 所以直线 QG 与椭圆只有一个公共点. …(12 分)
2

… (11 分)

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