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2015年昌平区高三二模数学理科试题及答案


昌平区 2015 年高三年级第二次统一练习 数学试卷(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)
2015.4

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.) 1. 已知集合 A ? x x ? 3x ? 4 ? 0 , B ? ?0,1,4,5? ,则 A
2

?

?<

br />
B 中元素的个数为
D. 3 个

A.0 个 2.

B. 1 个

C. 2 个

? (2x
0

1

3

? 1)dx等于

A. ?

1 2

B.

2 3

C. 1

D. 6

3. 已知等差数列 ?an ? 的公差是 2,若 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a1 等于

A. ? 4

B. ? 6
2 2

C. ?8

D. ?10

4. “ | b | ? 2 是“直线 y ? 3x ? b 与圆 x ? y ? 4 y ? 0 相交”的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件
开始

5. 在篮球比赛中,某篮球队队员投进三分球的个数如表所示: 队员 i 三分球个数 1 2 3 4 5 6

a1

a2

a3

a4

a5

a6

输入a1 , a2 ,

a6

ai
右图是统计上述 6 名队员在比赛中投进的三分球 总数 s 的程序框图,则图中的判断框内应填入的条件是

s ? 0, i ? 1
i ? i ?1


A. i ? 6

B. i ? 7

C. i ? 8

D. i ? 9
否 输出 s 结束

s ? s ? ai

6 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 A.

4 3 3π ? 3 6 4 3 4 3π ? 3 3

B.

8 3 3π ? 3 3
1 2 正视图 2 侧视图

3

C.

D. 4 3 ? 3?

俯视图

7. 已知函数 y ? f ( x) ( x ?R)是奇函数,其部分图象如图 所示,则在 (?2,0) 上与函数 f ( x ) 的单调性相同的是 A. y ? x2 ? 1 C. y ? ? B. y ? log2 x D. y ? cos x

y

1 O 2

? ?e ( x ? 0) ?x ? ?e ( x ? 0)
x

x

8. 已知四面体 A ? BCD 满足下列条件: (1)有一个面是边长为 1 的等边三角形; (2)有两个面是等腰 直角三角形. 那么四面体 A ? BCD 的体积的取值集合是 A. { ,

1 2 } 2 12

B. { ,

1 3 } 6 12

C. {

2 3 2 , , } 12 12 24

D. { ,

1 2 2 , } 6 12 24

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. ) 9.已知直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? 2 ? cos ? ? 3 ? 0 ,则直线 l 的斜率是___________. 10. 如图,⊙O 中的弦 AB 与直径 CD 相交于点 P,M 为 DC 延长线上一点,MN 与⊙O 相切于点 N,若 AP =8, PB=6, PD=4, MC=2,则 CP ? _______, MN ? 11. 在 ?ABC 中,若 a ? 3 , b ? 7 , ?B ? .
N P A

5π ,则边 c ? __________. 6
M C

12.如图,在菱形 ABCD 中, AB ? 1 , ?DAB ? 60 , E 为 CD 的中点, 则 AB ? AE 的值是 .

O

D

B

D

E

C

13. 某班举行联欢会由 5 个节目组成, 演出顺序有如下要求: 节目甲必须和节目 乙相邻,且节目甲不能排在第一个和最后一个,则该班联欢会节目演出顺序的 编排方案共有___________种.(用数字作答) 14. 如图,已知抛物线 x 2 ? 8 y 被直线 y ? 4 分成两个区域 W1 ,W2 (包括边界) , 圆 C : x2 ? ( y ? m)2 ? r 2 (m ? 0). (1)若 m ? 3 ,则圆心 C 到抛物线上任意一点距离的最 小值是__________; (2)若圆 C 位于 W2 内(包括边界)且与三侧边界均有 公共点,则圆 C 的半径是__________.
A B

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? (I)求函数 f ( x ) 的解析式; (II)求函数 g ( x) ? f ( x ? 的单调递增区间.
O π 3 -2 13π 12 x

? , x ? R ) 的部分图象如图所示. 2

y 2

? ? ) ? f (x ? ) 12 3

16. (本小题满分 13 分)某大学志愿者协会有 10 名同学,成员构成如下表,其中表中部分数据不清楚, 只知道从这 10 名同学中随机抽取一位,抽到该名同学为“数学专业 ”的概率为 .... 专业 性别 男 女 中文 英语 1 1 数学 体育 1 1

2 . 5

n
1

m
1

现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学参加社会公益活动(每位同学被选到的可能性相同). (I) 求 m, n 的值; (II)求选出的 3 名同学恰为专业互不相同的男生 的概率; .. (III)设 ? 为选出的 3 名同学中“女 生或数学专业 ”的学生的人数,求随机变量 ? 的分布列及其数学 . ...... 期望 E? .

17. (本小题满分 14 分)如图, 已知等腰梯形 ABCD 中,AD / / BC , AB ? AD ?

1 BC ? 2, E 是 BC 的中点, 2

AE

BD ? M ,将 ?BAE 沿着 AE 翻折成 ?B1 AE ,使平面 B1 AE ? 平面 AECD .

(I) 求证: CD ? 平面B 1 DM ; (II)求二面角 D ? AB1 ? E 的余弦值; (III)在线段 B1C 上是否存在点 P,使得 MP / / 平面 B1 AD ,若存在,求出 明理由.

B1 P 的值;若不存在,说 B1C

18.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? ln x, a ? R. (I)若函数 f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线垂直于 y 轴,求实数 a 的值; (II) 在(I)的条件下,求函数 f ( x) 的单调区间; (III) 若 x ? 1时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 14 分)已知椭圆 C : (I)求椭圆 C 的标准方程;

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,右焦点 F ( 2,0) ,点 D( 2,1) 在椭圆上. a 2 b2

(II) 已知直线 l : y ? kx 与椭圆 C 交于 A, B 两点, P 为椭圆 C 上异于 A, B 的动点. (i)若直线 PA, PB 的斜率都存在,证明: k PA ? k PB ? ?

1 ; 2

(ii) 若 k ? 0 ,直线 PA, PB 分别与直线 x ? 3 相交于点 M , N ,直线 BM 与椭圆 C 相交于点 Q (异于 点B ) , 求证: A , Q , N 三点共线.

20. (本小题满分 13 分)如图,在一个可以向下和向右方无限延伸的表格中,将正偶数按已填好的各个方格
* 中的数字显现的规律填入各方格中.其中第 i 行,第 j 列的数记作 aij , i, j ? N ,如 a11 ? 2, a23 ? 16 .

(I)写出 a15,a53 , a66 的值; (II) 若 aij ? 502, 求 i, j 的值;(只需写出结论) (III)设 bn ? ann , cn ?
?

1 4 ? ( n ? N ), 记数列 ?cn ?的前 n 项和为 Sn ,求 Sn ;并求正整数 k , ? n 2 bn?1 ? 2
2 6 12 20 … 4 10 18 28 … 8 16 26 38 … 14 24 36 50 … … … … … …

使得对任意 n ? N ,均有 S k ? S n .

昌平区 2015 年高三年级第二次统一练习
数学试卷(理科)参考答案 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.)
题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 A 5 B 6 A 7 D 8 C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) . 9. 12. 2 1 10. 12, 6 13. 36 11. 1 14. 3 , 4 ? 4 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15. (本小题满分 13 分) 解: (I)由题意可知, A ? 2 ,

3T 9 ? 2? ? ? ? ,解得 ? ? 2 . ,得 T ? ? , T ? 4 12 ? ? ? f ( ) ? 2sin(2 ? ? ? ) ? 2 , 3 3 2? ? ? ? ? ? ? 2k ?? k ? Z , | ? |? , 即 3 2 2 ? ? 所以 ? ? ? ,故 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) . 6 6
(II) g ( x) ? 2sin(2( x +

……………7 分

π π π π ) - ) - 2sin(2( x + ) - ) 12 6 3 6

π ? 2sin2 x - 2sin(2 x + ) 2 = 2sin2 x - 2cos2 x ? = 2 2 sin(2 x ? ) 4


?

? ? ? ? 2k ? ,? k Z, 2 4 2 ? ?? ? ? k? ? x ? ? k ?, k ? Z. 8 8 ? 2k ? ? 2 x?

?

故 g ( x)的单调递增区间是

[?

? ?? ? k ?, ? k ?], k ? Z. 8 8 .

……………13 分

16. (本小题满分 13 分) 解: (I)设事件 A :从 10 位学生中随机抽取一位,抽到该名同学为“数学专业” .

由题意可知, “数学专业”的学生共有 (1 ? m) 人. 则 P ( A) ?

1? m 2 ? . 10 5
…………… 4 分

解得 m ? 3 . 所以 n ? 1 .

(II)设事件 B :从这 10 名同学中随机选取 3 名同学为专业互不相同的男生.
1 2 C3 C3 ? 1 1 则 P( B) ? ? . 3 12 C10

……………7 分

(III)由题意, ? 的可能取值为 0 , 1 , 2 , 3 . 由题意可知, “女生或数学专业”的学生共有 7 人. 所以 P(? ? 0) ?
3 C3 1 , ? 3 C10 120 1 2 C7 C3 21 7 , ? ? 3 120 40 C10

P(? ? 1) ?

2 1 C7 C 63 21 , P(? ? 2) ? 3 3 ? ? 120 40 C10

P(? ? 3) ?
所以 ? 的分布列为

3 C7 35 7 . ? ? 3 C10 120 24

?

0

1

2

3

P

1 120

7 40

21 40

7 24
……………13 分

所以 E? ? 0 ?

1 7 21 7 21 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 120 40 40 24 10

17. (本小题满分 14 分) ( I ) 由题意可知四边形 ABED 是平行四边形,所以 AM ? ME ,故 B1 M ? AE . 又因为 AB ? BE, M 为AE的中点,所以 BM ? AE , 即 DM ? AE.

又因为AD / / BC , AD ? CE ? 2.
所以四边形 ADCE 是平行四边形. 所以 AE / / CD. 故 CD ? DM .

因为平面 B1 AE ? 平面 AECD , 平面 B1 AE ? 平面 AECD ? AE , B1M ? 平面 AECD 所以 B1 M ? 平面 AECD . B1M ? AE. 因为 CD ? 平面 AECD , 所以 B1 M ? CD . 因为 MD ? B1 M ? M , MD 、 B1 M ? 平面 B1 MD , 所以 CD ? 平面 B1 MD . ……………5 分

(II) 以 ME 为 x 轴 , MD 为 y 轴 , MB1 为 z 轴建立空间直角坐标系,则 C (2, 3,0) , B1 (0,0, 3) ,

A(?1,0,0) , D(0, 3,0) .
z

平面 AB1 E 的法向量为 MD ? (0, 3 ,0) . 设平面 DB1 A 的法向量为 m ? ( x, y, z ) , 因为
?

?

B1

AB1 ? (1,0, 3 ) , AD ? (1, 3,0) ,

?

?

A M

D E x

y

? ? x ? 3z ? 0 ? ? ?x ? 3 y ? 0
m ? (? 3 ,1,1) .
所以 cos ? m, MD ??
? ?
?

,



z ?1



,

C

5 , 因为二面角 D ? AB1 ? E 为锐角, 5 5 . 5
……………11 分 ……………10 分

所以二面角 D ? AB1 ? E 的余弦值为 (III) 存在点 P,使得 MP / / 平面 B1 AD .

法一: 取线段 B1C 中点 P, B1D 中点 Q,连结 MP, PQ, AQ . 则 PQ //CD ,且 PQ =

1 CD . 2

又因为四边形 AECD 是平行四边形,所以 AE //CD . 因为 M 为 AE 的中点,则 AM //PQ . 所以四边形 AMPQ 是平行四边形,则 MP // AQ . 又因为 AQ ? 平面 AB1 D ,所以 MP // 平面 AB1 D .

所以在线段 B1C 上存在点 P ,使得 MP // 平面 B1 AD ,

B1 P 1 ? . ……………14 分 B1C 2

法二:设在线段 B1C 上存在点 P ,使得 MP // 平面 B1 AD , 设 B1 P ? ? B1C ,( 0 ? ? ? 1 ), C (2, 3,0) ,因为 MP ? MB1 ? B1P . 所以 MP ? (2?, 3?, 3 ? 3? ) . 因为 MP // 平面 B1 AD , 所以 MP ? m ? 0 , 所以 ? 2 3? ? 3? ? 3 ? 3? ? 0 , 解得 ? ?

1 , 又因为 MP ? 平面 B1 AD , 2

所以在线段 B1C 上存在点 P ,使得 MP // 平面 B1 AD ,

B1 P 1 ? .……………14 分 B1C 2

18.(本小题满分 13 分) 解: (I) f ( x) ? x2 ? ax ? ln x, a ? R. 定义域为 (0, ??)

1 f ' ( x) ? 2 x ? a ? , a ? R. x
依题意, f ' (1) ? 0 . 所以 f ' (1) ? 3 ? a ? 0 ,解得 a ? 3
2 (II) a ? 3 时, f ( x) ? ln x ? x ? 3x ,定义域为 (0, ??) ,

……………4 分

1 1 ? 2 x 2 ? 3x f ?( x) ? ? 2 x ? 3 ? x x
当0 ? x ? 当

1 或 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , 2

1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , 2 1 2

故 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ), (1, ??) ,单调递减区间为 ( ,1) .----8 分 (III)解法一:由 f ( x) ? 0 ,得 a ?

1 2

ln x ? x 2 在 x ? 1 时恒成立, x

ln x ? x 2 1 ? x 2 ? ln x ? 令 g ( x) ? ,则 g ( x) ? x x2
令 h( x) ? 1 ? x ? ln x ,则 h?( x) ? 2 x ?
2

1 2 x2 ?1 ? ?0 x x

所以h( x) 在 (1, ??) 为增函数, h( x) ? h(1) ? 2 ? 0 .
故 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 (1, ??) 为增函数. g ( x) ? g (1) ? 1 , 所以 a ? 1 ,即实数 a 的取值范围为 (??,1] . 解法二: f ?( x) ? ……………13 分

1 1 ? 2 x 2 ? ax ? 2x ? a ? x x
2

令 g ( x) ? 2 x2 ? ax ? 1,则 ? ? a ? 8 , (i)当 ? ? 0 ,即 ?2 2 ? a ? 2 2 时, f ?( x) ? 0 恒成立,

因为x ? 1, 所以f ( x) 在 (1, ??) 上单调递增,
f ( x) ? f (1) ? 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 ,所以 a ? (?2 2,1] ;
(ii)当 ? ? 0 ,即 a ? ?2 2 时, f ?( x) ? 0 恒成立,

因为x ? 1, 所以f ( x) 在 (1, ??) 上单调递增,
f ( x) ? f (1) ? 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 ,所以 a ? ?2 2 ;
(iii)当 ? ? 0 ,即 a ? ?2 2 或 a ? 2 2 时, 方程 g ( x) ? 0 有两个实数根 x1 ?

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , x2 ? 4 4

若 a ? ?2 2 ,两个根 x1 ? x2 ? 0 , 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , 所以f ( x) 在 (1, ??) 上单调递增, 则 f ( x) ? f (1) ? 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 ,所以 a ? ?2 2 ; 若 a ? 2 2 , g ( x) ? 0 的两个根 0 ? x1 ? x2 ,

因为f ( x) ? 1 ? a ? 0 ,且 f ( x) 在 (1, ??) 是连续不断的函数
所以总存在 x0 ? 1 ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,不满足题意. 综上,实数 a 的取值范围为 (??,1] . ……………13 分

19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)依题意,椭圆的焦点为 F 1 | ? | DF 2 |? 2a , 1 (? 2,0), F 2 ( 2,0) ,则 | DF

解得

?

a?2 2 2 2 ,所以 b ? a ? c ? 2 . c? 2
x2 y 2 ? ? 1. 4 2
……………5 分
2 x2 y 2 x0 y2 ? 0 ? 1, 1 ? 1 ? 1. 4 2 4 2

故椭圆 C 的标准方程为

(Ⅱ)(i)证明:设 P( x0 , y0 ), A( x1 , y1 ), B(? x1 , ? y1 ) ,则
2 2 x0 ? x12 y0 ? y12 ? ? 0. 两式作差得 4 2

2 因为直线 PA, PB 的斜率都存在,所以 x0 ? x12 ? 0 .
2 y0 ? y12 y ?y y ?y 1 1 ? ? ,即 0 1 ? 0 1 ? ? . 2 2 x0 ? x1 x0 ? x1 2 2 x0 ? x1

所以

所以,当 PA, PB 的斜率都存在时, k PA ? k PB ? ?

1 . 2

……………9 分

(ii) 证明: k ? 0 时, P( x0 , y0 ), A(?2,0), B(2,0) . 设 PA 的斜率为 n ,则 PB 的斜率为 ?

1 , 2n

直线 PA : y ? n( x ? 2) , M (3,5n) , 直线 PB : y ? ?

1 1 ( x ? 2) , N (3, ? ) , 2n 2n 1 ( x ? 2) , 10n

所以直线 BM : y ? 5n( x ? 2) ,直线 AN : y ? ?

联立,可得交点 Q(

2(50n 2 ? 1) ?20n , ). 50n 2 ? 1 50n 2 ? 1

因为 [

2(50n2 ? 1) 2 ?20n 2 ] ? 2( ) ? 4, 2 50n ? 1 50n 2 ? 1 2(50n 2 ? 1) ?20n x2 y 2 , ) ? ? 1 上. 在椭圆 4 2 50n 2 ? 1 50n 2 ? 1
……………14 分

所以点 Q(

即直线 MB 与直线 NA 的交点 Q 在椭圆上,即 A , Q , N 三点共线. 20. (本小题满分 13 分) 解: (I) a15 ? 22 , a53 ? 52, a66 ? 122 . (II) I =20 , j =3. …………8 分 ……………4 分

(III)位于从左上角到右下角的对角线上的方格内的数字组成的数列是 2,10,26,50, bn 是依(II)中

排法的第 2 n – 1 组的中间一个数,即第 n 个数, 所以 bn = ( 2n – 1 ) 2 n– 2 ( n – 1 ) = 因为 cn ? 故 Sn ? 4 n2 – 4 n + 2=4n ( n -1) + 2,n = 1,2,3,…;

1 1 1 4 所以 cn ? n ? , (n ? N* ) 错误!未找到引用源。 ? n 2 n(n ? 1) 2 bn?1 ? 2
.…………10 分

1 1 ? n (n ? N? ) n ?1 2

因为 c1 ? 0, c2 ? 0, c3 ? 0, c4 ? 0 ;当 n ? 5 时, cn ?

? n ? n ? 1? ? 1 ? 1? , ? n ? n ? 1? ? 2n ?

而[

n ? n ? 1? ? n ? 1?? n ? 2 ? ? 1] ? n ? n ? 1? ? ? n ? 1?? n ? 2 ? ? ? n ? 1?? n ? 2 ? ? 0 ? 1] ? [ n 2 2n ?1 2n 2n ?1 2n ?1



n ? n ? 1? 5 ? 5 ? 1? ? ? 1, 2n 25

所以当 n ? 5 时, cn ? 0 ,综上对任意 n ? N ? 恒有 S4 ? Sn ,故 k ? 4 .…………13 分


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