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2009年全国高中数学联赛辽宁省初赛


中 等 数 学 

20 0 9年全 国高中数学联赛辽宁省初赛 
中图分 类号 : 4 4 7  G 2 .9 文献标识码 :A   文章编号 :10 6 1 (0 0 0 0 2 0   0 5- 4 6 2 1 )2— 0 8— 5





选择 题 ( 每小 题 6分 , 3 共

6分 )  

6 将 些半 径为 1 . 的小 圆放入半径 为 

1 已知集 合  .
M ={    I 5一I 一   N+ . 2 3 I∈ }  

1 的大圆 内, 1 使每个小 圆都与大 圆内切 , 且 
这些 小 圆无重 叠 部 分. 则最 多 可 以放 人小 圆 
(   ) . 个  ( 3   ( 3  A)0 B) 1 ( ) 2 ( 3  C 3   D) 3

则  的 所 有 非 空 真 子 集 的 个 数 是 
(   ) .   ( 24 ( 25 ( ) 1 ( 5 1 A) 5 B)5 C 5 0 D) 1 
f  ≥2,  

二 、 空题 ( 填 每小 题 9分 , 5 共 4分 )  

7 正四面体 A C . B D的外接球球心为 0 E , 
为边 B C的 中点. 二 面 角 A—B 则 O—E 的大 
小 为  .  

2平面上满足约束条件? Y≤0  .  + ,

【 y 1 ≤    一0 0 -
的点 ( Y 形 成 的 区 域 为 D,  , ) 区域 D 关 于 直  线 Y= x对称 的 区域 为 E 则 区 域 D和  中  2 .

8 函数  )= ?   小值 的乘积 是  .  

的最 大值 与最 

距 离最 近两点 的距离 为 (  

) .  

A ㈣学 (学c   c 。 )  
3 已知 △ A C的 三 边 C b c成 等 比数  . B b 、 、

9 把 长为 1的铁 丝 截成 三段 . . 则这 三 段  恰能 围成三 角形 的概率 为  .  
1 . a 0<Ⅱ<1 是 给 定 的常 数 ,(   O设 ( ) f ) 是 R 上 的奇 函数 , 在 ( ,+O 上 严 格 递  且 0 0)

列 ,、 、 对 的 角 依 次 为  A、 a bC所   则s i n曰+CS O  B的取值 范 围是 (  

、 G    . ) .  

((1 】 ( l 】 A1+ B +  )' 譬 ) 譬  
( ( ] c1   ),
(   ) .  

减若 )0 (a>,f取 范 . = f。)0 的 值    1 ,1t 则 g
围是  .  

( 【  】 D ,   )

1. 1 已知数 列 {  满 足  a}

4设  是 正方 体各 条棱 的 中点 的集 合. .   则 过且 仅 过  中 三 个 点 的 平 面 的 个 数 是 
( ) 6 ( ) 1 ( 16 ( 1 5 A 5   B 8  C)3   D)4   5 设 a 2 ,  = /=1 2 … ) A .  =   b  (7 , , ,  ,

√ +     南
贝 n +Ⅱ +… + 2 9 Ⅱl 2 a  : 0 0


. 


1已 P 双 线  =上 动 2 知 是 曲 等一 1 的   ?
点 , 。 分别 是其左、 F、   右焦点 , 0为坐标 原 

分别 为数列 {  、6 } a } {  的前  项和 . 记 
c  : a B + 6 A  一a b .         

点.0   贝坚

的取 值范围 是
.  


则数 列 {  的前 l c} 0项和 为 (  
( 2 5  A) m+ 3 ( ) 1 ( 一1  C 10 2 )

) .  

三 、 答题 ( 解 每小题 1 , 6 ) 5分 共 0分  

( 2 5  B) ¨+ 3 ( 10 2 D) 1 ( 加一1  )

l. 3 已知函数  ) 2 + l   = x an  .
( ) a< , 明 : 于任 意 的两个 正数  1若 0证 对

21 0 0年第 2 期 

。、  



总  有
) ( + )    ≤口3  一L -

); 成  立

肘{号 ,, , , ) =一,1,2 3 . 0 ,3, ,      吾吾
因为 肘 中共 有 9个 元 素 , 以 , 的所  所  
有非空 真子集 的个数 为 2 一   2=50  1.
2 .B.  

() 2 若对任意的 ∈[ ,]不等式    1e ,

恒成立 , a的取值 范 围. 求  

三条直线的交点为 A(, 2 、 2 一 )  2 一 )B(, 8 、 C 5 一5 , ( , ) 区域 D 为 △ A C 点 A 距 直 线  B ,

1. 知 x+ 10 b 0 的   4已 椭圆 告: ( > > ) 离
心率 e , :  / 6


过点 A( , 6 、 0 O 的直线  O 一 ) 曰( , )

y 最, 为 = 近 离    距
l  2

=  学,

故 区域 D和 E 中距 离最 近 的两 点 的 距 离 为  与原 点 的距离 为  .  


() 1 求椭 圆的方程 ;  

‘  
3.   C.

() 2 已知定点 E 一 , )直线 Y= x t ( 10 , k + 
与椭 圆交于点 G、 证 明 : 任 意 的 t 0 都  D, 对 > , 存在 k 使得 以线段 C , D为直径 的 圆过 点 E.  
1 . 图 1 在 △ A C中 ,B> C A 5如 , B A A , E是 

 ̄ a b a +C 2c o    a c:  =    ~ acsB
 ̄ > 2a —2 c o   c — a c sB 
0   ≥  s <   3 .  

其外 接 圆 的 切 线 ,   D为A B上 的点 , 且 
A A A. D= C= E 求证 :  

故i +8=sB号∈ ] s C  i 十)( . n O n     ( B 1 
4 A. .  

直线 D E过 △ A C B 
的 内心.  
图1  

通 过  中 三 个 点 的平 面一 共 有 C : 3   2 0个 ( 2 包含 重 复 的 ) 其 中 , 且 仅 过  中  , 过

I. 6 已知数 列 {  中 的相 邻 两 项 a¨ 、 n    
:  

四个点的平面共 C  9 2 8 个 : i X( +1)= 4 过六 

是关 于  的方程 


个点的平面共 c x 8 : 4= 0个  故过且仅过 
中三个点 的平 面共 有 2 0— 4— O= 6个  2 8 8 5
5. 。 D 

( k+    + k 2 0 3 2 ) 3 ? =  

的两个根 .  

( ) 数列 {  的前 2 1求 a} n项 和 S    ;

当n ≥2时 ,  
c :(  一   1B   A A 一)  +(  一 一 ) 一 B   iA   (  一   t (  一   1 A A ~) B 8 一)  
jc  =A B  一A    


(i(:( + , 2in   3 )f) 2 )  
【  : 二   一台  2 ’    
一  

l  

一1  .

又c l=a6 1I=ABl则 {  1 , c}的前 /项和  / ,

求 :   n N . 证吉 ≤( + ≤ ∈)  
参 考 答 案 

为∑ c=   + A 一 B    A ∑(     )


A B     .

于是 , 数列 {  的前 1 和 为  c{ 0项
22 ( 加一1  )
6.   B.

:1o 2 1 ( 一1 . )  

中 等 数 学 

oB L 圆  0 =小 .  A   A中 / 心O \ .B / 、圆   A, \ 0① 琴  则\ 为/ B  在    = 0 相   △ 2 , 切 两 .   A , 个 O


÷n  一, . s 0【     i E ÷1   4 】

9   . {.
设 三段 长 分 别 为 、 、   —Y 则 总 样  Y 1一 .

本空 间为 > , 0y>0 + , y<1面 积 为  . , 能 

y>  

构 三形 事 空 为 <,    成 角 的 件 间 号 <, y + 面为 . 积 吉 



故 求 率 丢  所概为 .
1. > 1 或  <£ 0£  <1
.  

√口  

由  

) 是奇 函数得   0 0  )= .

X.  ) ( ,+a 上 严 格 递 减 , f( 在 0 。) 且 

1=故 0 < 时, )0   ) ,当 <   , > 当 0  1 ( ;


故 n= 1 3.  
——
一 、



27 r  

号, < 时  ) . o   由 函 的 称 知   =及 奇 数 对 性  一) , 1 0  当丢 o , <  一< 时 <  ) ; 0
当  <一 1  时
,  

几了 

因 为 点 E 在 边 B 上 , 以 , 面 角  C 所 二

A一  D—E的大小 与 二 面 角 A 一  D —C相  等 . 0是正 四面体 A C 又 B D的外接 球球 心 , 故 
B O上平 面 A D. 点 B在 平 面 A D 上 的投  C 设 C 影 为 0 . 0 是正 △ A D 的中心 .  则   C 故 
B O上 A  B O , O上 C   D.  

)> . 0 

所 , ) < 号   一   以 >   或<   0 <  .
lg t 0 o  )>  

所以, A     0 C是 二 面 角 A一  O—C的  平 面角 , _ A , 2r XL OC: 7

. 

兮 l 。 < 一1或 0<。 £< 1 。 t   g lg


.  

X < l则 f   或 A- t 1 o 口< , >1 <<
.  

√n 

8   ?一

?  

. 

设= O(手詈)   t ( 一, . a   n E ) 则
:  

注 意到 

?+ = + 击  第  古
r  +k+11   k  

=sn 丹? O   C S29 i C S0? O   J  

一【}k )   . +1 J j (

21 0 0年第 2期 

3  l

则 a: ^ 

j 
1 +  2  

≤1  

豆≤ 0
. 

l + X2  

一 丽
由此得 
20 9  0 。  = 20  09

。  

又 口< 故  0,


+  ,  

≥0  

∑0=;÷一 十) =  ∑(   l     士, ( 、    一  
k 1     k 1  
. 

则  
( ) 意到  2注

) _  

1  

20 9  o  

一 而   
l . 2  ] 2(, .  

湎 ‘  

)(3一   ≤ + 争 口)
觎   n  ≤( 3  一 口+ )  

由双 曲 线 的 对 称 性 , 妨 设 P( ,  不  ,, )
(  ≥2 )   .   由焦半 径公式得  IF I   P l:
I   I   .

甘 l)      _ ≥ 一 n 争  
又  ∈[ ,] 贝 一n > . 1e ,4 I   O  
1 2    

+  , 2  
一2 ,    



口   ≥
l 2    

设 g    ()

一(    ∈[ 1 e) 由 ].  


g(、 = — —    )—  
PF    l l+1
一   一  
一  

((  )  

(_    1 1一 一J 2) 1 l  
’  

(1 , ) x)     -(  +
( n    —I  )

^ 《  
由  ≥2/得  <_ = , Y 2 _ 
2  



4^ 一  l    一
≤  .  

且 当  E( ,) , 一 > , + -n > , 1e 时   1 0  1 】   0 
从而 ,  g(  )> . 0  因为 g( 在  =1和  =e处 连 续 ,  ) 所 



|  4 3  

三 、3 ( ) 1 . 1 注  )+ 2     )
一  

以 ,() x∈[ ,] g  在 1e 时为增 函数 .  
1 2    

2  

)  

故 

()  e:

:e一e     2  2 e一1   ( )’

2  1+a n 1+2 2+a   2 l    n i  
2  

1 . 1 设 I :x一口 a =   4 ( ) ^ b y— b O 口 依 题意得 

●     一8 n 2. 2   1- 2 -    


口  

,  / 6
3  

解 得 口: , .   b=1  
2  

则 圆 程 等 y1 椭 方 为 + ;   .

3  2

中 等 数 学 

( ) Y x+t 入椭 圆方程 得  2 将 :k 代
( 3    + k 3 一 0  1+ k ) 6t x+ t 3= .

A =    

A B :  E   C LA D

由直 线与椭 圆有两 个交 点得  △=(  ) 6  一1 ( 3  (  )> . 2 1+ k ) t 一1 0  

A E、、 、   C四点共 圆 
I =  AC 1 0。一 8   2
1  


I EC =  

AEC 一  

AED 

整 理得  > z 

。  

① 





 

C AE  1 0。一 8   DAE  — ‘   2  
1  

设 C x ,1 、  2Y ) 则  (  Y ) D( ,2 .
『   6  

÷( DE   CE =  BC   A 一 A ) ÷ A.  

{   一  +  
z  
:  

,  
。  
.  

故 4 为  B C的角平 分 线 ,为 △ A C , A , B 

② 

的 内心 .  

所 以, 直线 D E过△ A C的内心 . B  
1 . 1 注意到 方程  6 ()


因为 以 C 为 直径 的圆过点 E, 以 , D l 所  
EC? ED =0,  

(  +2 ) +3 2 3    k? =0  



( l 1 ( 2 )+ l2 0    + )  +1 YY = . 而 YY =( l t (x + ) l2   + ) k 2 t  


的两个 根 为  : k  =   故  3 , 2.

kx  +t( 1   ) 2 Z12 k x + 2 +t,  

s  =∑ a + )=∑( +      川 3 2  k )
3n



2+


故 (  1 l2 ( + )  +2 +  1 0 |+ )  + t 1(1  ) f+ = . i   } k   将方 程组② 代入 上式得 
+) 1   _f (   )   + =. lo  

3 n

2  

+2 + - 1-2 .  

=  + 
=  

( ) 1  1 = 1 2T=  
,  


. 

解得 后   =


= 



骞  
1   5
≥ 
一  
一  

t 1 丁- 2

=  

>0, 是 , 于  

≥ 


一  

n  

t  J i }=2 2
- —


1 满足式①
.  



一 62 (   …   6—   I 1 一1    一  ++ +) +X   — 2 十J







+ —

所 以, 任意 的 t , 对 >0 都存 在 k 使 得 以  ,
线段 C D为直 径 的圆过点 E  . 1 .如 图 3  5 ,


1   1   1   6 —+6— 2">— - — — 6   —




A B的角平 分 线  C
c与D , E交 于点 , .  


联 结 A 、 E  IC . 由 于 A 是  E
图3  


△ a C b 圆的切  B  ̄接 线, 故 
ACB =1 0。一 8   DAE.  


盏   刍  客 一1+  丢  + 客 一 5  -  
=   一  





5   1   5   2   9×2 、2 ‘ 4   4  


又 A A 则  D= E,
10。一 DA   A 8   E= DE+ A D =2 A D    E   E

综 上 , 凡∈ N+ , 当 时   1≤l    ≤ 5
.  


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