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2012年第23届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试试题和答案(word版)


第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛 高一 第1试 2012 年 3 月 11 日 上午 8:30 至 10:00 得分 一、 选择题(每小题 4 分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将正确答 案的英文字母写在下面的表格内。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 1 得分 答案

1. 集合 M ? { x | y ?

2

? x2 ? 6 x ? 7 , x, y ? R} , N ? { y | y ? ? x ? 6 x ? 7, x, y ? R} ,

则集合 M ? N ? ( )

( A)?

( B)[?1, 4]

(C )[?1,7]

( D)[0, 4]

2. 设 m, n 是自然数,条件甲: m3 ? n3 是偶数;条件乙: m ? n 是偶数,则甲是乙的( )

( A) 充分不必要条件 (C ) 充分且必要条件

( B) 必要不充分条件 ( D) 既不充分也不必要条件

3. 已知二面角 ? ? l ? ? ,直线 a ? 平面 ? ,直线 b ? 平面 ? ,且 a 和 b 都不垂直于 l ,那 么, a 与 b ( )

( A) 可能垂直,但不可能平行 (C ) 可能垂直,也可能平行

( B) 不可能垂直,但可能平行、 ( D) 不可能垂直,也不可能平行

4. 设 S n 是等比数列 {an } 前 n 项的乘积,若 a9 ? 1 ,则下面的等式中正确的是( )

( A) S1 ? S19

( B) S3 ? S17

(C ) S5 ? S12

( D) S8 ? S11

5. 已知数列 {an } 中, a1 ? 0, an ?1 ?

an ? 3 3an ? 1

(n ? N * ) ,则 a1 ? a2 ? ? ? a2012 ? ( )
( D)1006 3

( A) ? 3

( B )0
?

(C ) 3

6. 在 ? ABC 中, ?B ? 60 , 2 AB ? 3BC ,则 tan A 的值等于( )

( A) ?

2 2

( B) ?

3 2

(C )

3 2

( D) ?

3 2

7. Suppose ? ABC is a triangle with the side length of 2, D and E are moving points no the sides BC and AC , AD ? BE at point M ,then the length of M ' s trajectory is ( )

( A)

?
2

( B)

?
3

(C )

?
4

( D)

?
6

8. 若 f (1,1) ? 1234 , f ( x, y) ? k , f ( x, y ? 1) ? k ? 3 ,则 f (1, 2012) ? ( )

( A) ? 6033

( B) ? 4799

(C )1235

( D)2012

9. 下面判断正确的是( )

( A)b2 ? 4ac ? 0 是方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有解的充分且必要条件 ( B)b2 ? 4ac ? 0 是方程 ax2 ? bx ? c ? 0 无解的充分且必要条件
(C )c ? 0 是方程 ax2 ? bx ? c ? 0 无解的必要不充分条件

( D)b2 ? 4ac ? 0 是方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有解的必要不充分条件
10. 已 知 函 数

f ( x) ? m x ? 1 (m ? R, m ? 0)









? ? ? ? ? 1 ? ? ? 当? ? ( b) a ? (1, cos ? ), b ? (2, 2sin ? ), c ? (4sin ? ,1), d ? ( sin ? ,1) , 0 , ) 时, f (a? 2 4 ?? ? 与 f (c ? d ) 的大小关系是 ( )
? ? ?? ? ( A) f (a? b) ? f (c?d ) ? ? ?? ? ( B) f (a? b) ? f (c?d ) ? ? ?? ? ? ? ?? ? (C )m ? 0时,f (a? b) ? f (c?d ); m ? 0时,f (a ? b) ? f (c? d) ? ? ?? ? ? ? ?? ? ( D)m ? 0时,f (a? b) ? f (c?d ); m ? 0时,f (a? b) ? f (c?d )
二、 A 组填空题(每小题 4 分,共 40 分)

11. 设 ? ? [0, 2? ) ,则在 [0, 2? ) 内,终边与 ? 角的终边关于 x 轴对称的角是 12. 函数 f ( x) ? 3 13. 若
? log 2 x

? 4 x ? 1 的值域是

a, b, c

是 三 个 互 不 相 等 的 实 数 , 且 满 足 关 系 式

b2 ? c 2 2 ?

a2 1 ? 6 a ? 1 4 b, ? c2

a ? a4 ? a 5 ,则 的取值范围是

1 1 的最小值是 ? 1? a 1? b 1 5 15. y ? a sin(ax ? b) ? b ,if the minimum value of y is ,the maximum value is , then 2 2 ab ?
14. 若 a, b 是正实数,且 a ? b ? 2 ,则 16. 设点 G 是 ? ABC 的重心, GA ? 2 3, GB ? 2 2, GC ? 2 ,则 ? ABC 的面积是

17. 已知 0.8 ? x ? 0.9 ,若将 x, x , x 按从小到大的顺序排列,应当是
x

xx

18. 已知等差数列 {an } 的前 n 项之和是 S n ,若 S8 ? 5, S11 ? 23 ,则 a10 的最小值是 19. 若 a # b ? a ? b ? ab ,则下列等式中:

(1)a # b ? b # a
正确的是

(2)a #0 ? a (3)(a # b) # c ? a #(b # c)
(填序号)

20. ? O 与 ? D 相交于 A, B 两点, BC 是 ? D 的切线,点 C 在 ? O 上,且 AB ? BC ,若

? ABC 的面积为 S ,则 ? D 的半径最小值 是
三、B 组填空题(每小题 8 分,共 40 分) 21.已知 1 ? x ? 8 ,则函数 f ( x) ? x ? 3 ? x ? 5 ? x ? 7 的最大值 是 小值是 22. ? , ? 是 关 于 x 的 方 程 x ? 2(m ? 1) x ? m ? 4 ? 0 的 两 个 实 根 , 设 y ? ? ? ? , 则
2 2 2 2

,最

y ? f (m) 的解析式是
2

,值域是
2

23.已知 ? ABC 三条边长分别为 a ? t ? 3, b ? ?t ? 2t ? 3, c ? 4t , (t ? R) ,则 ? ABC 最大内 角是角 ,它的度数等于 ;使不等式 x 2 ? log m x ? 0 在 (0, ) 上恒

24.方程 x 2 ? log16 x ? 0 的解是 成立的 m 的取值范围是

1 2

25.若函数 f ( x) ? log a ( x 2 ? 2ax ? 1 ? 2a 2 )(a ? 0, a ? 1) 在 R 上的最大值是 2, 则a=



f ( x) 的单调递增区间是




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