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乐东中学2013届高三数学第二次月考测试题


乐东中学 2013 届高三数学第二次月考测试题(理)
时间:120 分钟 满分:150 分

第Ⅰ卷(60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. )
1.设全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 3}, B ? {x | ?1? x ? 6

} ,则集合 (CU A) ? B A. {x | 3 ? x ? 6} 2.复数 ( B. {x | 3 ? x ? 6} C. {x | 3 ? x ? 6} ( )

23.选修 4—4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合.设点 O 为坐

? 2 t?4 ?x ? ? 2 标原点, 直线 l : ? (参数t ? R) 与曲线 C 的极坐标方程为 ? sin2 ? ? 4 cos? . ? y? 2t ? ? 2 l 与曲线 C 的普通方程; (1)求直线
(2)设直线 l 与曲线 C 相交于A,B两点,求证: OA ? OB ? 0 .

D. {x | 3 ? x ? 6} ( )

2?i 2 ) ? i

24.选修 4—5:不等式选讲 (1)已知 x , y 都是正实数,求证: x3 ? y3 ? x2 y ? xy 2 ;

A.-3-4 i

B.-3+4 i

C.3-4 i

D.3+4 i
(2) 已知 a,b,c ? R ,且 a+b+c=1,求证:a2+b2+c2≥
?

3.“|x|<2”是“x2-x-6<0”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 4.已知 f ( x) ? ?

( B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 (



1 . 3

22.证法一:连接 CE,过 B 作⊙O 的切线 BG,则 BG∥AD ∴∠GBC=∠FDB,又∠GBC=∠CEB ∴∠CEB=∠FDB 又∠CBE 是△BCE 和△BDF 的公共角 ∴△BCE∽△BDF ∴

?ln x, x ? 0 , 则f ( x) ? 1 的解集为 ? x ? 2, x ? 0
B. (??,?1) ? (e,??) D. (-?,1 ? 0, e) )(



BC BE ? , BF BD

A. (- ,0)(0, e) 1 ? C. (- ,0)(e,??) 1 ?
2

即 BE?BF=BC?BD 证法二:连续 AC、AE,∵AB 是直径,AC 是切线 ∴AB⊥AD,AC⊥BD,AE⊥BF 由射线定理有 AB2=BC?BD,AB2=BE?BF ∴BE?BF=BC?BD 23. (I)直线 l : y ? x ? 4, 曲线 C : y 2 ? 4 x , ………………5分
2

5.抛物线 y ? 4x 上一点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短, 则该点的坐标是 A. (1,2) B. ( 0,0) ( ) C. ( ,1)

1 2

(II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? D. (1,4)

? y 2 ? 4 x, ? y ? x ? 4,

消去 y 得 x ?12 x ? 16 ? 0,

? x1 ? x2 ? 12, x1x2 ? 16,

…………………7分

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分。 ) 三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 )
四、选做题. (本小题满分 10 分.请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题记分. ) 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图,BA 是⊙O 的直径,AD 是切线,BF、BD 是割线, 求证:BE?BF=BC?B D.
1

∴y1y2=(x1-4) 2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16 (x ∴ OA ? OB ? x1x2+ y1y2= 2x1x2-4(x1+x2)+16=0. …………………10 分 24. (1)∵ ( x ? y ) ? ( x y ? xy ) ? x ( x ? y) ? y ( y ? x)
3 3 2 2 2 2

? ( x ? y)( x2 ? y 2 ) ? ( x ? y)2 ( x ? y) ,
又∵ x, y ? R ,∴ ( x ? y) ? 0, x ? y ? 0 ,∴ ( x ? y) ( x ? y) ? 0 ,
2 2 ?

∴ x3 ? y3 ? x2 y ? xy 2 .…………………5分 (2)由 a+b+c=1, 得 1=(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤3(a2+b2+c2) ∴a2+b2+c2≥

1 . (当且仅当 a=b=c 时取等号) …………………10 分 3

2


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