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高中数学解析几何知识点总结


§ 07. 直线和圆的方程 知识要点
一、直线方程. 1. 直线的倾斜角:一条直线向上的方向与 x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜 角,其中直线与 x 轴平行或重合时,其倾斜角为 0,故直线倾斜角的范围是
0 ? ? ? ? 180? (0 ? ? ? ? ) .

注:①当 ? ? 90? 或 x 2 ? x 1 时,直线 l

垂直于 x 轴,它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与 x 轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都 有惟一的斜率,并且当直线的斜率一定时,其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地, 当直线经过两点 (a,0), (0, b) , 即直线在 x 轴,y 轴上的截距分别为 a, b(a ? 0, b ? 0) 时, 直线方程是: 注:若 y??
y?? x y ? ? 1. a b 2 2 x?2 是 一 直 线 的 方 程 , 则 这 条 直 线 的 方 程 是 y ? ? x?2 , 但 若 3 3

2 x ? 2( x ? 0) 则不是这条线. 3 附:直线系:对于直线的斜截式方程 y ? kx ? b ,当 k , b 均为确定的数值时,它表示一条确定

的直线,如果 k , b 变化时,对应的直线也会变化.①当 b 为定植, k 变化时,它们表示过定点 (0, b )的直线束.②当 k 为定值, b 变化时,它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行: l 1 ∥ l 2 ?k 1?k 2 两条直线平行的条件是:① l 1 和 l 2 是两条不重合的直线. ②在 l 1 和 l 2 的斜率 都存在的前提下得到的. 因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的 错误. (一般的结论是:对于两条直线 l 1 ,l 2 ,它们在 y 轴上的纵截距是 b 1 ,b 2 ,则 l 1 ∥ l 2 ?k 1?k 2 , 且 b 1 ? b 2 或 l 1 ,l 2 的斜率均不存在,即 A1 B 2 ? B 1 A 2 是平行的必要不充分条件,且 C 1 ?C 2 ) 推论:如果两条直线 l 1 ,l 2 的倾斜角为 ? 1,? 2 则 l 1 ∥ l 2 ?? 1?? 2 . ⑵两条直线垂直: 两条直线垂直的条件:①设两条直线 l 1 和 l 2 的斜率分别为 k 1 和 k 2 ,则有 l 1 ?l 2 ?k 1k 2 ? ?1 这 里的前提是 l 1 ,l 2 的斜率都存在. ② l 1 ?l 2 ?k 1? 0 ,且 l 2 的斜率不存在或 k 2 ? 0 ,且 l 1 的斜率不 存在. (即 A1 B 2 ? A 2 B 1 ? 0 是垂直的充要条件) 4. 直线的交角: ⑴直线 l 1 到 l 2 的角(方向角);直线 l 1 到 l 2 的角,是指直线 l 1 绕交点依逆时针方向旋转到 与 l 2 重合时所转动的角 ? ,它的范围是 (0, ? ) ,当 ? ? 90? 时 tan ? ?
k 2 ?k 1 . 1 ? k 1k 2

⑵两条相交直线 l 1 与 l 2 的夹角:两条相交直线 l 1 与 l 2 的夹角,是指由 l 1 与 l 2 相交所成的四
? ?? ? 个角中最小的正角 ? ,又称为 l 1 和 l 2 所成的角,它的取值范围是 ? ? 0, 2 ? ,当 ? ? 90 ,则有 ? ? k 2 ?k 1 . 1 ? k 1k 2

tan ? ?

5. 过两直线 ?

?l 1 : A1 x ? B 1 y ?C 1 ? 0 的交点的直线系方程 A1 x ? B1 y ?C 1 ?? ( A 2 x ? B 2 y ?C 2 ) ? 0(? ?l 2 : A 2 x ? B 2 y ?C 2 ? 0

为参数, A 2 x ? B 2 y ?C 2 ? 0 不包括在内) 6. 点到直线的距离: ⑴点到直线的距离公式:设点 P( x 0 , y 0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0, P 到 l 的距离为 d ,则有
d? Ax0 ? By 0 ?C A2 ?B 2

.

注: 1. 两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式: | P1 P2 |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 . 特例:点 P(x,y)到原点 O 的距离: | OP |? 2.

x2 ? y 2
??? ? ????

定 比 分 点 坐 标 分 式 。 若 点 P(x,y) 分 有 向 线 段 PP ,其中 1 2所成的比为?即PP 1 ? ? PP 2 P1(x1,y1),P2(x2,y2).则

x1 ? ?x2 y ? ?y 2 ,y ? 1 1? ? 1? ? 特例,中点坐标公式;重要结论,三角形重心坐标公式。 3. 直线的倾斜角(0°≤ ? <180°)、斜率: k ? tan ? x?
4. 过两点 P k? 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 )的直线的斜率公式: 当 x1

y 2 ? y1 . x2 ? x1

( x1 ? x2 )

? x2 , y1 ? y 2 (即直线和 x 轴垂直)时,直线的倾斜角 ? = 90 ? ,没有斜率

新疆 学案

王新敞

⑵两条平行线间的距离公式:设两条平行直线 l 1 : Ax ? By ?C 1 ? 0,l 2 : Ax ? By ?C 2 ? 0(C 1 ?C 2 ) , 它们之间的距离为 d ,则有 d ?
C 1 ?C 2 A2 ?B 2

.

注;直线系方程
1. 与直线:Ax+By+C= 0 平行的直线系方程是:Ax+By+m=0.( m?R, C≠m). 2. 与直线:Ax+By+C= 0 垂直的直线系方程是:Bx-Ay+m=0.( m?R) 3. 过定点(x1,y1)的直线系方程是: A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B 不全为 0) 4. 过直线 l1、l2 交点的直线系方程:(A1x+B1y+C1)+λ( A2x+B2y+C2)=0 (λ?R) 该直线系不含 l2. 7. 关于点对称和关于某直线对称: ⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等. ⑵关于某直线对称的两条直线性质:若两条直线平行,则对称直线也平行,且两直线到对称 直线距离相等. 若两条直线不平行, 则对称直线必过两条直线的交点, 且对称直线为两直线夹角的角平分线. ⑶点关于某一条直线对称,用中点表示两对称点,则中点在对称直线上(方程①),过两对 称点的直线方程与对称直线方程垂直(方程②)①②可解得所求对称点.

注:

注:①曲线、直线关于一直线( y ? ? x ? b )对称的解法:y 换 x,x 换 y. 例:曲线 f(x ,y)=0 关于直线 y=x–2 对称曲线方程是 f(y+2 ,x –2)=0. ②曲线 C: f(x ,y)=0 关于点(a ,b)的对称曲线方程是 f(a – x, 2b – y)=0. 二、圆的方程. 1. ⑴曲线与方程:在直角坐标系中,如果某曲线 C 上的 与一个二元方程 f ( x, y) ? 0 的实数 建立了如下关系: ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解. ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形). ⑵曲线和方程的关系,实质上是曲线上任一点 M ( x, y ) 其坐标与方程 f ( x, y) ? 0 的一种关系, 曲线上任一点 ( x, y ) 是方程 f ( x, y) ? 0 的解;反过来,满足方程 f ( x, y) ? 0 的解所对应的点是 曲线上的点. 注:如果曲线 C 的方程是 f(x ,y)=0,那么点 P0(x0 ,y)线 C 上的充要条件是 f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程:以点 C (a, b) 为圆心, r 为半径的圆的标准方程是 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . 特例:圆心在坐标原点,半径为 r 的圆的方程是: x 2 ? y 2 ?r 2 . 注:特殊圆的方程:①与 x 轴相切的圆方程 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?b 2 ②与 y 轴相切的圆方程 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?a 2 ③与 x 轴 y 轴都相切的圆方程 ( x ? a) 2 ?( y ? a) 2 ?a 2 3. 圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .
? D E? ,? ? ,半径 r ? 2? ? 2 D 2 ? E 2 ?4 F . 2
[r ? b , 圆心(a, b)或(a,?b)]

[r ? a , 圆心(a, b)或(?a, b)]

[r ? a , 圆心(?a,?a)]

当 D 2 ? E 2 ?4 F ? 0 时,方程表示一个圆,其中圆心 C ? ? 当 D 2 ? E 2 ?4 F ? 0 时,方程表示一个点 ? ?
? D E? ,? ? . 2? ? 2

当 D 2 ? E 2 ?4 F ? 0 时,方程无图形(称虚圆). ? x ? a ? r cos? 注:①圆的参数方程: ? ( ? 为参数). ? y ? b ? r sin? ② 方 程 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表 示 圆 的 充 要 条 件 是 : B ? 0 且 A ? C ? 0 且
D 2 ? E 2 ?4 AF ? 0 .

③圆的直径或方程: 已知 A( x1 , y 1 ) B( x 2 , y 2 ) ? ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? ( y ? y 1 )( y ? y 2 ) ? 0 (用向量可征) . 4. 点和圆的位置关系:给定点 M ( x 0 , y 0 ) 及圆 C : ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . ① M 在圆 C 内 ? ( x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2
(x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2 ② M 在圆 C 上 ?

③ M 在圆 C 外 ? ( x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2

5. 直线和圆的位置关系: 设圆圆 C : ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 (r ? 0) ; 圆心 C (a, b) 到直线 l 的距离 d ? ① d ? r 时, l 与 C 相切;
2 2 ? ? x ? y ? D1 x ? E 1 y ? F 1? 0 附:若两圆相切,则 ? ? 相减为公切线方程. 2 2 ? x ? y ? D x ? E y ? F ? 0 2 2 2 ?

直线 l : Ax ? By ? C ? 0( A 2 ? B 2 ? 0) ; .

Aa ? Bb ? C A2 ?B 2

② d ? r 时, l 与 C 相交; C1:x 2 ? y 2 ? D1x ? E1y ? F 1? 0 附:公共弦方程:设
C 2 :x 2 ? y 2 ? D 2 x ? E 2 y ? F 2? 0 有两个交点,则其公共弦方程为 ( D1 ? D 2 ) x ? ( E 1 ? E 2 ) y ? ( F 1? F 2 ) ? 0 .

③ d ? r 时, l 与 C 相离.
2 2 ? ? x ? y ? D1 x ? E 1 y ? F 1? 0 附:若两圆相离,则 ? ? 相减为圆心 O 1 O 2 的连线的中与线方程. 2 2 ? x ? y ? D x ? E y ? F ? 0 2 2 2 ?

? ?( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 由代数特征判断:方程组 ? 用代入法,得关于 x (或 y )的一元二次方 ? ? Ax ? Bx ? C ? 0

程,其判别式为 ? ,则: ? ? 0 ? l 与 C 相切; ? ? 0 ? l 与 C 相交; ? ? 0 ? l 与 C 相离. 注:若两圆为同心圆则 x 2 ? y 2 ? D1 x ? E 1y ? F 1? 0 , x 2 ? y 2 ? D 2 x ? E 2 y ? F 2 ? 0 相减,不表示直 线. 6. 圆 的 切 线 方 程 : 圆 x 2 ? y 2 ?r 2 的 斜 率 为 k 的 切 线 方 程 是 y ? kx ? 1 ?k 2 r 过 圆
x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

上一点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为: x 0 x ? y 0 y ? D

x ?x 0 y ?y0 ?E ?F ? 0. 2 2

①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上, 则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地, 过圆 x 2 ? y 2 ?r 2 上 一点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为 x 0 x ? y 0 y ?r 2 .
? y 1 ? y 0 ? k ( x1 ? x 0 ) ? b ? y 1 ?k (a ? x 1 ) ,联立求出 k ? 切线方程. B ②若点(x0 ,y0)不在圆上,圆心为(a,b)则 ? R ? ? R 2 ?1 ?

A

C D (a,b)

7. 求切点弦方程:方法是构造图,则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图:ABCD 四类共 圆 . 已 知 ?O 的 方 程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 …① 又 以 ABCD 为 圆 为 方 程 为

( x ? x A )( x ? a) ? ( y ? y A )( x ? b) ?k 2 …②

R2?

( x A ?a) 2 ?( y A ?b) 2 …③,所以 BC 的方程即③代②,①②相切即为所求. 4

三、曲线和方程 1.曲线与方程:在直角坐标系中,如果曲线 C 和方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: 1) 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解(纯粹性); 2) 方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上(完备性)。则称方程 f(x,y)=0 为曲线 C 的 方程,曲线 C 叫做方程 f(x,y)=0 的曲线。 2.求曲线方程的方法:. 1)直接法:建系设点,列式表标,简化检验; 2)参数法; 3)定义法, 4)待定系 数法.

-圆锥曲线方程
考试内容: 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 考试要求: (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用.

§ 08. 圆锥曲线方程
一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义:
PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为椭圆, PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 无轨迹, PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2为端点的线段

知识要点

⑴①椭圆的标准方程: i. 中心在原点,焦点在 x 轴上:
y2 a2 ? x2 b2 ? 1( a ? b ? 0) .

x2 a
2

?

y2 b2

? 1( a ? b ? 0) .

ii. 中心在原点,焦点在 y 轴上:

②一般方程: Ax2 ? By 2 ? 1( A ? 0, B ? 0) . ③椭圆的标准参数方程:

x2 a2

?

y2 b2

? 1 的参数方程为

? x ? a cos? ? (一象限 ? 应是属于 0 ? ? ? ). ? y ? b sin ? 2 ? ⑵①顶点: (? a,0)(0,?b) 或 (0,? a)(?b,0) .②轴:对称轴:x 轴, y 轴;长轴长 2a ,短轴长 2b .③

焦 点 : (?c,0)(c,0) 或 (0,?c)(0, c) .④ 焦 距 : F 1F 2 ? 2c, c ? a 2 ?b 2 .⑤ 准 线 : x ? ?

a2 或 c

y??

a2 c .⑥离心率: e ? (0 ? e ? 1) .⑦焦点半径: c a

i. 设 P( x 0 , y 0 ) 为椭圆

x2 a2 x2 b2

?

y2 b2 y2 a2

PF1 ? a ? ex0 , PF 2 ? a ? ex 0 ? ? 1( a ? b ? 0) 上的一点, F 1, F 2 为左、右焦点,则

由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设 P( x 0 , y 0 ) 为椭圆
?
PF1 ? a ? ey0, PF2 ? a ? ey0? ? 1( a ? b ? 0) 上的一点, F 1, F 2 为上、下焦点,则

由椭圆方程的第二定义可以推出. 由椭圆第二定义可知: pF1 ? e( x0 ? a ) ? a ? ex0 ( x0 ? 0), pF2 ? e( a ?x0 ) ? ex0 ?a( x0 ? 0) 归结起来为
c c
2 2

“左加右减”. 注意:椭圆参数方程的推导:得 N (a cos? , b sin? ) ? 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径:垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标: d ? ⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆 程
x a
2 2

2b 2 a2

( ? c,

b2 b2 ) 和 (c, ) a a

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1( a ? b ? 0) 的离心率是 e ?

c (c ? a 2 ?b 2 ) ,方 a

?

y b

2 2

? t (t 是大于 0 的参数,a ? b ? 0) 的离心率也是 e ?

c 我们称此方程为共离心率的 a

椭圆系方程. ⑸若 P 是椭圆:
b 2 tan
x2 a
2

?

y2 b2

? 1 上的点 . F 1, F 2 为焦点,若 ?F 1PF 2 ? ? ,则 ?PF1F 2 的面积为

?
2

(用余弦定理与 PF1 ? PF 2 ? 2a 可得). 若是双曲线,则面积为 b 2 ? cot
▲y

?
2

.

二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义:
PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为双曲线 PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 无轨迹 PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2 的一个端点的一条射线

( bcos? , bsin? ) ( acos? , asin? ) Nx

N的轨迹是椭圆

⑴① 双 曲 线 标 准 方 程 :
Ax2 ?Cy 2 ? 1( AC ? 0) .

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a, b ? 0),

y2 a2

?

x2 b2

? 1(a, b ? 0) . 一 般 方 程 :

⑵①i. 焦点在 x 轴上: 顶点: (a,0), (?a,0)
x2 a2 ? y2 b2 ?0
a2 . c

焦点: (c,0), (?c,0)

准线方程 x ? ?

a2 c

渐近线方程:

x y ? ?0或 a b

ii. 焦点在 y 轴上:顶点: (0,?a), (0, a) . 焦点: (0, c), (0,?c) . 准线方程: y ? ?
? x ? a sec? ? x ? b tan ? y2 x2 y x 或? . ? ? 0 或 2 ? 2 ? 0 ,参数方程: ? a b a b ? y ? b tan ? ? y ? a sec?

渐近线

方程:

②轴 x, y 为对称轴,实轴长为 2a, 虚轴长为 2b,焦距 2c. ③离心率 e ? (两准线的距离);通径 线方程
x2 a2 ? y2 b2

c . a

④准线距

2a 2 c

2b 2 . a

⑤参数关系 c 2 ?a 2 ?b 2 , e ?

c . a

⑥焦点半径公式:对于双曲

? 1 ( F 1, F 2 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)

“长加短减”原则:
MF1 ? ex 0 ?a MF 2 ? ex 0 ?a

构成满足 MF1 ? MF 2 ? 2a


M ?F 1 ? ?ex 0 ?a M ?F 2 ? ?ex 0 ? a
y

(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半

径要带符号计算,而双曲线不带符号)
MF 1 ? ey 0 ? a MF 2 ? ey 0 ? a M ?F 1 ? ?ey 0 ? a M ?F 2 ? ?ey 0 ? a ? ?
F1 M'



y F1 M

M

x F2 M' F2

x

⑶等轴双曲线: 双曲线 x 2 ? y 2 ? ?a 2 称为等轴双曲线, 其渐近线方程为 y ? ? x , 离心率 e ? 2 . ⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭 x2 y2 x2 y2 x2 y2 双曲线. 2 ? 2 ? ? 与 2 ? 2 ? ?? 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线: 2 ? 2 ? 0 . a b a b a b ⑸共渐近线的双曲线系方程:
x2 a2 ? y2 b2 ? ? (? ? 0) 的渐近线方程为 x2 a2 ? y2 b2 ? 0 如果双曲线的


x2 y2 x y 渐近线为 ? ? 0 时,它的双曲线方程可设为 2 ? 2 ? ? (? ? 0) . a b a b

y

4

3

2 1
F2 x

1 1 例如:若双曲线一条渐近线为 y ? x 且过 p(3,? ) ,求双曲线的方程? 2 2

F1

53 3

解:令双曲线的方程为:

x2 y2 1 x2 ? ? 1. ? y 2 ? ? (? ? 0) ,代入 (3,? ) 得 8 2 2 4

⑹直线与双曲线的位置关系: 区域①:无切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域②:即定点在双曲线上,1 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 3 条; 区域③:2 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 4 条; 区域④:即定点在渐近线上且非原点,1 条切线,1 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线. 小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条. (2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入 法与渐 “?” 近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若 P 在双曲线 离比为 m︰n.
x2 a
2

?

y2 b2

? 1 ,则常用结论 1:P 到焦点的距离为 m = n,则 P 到两准线的距

PF 1 d1 ? e 简证: d2 PF 2 e

=

m . n

常用结论 2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b.

三、抛物线方程. 3. 设 p ? 0 ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:
y 2 ? 2 px
y 2 ? ?2 px


x 2 ? 2 py
y


x 2 ? ?2 py


图形



y

y

y

x O

x O

x O

x O

焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 焦点

F(

p ,0) 2

F (? x?

p ,0) 2

F (0,

p ) 2

F (0,? y?

p ) 2

x??

p 2 x ? 0, y ? R

p 2 x ? 0, y ? R

p 2 x ? R, y ? 0 y??

p 2 x ? R, y ? 0

x轴

y轴

(0,0)
e ?1
PF ? p ? x1 2 PF ? p ? x1 2 PF ? p ? y1 2 PF ? p ? y1 2

注:① ay2 ?by ? c ? x 顶点 (

4ac ?b 2 b ? ). 4a 2a
2 2

② y 2 ? 2 px( p ? 0) 则焦点半径 PF ? x ? P ; x 2 ? 2 py( p ? 0) 则焦点半径为 PF ? y ? P . ③通径为 2p,这是过焦点的所有弦中最短的. ④ y 2 ? 2 px (或 x 2 ? 2 py )的参数方程为 ?
? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(或 ?

? x ? 2 pt ? y ? 2 pt
2

)( t 为参数).

四、圆锥曲线的统一定义.. 4. 圆锥曲线的统一定义:平面内到定点 F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹. 当 0 ? e ? 1时,轨迹为椭圆; 当 e ? 1 时,轨迹为抛物线; 当 e ? 1 时,轨迹为双曲线;

当 e ? 0 时,轨迹为圆( e ?

c ,当 c ? 0, a ? b 时). a

5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如: 椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关 于原点对称的. 因为具有对称性,所以欲证 AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可.

注:椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 椭圆 定义 1. 到两定点 F1,F2 的距离 之和为定值 2a(2a>|F1F2|) 的点的轨迹 2.与定点和直线的距离 之比为定值 e 的点的轨 迹.(0<e<1) 图形 方 标准 方程 参数 方程 范围 中心 顶点 对称轴 焦点 焦距 离心率 双曲线 1.到两定点 F1,F2 的距 离之差的绝对值为定值 2a(0<2a<|F1F2|)的点的 轨迹 2. 与定点和直线的距离 之比为定值 e 的点的轨 迹.(e>1) 与定点和直线的距离相等 的点的轨迹. 抛物线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b >0) a2 b2

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2

y2=2px



? x ? a cos? ? y ? b sin ? ? (参数?为离心角)
─a?x?a,─b?y?b 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x 轴,y 轴; 长轴长 2a,短轴长 2b F1(c,0), F2(─c,0) 2c (c= a 2 ? b 2 )

? x ? a sec? ? y ? b tan? ? (参数?为离心角)
|x| ? a,y?R 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0)

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt (t 为参数) ?
x?0 (0,0) x轴

x 轴,y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. F1(c,0), F2(─c,0) 2c (c= a 2 ? b 2 )

p F ( ,0 ) 2

e?

c (0 ? e ? 1) a

e?

c (e ? 1) a

e=1

准线

a2 x= ? c

a2 x= ? c
y=±

x??

p 2

渐近线 焦半径 通径

b x a r ? x? p 2

r ? a ? ex

r ? ?(ex ? a)

2b 2 a
a2 c

2b 2 a
a2 c

2p

焦参数

P

1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质. 2. 等轴双曲线 3. 共轭双曲线 5. 方程 y2=ax 与 x2=ay 的焦点坐标及准线方程. 6.共渐近线的双曲线系方程.


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