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排列组合和教案


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两个基本原理 一、教学目标 1、知识传授目标:正确理解和掌握加法原理和乘法原理 2、能力培养目标:能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题 3、思想教育目标:发展学生的思维能力,培养学生分析问题和解决问题的能力 二、教材分析 1.重点:加法原理,乘法原理。 解决方法:利用简单的举例得到一般的结论.

2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法比较它们的异同. 三、活动设计 1.活动:思考,讨论,对比,练习. 四、教学过程 (l)从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船.一天中,火车有 4 班,汽 车有 2 班, 轮船有 3 班, 问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 因为一天中乘火车有 4 种走法,乘汽车有 2 种走法,乘轮船有 3 种走法,每一种走法都 可以从甲地到达乙地,因此,一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4 十 2 十 3=9 种 不同的走法. 一般地,有如下原理: 加法原理:做一件事,完成它可以有 n 类办法,在第一类办 法中有 m1 种不同的方法,在第二类办法中有 m2 种不同的方法,……,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共有 N=m1 十 m2 十…十 mn 种不同的方法. 1. 进行分类时,要求各类办法彼此之间是相互排斥的,不论那一类办法中的哪一种方法, 都能独立完成这件事.只有满足这个条件,才能直接用加法原理,否则不可以. (2) 我们再看下面的问题:由 A 村去 B 村的道路有 3 条,由 B 村去 C 村的道路有 2 条.从 A 村经 B 村去 C 村,共有多少种不同的走法? 这里,从 A 村到 B 村有 3 种不同的走法,按这 3 种走法中的每一种走法到达 B 村后,再 从 B 村到 C 村又有 2 种不同的走法.因此,从 A 村经 B 村去 C 村共有 3X2=6 种不同的走法. 一般地,有如下原理:乘法原理:做一件事,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1 种不同的方法,做第二步有 m2 种不同的方法,……,做第 n 步有 mn 种不同的方法.那么 完成这件事共有 N=m1 m2…mn 种不同的方法. 2. 如果完成一件事需要分成几个步骤,各步骤都不可缺少,需要依次完成所有步骤才能完 成这件事,而各步要求相互独立,即相对于前一步的每一种方法,下一步都有 m 种不同
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的方法,那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理. 例 1 书架上层放有 6 本不同的数学书,下层放有 5 本不同的语文书. 1)从中任取一本,有多少种不同的取法? 2)从中任取数学书与语文书各一本,有多少的取法? 例 2(1)由数字 l,2,3,4,5 可以组成多少个数字允许重复三位数? (2)由数字 l,2,3,4,5 可以组成多少个数字不允许重复三位数? (3)由数字 0,l,2,3,4,5 可以组成多少个数字不允许重复三位数? 练习: 1、 从甲地到乙地有 2 条陆路可走,从乙地到丙地有 3 条陆路可走,又从甲地不经过乙地到 丙地有 2 条水路可走. (1)从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法?(2)从甲地到 丙地共有多少种不同的走法? 2、 一同学有 4 枚明朝不同古币和 6 枚清朝不同古币 1)从中任取一枚,有多少种不同取 法? 2)从中任取明清古币各一枚,有多少种不同取法?

3.一名儿童做加法游戏.在一个红口袋中装着 2O 张分别标有数 1、2、…、19、20 的红卡 片, 从中任抽一张, 把上面的数作为被加数; 在另一个黄口袋中装着 10 张分别标有数 1、 2、 …、 9、1O 的黄卡片,从中任抽一张,把上面的数作为加数.这名儿童一共可以列出多少个加法 式子? 4.乘积(a1+a2+a3) (b1+b2+b3+b4) (c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有多少项? 5.从甲地到乙地有 2 条路可通,从乙地到丙地有 3 条路可通;从甲地到丁地有 4 条路可通, 从丁地到丙地有 2 条路可通.从甲地到丙地共有多少种不同的走法? 6.一个口袋内装有 5 个小球,另一个口袋内装有 4 个小球,所有这些小球的颜色互不相同. (1)从两个口袋内任取一个小球,有多少种不同的取法? (2)从两个口袋内各取一个小球,有多少种不同的取法? 7、某班有 22 名女生,23 名男生. ① 选一位学生代表班级去领奖,有几种不同选法? ② 选出男学生与女学生各一名去参加智力竞赛,有几种不同的选法? 8.复数 x+yi,若 x、y 可分别取 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中的任一个,可组成 不同的复数,可组成 不同的虚数. 个

9.① 由数字 1,2,3,4,5 可以组成多少个三位数(各位上的数字允许重复)? ② 由数字 0、1,2,3,4,5 可以组成多少个三位数(各位上的数字允许重复)?
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③ 由数字 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个十位数字大于个位数字的两位数? 10.105 有多少个约数?并将这些约数写出来. 11.从 5 幅不同的国画、 2 幅不同的油画、 7 幅不同的水彩画中选不同画种的两幅画布置房间, 有几种选法? 12、若 x、y 可以取 1,2,3,4,5 中的任一个,则点(x,y)的不同个数有多少? 小结:要解决某个此类问题,首先要判断是分类,还是分步?分类时用加法,分步时用乘法 其次要注意怎样分类和分步,以后会进一步学习 【检测与练习】 1.若 a、b ? N,且 a+b ? 6, a ? b ,则复数 a+bi 的个数是… A. 72 B.36 C.20 D.12

2.三科教师都布置了作业,在同一时刻 4 名学生都做作业的可能情形有… A.64 B.81 C.24 D.4

3.若 5 个运动员争夺三项冠军,则冠军结果种数为 A.5 B.60 C.125 D.243

4.一个口袋内装有 5 个小球,另一个口袋内装有 4 个小球,所有这些小球的颜色各不相同. ① 从两个口袋内任取一个小球,有 ②从两个口袋内各取一个小球,有 种不同的取法; 种不同的取法. 种方法,买两本且

5.新华书店有语文、数学、英语练习册各 10 本,买其中一本有 要求书不同种的有 种方法.

6.某工厂有三个车间,第一车间有三个小组,第二车间有四个小组,第三车间有五个小组. 有一个新工人分配到该工厂工作,有几种不同的安排? 7.完成一件产品需要三道工序,这三道工序分别有第一、第二、第三车间来完成,第一车间 有三个小组,第二车间有四个小组,第三车间有五个小组,各车间的每一个小组都只可以 独立完成车间所规定的工序,问完成这件产品有几种不同的分配方案? 【课后检测及练习】 1. 若 x、y ? Z ,且|x|<4,|y|<5,则以(x,y)为坐标的点的个数是 A. 63 B. 36 C. 16 D. 9

2. 有不同的语文书 9 本,不同的英文书 7 本,不同的法文书 5 本,从中选出不属于同一种 文字的书 2 本,不同的选法种数有 A. 315 B. 277 3.在所有的两位数中,个位数字小于十位数字的两位数有
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C.143

D. 98 个.

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4.乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开共有 5.有四位考生安排在 5 个考场参加考试.有

个项.

种不同的安排方法.
2 2 2

6. 已 知 a ? ?? 1,2 ,3?, b ? ?0 ,3 ,4 ,5?, R ? ?1,2? , 则 (x-a) +(y-b) =R 所 表 示 的 不 同 圆 有 个. 7.有三个袋子,其中一个袋子装有红色小球 20 个,每个球上标有 1 至 20 中的一个号码,一 个袋子装有白色小球 15 个, 每个球上标有 1 至 15 中的一个号码, 第三个袋子装有黄色小 球 8 个,每个球上标有 1 至 8 中的一个号码. ① 从袋子里任取一个小球有多少种不同的取法? ② 从袋子里任取红、白、黄小球各一个,有多少种不同的取法? 8.已知 a ? ?3 ,1.5 ,0.5?, b ? 2.3 , 21 ,0.6 ,那么 loga b 可以表示多少个不同的对数?其中 正、负数各多少? 排列 【复习基本原理】1.加法原理 2.乘法原理 3.两个原理的区别: 【练习 1】1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线,需要准备多少种不同的机票? 2.由数字 1、2、3 可以组成多少个无重复数字的二位数?请一一列出. 【基本概念】什么叫排列?从 n 个不同元素中,任取 m( m ? n )个元素(这里的被取元素各 不相同)按照一定的顺序 排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 ..... .... 1. 什么叫不同的排列?元素和顺序至少有一个不同. 2. 什么叫相同的排列?元素和顺序都相同的排列. 3. 什么叫一个排列? 4. 什么叫全排列?n 个元素的全排列表示为 数的积,n 个元素的全排列叫做 5. 用全排列(或阶乘)表示的排列数公式为 【例题与练习】 1. 由数字 1、2、3、4 可以组成多少个无重复数字的三位数? 2.已知 a、b、c、d 四个元素,①写出每次取出 3 个元素的所有排列;②写出每次取出 4 个 元素的所有排列. 【排列数】 1. 定义:从 n 个不同元素中,任取 m( m ? n )个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中 = ,表示为 . . , 这是 个连续自然

?

?

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m 取出 m 元素的排列数,用符号 p n 表示.用符号表示上述各题中的排列数. m 2. 排列数公式: p n =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

1. 写出: ① 从五个元素 a、b、c、d、e 中任意取出两个、三个元素的所有排列; ② 由 1、2、3、4 组成的无重复数字的所有 3 位数. ③ 由 0、1、2、3 组成的无重复数字的所有 3 位数. 计算:① p
3 100

② p

3 6

③ p ? 2p
4 8

2 8

8 p12 ④ 7 p12

【例题与练习】 1.数字 1、2、3、4 可以组成多少个无重复数字的三位数? 2.已知 a、b、c、d 四个元素,①写出每次取出 3 个元素的所有排列;②写出每次取出 4 个 元素的所有排列.
m 3. 排列数公式: p n =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

【课后检测】 1.写出: ④ 从五个元素 a、b、c、d、e 中任意取出两个、三个元素的所有排列; ⑤ 由 1、2、3、4 组成的无重复数字的所有 3 位数. ⑥ 由 0、1、2、3 组成的无重复数字的所有 3 位数.
3 2. 计算:① p100 3 ② p6 4 2 ③ p8 ? 2 p8



8 p12 7 p12

3 用排列数表示下列各式: ① 10?9?8?7?6= ③ n?(n-1) ?(n-2) ?(n-3)= 4.①从 x 个不同元素中任取 3 个的排列数为 720,则 x= ② pn ? pn?1 ? xpn?1 ,求 x 的值.
n n?1 n?1

② 24?23?22?…?3?2?1=



5.用 0 到 9 这十个数字,可以组成没有重复数字的三位数 6.某段铁路上有 12 个车站,共需准备多少种普通客票?

个.

7.某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任挂一面、 二面或三面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号?
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小结:1 解有关排列的应用题时,先将问题归结为排列问题,然后确定原有元素和取出元素 的个数,即 n、m 的值. 2:解有关排列数的方程关键在于用排列数公式将方程转化为关于 x 的一元方程.
【课后检测】 1.由数字 1、2、3、4、5、6 可以组成没有重复数字的五位数 自然数 2.5 个人排成一排,共有 个;三位数 种不同的排法. . 个. 个;

3.从 5 个人中任选两人分别担任班长和团书记,所有选法的总数为 4.求下列各式中的 n: ①
7 5 pn ? pn ? 89 5 pn

3 3 ② p2 n ? 10 pn



5 4 pn ? pn ?4 3 pn

m m?1 5.求证:① pn ? npn ?1

n?1 n 2 n?1 ② pn ?1 ? pn ? n pn?1



?n ? 1?! ?
k!

?n ? k ? 1? ? n! n! ? ?k ? 1?! k!
排 列

课题:排列的简单应用(1) 目的:进一步掌握排列、排列数的概念以及排列数的两个计算公式,会用排列数公式计算和 解决简单的实际问题.
m 过程: An ? n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) 或 An ?
m

n! (其中 m≤n m,n?Z) (n ? m)!

3.全排列、阶乘的意义;规定 0!=1 4. “分类” 、 “分步”思想在排列问题中的应用.小结 二、新授: 1. 判断下列问题是否是排列问题: ① 从 7 名同学中选 3 人去完成 3 种不同的工作,每人完成一种,有多少种不同的选派 方法 ② 从 7 名同学中选 3 人去某地参加一个会议…………………………………( ) ③ 设 m、n ? ? 1、 2、 3、 4、 5、 6?,则可以构成多少个焦点在 x 轴的椭圆

x2 y2 ? ? 1( ) m n


④ 从 6 名同学中选 4 人,参加 4?100m 接力赛,有多少种不同的参赛方案……(
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小结 1: 判断是否是排列问题关键在于取出的元素是否与顺序有关, 若与顺序有关则是排列, 否则不是.
2. 用 0、1、2、3、4、5、6 组成满足下列条件的数各多少个? ① 无重复数字的四位数; ② 无重复数字的四位数偶数; ③ 无重复数字的四位数且能被 5 整除; ④ 个位数字大于十位数字的四位数.

小结 2:解有条件限制的排列问题思路:①正确选择原理;②处理好特殊元素和特殊位置, 先让特殊元素战位,或特殊位置选元素;③再考虑其余元素或其余位置;④数字的排 列问题,0 不能排在首位
一、投信箱法 ⑴5 由数字 0,1,2,3,4 可组成多少个可重复数字的四位数? ⑵5 人到 4 家旅馆住店有几种住法? ⑶已知 A=﹛a,b,c,d﹜ B=﹛1,2﹜从集 A 到集合 B 有多少种不同的映射? ⑷将 3 个不同的小球,放在 4 个不同的盒子内,有多少种放法? ⑼将 3 个相同的小球,放在 4 个不同的盒子内,有多少种放法? (5)有五群鸽子其中有两群各自分别栖息在甲已两片树林中的栖息方法有多少种? ⑷设 A={1,2,3,4,5} B={a,b,c}从 A 到 B 的映射使 B 中的每一个元素都有原象 共有( )个? .

5、 4 个小组, 分别从 3 个风景点中选一处进行观光旅游, 不同的选择方案的种数是 (A) C 4
3

(B) P4

3

(C)34

(D)43

例 1:⑴ 7 位同学站成一排,共有多少种不同的排法? ⑵ 7 位同学站成两排(前 3 后 4) ,共有多少种不同的排法? ⑶ 7 位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法? ⑷ 7 位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种? ⑸ 7 位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种? 小结一:对于“在”与“不在”的问题,常常使用“直接法”或“排除法” ,对某些特殊元 素可以优先考虑. 一关于错排问题 1 五个不同的元素 a b c d e 每次全取作排列,如果 a 不能排在首位 e 不能排在末位,
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共有几种排法?78 2.四个元素的全错排。 错排问题的推广:⑴六个不同的球分别装在六个有编号的小盒中,其中甲球不能放在 A 盒, 乙球不能放在 B 盒,有多少种放法?(小结课程表问题) 练习:⑴某一天的课程表要排入政治,语文,数学,物理,体育,美术六节课, 如果第一节不排体育,最后一节不排数学,共有几种排法?(504) ⑵从 6 个运动员中选出 4 人参加 4*100 米接力赛,如果甲已两人都不跑第一 棒,那么共有多少种不同的参赛方法? ⑶7 个人按下列要求排成一纵队,分别有多少种不同的排法? ① A ,B 两人必须排在两头 (240) ② A 不在队首,B 不在队尾 (3720) ③ A,B,C 三人中两两互不相邻(1440) ④ A,B,C 三人的前后顺序一定 ⑤ A,B,C 三人相邻 (720) ⑥ A,B,C 三人中至少有一人排在两头(3600) ⑵从 5 双不同的鞋中任取 4 只,4 只鞋中至少有 2 只配成一双的可能取法种数?130 二邻或不邻,怎么办? 例三个男生和四个女生安下列条件排成一排有多少种排法? ⑤ 男生排在一起,女生排在一起有; ⑥ 男女生间隔相排; ⑦ 男生互不相邻; ⑧ 甲乙两人必须相邻.

小结 3:解决相邻问题通常用捆绑的办法;不相邻问题通常用插入的办法.
“插空法”和“捆绑法”是解决排队问题的一种好方法,例如 (1) 8 人排成一排照相,A、B、C 三人互不相邻的排法共有多少种?( (2) 8 人排成一排照相,A、B 相邻的排法共有多少种?(

A A
5

5

3 6

种)

A A
2

2

7 7

种)但是,在两次

使用“插空法” (简称“二次插空法” )时,若考虑问题不全面,思维不严谨,容易出现 错解,现举例如下: 例:8 人排成一排照相,A、B、C 三人互不相邻,D、E 也不相邻,共有多少种排法?

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1. 一排 6 张椅子上坐 3 个人,每两人之间至少有一张空椅子,则共有多少种不同的 坐法? 2 一条长椅子上有 7 个人,四人坐,求其中两个空位相邻另一张空位与这两个空位不 相邻的坐法种数? 3.要排一张有五个独唱和三个和唱节目的演出节目表,如果和唱节目不排头,并且 任何两个和唱节目不相邻,则不同的排法种数是多少? 4.由数字 1,2,3,4,5,组成多少个没有重复数字 1 与 2 不相邻的五位数? 5.由数字 1,2,3,4,5,组成多少个没有重复数字 1 与 2 相邻的五位数? 5.由数字 0,1,2,3,4,5 组成多少个没有重复数字 3 与 4 必须相邻的四位数? 6.由 1,2,3,4,5 这五个数字可以组成多少个没有重复数字且 3 在 4 右边的五位数? 7.9 人成一排,规定甲,乙之间必须有四个人,问有多少种不同的排法? 8.在一张节目表中原有 6 个节目,如果保持这些节目的相对顺序不变,再添加进去三 个节目,求有多少种不同的按排方法? 9.三名男歌唱家和两名女歌唱家联合举办一场音乐会,演出的出场顺序要求两名女 歌唱家之间恰有一名男歌唱家,共有多少出场方案。 10.计划在某画廊展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画、4 幅油画、5 幅国画,排成 一行陈列,要求同品种的画必须连在一起,并且水彩画不放在两端,则不同的陈列方 式。 11.身高互不相同的 7 名运动员站成一排,甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相 邻的排法有多少种? 12.⑴ 四个不同的小球放入四个不同的盒中,一共有多少种不同的放法? ⑵ 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种? 13.马路上有编号为 1,2,3,…,10 的十盏路灯,为节约用电又不影响照明,可以把其中 3 盏灯关掉,但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏,在两端的灯都不能关掉的情况下,有多少 种不同的关灯方法? 三、小结:1.对有约束条件的排列问题,应注意如下类型: ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置;⑵某些元素要求连排(即必须相邻) ; ⑶某些元素要求分离(即不能相邻) ; 2.基本的解题方法: ⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题, 通常是先排特殊元素或特殊位置, 称为优
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先处理特殊元素(位置)法(优限法) ; ⑵ 某些元素要求必须相邻时, 可以先将这些元素看作一个元素, 与其他元素排列 后,再考虑相邻元素的内部排列,这种方法称为“捆绑法” ; ⑶ 某些元素不相邻排列时,可以先排其他元素,再将这些不相邻元素插入空挡, 这种方法称为“插空法” ; ⑷ 在处理排列问题时, 一般可采用直接和间接两种思维形式, 从而寻求有效的解 题途径,这是学好排列问题的根基. 三、查字典法 1 由 0,1,2,3,4,5 六个数字可以组成多少个没有重复数字比 324105 大的数?(297) 练习⑴由数字 1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字且大于 13000 的自然数? ⑵ 由数字 1,2,3,4,5,6 可以组成多少个没有重复数字且比 500000 大的偶数? 3、 用 0、 1、 2、 3、 4 五个数字, 可以组成比 2000 大、 且百位数字不是 3 的四位数有多少个? 2 、求用 0,1,2,3,6,9 六个数码组成符合下列条件的无重复数字的三位数的个数 ①能被 6 整除 ②大于 320 而小于 920 (21 39)

3、由数字 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字能被 3 整除的五位数?(216) 4、数字 0,1,2,3,4 可以组成多少个没有重复数字的⑴四位偶数?⑵个位不是 1 的 四位数。 四、 【检测练习】 1.用 1、2、3、4、5 这 5 个数字组成没有重复数字的 3 位数,其中偶数共有……( ) 2.有 9 个男生,5 个女生排成一排,要求女生排在一起(中间不能有男生),不同的排 有( )种………………………………………………………………………………( ) 3.用 1,2,3,4,5,6,7 这 7 个数字作全排列组成一个七位数,要求在其偶数位上必须是 偶数,奇数位上必须是奇数,这样的七位数共有………………………………( 4.用 0,2,4,6,9 五个数字组成无重复数字的五位偶数,共有( )个 5.用数字 0,1,2,3,4 能组成没有重复数字且比 20000 大的五位数奇数共有 ( )个 )

6.有 3 位老师和 5 位学生照相, 如果老师不排在最左边且老师不相邻, 则不同的排法种数是 7.一台晚会有 6 个节目,其中有两个小品,如果两个小品不连续演出,共有不同的演出顺序 种 8.用 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个无重复数字的五位数?五位奇数?五位偶数? 9.某班一天六节课:语文、英语、数学、物理、体育、自习.按下列要求,分别有多少种排
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课方法①第一节不排体育、自习;②数学不排下午,体育不排在第一、四节. 【几何复习题】求双曲线 x2-4y2=-8 的焦点、顶点坐标,取值范围,实轴、虚轴的长,渐近 线、准线、共轭双曲线的方程,离心率,两准线的距离. 组 合 ⑴

课题:组合、组合数的概念 目的:理解组合的意义,掌握组合数的计算公式. 过程:1.复习排列的有关内容: 2.提出问题: 示例 1: 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动,其中 1 名同学 参加上午的活动,1 名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法? 示例 2: 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动,有多少种不同的选法? 引导观察:示例 1 中不但要求选出 2 名同学,而且还要按照一定的顺序“排列” ,而 示例 2 只要求选出 2 名同学,是与顺序无关的. 引出课题:组合 问题. .. 【应用举例】 1. 下面的问题中属于组合的是(在括号内打√) (1) 集合{0,1,2,3,4}的含两个元素的子集的个数是多少?…………………( ) ; (2) 五个足球队进行循环赛,共要比赛多少场?……………………………… ( ) ;

(3) 从 1?9 中取 2 个相加,有多少个不同的和?………………………………… ( ) 如果相减,有多少个不同的差?…………………………………………… ( ) ; (4) 由没有任何三点共线的五个点可以连成多少条线段?……………………… ( ) 如果连成有向线段,共有多少条?………………………………………… ( ) ;

(5) 某小组有 9 位同学,从中选出正副班长各一人,有多少种不同的选法?… ( ) 若从中选出 2 名代表参加一个会议,有多少种不同的选法?………………( ) 2.列举从 4 个不同元素 a,b,c,d 中取出 3 个元素的所有的组合和排列. 二、新授: 1.组合的概念:一般地,从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素并成一 组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. 注:1.不同元素 2. “只取不排”——无序性 3.相同组合:元素相同

判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题: ⑴ 从 A、B、C、D 四个景点选出 2 个进行游览; (组合)
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⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出 2 个人担任班长和团支部书记. (排列) 2.组合数的概念:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做
m 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数.用符号 C n 表示.

例如:示例 2 中从 3 个同学选出 2 名同学的组合可以为:甲乙,甲丙,乙丙.即
2 有 C3 ? 3 种组合.

又如:从 A、B、C、D 四个景点选出 2 个进行游览的组合:AB,AC,AD,BC,
2 BD,CD 一共 6 种组合,即: C 4 ?6

m 题,关键是看是否与顺序有关. 那么又如何计算 C n 呢?
3 A4 . 3 A3

3 3 3 3 3.组合数公式的推导分步计数原理得: A4 = C4 ,所以: C 4 ? A3 ?

m ⑵ 推广: 一般地, 求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 An , 可以分如下两步: m ① 先求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 C n ;② 求每一个组合中 m m m m m 个元素全排列数 Am ,根据分布计数原理得: An = Cn ? Am

⑶ 组合数的公式:
m Cn ? m An n(n ? 1)(n ? 2) ?(n ? m ? 1) ? m m! Am

或 4.例题讲评

Cm n?

n! m!(n ? m)!

(n, m ? N ? , 且m ? n)

例 1. 6 本不同的书分给甲、乙、丙 3 同学,每人各得 2 本,有多少种不同的分 例 2.4 名男生和 6 名女生组成至少有 1 个男生参加的三人实践活动小组,问组成方法共有 多少种? 3.求下列各题中的 n 的值. (1)
4 Cn ? Pn3

; .

(2)

1 1 7 ? n ? n n C5 C6 10C7

2 3、 C3 99 ? C99 ?

x ?2 2x 、若 C17 ,则 ? C17

x 的值是

小结:①注意约简,②用排列数和组合数公式将等式转化为 n 的一元方程解之.
4.证明下列恒等式
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(1) Cn ? Cn
m

n ?m

; (2) Cn ?1
m

m

m?1 ? Cm n ? Cn
n ?m

小结:组合数的性质:① Cn ? Cn



m m?1 Cm n ?1 ? Cn ? Cn

性质①常用来简化运算,性质②通常用来证明组合恒等式
5、 证(1) Cn ?1 ? Cn
m m?1 m?1 m?1 m?1 m?1 m (2) Cn ?2 ? Cn ? Cn ? 2Cn ? Cm n ?1 ? Cn ?1 ;
x?1 2 x?3 7. 设 x ? N ? , 求 C2 x?3 ? C x ?1 的值.

6.求证: C n ?
m

m ? 1 m ?1 ?C n n?m

【课后检测】 1.下面几个说法中 正确的是个数是…………………………………………………( )

① 组合数就是一个组合中元素的个数; ② 两个组合中的元素完全相同也可能是不同的组合; ③ 从 n 个元素中抽取 m(m≦n)个元素的排列,可以看作先从 n 个元素中抽取 m 个进行组 合,再对 m 个元素进行全排列. A.0
3 5.求值: C100 ?

B.1 ; Cn ?2 ? Cn ?1 ?
2 3

C.2

D.3 .

6.判断下列各命题是排列问题还是组合问题: (1)从五种不同的水稻良种中,选出 3 种: ①分别种在土质一样的三块田里作试验,有多少种方法? ②分别种在土质不同的三块田里作试验,有多少种方法? (2)从 50 件不同的产品中抽出 5 件来检查,有多少种不同的抽法? (3)五个人中互送照片一张,共送了多少张照片? (4)平面内有不共线的三点: ①过其中任意两点作直线,一共可以作多少条直线? ②以其中一点为端点,并过另一点的射线有多少条? (6) ①从 5 本不同的书中选出 2 本借给某人,有多少种不同的借法? 是 是 是 问题. 问题. 问题. 是 是 是 是 问题. 问题. 问题. 问题.

②若从 5 本不同的书中选出 2 本分别借给甲、乙两人,又有多少种不同的借法? 是 7.用排列数或组合数表示下列问题,并计算出结果. (1) 从 3、4、5、7 四个数字中每次取出两个. ①构成多少个不同的分数? ②可以构成多少个不同的真分数? 问题.

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(2) 从 10 名同学在任选出 3 名同学. ①担任三种不同的职务,有多少种不同的选法? ②组成一个代表队参加数学竞赛,有多少种不同的选法? (3) 从 10 本不同的书中任选 3 本. ①个同学每人一本,有多少种不同的借法? ②借给一个同学,有多少种不同的借法? 8. 已知点 P(4,6) ,F 为抛物线 x2=4y 的焦点,点 M 在抛物线上移动,则 MP|+|MF| 的最小值为 【课后检测】
3 1.若 Pn ? 12C2 n ,则 n 等于(

,取得最小值时点 M 的坐标为

.

) )

n 2.已知 m、n、x??且 Cm x ? Cx ,那么 m,n 间的关系是(

89 3. C100 ? C89 99 =(

) .

4.已知 C15 ? C15 , 则 m=
m

m?3

5.根据条件,求 x 的值.
x 2 (1)若 C7 ,则 x= ? C7 2x ?x ;(2)若 C18 ,则 x= ? C16 18

; ;

(3)若 Cx : Cx ? 44 : 3 ,则 x=
3 2

;(4)若 Cx ? Cx ,则 x=
12 8

6.利用组合数的性质进行计算 (1) Cm ? Cm?1 ? Cm ?
5 5 4

95 96 97 ; (2) C94 96 ? C97 ? C98 ? C99 ? 0 2 17 ; (4) C3 ? C1 4 ? C5 ? ? ? C20 ?

; .

2 2 2 (3) C2 2 ? C3 ? C4 ? ? ? C10 ?

7.解下列方程或不等式
x ?x 5 x ?5 (1) C16 ; ? C16
2

?1 3 3 *(2) xCx x ?P x ? 4Cx ?1

(3) P9x ? 6P9x ?2 组 合 ⑵

课题:组合的简单应用及组合数的两个性质 目的:深刻理解排列与组合的区别和联系,熟练掌握组合数的计算公式;掌握组合数的两个 性质,并且能够运用它解决一些简单的应用问题. 过程:2.练习一:

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练习 1:求证: C n ?
m

n m ?1 m m?1 C n ?1 . (本式也可变形为: mCn ? nCn ?1 ) m

4 5 3 7 3 2 3 练习 2:计算:① C10 和 C10 ; ② C7 与 C6 ;③ C11 ? C11 ? C6

答案:① 120,120

② 20,20

③ 792

(此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础. ) 3.练习二: ⑴ 平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条? ⑵ 平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条? 二、新授:
m n ?m 1.组合数的 性质 1: Cn . ? Cn

理解: 一般地,从 n 个不同元素中取出 m 个元素后,剩下 n ? m 个元素.因 为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的每一个组合, 与剩下的 n ? m 个元素的每一 个组合一一对应 ,所以从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,等于从这 n ....
m n ?m 个元素中取出 n ? m 个元素的组合数, 即:Cn . 在这里, 我们主要体现: ? Cn

“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想.
n?m 证明:∵ C n ?

n! n! ? (n ? m)![n ? (n ? m)]! m! (n ? m)!
n! m!(n ? m)!
0 Cn ?1

m 又 Cn ?

∴ Cn ? Cn
m

n ?m

注:1? 我们规定

2? 等式特点:等式两边下标同,上标之和等于下标. 3? 此性质作用:当 m ?

n m n?m 时,计算 C n 可变为计算 C n ,能够使运算简化. 2

2001 2002 ? 2001 1 例如: C 2002 = C2002 = C2002 =2002. x 4? Cn ? Cny ? x ? y 或 x ? y ? n

2.示例一:一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球. ⑴ 从口袋内取出 3 个球,共有多少种取法? ⑵ 从口袋内取出 3 个球,使其中含有 1 个黑球,有多少种取法? ⑶ 从口袋内取出 3 个球,使其中不含黑球,有多少种取法?
3 解:⑴ C8 ? 56 2 ⑵ C7 ? 21 3 ⑶ C7 ? 35

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我们可以这样解释:从口袋内的 8 个球中所取出的 3 个球,可以分为两类:一类含有 1 个黑球,一类不含有黑球.因此根据分类计数原理,上述等式成立.
m 一般地,从 a1 , a2 ,? , an?1 这 n+1 个不同元素中取出 m 个元素的组合数是 Cn ?1 ,这

些 组 合 可 以 分 为 两 类 : 一 类 含 有 元 素 a1 , 一 类 不 含 有 a1 . 含 有 a1 的 组 合 是 从
m?1 共有 Cn 个; 不含有 a1 的 a2 , a3 ,? , an?1 这 n 个元素中取出 m ?1 个元素与 a1 组成的, m 组合是从 a2 , a3 ,? , an?1 这 n 个元素中取出 m 个元素组成的,共有 C n 个.根据分类计

数原理,可以得到组合数的另一个性质.在这里,我们主要体现从特殊到一般的归纳思 想, “含与不含其元素”的分类思想.
m m m?1 3.组合数的 性质 2: Cn . ?1 = C n + C n

注:1? 公式特征:下标相同而上标差 1 的两个组合数之和,等于下标比原下标多 1 而上标与高的相同的一个组合数. 2? 此性质的作用:恒等变形,简化运算.在今后学习“二项式定理”时,我 们会看到它的主要应用. 4.示例二:
3 4 5 6 n n n?1 n?2 ⑴ 计算: C7 ⑵ 求证: Cm ? C7 ? C8 ? C9 ? 2 = C m + 2Cm + C m x ?1 2 x ?3 ⑶ 解方程: C13 ⑷ 解方程: C x ? 2 ? C x ? 2 ? ? C13
0 1 2 3 4
x?2 x ?3

1 3 Ax ?3 10

0 1 2 3 4 5 ⑸ 计算: C4 ? C4 ? C4 ? C4 ? C4 和 C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5 0 1 2 n?1 n 推广: C n ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? Cn ? 2n

5.组合数性质的简单应用: 证明下列等式成立:
k k k k k k ?1 ⑴ (讲解) Cn ?1 ? Cn?2 ? Cn?3 ? ? ? Ck ?1 ? Ck ? Cn

⑵ (练习) Ck ? Ck ?1 ? Ck ?2 ? ? ? Ck ?n ? Cn?k ?1
k k k k

k ?1

⑶ C n ? 2C n ? 3C n ? ? ? nC n ?
1 2 3 n

n 0 1 n (C n ? C n ? ? ? Cn ) 2

三、小结:1.组合数的两个性质; 2.从特殊到一般的归纳思想. 四、作业: 组 合 ⑶
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课题:组合、组合数的综合应用⑴ 目的:进一步巩固组合、组合数的概念及其性质,能够解决一些较为复杂的组合应用问题, 提高合理选用知识的能力. 过程:一、知识复习: 1.复习排列和组合的有关内容: 依然强调:排列——次序性;组合——无序性. 2.排列数、组合数的公式及有关性质
m n ?m 性质 1: Cn ? Cn m m m?1 性质 2: Cn ?1 = C n + C n

0 0 k k ?1 常用的等式: Ck ? Ck ?1 ? Ck ? Ck ?1 ? 1

二、例题评讲: 四分类选取法 1. 有红、黄、蓝三种颜色的小球各五只,都分别标有字母 A、 、B、C、D、E 现再次取 五只 要求字母各不相同且颜色齐备,有多少种不同的取法? 2. 乒乓球的 10 名队员中有三名主力队员,派五名参赛,三名主力队员要求安排在一 、三、五位置,其余 7 名队员选取 2 名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排法有 (252 ) 。 3. 将 5 本不同的书全部分给 3 人,每人至少 1 本,则不同的分法种数? (C51C41+C51C43+C53C21+C51C42+C52C31 +C52C32=150) 4. 有划船运动员 10 员,其中 3 人会划右舷,2 人只会划左舷,其中 5 人既会划右舷又 会划左舷,现在要从这 10 人当中选出 6 人平均分配在一只船的两舷划桨,不考虑在同 一舷中 3 人的顺序,有多少种选法?675 4.现有 8 名青年,其中有 5 名能胜任英语翻译工作;有 4 名青年能胜任德语翻译工作(其 中有 1 名青年两项工作都能胜任) ,现在要从中挑选 5 名青年承担一项任务,其中 3 名从事 英语翻译工作,2 名从事德语翻译工作,则有多少种不同的选法? 5. 数学高考试题的第一大题 15 道选择题,满分 65 分,其中①—⑩题答对一题得 4 分, 第⑾—⒂题答对一题得 5 分。答错或不答均得 0 分,某考生第一大题答对 12 道题,得 分不少于 52 分,问有多少种不同的答题情形?345 ⑹将 n 本不同的书分给 n-1 个人,每个人至少一本(要求全部分完)共有多少种分法? (解先取两本书为一组,其余每本书为一组,将 n-1 份书分给 n-1 个人有 Cn (n-1) ! ⑺四名优等生保送到三所学校,每所学校至少一名,则不同的选送方案是( )
2

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⑻将 10 个名额分配给 7 个班,每个班至少有一个名额的分配方法( ) ⑼将 3 个相同的小球,放在 4 个不同的盒子内,有多少种放法? ⑽四个不同的小球放入编号为 1、2、3、4 四个盒子中,则恰有一个空盒的放法( )

⑾从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少要有甲型和乙型电视机各 1 台,有多少种不同的取法?70 ⑿有 5 个队参加篮球比赛,首轮平均分成三组进行单循环赛,并规定同组的两个队不再 赛第两场,则共进行的比赛有( )场。

13、1、2、 、 、 、100 中每次取不等的两数相乘,使它们的积是 7 的倍数,这样的取法 有多少种? 14.九张卡片分别写着数字 0,1,2,…,8,从中取出三张排成一排组成一个三位数,如 果 6 可以当作 9 使用,问可以组成多少个三位数?
2 1 1 1 1 2 解: 可以分为两类情况: ① 若取出 6, 则有 2( A8 ②若不取 6, 则有 C 7 ? C2 C7 C7 ) 种方法; A7 2 1 1 1 1 2 种方法.根据分类计数原理,一共有 2( A8 ? C2 C7 C7 ) + C 7 A7 =602 种方法.

15、5 件不同礼品分送给 4 人,每人至少一件,而且礼品全部送出,那么送出礼品的方法数 是 有关至多至少 例 1.100 件产品中有合格品 90 件,次品 10 件,现从中抽取 4 件检查. ⑴ 都不是次品的取法有多少种?⑵ 至少有 1 件次品的取法有多少种? ⑶ 不都是次品的取法有多少种? 例 2.从编号为 1,2,3,…,10,11 的共 11 个球中,取出 5 个球,使得这 5 个球的 编号之和为奇数,则一共有多少种不同的取法? 236 例 4.甲、乙、丙三人值周,从周一至周六,每人值两天,但甲不值周一,乙不值周六,问 可以排出多少种不同的值周表 ? 解法一: (排除法) C6 C4 ? 2C5C4 ? C4 C3 ? 42
2 2 1 2 1 1
1 2 解法二:分为两类:一类为甲不值周一,也不值周六,有 C 4 C 4 ;另一类为甲不
1 2 2 2 2 2 值周一,但值周六,有 C4 C 4 + C4 C3 .所以一共有 C 4 C3 =42 种方法.

.

例 5.6 本不同的书全部送给 5 人,每人至少 1 本,有多少种不同的送书方法?
2 解:第一步从 6 本不同的书中任取 2 本“捆绑”在一起看成一个元素有 C 6 种方法;

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5 第二步将 5 个“不同元素(书) ”分给 5 个人有 A5 种方法.根据分步计数原理,一共有 5 2 =1800 种方法. A5 C6

变题 1:6 本不同的书全部送给 5 人,有多少种不同的送书方法? 变题 2: 5 本不 同的书全部送给 6 人,每人至多 1 本,有多少种不同的送书方法? . 变题 3: 5 本相 同的书全部送给 6 人,每人至多 1 本,有多少种不同的送书方法? .
5 5 答案:1. 5 ? 15625; 2. A6 ? 6. ? 720; 3. C6
6

三、小结:1.组合的定义,组合数的公式及其两个性质; 2.组合的应用:分清是否要排序. 四、作业: 组 课题:组合、组合数的综合应用⑵ 目的:对排列组合知识有一个系统的了解,掌握排列组合一些常见的题型及解题方法,能够 运用两个原理及排列组合概念解决排列组合问题. 过程:一、知识复习: 1.两个基本原理;2.排列和组合的有关概念及相关性质. 四、平均分组法 二、例题评讲: 例 1.6 本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法: ⑴ 分给甲、乙、丙三人,每人两本;⑵ 分为三份,每份两本; ⑶ 分为三份,一份一本,一份两本,一份三本; ⑷ 分给甲、乙、丙三人,一人一本,一人两本,一人三本; ⑸ 分给甲、乙、丙三人,每人至少一本.
2 2 2 解:⑴ 根据分步计数原理得到: C6 C4 C2 ? 90种. 2 2 2 ⑵ 分给甲、乙、丙三人,每人两本有 C6 C4 C2 种方法,这个过程可以分两步完成:

合 ⑷

第一步分为三份,每份两本,设有 x 种方法;第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名
3 同学有 A3 种方法.根据分步计数原理可得: C6 C4 C2 ? xC3 ,所以 2 2 2 3
2 2 2 C6 C4 C2 x? ? 15 .因此分为三份,每份两本一共有 15 种方法. 3 A3

注:本题是分组中的“均匀分 组 ”问题. ... .
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1 2 3 ⑶ 这是“不均匀分组”问题,一共有 C6 C5 C3 ? 60 种方法. 1 2 3 3 ⑷ 在⑶的基础上在进行全排列,所以一共有 C6 C5 C3 A3 ? 360种方法. 2 2 2 ⑸ 可以分为三类情况:①“2、2、2 型”即⑴中的分配情况,有 C6 C4 C2 ? 90种 1 2 3 3 方法;②“1、2、3 型”即⑷中的分配情况,有 C6 C5 C3 A3 ? 360种方法;③“1、1、 4 3 4 型” ,有 C6 A3 ? 90 种方法.所以一共有 90+360+90=540 种方法.

⑵有 9 本不同的书,按 2:3:4 ① 分成 3 堆,有几种分法? ② ②分给甲乙丙三个学生,有几种分法? ⑶一堆为 5 本,其余 2 堆本数相等 ④3 堆本数相等 ⑶10 个人按下列要求分组,有多少种不同的分法? ① 平均分成两组。 ② 平均分成两组,一组植树,另一组种草。 ③ 分成三组,各组人数分别为 2,3,5。 ④ 分成三组,两组各三人,另一组 4 人。 ⑤ 分成三组,各组人数分别为 2,3,5,一组植树,一组种草,另一组打扫卫生。 ⑥ 分成四组,两组各两人,另外两组各三人,分别参加四项不同的比赛。
3 故所求方法总数为 C6 ? 20 种方法.

4.有 13 个队参加篮球赛,比赛时先分成两组,第一组 7 个队,第二组 6 个队.各组都进 行单循环赛(即每队都要与本组其他各队比赛一场) ,然后由各组的前两名共 4 个队进行单 循环赛决定冠、亚军,共需要比赛多少场? 七插隔板法 ⑴某运输公司有 7 个车队,每个车队的车多于 4 辆,现在从这 7 个车队中抽出 10 辆车 组成运输队,且每个车队至少 1 辆,则不同的抽法有( )84 ⑵把 10 本相同的笔记本分给 6 名学生,每人至少 1 本,有多少种分法?C9 =126 ⑶方程 a+b+c+d=12 有多少组正整数解?(分析:将 12 个完全相同的球排成一列,在它们之 间形成的 11 个间隙中任意插入 3 块隔板,把球分成 4 堆,而每一种分派所得 4 堆球的各堆 球的数目,即为 a,b,c,d 的一组正整数解,故原方程的正整数解的组数共有 C11 )
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八环行排列:一般地,从 n 个不同元素中取 m 个元素进行环行排列,不同的排列种数 为 Pn /m 1.教师 2 人,学生 6 人,师生 8 人围圆桌而坐,有多少种不同的坐法? 2.在排成 4*4 的方阵的 16 个点中,中心 4 个点在某一个圆内,其余 12 个点在圆外。 在 16 个点中任取 3 个点构成三角形,其中至少有一个顶点在圆内的三角形有( 九“选取次品”模式 1. 某班有 48 名学生,其中有一名正班长,两名副班长,现在要选 5 名学生参加一活 动,其中正、副班长都必须在内有多少种选法?990 2.三名新同学准备转入甲、乙、丙、丁四个班学习,在保证甲班有新同学的前提下每个新同 学去哪个班可由他们自己选择,则有不同的分配方案----------------种。 十表格法(较复杂的问题通过表格直观化) 1、9 人组成篮球队,其中 7 人善打前锋,3 人善打后卫,现从中选 5 人(两卫三锋,且锋分 左、中、右,卫分左、右)组队出场,有多少不同的组队方法?(分析由题设,必有 1 人即 可打锋,又可打卫,则只会锋的有 6 人,只会卫的有 2 人) 人 数 6 人只会锋 3 不同选法 3 2 十一、染色 1、 一个地区分 5 个行政区域,现给地图着色, 一颜色。现有 4 种颜色可供选择,则不同的 2、 5 6 2 4 3 1 2 3 1 4 3、 一个地区分 6 个行政区域, 现给地图着色, 要求相 邻区域不得使用同一颜色。现有 5 种颜色可供选 择,则不同的着色方法共有多少种? 5 要求相邻区域不得使用同 着色方法共有(72 种) 2 人只会卫 2 1 2 1(卫) 1(锋) 1 人即又卫 结 果 A63A22 A63C21A22 C62A33A22 ) 。
m

2、 将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条 棱上的两端点颜色不同;如果 只有 5 种颜色可供使用,求不同的颜色方法总数。420 3、 在一个正六边形的中种植四种不同颜色的植物,要求相邻区域不得种植同一颜色的植

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物,共有多少中种方法? 课后检测】 1.9 件产品中,有 4 件一等品,3 件二等品,2 件三等品,现在要从中抽出 4 件 产品来检查,至少有两件一等品的种数是(
2 A. C2 4 ? C5
3 4 B. C2 4 ? C4 ? C4


2 3 1 4 0 D. C2 4 ? C5 ? C4 ? C5 ? C4 ? C5

2 C. C2 4 ? C5

2.从 8 名男生和 6 名女生中挑选 3 人,最多选 2 名女生的选法种数为( A.288 B.344 C.364 D.624



3.有 4 名男生和 5 名女生,从中选出 5 位代表: (1)要求男生 2 名,女生 3 名且某女生必须在内的选法有 (2)要求男生不少于 2 名的选法有 种. 种. 种;

4.从 1,2,3,4,5,6,7 这七个数字中 ,每次任取两个,和为偶数的取法有 5.圆上有 10 个点: (1) 过每 2 点可画一条弦,一共可画多少条弦? (2) 过每 3 点可画一个圆内接三角形,一共可画多少个圆内接三角形? 8.(1)凸五边形有多少条对角线? (2)凸 n 边形有多少条对角线?

9.某校高中一年级有 6 个班,高二年级有 5 个班,高三年级有 8 个班.各年级分别进行班与 班的排球单循环赛,一共需要比赛多少场? ②一个集合由 8 个不同的元素组成,这个集合中含有 3 个元素的子集有 个.

2.某班有三个小组,分别又 12 人、10 人和 9 人组成,现要选派不属于同一组的两人参加班 际之间的活动,不同的选派方法共有 (A) 318 (B) 465 种. (C) 636 (D) 930.

3.4 名学生和 3 位老师站成一排照相,老师不站在两端,有多少种排法? (选做)4.某班选正、副班长的方法数与选 4 名运动员的方法数之比为 1∶94,求该班 同学的人数? 2.书架上竖排着六本数,现将新购的 3 本书上架,要求不调乱书架上原有的书,那么不同的 上架方式共有多少种? (选做)3.小李打算从 10 位朋友中邀请 4 位去旅游,这 10 位朋友中,有一对双胞胎,对这 两位朋友,要么邀请,要么不邀请.求不同的邀请方案的种数. 一、 排列组合应用题
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类型 1 不带限制条件的排列问题与组合问题 2 带限制条件的排列问题与组合问题 3 排列、组合综合题 1.5 个相同的白子和 3 个相同的黑子紧邻地排成一列,可排得多少种不同的图案? 2.1、2、3、4、7、9 六个数字任取两个作为一个对数的底数和真数可得多少不同的 数值? 2. 从参加决赛的 6 名运动员中决出前 4 名,在这 4 名中甲名列乙前的有多少种可能 的结果? 3. 从 4 位教师 6 个学生中选出 5 人组成一个科研小组,若至少要有 2 位教师参加, 有多少种选法? 4. 有甲、乙、丙三项任务,甲需 2 人承担,乙、丙各需 1 人承担,从 10 人中选派 4 人承担这三项任务,不同的选法有(2520 ) 5. 角 AOB 的两边上除顶点 O 外,OA 上再取 5 点,OB 上再取 4 点,这 10 个点可以连 成多少个三角形? 6. 求以正方体的顶点为顶点的四面体的个数? 7. 平面内有 9 个点,其中只有 4 个点在同一直线上 ⑴过这 9 个点中的每 2 个点,可连几条直线? ⑵过这 9 个点中的每 3 个点,可作几个三角形? ⑶过这 9 个点中的每 4 个点,可作几个四边形?(包括凹四边形) 9(1)空间 10 个点,其中 5 个点在同一平面内,其余再无 4 点共面,过这些点可以连成多 少个棱锥?(2)已知直线 ax+by+c=0 中的是取自集合?-3、-2、-1、0、1、2、3?中的 3 个不 同元素,并且该直线的傾斜角为锐角,求符合这些条件的直线的条数。 12. 、甲、乙、丙、丁四个人分别制作了四张贺卡 a、b、c、d,则他们有多少种交换贺卡的 方式? 例 1:某班有男生 25 人,女生 21 人,现选男生 3 人,女生 2 人分别担任正、副班长、学委、 体委、宣委,问有多少种不同的选举方法? 上题中, (1)如果由 25 名男生中选 3 人担任班长、学委、体委,女生中选 2 人担任副班长、 宣委,问有多少种不同的选法? 2)若 25 名男生中选 3 人,21 名女生中选 2 人,分别担任正、副班长、学委、体委、 宣委,若正班长必须由男生担任,问有多少种不同的选法?
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例 2:从 1 到 9 这 9 个数字中取 5 个数字排列,奇数只能排在个位、十位或百位,问这样的 无重复的五位数有多少个? 例 3: 4 人分住两个房间,每个房间至少住进 1 人,求不同的安排方法数? 例 4 :圆周上有 8 个点,将圆周等分,那么以其中的 3 个点为顶点的直角三角形共有 个. 例 5、一道高考题及推广 2004 浙江 坐标平面上有一质点从原点出发,沿 x 轴跳动每次向左向右跳动一个单位,经过五次跳动, 质点落在(3、0)处(允许重复经过此点)则不同的运动方法数为多少种? 推广: (1)直线上的一般情形,有一质点从原点出发,沿直线跳动每次向左向右跳动一个单 位跳动 n 次跳动到(m、0)点, (允许重复经过此点)则不同的运动方法数为多少种? (3) 平面上一般情形:坐标平面上有一质点从原点出发,沿直线跳动每次向左向右向上向 下跳动一个单位跳动 n 次跳动到( s、t)点, (允许重复经过此点)则不同的运动方 法数为多少种? (4) 空间上一般情形:坐标平面上有一质点从原点出发,沿直线跳动每次向左向右向上向 下向前向后跳动一个单位跳动 n 次跳动到( s、t、p)点, (允许重复经过此点)则 不同的运动方法数为多少种? 十利用方程思想排余 1. 数学试题中选择题第 1-10 题每小题 4 分,第 11-15 题每小题 5 分,考生做选择题的 得分中不同的分值有多少? 二、小结: 1、主要方法: (1)直接法。 (2)间接法。 主要思想:转化,对应思想。 2、排列组合有很多“成题” ,也有很多解题“套路”与“技巧” ,但本质上排列组合是一 种计数的方法,是一种“分类” 、 “分步”解决问题的方法,所以不能只记套路忘了实 质。 二项式定理---1 定理 一、 复习填空: 1. 在 n=1,2,3,4 时,研究(a+b) 的展开式. (a+b) = (a+b) =
2 1 n

, ,
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(a+b) = (a+b) = 2. 列出上述各展开式的系数:
4

3

, .

3.这些系数中每一个可看作由它肩上的两个数字 吗?(a+b) = 4.计算: C 0 4= , C1 4=
4 5

得到.你能写出第五行的数字

. , C2 4= , C3 4= , C4 4= . .用这些组合数表示 (a+b)
4

的展开式是:(a+b) = 二、定理: (a+b) = 做二项式定理, 公式右边的多项式叫做 (a+b) 的 叫做 第 项,展开式共有 例题:1.展开 ( x ? , 个项. 2. 展开 (2 x ?
n n

(n ? N ),这个公式表示的定理叫 , 其中 C r n(r=0,1,2,……,n)

叫做二项展开式的通项,通项是指展开式的

1 4 ) ; x

1 x

)6 .

小结:求展开式中的指定项一般用通项公式,当指数 n 不是很大时,也可用定理展开, 再找指定项. 3.计算: (1) (0.997) 的近似值(精确到 0.001) (2) (1.002) 的近视值(精确到 0.001). 三 、课后检测 1.求(2a+3b) 的展开式的第 3 项. 2.求(3b+2a) 的展开式的第 3 项. 3.写出 (3 x ?
3 6 6 6 3

1 2 x
7

3

) n 的展开式的第 r+1 项.

4.求(x +2x) 的展开式的第 4 项的二项式系数,并求第 4 项的系数. 5.用二项式定理展开:

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(1) (a ? 3 b ) 9 ;

(2) (

x 2 7 ? ) . 2 x
1 2 ? 1 2 4

6.化简: (1) (1 ? x ) ? (1 ? x ) ;
5 5

(2) (2x ? 3x

) ? (2x ? 3x )

1 2

?

1 2 4

二项式定理---2 通项应用---求指定项 一、复习填空: (a+b) n= 叫 做 二 项 式 定 理 , 公 式 右 边 的 多 项 式 叫 做 (a+b) (r=0,1,2,……,n) 叫做 通项是指展开式的第 二、应用举例: 1. ( 项,展开式共有 , 个项.
n

(n ? N ),这个公式表示的定理 的 , 其 中 Cr n 叫做二项展开式的通项,

x a
2

?

a x
1 a

) 6 的展开式中,第五项是…………………………………………(



2. (3 a ?

)15 的展开式中,不含 a 的项是第……………………………(

)项

3.二项式(z-2)6 的展开式中第 5 项是-480,求复数 z. 4.求二项式 (3 3 ?

1 2

) 7 的展开式中的有理项.

三、练习及课后检测 1. ( x ?

1 9 ) 的展开式中含 x3 的项是 x

. ) ) )

2.二项式 ( 3i ? x)10 的展开式中的第八项是………………………………( 3. (5 3 ? 7 5 ) 24 的展开式中的整数项是…………………………………( 4. (3x ?

2 2

) n 展开式中第 9 项是常数项,则 n 的值是………………… (

5. ( 2 ? di ) 9 的展开式中的第 7 项是………………………………………( 6. (2x ?
3



1 10 ) 展开式的常数项是 x2

.

7. (| x | ?

1 ? 2) 3 展开式的常数项是 |x|

.

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8.在 (

x b ? 3 )18 的展开式中,第 b x

项是中间项,中间项是

.

9.已知(10+xlgx)5 的展开式中第 4 项为 106,求 x 的值. *10.若(1-2x)5 展开式中的第 2 项小于第 1 项,且不小于第 3 项,求实数 x 的取值范围. 二项式 3---求指定项的系数 一、定理复习 1.(a+b) = (r=0,1,2,……,n)叫做 2.通项表示展开式中的第 二、例题与练习 1.(x-2)9 的展开式中,第 6 项的二项式系数是……………………………( 2.若 ( x ? ) ) ; 项,通项公式是 .
n

(n ? N ),共有

个项,其中 C r n

1 11

) n 的展开式中的第三项系数等于 6,则 n 等于………………(


3.多项式(1-2x)5(2+x)含 x3 项的系数是…………………………………( 4.求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5 的展开式中,x2 的系数 5.二项式 ( x x ? 三、课后检测 1.在 (x ? 3)10 的展开式中,x6 的系数是……………………………( 2.在(x2+3x+2)5 的展开式中,x 的系数为…………………………( 3.(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)50 展开式中 x3 的系数是………………( ) )

1 n ) 的展开式中第三项系数比第二项系数大 44,求第 4 项的系数. x4



4. (1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)10 的展开式中,含 x8 的系数是… ( 5.在 ( x ?



1 8 ) 的展开式中,求 x4 的系数与 x- 4 的系数之差. x
.

6.(1-x)5(1+x+x2)4 的展开式中,含 x7 项的系数是 7.已知(1+

2 n ) 展开式中含 x-2 的项的系数为 12,求 n. x
.

8.x(1-x)4+x2(1+2x)5+x3+(1-3x)7 的展开式中,x4 项的系数是 二项式定理 4---整除问题 一、 例题选讲

1.求 4713 被 5 除所得的余数. 2.求 x10-3 除以(x-1)2 所得的余式.

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3.求证 34n+2+52n+1 能被 14 整除. 二、练习与检测 1.10110-1 的末尾连续零的个数是…………………………………( ) )

n ?1 n ?2 ?1 2.若 n 为奇数,7n+ C1 ? C2 ? ? ? ? ? Cn n7 n7 n 7 被 9 除所得的余数是……(

3.5n+13n(n ? N )除以 3 的余数是……………………………………( 4.求 5555 除以 8 所得的余数. 5.用二项式定理证明 6363+17 能被 16 整除. 6.求 9192 除以 100 的余数. 1. 今天是星期二,不算今天,251 天后的第一天是星期几? 二项式 5---二项式系数 一、 复习、思考、填空:
n



1.(a+b) 的展开式的二项式系数是 2.组合数的性质 1 是 3.写出(a+b) 的展开式: (1) 观察二项式系数的变化规律; (2) 二项式系数最大的是 项.
10





4.下面二项展开式中,那些项的二项式系数最大?是多少?分别填在相应的横线上 (1)(a+b) (2)(a+b) 二、
19

第 第

项的二项式系数最大,是 项的二项式系数最大,是

; .

20

二项式系数的性质:

性质 1:在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等 即
n ?m Cm n ? Cn

其中 m=0,1,2,3,……,n

性质 2:如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是 奇数,中间两项的二项式系数最大; 性质 3: C n ? C n ? C n ? ? ? ? ? C n ? ? ? ? ? C n ? 2
0 1 2 k n n

性质 4 : (a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和 . 即
2 4 1 3 5 C0 n ? C n ? C n ? ? ? ? ? C n ? C n ? C n ? ? ? ? =2n-1

[注意] 三、

二项展开式中各项的系数与各项的二项式系数的区别. 例题与练习
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1.(1-x2)9 展开式中系数最大的项是 式系数最大的项是 .

,系数最小的项是

,二项

说明:注意项与项数的区别;系数与二项式系数的区别. 2.若 (3

1 5 1 n ? ) 的展开式中,所有奇数项的系数之和为 1024,求它的中间项. x x2

四、课后检测 1.(a+b)n 展开式中第四项与第六项的系数相等,则 n 为…………………( 2.二项式(1-x)4n+1 的展开式系数最大的项是……………………………( ) ) )

3.若(a+b)n 的展开式中,各项的二项式系数和为 8192,则 n 的值为………( 4.(a+b)2n 的展开式中二项式系数最大的是………………………………( D.当 n 为偶数时,是第 n+1 项;当 n 为奇数时,是第 n 项. 5.(a-b)99 的展开式中,系数最小的项是……………………………………(
2 3 7 6. C1 7 ? C7 ? C7 ? ? ? ? ? C7 ? 3 5 7 . 7. C1 8 ? C8 ? C8 ? C8 =



) .

8.若(a+ a )n 的展开式中,奇数项的系数和等于 512,求第八项. 9. ( x ?

1
3

x

) n 的展开式的各项系数和为 32,求这个展开式的常数项.
二项式定理测试题

一、

选择题

1.已知(2a3+

1 n ) 的展开式的常数项是第 7 项,则 n 的值为………………( a
) ) ) )



2.在(x2+3x+2)5 的展开式中,x2 的系数为………………………………( 3.(x-

1 y-2z)8 的展开式中 x6yz 的系数是……………………………… ( 2

4. 设(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)50=a0+a1x+a2x2+…+a50x50,则 a3=………( 5.数(1.05)6 的计算结果精确到 0.01 的近视值是………………………(

6.在(ax+1)7 的展开式中,(a>1),x3 的系数是 x2 的系数与 x4 的系数的等差中项,则 a 的值 是………………………………………………( ) )

7.(x+1)(2x+1)(3x+1)…(nx+1)的展开式中,x 的系数是…………………( 8.(1+x+x2+x3)4 的展开式中,奇次项系数和是………………………( 9. C 4 ?
0

) )

20 ? 19 20 ? 19 ? 18 ? 17 20 ? 19 ? 18 ? ? ? ? ? 3 ? 2 ? 1 ? ? ??? ? 的值是 ( 2! 4! 20!
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10.(1-2x)15 的展开式中的各项系数和是……………………… ( 二、填空题



1 n ) 展开式中第五项是常数项,则展开式中系数最大的项是 x 1 13 12. ( x y ? y x ) 展开式的中间项是 . 2
11.若( 3 x ? 13.(|x|+

.

1 ? 2 )3 的展开式中,所有常数项的和是 |x|

. .

14.在(x2-x-1)n 的展开式中,奇次项的系数和为-128,则系数最小的项是 三、解答题 15.已知(x +
3

1 n ) 的展开式中, 只有第六项的二项式系数最大, 求展开式中不含 x 的项. x2

16.设 f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、n ? N ),若其展开式中,关于 x 的一次项系数为 11,试 问:m、n 取何值时,f(x)的展开式中含 x2 项的系数取最小值,并求出这个最小值.

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