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浙江省临海市杜桥中学2015届高三下学期第三次月考数学(文)试题


杜桥中学 2014 学年第二学期高三年级第三次月考 数 学(文科)试 题
满分 150 分,考试时间 120 分钟 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 若 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ | a |? 2 ”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.

既不充分又不必要条件 ) ( )

2.设 l 是直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列判断正确的是 ( A. 若 l // ? , l // ? ,则 ? // ? C.若 ? ? ? , l ? ? ,则 l ? ?

B.若 ? ? ? , l // ? ,则 l ? ? D.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ? )

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3. 下列函数中,满足“ f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? ”的单调递减函数是( A. f ? x ? ? x
1 2

B . f ? x? ? x

3

?1? C. f ? x ? ? ? ? ?2?

x

D. f ? x ? ? 3 ) D.23

x

4.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , S12 ? 186, a8 ? 20 ,则 a5 ? ( A.11 B.3 C.20

5. 将函数 y ? 3 cos x ? sin x (x ?R )的图象向左平移 m (m ? 0) 个单位长度后 , 所得到的图象 关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 A.
π 12



) C.
π 3

B.

π 6

D.

5π 6

OA ? AB ? AC ? 0 且 | OA |?| AB | , 6. ?ABC 的外接圆的圆心为 O , 半径为 2 , 则向量 CA 在 CB
方向上的投影为 ( A. ? 3 ) B. 3 C.

3

D. ? 3

7.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 过 F2 作双曲线 C 的一条渐 a 2 b2

近线的垂线,垂足为 H,若△ HF1 F2 的面积为 a ,则双曲线的离心率为 ( A. 2 B. 3 C.2 D.3

2



8.已知 f ? x ? ? x ? 2 ? 1 ,若直线 y ? m 与函数 y ? f ? ? f ? x ?? ? 的图象有四个不同的交点,则实 数 m 的取值范围是( A. ? ?1,2? ) B. ? 0,3? C. ? ?1,1? D. ? ?1,3?

二、填空题(本大题共 7 小题,9-12 小题每小题 6 分,13-15 小题每小题 4 分,共 36 分)
2 x 9.设全集 U ? R ,集合 A ? x x ? x ? 2 ? 0 , B ? y y ? 2 , x ? R ,则 A ? B =

?

?

?

?

A? B=

, CU A = _

10.若等比数列 {an } ,满足 a2 ? a4 ? 40, a3 ? a5 ? 80 ,则公比 q =__ 前 n 项和 Sn =____ __

mx ? y ? 4 ,若直线 l 与直线 x ? m(m ? 1) y ? 2 垂直, 11.已知直线 l : 则 m 的值为_________ ;
若直线 l 被圆 C : x ? y ? 2 y ? 8 ? 0 截得的弦长为 4,则 m 的值为
2 2

? x ? y ? 1 ? 0, ? 12.若实数 x, y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 2 ? 0, 则 x ? 3y ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
的最小值为 ,点 P ( x, y ) 所组成的

平面区域的面积为 13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中, 面积最大的侧面的面积为

14. 已知三角形 ABC 的三个顶点都在椭圆 的最大值为 .

AC ? AB x2 y 2 且 AB⊥x 轴, AC∥x 轴, 则 ? 2 ? 1 上, 2 2 a b BC

15.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,P , Q 分别是棱 AB , A1D1 上的点, PQ ? AC ,则 PQ 与

BD1 所成角的余弦值的取值范围是
三、解答题: (本大题有 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16.(本题满分 15 分) 在△ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,且满足: a 2 ? (b ? c) 2 ? (2 ? 3)bc, 又 sin A sin B ?

1 ? cos C . 2

(1)求角 A 的大小 ; (2)若 a ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S .

17. (本题满分 15 分)
? 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,△ ABC 是边长为 2 的正三角形, ?PCA ? 90 , E , H 分别

为 AP , AC 的中点, AP ? 4 , BE ? 3 . (1)求证: AC ? 平面 BEH ; (2)求直线 PA 与平面 ABC 所成角的正弦值.

P E A H

C

18.(本小题满分 15 分)

B
(第 17 题图)

已知 { an } 是各项都为正数的数列,其前 n 项和为 Sn ,且 Sn 为 an 与 (1)求证:数列 {Sn 2 } 为等差数列; (2)求数列 {an } 的通项公式; (3)设 bn ?

1 的等差中项. an

(?1)n , 求 {bn } 的前 100 项和. an

Y

B

19.(本题满分 15 分) 已知抛物线 ? : y ? 2 px ,准线与 x 轴的交点为 P ? ?2,0 ? .
2

A P Q D C
(第 19 题图)
X

(Ⅰ)求抛物线 ? 的方程;

O

(Ⅱ)如图, Q ?1,0 ? ,过点 P 的直线 l 与抛物线 ? 交于 不同的两点 A, B , AQ 与 BQ 分别与抛物线 ? 交于 点 C , D ,设 AB, DC 的斜率分别为 k1 , k2 , AD, BC 的 斜率分别为 k3 , k4 ,问:是否存在常数 ? ,使得

k1k3k4 ? ?k2 ,若存在,求出 ? 的值,若不存在,
说明理由.

20.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ax ? bx 2

x 3 1 ? ? ?a ? 0? , g ( x) ? 4 x ? 2 ? 1 , 且 y ? f ?x ? 设 ? 为偶函数. 4 b 4 4a ? ?

集合 A ? x t ? 1 ? x ? t ? 1 . (1)若 t ? ?

?

?

b ,记 f ?x ? 在 A 上的最大值与最小值分别为 M , N ,求 M ? N ; 2a

(2) 若对任意的实数 t , 总存在 x1 , x 2 ? A , 使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x) 对 ?x ? ?0,1? 恒成立, 试求 a 的最小值.

姓 … 名 … … … … … … … … … … 考 … 试 … 号 … 装 … … … … … … … … … … … … … … … … 订 … … … … … … … … … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … … … … … …

杜桥中学 2014 学年第二学期高三年级第三次月考 数学(文科)答题卷
二、填空题(本大题共 7 小题,9-12 小题每小题 6 分,13-15 小题每小题 4 分,共 36 分)
9.______________

座位号

_____________

_____________

10.__________________ 11.__________________ 12.__________________ 13.__________________ 14.__________________ 15.__________________

__________________ __________________ __________________

试场号

三、解答题: (本大题有 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16.(本题满分 15 分) 在△ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,且满足: a 2 ? (b ? c) 2 ? (2 ? 3)bc, 又 sin A sin B ?

考试编号

1 ? cos C . 2

(1)求角 A 的大小 ; (2)若 a ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S .

班级

姓名

17. (本题满分 15 分)
? 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,△ ABC 是边长为 2 的正三角形, ?PCA ? 90 , E , H 分别

为 AP , AC 的中点, AP ? 4 , BE ? 3 . (1)求证: AC ? 平面 BEH ; (2)求直线 PA 与平面 ABC 所成角的正弦值.

P E A H

C

B
(第 17 题图)

18.(本小题满分 15 分) 已知 { an } 是各项都为正数的数列,其前 n 项和为 Sn ,且 Sn 为 an 与 (1)求证:数列 {Sn 2 } 为等差数列; (2)求数列 {an } 的通项公式; (3)设 bn ?

1 的等差中项. an

(?1)n , 求 {bn } 的前 100 项和. an

19.(本题满分 15 分) 已知抛物线 ? : y 2 ? 2 px ,准线与 x 轴的交点为 P ? ?2,0 ? . (Ⅰ)求抛物线 ? 的方程; (Ⅱ)如图, Q ?1,0 ? ,过点 P 的直线 l 与抛物线 ? 交于 不同的两点 A, B , AQ 与 BQ 分别与抛物线 ? 交于 点 C , D ,设 AB, DC 的斜率分别为 k1 , k2 , AD, BC 的 斜率分别为 k3 , k4 ,问:是否存在常数 ? ,使得
Y

B

A P Q D C
(第 19 题图)
X

O

k1k3k4 ? ?k2 ,若存在,求出 ? 的值,若不存在,
说明理由.

20.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ax ? bx 2

x 3 1 ? ? 且 y ? f ?x ? 设 ?a ? 0? , g ( x) ? 4 x ? 2 ? 1 , ? 为偶函数. 4 b 4 4a ? ?

集合 A ? x t ? 1 ? x ? t ? 1 . (1)若 t ? ?

?

?

b ,记 f ?x ? 在 A 上的最大值与最小值分别为 M , N ,求 M ? N ; 2a

(2) 若对任意的实数 t , 总存在 x1 , x 2 ? A , 使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x) 对 ?x ? ?0,1? 恒成立, 试求 a 的最小值.

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