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高考数学《圆锥曲线》知识点总结和例题详解


圆锥曲线
一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中,如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一 个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲 线叫 做方程的曲线. 点与曲线的关系 若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0, 则点 P0(x0,y0)在曲线 C 上 ? f(x0,y 0)=0; 点 P0(x0,y0)不在曲线 C 上 ? f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点 若曲线 C1,C2 的方程分别为 f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点 P0(x0,y0)是 C1,C2 的交点 ? f2(x0,y0) =0 方程组有 n 个不同的实数解,两条曲线就有 n 个不同的交点;方程组没有实数解,曲线 就没有 交点. 2.圆 圆的定义 点集: {M||OM|=r} ,其中定点 O 为圆心,定长 r 为半径. 圆的方程 (1)标准方程 圆心在 c(a,b),半径为 r 的圆方程是 (x-a) +(y-b) =r 圆心在坐标原点,半径为 r 的圆方程是 x +y =r (2)一般方程? 当 D +E -4F>0 时,一元二次方程 x +y +Dx+Ey+F=0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

D E 叫 做 圆 的 一 般 方 程 , 圆 心 为 (,,半径是 2 2
x +y +Dx+Ey+F=0 化为 (x+
2 2

D 2 + E 2 - 4F .配方,将方程 2

D 2 E 2 D 2 + E 2 - 4F ) +(y+ ) = 2 2 4

-1-

当 D +E -4F=0 时,方程表示一个点 (2 2

2

2

D E ,- ); 2 2

当 D +E -4F<0 时,方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心 C(a,b),半径为 r,点 M 的坐标为(x0,y0),则 |MC|<r ? 点 M 在圆 C 内, |MC|=r ? 点 M 在圆 C 上, |MC|>r ? 点 M 在圆 C 内, 其中|MC|= (x 0 - a) + (y 0 - b) .
2 2

(3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交 ? 有两个公共点 直线与圆相切 ? 有一个公共点 直线与圆相离 ? 没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心 C(a,b)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d=

Aa + Bb + C A2 + B 2

与半径 r 的大小关系来判

定. 3.椭圆、双曲线和抛物线 椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表. 曲 性 质 线 椭 圆 双曲线 抛物线

点 集: ({M || MF1+ | 轨迹条件 MF2 | =2a,|F 1F2 | < 2a=

点集:{M||MF1 |-| MF2|. =±2a,|F2F2|>2a}.

点集{M| |MF|=点 M 到直线 l 的距离}.





-2-

标准方程

x2 y2 + =1(a>b>0) a 2 b2

x2 y2 =1(a > 0,b > a 2 b2
0)

y2=2px(p>0)





A1(-a,0),A2(a,0); B1(0,-b),B2(0,b) 对称轴 x=0,y=0

A1(0,-a),A2(0,a)

O(0,0)



长轴长:2a 短轴长:2b

对称轴 x=0,y=0 实轴长:2a 虚轴长:2b F1(-c,0),F2(c,0) 焦点在实轴上 |F1F2|=2c, c= a2 + b2

对称轴 y=





F1(-c,0),F2(c,0) 焦点在长轴上 |F1F2|=2c,

F(

P ,0) 2

焦点对称轴上





c= a2 - b2

a2 x=± c
准 线 准线垂直于长轴,且在 椭圆外. 离心率

a2 x=± c
准线垂直于实轴,且在 两顶点的内侧.

x=-

p 2

准线与焦点位于顶点 两侧,且到顶点的距离 相等. e=1

c e= ,0<e<1 a

c e= ,e>1 a

4.圆锥曲线的统一定义 平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距 离之 比是一个常数 e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线. 其中定点 F(c,0)称为焦点,定直线 l 称为准线,正常数 e 称为离心率. 当 0<e<1 时,轨迹为椭圆 当 e=1 时,轨迹为抛物线 当 e>1 时,轨迹为双曲线 5.坐标变换 坐标变换 在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)

叫做 坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改 变点 的坐标与曲线的方程. 坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变

换叫 做坐标轴的平移,简称移轴. 坐标轴的平移公式 设平面内任意一点 M,它在原坐标系 xOy 中的坐标是 9x,y),在新坐
-3-

标系 x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点 O′在原坐标系 xOy 中的坐标是 (h,k),则 x=x′+h (1) y=y′+k 或(2) y′=y-k x′=x-h

公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程? 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.











线

对称轴 x=h y=k x=h y=k x=h y=k x=h y=k y=k y=k x=h x=h

(x - h) 2 (y - k) 2 + =1 a2 b2
椭圆

(±c+h,k)

a2 x=± +h c a2 y=± +k c


(x - h) 2 (y - k) 2 + =1 b2 a2 (x - h) 2 (y - k) 2 =1 a2 b2
双曲线

(h,±c+k)

(±c+h,k)

a2 +k c a2 +k c

(y - k) 2 (x - h) 2 =1 a2 b2
(y-k) =2p(x-h) (y-k) =-2p(x-h) 抛物线 (x-h) =2p(y-k) (x-h) =-2p(y-k)
2 2 2 2

(h,±c+h)

y=±

p +h,k) 2 p (- +h,k) 2 p (h, +k) 2 p (h,+k) 2
(

p +h 2 p x= +h 2 p y=- +k 2 p y= +k 2
x=-

二、知识点、能力点提示 知识点、 (一)曲线和方程,由已知条件列出曲线的方程,曲线的交点 说明 在求曲线方程之前必须建立坐标系,然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在

求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形,是否满足已知条件,只有这样求 出的曲线方 程才能准确无误.另外,要求会判断 曲线间有无交点,会求曲线的交点坐标.

三、

考纲中对圆锥曲线的要求: 考纲中对圆锥曲线的要求

-4-

考试内容: . 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程; . 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质; . 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质; 考试要求: . (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,理解椭圆的参数方程; . (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质; . (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质; . (4)了解圆锥曲线的初步应用。 四.对考试大纲的理解 . 高考圆锥曲线试题一般有 3 题(1 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 22 分左右, 考查的知 识点约为 20 个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查以圆锥 曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下,一般较容易得分,解答题常作为数学高考中的 压轴题,综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力,重点考 查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥 曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解,在复习应充分重视。 求圆锥曲线的方程 【复习要点】 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查识图、画图、数形结合、等价转 化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,解决好这类问题,除要求熟练掌握好 圆锥曲线的定义、性质外,命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一 起命制难度较大的题,解决这类问题常用定义法和待定系数法. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤. 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式——根据“形”设方程的形式, 注意曲线系方程的应用, 如当椭圆的焦点不确定在哪个 坐标轴上时,可设方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0). 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小. 【例题】 【例1】 双曲线 】
x2 y2 ? =1(b∈N)的两个焦点 F1、F2,P 为双曲线上一点, 4 b2

|OP|<5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则 b2=_________. 解:设 F1(-c,0) 2(c,0)、P(x,y),则 、F |PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)<2(52+c2), 即|PF1|2+|PF2|2<50+2c2, 又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|,
-5-

依双曲线定义,有|PF1|-|PF2|=4, 依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2 17 ∴16+8c2<50+2c2,∴c2< , 3 又∵c2=4+b2< 答案:1 【例2】 已知圆 C1 的方程为 (x ? 2)2 + ( y ? 1)2 = 】
x2 a
2

5 17 ,∴b2< ,∴b2=1. 3 3
20 ,椭圆 C2 的方程为 3

+

y2 b
2

=1

(a > b > 0) ,C2 的离心率为

2 ,如果 C1 与 C2 相交于 A、B 两点,且线段 AB 恰 2

为圆 C1 的直径,求直线 AB 的方程和椭圆 C2 的方程。 解:由 e = 设椭圆方程为
2 c 2 2 , a = 2c 2 , b 2 = c 2 . ,得 = 2 a 2

x2 2b
2

+

y2 b2

= 1.

设 A( x1 , y1 ).B( x2 , y 2 ).由圆心为(2,1).
∴ x1 + x2 = 4, y1 + y 2 = 2.
y



2 x1

2b 2

+

2 y1

b2

= 1,

2 x2

2b 2 2b 2

+

2 y2

b2 +

= 1, = 0.
F2 O

A

两式相减,得

2 2 x1 ? x 2

2 2 y1 ? y 2

b2

C1

( x1 + x2 )( x1 ? x 2 ) + 2( y1 + y 2 )( y1 ? y 2 ) = 0,
y ? y2 = ?1. 又 x1 + x 2 = 4. y1 + y 2 = 2.得 1 x1 ? x 2

F1 B

x

∴ 直线AB的方程为 y ? 1 = ?( x ? 2)..

即 y = ?x + 3 将 y = ? x + 3代入
x2 y2 + 2 = 1, 得 2 2b b

3 x 2 ? 12 x + 18 ? 2b 2 = 0.

Q 直线AB与椭圆C 2 相交.∴ ? = 24b 2 ? 72 > 0.

由 AB = 2 x1 ? x 2 = 2 ( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 =

20 . 3

得 2?

24b 2 ? 72 = 3
b 2 = 8.

20 . 3

解得

故所有椭圆方程

x2 y2 + = 1. 16 8

-6-

【例3】 过点(1,0)的直线 l 与中心在原点,焦点在 x 轴上且离心率为 】 相交于 A、B 两点,直线 y=

2 的椭圆 C 2

1 x 过线段 AB 的中点,同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于 2

直线 l 对称,试求直线 l 与椭圆 C 的方程. 解法一:由 e=
c 2 a2 ? b2 1 2 2 = ,得 = ,从而 a =2b ,c=b. a 2 2 a2

设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上. 则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得, (x12-x22)+2(y12-y22)=0,
y1 ? y 2 x + x2 . =? 1 2( y1 + y 2 ) x1 ? x 2

设 AB 中点为(x0,y0),则 kAB=-

x0 , 2 y0
B

y 1 y= x

1 1 又(x0,y0)在直线 y= x 上,y0= x0, 2 2

2

于是-

x0 =-1,kAB=-1, 2 y0

F2

o

F1 A

x

设 l 的方程为 y=-x+1. 右焦点(b,0)关于 l 的对称点设为(x′,y′),
? y′ ? x′ ? b = 1 ?x′ = 1 ? 则? 解得? ? y′ = 1 ? b ? y′ = ? x′ + b + 1 ?2 2 ?

由点(1,1-b)在椭圆上,得 1+2(1-b)2=2b2,b2= ∴所求椭圆 C 的方程为 解法二:由 e=

9 2 9 ,a = . 16 8

8 x 2 16 2 + y =1,l 的方程为 y=-x+1. 9 9

c 2 a 2 ? b2 1 2 2 = ,得 = ,从而 a =2b ,c=b. a 2 2 a2

设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k(x-1), 将 l 的方程代入 C 的方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2b2=0, 则 x1+x2=
4k 2 1 + 2k
2

,y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=-

2k 1 + 2k 2

.

直线 l:y=

x + x 2 y1 + y 2 1 ?k 1 2k 2 x 过 AB 的中点( 1 , ),则 = ? , 2 2 2 1 + 2k 2 2 1 + 2k 2

解得 k=0,或 k=-1. 若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线 l 的对称点就是 F 点本身, 不能在椭圆 C 上, 所以 k=0 舍去,从而 k=-1,直线 l 的方程为 y=-(x-1),即 y=-x+1,以下同解法一.

-7-

解法 3:设椭圆方程为

x2 a2

+

y2 b2

= 1(a > b > 0) (1)

直线 l 不平行于 y 轴,否则 AB 中点在 x 轴上与直线 y = 故可设直线 l的方程为y = k ( x ? 1) (2)

1 x过AB 中点矛盾。 2

(2)代入(1)消y整理得:k 2 a 2 + b 2 ) x 2 ? 2k 2 a 2 x + a 2 k 2 ? a 2 b 2 = 0 (3) (
设A( x1,y1 ) B( x 2,y 2 ) , 知:x1 + x 2 =
又y1 + y 2 = k ( x1 + x 2 ) ? 2k代入上式得: 2k 2 a 2 k 2a 2 + b2

k?

2 2k 1 k 2a2 + b2 1 b2 1 = , ∴ k ? 2k ? = ,∴ k ? k ? 2 = , 又e = 2 2 x1 + x 2 2 2 2 2 2k a ka 2b 2 a2 =? 2(a 2 ? c 2 ) a2 = ?2 + 2e 2 = ?1 , ∴ 直线l的方程为y = 1 ? x ,

∴k = ?

此时a 2 = 2b 2 , 方程(3)化为3x 2 ? 4 x + 2 ? 2b 2 = 0 , ? = 16 ? 24(1 ? b 2 ) = 8(3b 2 ? 1) > 0

∴b >

3 , 椭圆C的方程可写成:x 2 + 2 y 2 = 2b 2 (4) , 又c 2 = a 2 ? b 2 = b 2 , 3

∴ 右焦点F (b,) , 设点F关于直线l的对称点( x 0,y 0 ) , 0

? y0 ?x ? b =1 ? 则? 0 ? x 0 ? 1,y 0 = 1 ? b , ? y0 = 1 ? x0 + b ?2 2 ? 又点(1,? b)在椭圆上,代入 (4)得: + 2(1 ? b) = 2b 2 ,∴b = 1 1
∴b 2 = 9 , 16 a2 = 9 8
x2 y2 + =1 9 9 8 16

3 3 > , 4 3

所以所求的椭圆方程为:

【例4】 如图,已知△P1OP2 的面积为

27 ,P 为线段 P1P2 的一个三等分点,求以直 4 13 的双曲线 2

线 OP1、OP2 为渐近线且过点 P 的离心率为 方程.

y

P2

解:以 O 为原点,∠P1OP2 的角平分线为 x 轴建立如图所示 的直角坐标系.
o P x P1

-8-

设双曲线方程为 由 e2=
c2

x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>0,b>0)

b 13 2 b 3 = 1 + ( )2 = ( ) ,得 = . a 2 a 2 a
2

∴两渐近线 OP1、OP2 方程分别为 y= 设点 P1(x1,

3 3 x 和 y=- x 2 2

3 3 x1),P2(x2,- x2)(x1>0,x2>0), 2 2
P1 P =2, PP2

则由点 P 分 P1 P2 所成的比 λ= 得 P 点坐标为(

x1 + 2 x 2 x1 ? 2 x 2 , ), 3 2 x2 a2 ? 4y2 9a 2 9a 2

又点 P 在双曲线 所以
( x1 + 2 x 2 ) 2 9a 2

=1 上, =1, ①
13 x2 2

?

( x1 ? 2 x 2 ) 2

即(x1+2x2)2-(x1-2x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2
又 | OP1 |= x1 2 +

9 2 13 9 x1 = x1 , | OP |= x 2 2 + x 2 2 = 4 2 4 3 2× 2 tan P1Ox 2 = 12 sin P1OP2 = = 2 9 13 1 + tan P1Ox 1 + 4 1 1 13 12 ∴ S ?P1OP2 = | OP1 | ? | OP2 | ? sin P1OP2 = ? x1 x 2 ? = 2 2 4 13

27 , 4

即 x1x2=

9 2



由①、②得 a2=4,b2=9 故双曲线方程为
x2 y2 ? =1. 4 9

【例5】 过椭圆 C: 】

y2 a
2

+

x2 b
2

= 1(a > b > 0) 上一动点 P 引圆 O:x2 +y2 =b2 的两条切线

PA、PB,A、B 为切点,直线 AB 与 x 轴,y 轴分别交于 M、N 两点。(1) 已知 P 点坐标为 (x0,y0 )并且 x0y0≠0,试求直线 AB 方程;(2) 若椭圆的短轴长为 8,并且
a2 | OM |
2

+

b2 | ON |
2

=

25 ,求椭圆 C 的方程;(3) 椭圆 C 上 16

是否存在点 P,由 P 向圆 O 所引两条切线互相垂直?若存在,请 求出存在的条件;若不存在,请说明理由。 解:(1)设 A(x1,y1),B(x2, y2) 切线 PA: x1 x + y1 y = b 2 ,PB: x 2 x + y 2 y = b 2
-9-

∵P 点在切线 PA、PB 上,∴ x1 x0 + y1 y 0 = b 2 ?x 2 x 0 + y 2 y 0 = b 2 ∴直线 AB 的方程为 x 0 x + y 0 y = b 2 ( x 0 y 0 ≠ 0) (2)在直线 AB 方程中,令 y=0,则 M(
b2 b2 ,0);令 x=0,则 N(0, ) x0 y0



a2 | OM | 2

+

b2 | ON | 2

=

2 2 a 2 y0 x0 a 2 25 ( 2 + )= 2 = 2 b2 16 b a b



∵2b=8

∴b=4 代入①得 a2 =25, b2 =16
y2 x2 + = 1( xy ≠ 0) 25 16

∴椭圆 C 方程:

(注:不剔除 xy≠0,可不扣分)

(3) 假设存在点 P(x0,y0)满足 PA⊥PB,连接 OA、OB 由|PA|=|PB|知, 四边形 PAOB 为正方形,|OP|= 2 |OA| 又∵P 点在椭圆 C 上
2 由①②知 x 0 =

2 2 ∴ x 0 + y 0 = 2b 2



2 2 ∴ a 2 x0 + b 2 y 0 = a 2 b 2
2 , y0 =



b 2 (a 2 ? 2b 2 ) a2 ? b2

a 2b 2 a2 ? b2

∵a>b>0

∴a2 -b2>0

(1)当 a2-2b2>0,即 a> 2 b 时,椭圆 C 上存在点,由 P 点向圆所 引两切线互相垂直; (2)当 a2-2b2<0,即 b<a< 2 b 时,椭圆 C 上不存在满足条件的 P 点 、F ,点 F1 到相应的准线的 【例6】 已知椭圆 C 的焦点是 F1(- 3 ,0) 2( 3 ,0) 】 距离为
3 , F2 点且倾斜角为锐角的直线 l 与椭圆 C 交于 A、 两点, 过 B 使得|F2B|=3|F2A|. 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求直线 l 的方程. 解: (1)依题意,椭圆中心为 O(0,0) c = 3 ,
2 点 F1 到相应准线的距离为 b = 3 ,∴ b 2 = 3 × 3 = 1 ,

c

3

a =b +c =1+3=4
2 ∴所求椭圆方程为 x + y 2 = 1 4

2

2

2

y

l P A M x N

(2)设椭圆的右准线 l ′ 与 l 交于点 P,作 AM⊥ l ′ ,AN⊥ l ′ , 垂足 分别为 M、N. 由椭圆第二定义,
F1 O B

F2

- 10 -

得 | AF2 | = e ?| AF2 |= e | AM | | AM | 同理|BF2|=e|BN| 由 Rt△PAM~Rt△PBN,得 | PA |=
∴ cos ∠PAM = | AM | 1 = = | PA | 2e

1 2
1

| AB |= 2 | F 2 A |= 2e | AM | …9 分
= 3 ? l 的斜率 k = tan ∠PAM = 2 . 3

3 2× 2

∴直线 l 的方程 y = 2 ( x ? 3 )

即 2x ? y ? 6 = 0

(-1, ,(1, , 是平面上一动点, 0) C 0) P 且满足 | PC | ? | BC |= PB ? CB. 【例7】 已知点 B 】 (1)求点 P 的轨迹 C 对应的方程; (2)已知点 A(m,2)在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD 和 AE,且 AD⊥AE,判断: 直线 DE 是否过定点?试证明你的结论. (3)已知点 A(m,2)在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD,AE,且 AD,AE 的斜率 k1、 k2 满足 k1·k2=2.求证:直线 DE 过定点,并求出这个定点. 解: (1)设 P ( x, y )代入 | PC | ? | BC |= PB ? CB得 ( x ? 1) 2 + y 2 = 1 + x, 化简得 y 2 = 4 x.
(2)将A(m,2)代入y 2 = 4 x得m = 1,∴点A的坐标为(1,2). 设直线AD的方程为y ? 2 = k ( x ? 1)代入y 2 = 4 x, 得y 2 ? 由y1 = 2可得y 2 = 4 8 y + ? 4 = 0, k k

4 4 4 ? 2,∴ D ( 2 + 1, ? 2). k k k 1 同理可设直线AE : y ? 2 = ? ( x ? 1), 代入y 2 = 4 x得E (4k 2 + 1,?4k ? 2). k 4 + 4k ( x ? 4k 2 ? 1), 化简得 则直线DE方程为 : y + 4k + 2 = k 4 k 2 ? 4k k 2 ( y + 2) + k ( x ? 5) ? ( y + 2) = 0, 即y + 2 = ? k k ?1
2

( x ? 5), 过定点(5,?2).

(3)将A(m,2)代入y 2 = 4 x得m = 1, 设直线DE的方程为y = kx + b, D ( x1, y1 ), E ( x1, y1 ) ? ? y = kx + b 由? 2 得k 2 x 2 + 2(kb ? 2) x + b 2 = 0, ? y = 4x ? y ? 2 y2 ? 2 Q k AD ? k AE = 2,∴ 1 ? = 2( x1, x2 ≠ 1), x1 ? 1 x2 ? 1

- 11 -

且y1 = kx1 + b, y 2 = kx 2 + b ∴ (k 2 ? 2) x1 x 2 + (kb ? 2k + 2)( x1 + x 2 ) + (b ? 2) 2 ? 2 = 0, 将x1 + x 2 = ? 2(kb ? 2) k
2

, x1 x 2 =

b2 k
2

代入化简得b 2 = (k ? 2) 2 ,∴ b = ±(k ? 2).

∴ b = ±(k ? 2). 将b = k ? 2代入y = kx + b得y = kx + k ? 2 = k ( x + 1) ? 2, 过定点(?1,?2). 将b = 2 ? k代入y = kx + b得y = kx + 2 ? k = k ( x ? 1) + 2, 过定点(1,2), 不合, 舍去, ∴ 定点为(?1,?2)
x2 a
2

【例8】 已知曲线 】

?

y2 b
2

= 1(a > 0, b > 0)的离心率e =
3 . 2

2 3 ,直线 l 过 A(a,0) 、 3

B(0,-b)两点,原点 O 到 l 的距离是 (Ⅰ)求双曲线的方程;

(Ⅱ)过点 B 作直线 m 交双曲线于 M、N 两点,若 OM ? ON = ?23 ,求直线 m 的方程. 解: (Ⅰ)依题意, l方程 x + y = 1, 即bx ? ay ? ab = 0, 由原点 O 到 l 的距离 a ?b 为 3 ,得
2

ab a +b
2 2

=

ab 3 = c 2

又e = c = 2 3
a 3

∴ b = 1, a = 3

故所求双曲线方程为

x2 ? y2 = 1 3

(Ⅱ)显然直线 m 不与 x 轴垂直,设 m 方程为 y=kx-1,则点 M、N 坐标( x1 , y1 ) 、 ( x 2 , y 2 )是方程组
? y = kx ? 1 ? 2 ?x 2 ? ? y =1 ?3

的解

消去 y,得 (1 ? 3k 2 ) x 2 + 6kx ? 6 = 0


6k 6 , x1 x 2 = 2 2 3k ? 1 3k ? 1

依设, 1 ? 3k 2 ≠ 0, 由根与系数关系,知 x1 + x2 =

OM ? ON = ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y 2 ) = x1 x2 + y1 y 2 = x1 x2 + (kx1 ? 1)(kx2 ? 1)
2 2 = (1 + k 2 ) x1 x 2 ? k ( x1 + x 2 ) + 1 = 6(1 + k ) ? 6k + 1 2 2

3k ? 1

3k ? 1

=

6 +1 3k 2 ? 1

Q OM ? ON = ?23

3k ? 1 1 当 k=± 时,方程①有两个不等的实数根 2
2



6

+ 1 =-23,k=±

1 2

故直线 l 方程为 y = 1 x ? 1, 或y = ? 1 x ? 1 2 2 【例9】 已知动点 P 与双曲线 】
x2 y2 ? = 1 的两个焦点 F 1 、 F2 的距离之和为定值, 2 3
- 12 -



cos ∠F1 PF2 的最小值为 ?

1 . 9

(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若已知 D (0,3) , M 、 N 在动点 P 的轨迹上且 DM = λ DN ,求实数 λ 的取值范围. 解: (1)由已知可得: c = 5 , ∴ a2 = 9 ∴
, b2 = a2 ? c2 = 4 a 2 + a 2 ? ( 2c ) 2 2a
2

=?

1 9

所求的椭圆方程为

x2 y2 + =1. 9 4

(2)方法一: 由题知点 D、M、N 共线,设为直线 m,当直线 m 的斜率存在时,设为 k,则直线 m 的方程 为 y = k x +3 代入前面的椭圆方程得 (4+9k 2) x 2 +54 k +45 = 0 ①
5 . 9

由判别式 ? = (54k ) 2 ? 4 × (4 + 9k 2 ) × 45 ≥ 0 ,得 k 2 ≥ 再设 M (x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2),则一方面有

DM = ( x1 , y1 ? 3) = λ DN = λ ( x 2 , y 2 ? 3) = (λx 2 , λ ( y 2 ? 3)) ,得

? x1 = λx 2 ? ? y1 ? 3 = λ ( y 2 ? 3)

另一方面有 x1 + x 2 = ?

54k 4 + 9k 2

, x1 x 2 =

45 4 + 9k 2



将 x1 = λx 2 代入②式并消去 x 2 可得
324λ 5(1 + λ )
2

=

4 k
2

+ 9 ,由前面知, 0 < ≤ 81 ,解得 5

4 k
2



36 5

∴ 9<

324λ 5(1 + λ )
2

1 <λ <5. 5 1 5

又当直线 m 的斜率不存在时,不难验证: λ = 或λ = 5 , 所以
1 ≤ λ ≤ 5 为所求。 5

方法二:同上得
? x1 = λx 2 ? ? y1 ? 3 = λ ( y 2 ? 3)

设点 M (3cosα,2sinα),N (3cosβ,2sinβ) ?cos α = λ cos β 则有 ? ?2 sin α ? 3 = λ (2 sin β ? 3)

- 13 -

由上式消去α并整理得
sin β = 13λ2 ? 18λ + 5 12(λ2 ? λ )

,

由于 ?1 ≤ sin β ≤ 1

∴ ?1 ≤

13λ2 ? 18λ + 5 12(λ ? λ )
2

≤ 1 , 解得

1 ≤ λ ≤ 5 为所求. 5

方法三:设法求出椭圆上的点到点 D 的距离的最大值为 5,最小值为 1. 进而推得 λ 的取值范围为
1 ≤λ ≤5。 5

【求圆锥曲线的方程练习】 求圆锥曲线的方程练习】 练习 一、选择题 1.已知直线 x+2y-3=0 与圆 x2+y2+x-6y+m=0 相交于 P、Q 两点,O 为坐标原点,若 OP⊥OQ,则 m 等于( A.3 ) B.-3 C.1 D.-1

2.中心在原点,焦点在坐标为(0,±5 2 )的椭圆被直线 3x-y-2=0 截得的弦的中点的横 坐标为
A.

1 ,则椭圆方程为( 2

)
B. 2x 2 2 y 2 + =1 75 25 x2 y2 D. + =1 75 25

2x 2 2 y 2 + =1 25 75 x2 y2 C. + =1 25 75

二、填空题 3.直线 l 的方程为 y=x+3,在 l 上任取一点 P,若过点 P 且以双曲线 12x2-4y2=3 的焦点作 椭圆的焦点,那么具有最短长轴的椭圆方程为_________. 4.已知圆过点 P(4,-2)、Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 ,则该圆的 方程为_________. 三、解答题 5.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个焦点为 F,M 是椭圆上的任意 点,|MF|的最大值和最小值的几何平均数为 2,椭圆上存在着以 y=x 为轴的对称点 M1 和 M2, 且|M1M2|=
4 10 ,试求椭圆的方程. 3

6.某抛物线形拱桥跨度是 20 米,拱高 4 米,在建桥时每隔 4 米需用一支柱支撑,求其 中最长的支柱的长.

- 14 -

7.已知圆 C1 的方程为(x-2)2+(y-1)2=
x2 a
2

20 ,椭圆 C2 的方程为 3

+

y2 b
2

=1(a>b>0), 2 的离心率为 C

2 , 如果 C1 与 C2 相交于 A、 2

B 两点,且线段 AB 恰为圆 C1 的直径,求直线 AB 的方程和椭圆 C2 的方程.

参考答案 一、1.解析:将直线方程变为 x=3-2y,代入圆的方程 x2+y2+x-6y+m=0, 得(3-2y)2+y2+(3-2y)+m=0. 整理得 5y2-20y+12+m=0,设 P(x1,y1)、Q(x2,y2) 则 y1y2=
12 + m ,y1+y2=4. 5

又∵P、Q 在直线 x=3-2y 上, ∴x1x2=(3-2y1)(3-2y2)=4y1y2-6(y1+y2)+9 故 y1y2+x1x2=5y1y2-6(y1+y2)+9=m-3=0,故 m=3. 答案:A 2.解析:由题意,可设椭圆方程为: 即方程为
y2
50 + b 2

y2 a2

+

x2 b2

=1,且 a2=50+b2,

+

x2 b2

=1.

将直线 3x-y-2=0 代入,整理成关于 x 的二次方程. 由 x1+x2=1 可求得 b2=25,a2=75. 答案:C 二、3.解析:所求椭圆的焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|. 欲使 2a 最小,只需在直线 l 上找一点 P.使|PF1|+|PF2|最小,利用对称性可解.? 答案:
x2 y2 + =1 5 4

4.解析:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2
?(4 ? a) 2 + (?2 ? b) 2 = r 2 ? ? 则有 ?(?1 ? a) 2 + (3 ? b) 2 = r 2 ? 2 2 2 ?| a | +(2 3 ) = r ? ?a = 1 ?a = 5 ? ? ? ?b = 0 或?b = 4 ? 2 ? 2 ?r = 13 ?r = 27

- 15 -

由此可写所求圆的方程. 答案:x2+y2-2x-12=0 或 x2+y2-10x-8y+4=0 三、5.解:|MF|max=a+c,|MF|min=a-c,则(a+c)(a-c)=a2-c2=b2, ∴b2=4,设椭圆方程为
x2 a
2

+

y2 =1 4

① ②
2

设过 M1 和 M2 的直线方程为 y=-x+m 将②代入①得:(4+a )x -2a mx+a m -4a =0 设 M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2 的中点为(x0,y0), 则 x0=
1 a2m 4m (x1+x2)= ,y0=-x0+m= . 2 2 4+a 4 + a2
a2m 4+a
2
2 2 2 2 2



代入 y=x,得

=

4m 4 + a2

,
4a 2 4 + a2

由于 a2>4,∴m=0,∴由③知 x1+x2=0,x1x2=- 又|M1M2|= 2 ( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 =
4 10 , 3

,

代入 x1+x2,x1x2 可解 a2=5,故所求椭圆方程为:

x2 y2 =1. + 5 4

6.解:以拱顶为原点,水平线为 x 轴,建立坐标系, 如图,由题意知,|AB|=20,|OM|=4,A、B 坐标分别为(-10,-4) 、(10,-4) 设抛物线方程为 x2=-2py,将 A 点坐标代入,得 100=-2p×(-4),解得 p=12.5, 于是抛物线方程为 x2=-25y.

由题意知 E 点坐标为(2,-4),E′点横坐标也为 2,将 2 代入得 y=-0.16,从而|EE′|= (-0.16)-(-4)=3.84.故最长支柱长应为 3.84 米. 7.解:由 e=
2 x2 y2 ,可设椭圆方程为 2 + 2 =1, 2 2b b

又设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1+x2=4,y1+y2=2, 又
x1 2 2b 2 + y1 2 b2 = 1, x2 2 2b 2 + y22 b2

=1,两式相减,得

x1 2 ? x 2 2 2b 2

+

y1 2 ? y 2 2 b2

=0,

即(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0.

- 16 -

化简得

y1 ? y 2 =-1,故直线 AB 的方程为 y=-x+3, x1 ? x2

代入椭圆方程得 3x2-12x+18-2b2=0. 有 ?=24b2-72>0,又|AB|= 2 ( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 = 得 2?
24b 2 ? 72 = 9 20 ,解得 b2=8. 3

20 , 3

故所求椭圆方程为

x2 y2 + =1. 16 8

直线与圆锥曲线 【复习要点】 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置 关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、 函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较 高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能. 1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题, 实际上是研究它们的方程组成的方 程是否有实数解成实数解的个数问题,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法. 2.当直线与圆锥曲线相交时: 涉及弦长问题, 常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用 弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点 坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化, 往往就能事半功倍.

【例题】 【例1】 已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭圆交于 P 】 和 Q,且 OP⊥OQ,|PQ|=
10 ,求椭圆方程. 2

解:设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0),P(x1,y1),Q(x2,y2) 由?
? ?y = x + 1 得(m+n)x2+2nx+n-1=0, ?mx 2 + ny 2 = 1 ?

?=4n2-4(m+n)(n-1)>0,即 m+n-mn>0, 由 OP⊥OQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0, ∴
2(n ? 1) 2n ? +1=0,∴m+n=2 m+n m?n 4(m + n ? mn) 10 2 =( ) , m+n 2



又2

- 17 -

将 m+n=2,代入得 m·n= 由①、②式得 m= 故椭圆方程为

3 4



3 1 3 1 ,n= 或 m= ,n= 2 2 2 2

x2 3 2 3 1 + y =1 或 x2+ y2=1. 2 2 2 2

【例2】 如图所示,抛物线 y2=4x 的顶点为 O,点 A 的坐标为(5,0),倾斜角为 】

π
4



直线 l 与线段 OA 相交(不经过点 O 或点 A)且交抛物线于 M、N 两点,求△AMN 面积最大 时直线 l 的方程,并求△AMN 的最大面积. 解:由题意,可设 l 的方程为 y=x+m,-5<m<0. 由方程组 ?
?y = x + m ? ,消去 y,得 x2+(2m-4)x+m2=0……………① ? y 2 = 4x ?

∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N, ∴方程①的判别式 ?=(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0, 解得 m<1,又-5<m<0,∴m 的范围为(-5,0) 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4-2m,x1·x2=m2, ∴|MN|=4 2(1 ? m ) . 点 A 到直线 l 的距离为 d=

5+ m 2

.

∴S△=2(5+m) 1 ? m ,从而 S△2=4(1-m)(5+m)2 =2(2-2m)·(5+m)(5+m)≤2(
2 ? 2m + 5 + m + 5 + m 3 ) =128. 3

∴S△≤8 2 ,当且仅当 2-2m=5+m,即 m=-1 时取等号. 故直线 l 的方程为 y=x-1,△AMN 的最大面积为 8 2 . 【例3】 已知双曲线 C:2x2-y2=2 与点 P(1,2)。(1)求过 P(1,2)点的直线 l 的斜率 】 取值范围,使 l 与 C 分别有一个交点,两个交点,没有交点。(2)若 Q(1,1),试判断以 Q 为中点的弦是否存在. 解:(1)当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=1, 与曲线 C 有一个交点. 当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1), 代入 C 的方程,并整理得 (2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0………………(*)

- 18 -

(ⅰ)当 2-k2=0,即 k=± 2 时,方程(*)有一个根,l 与 C 有一个交点 (ⅱ)当 2-k2≠0,即 k≠± 2 时 ?=[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k) ①当 ?=0,即 3-2k=0,k= ②当 ?>0,即 k<
3 时,方程(*)有一个实根,l 与 C 有一个交点. 2

3 3 ,又 k≠± 2 ,故当 k<- 2 或- 2 <k< 2 或 2 <k< 时, 方程(*) 2 2

有两不等实根,l 与 C 有两个交点. ③当 ?<0,即 k>
3 时,方程(*)无解,l 与 C 无交点. 2 3 ,或 k 不存在时,l 与 C 只有一个交点; 2

综上知:当 k=± 2 ,或 k= 当 2 <k< 当 k>

3 ,或- 2 <k< 2 ,或 k<- 2 时,l 与 C 有两个交点; 2

3 时,l 与 C 没有交点. 2

(2)假设以 Q 为中点的弦存在,设为 AB,且 A(x1,y1),B(x2,y2),则 2x12-y12=2,2x22-y22=2 两 式相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1-x2)=y1-y1 即 kAB=
y1 ? y 2 =2 x1 ? x 2

但渐近线斜率为± 2 ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点,所以假设不正确,即以 Q 为中点 的弦不存在. 【例4】 如图,已知某椭圆的焦点是 F1(-4,0)、F2(4,0),过点 F2 并垂直于 x 轴的 】 直线与椭圆的一个交点为 B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2)满足条 件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列. (1)求该弦椭圆的方程; (2)求弦 AC 中点的横坐标; (3)设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m, 求 m 的取值范围. 解: (1)由椭圆定义及条件知, 2a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5, 又 c=4,所以 b= a 2 ? c 2 =3. 故椭圆方程为
x2 y2 + =1. 25 9
F1 o F2 B' A B C x y

- 19 -

(2)由点 B(4,yB)在椭圆上,得|F2B|=|yB|= 据椭圆定义,有|F2A|=

9 25 4 .因为椭圆右准线方程为 x= ,离心率为 ,根 4 5 5

4 25 4 25 ( -x1),|F2C|= ( -x2), 5 4 5 4

由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得
4 25 4 25 9 ( -x1)+ ( -x2)=2× ,由此得出:x1+x2=8. 5 4 5 4 5

设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则 x0=

x1 + x 2 =4. 2

(3)解法一:由 A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.

?9 x1 + 25 y1 = 9 × 25 ? 得? ?9 x 2 2 + 25 y 2 2 = 9 × 25 ?
2 2

① ②

①-②得 9(x12-x22)+25(y12-y22)=0, 即 9× ( 将 (k≠0) 即 k=
x1 + x 2 y + y2 y ? y2 ) + 25( 1 )?( 1 ) =0(x1≠x2) 2 2 x1 ? x 2

x1 + x 2 y + y2 y ? y2 1 1 = x 0 = 4, 1 = y0 , 1 =? (k≠0)代入上式,得 9×4+25y0(- )=0 x1 ? x 2 k k 2 2

25 y0(当 k=0 时也成立). 36

由点 P(4,y0)在弦 AC 的垂直平分线上,得 y0=4k+m, 16 25 所以 m=y0-4k=y0- y0=- y0. 9 9 由点 P(4,y0)在线段 BB′(B′与 B 关于 x 轴对称)的内部, 得-
9 9 16 16 <y0< ,所以- <m< . 5 5 5 5

解法二:因为弦 AC 的中点为 P(4,y0),所以直线 AC 的方程为 y-y0=-
1 (x-4)(k≠0) k



将③代入椭圆方程

x2 y2 =1,得 + 25 9

(9k2+25)x2-50(ky0+4)x+25(ky0+4)2-25×9k2=0 所以 x1+x2=
50(k 0 + 4) 9k + 25
2

=8,解得 k=

25 y0.(当 k=0 时也成立) 36

(以下同解法一).
2 2 【例5】 已知双曲线 G 的中心在原点,它的渐近线与圆 x + y ? 10 x + 20 = 0 相 】

切.过点 P ( ?4, 0 ) 作斜率为

1 的直线 l ,使得 l 和 G 交于 A, B 两点,和 y 轴交于点 C , 4
2

并且点 P 在线段 AB 上,又满足 PA ? PB = PC .

- 20 -

(1)求双曲线 G 的渐近线的方程; (2)求双曲线 G 的方程; (3)椭圆 S 的中心在原点,它的短轴是 G 的实轴.如果 S 中垂直于 l 的平行弦的中点的 轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分,求椭圆 S 的方程. (1)设双曲线 G 的渐近线的方程为: y = kx , 解: 则由渐近线与圆 x + y ? 10 x + 20 = 0 相切可得:
2 2

5k k2 +1

= 5.

所以, k = ±

1 . 2 1 x. 2

双曲线 G 的渐近线的方程为: y = ±

(2)由(1)可设双曲线 G 的方程为: x 2 ? 4 y 2 = m . 把直线 l 的方程 y = 则 x A + xB =

8 , 3

1 ( x + 4 ) 代入双曲线方程,整理得 3x 2 ? 8 x ? 16 ? 4m = 0 . 4 16 + 4m x A xB = ? (*) 3
2

∵ PA ? PB = PC , P, A, B, C 共线且 P 在线段 AB 上, ∴

( xP ? xA )( xB ? xP ) = ( xP ? xC )

2



即: ( xB + 4 )( ?4 ? x A ) = 16 ,整理得: 4 ( xA + xB ) + x A xB + 32 = 0 将(*)代入上式可解得: m = 28 . 所以,双曲线的方程为

x2 y2 ? = 1. 28 7 x2 y2 + = 1 a > 2 7 .下面我们来求出 S 中垂直于 l 28 a 2

(3)由题可设椭圆 S 的方程为: 的平行弦中点的轨迹.

(

)

设弦的两个端点分别为 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , MN 的中点为 P ( x0 , y0 ) ,则

? x12 y12 + =1 ? ? 28 a 2 . ? 2 2 ? x2 + y2 = 1 ? 28 a 2 ?
两式作差得:

( x1 ? x2 )( x1 + x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 + y2 )
28 + a2
- 21 -

=0

由于

y1 ? y2 = ?4 , x1 + x2 = 2 x0 , y1 + y2 = 2 y0 x1 ? x2
x0 4 y0 ? = 0, 28 a 2

所以,

所以,垂直于 l 的平行弦中点的轨迹为直线

x 4y ? = 0 截在椭圆 S 内的部分. 28 a 2

a2 1 2 又由题, 这个轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分, 所以, = . 所以,a = 56 , 112 2
椭圆 S 的方程为:

x2 y2 + = 1. 28 56

点评:解决直线与圆锥曲线的问题时,把直线投影到坐标轴上(也即化线段的关系为横坐 点评 标(或纵坐标)之间的关系)是常用的简化问题的手段;有关弦中点的问题,常常用到“设 而不求”的方法;判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具) . 【例6】 设抛物线过定点 A ( ?1, 0 ) ,且以直线 x = 1 为准线. 】 (1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M , N ,且线段 MN 恰被直线 x = ? 弦 MN 的垂直平分线的方程为 y = kx + m ,试求 m 的取值范围. (1)设抛物线的顶点为 G ( x, y ) ,则其焦点为 F ( 2 x ? 1, y ) .由抛物线的定义可知: 解:

1 平分,设 2

AF = 点A到直线x = 1的距离=2 .
所以, 4 x + y = 2 .
2 2

所以,抛物线顶点 G 的轨迹 C 的方程为: x +
2

y2 =1 4

( x ≠ 1) .

(2)因为 m 是弦 MN 的垂直平分线与 y 轴交点的纵坐标,由 MN 所唯一确定.所以,要 求 m 的取值范围,还应该从直线 l 与轨迹 C 相交入手. 显然,直线 l 与坐标轴不可能平行,所以,设直线 l 的方程为 l : y = ? 方程得:

1 x + b ,代入椭圆 k

? 4k 2 + 1 ? 2 2bx + b2 ? 4 = 0 ? ?x ? k k2 ? ?

- 22 -

由于 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M , N ,所以,? =

? 4k 2 + 1 ? 2 4b 2 ? 4? ? ( b ? 4 ) > 0 ,即: 2 k2 ? k ?

4k 2 ? k 2 b 2 + 1 > 0

(*) ( k ≠ 0) .

又线段 MN 恰被直线 x = ?

1 2bk ? 1? 平分,所以, xM + xN = = 2×?? ?. 2 2 4k + 1 ? 2?

4k 2 + 1 所以, bk = . ?2
代入(*)可解得: ?

3 3 <k< 2 2

( k ≠ 0) .

下面,只需找到 m 与 k 的关系,即可求出 m 的取值范围.由于 y = kx + m 为弦 MN 的垂 直平分线,故可考虑弦 MN 的中点 P ? ?

? 1 ? , y0 ? . ? 2 ?

1 1 1 1 4k 2 + 1 在 l : y = ? x + b 中,令 x = ? ,可解得: y0 = +b = ? = ?2 k . k 2 2k 2k 2k
将点 P ? ?

3k ? 1 ? , ?2k ? 代入 y = kx + m ,可得: m = ? . 2 ? 2 ? 3 3 3 3 <m< 且m ≠ 0 . 4 4

所以, ?

从以上解题过程来看,求 m 的取值范围,主要有两个关键步骤:一是寻求 m 与其它参数 之间的关系,二是构造一个有关参量的不等式.从这两点出发,我们可以得到下面的另一种 解法: 解法二.设弦 MN 的中点为 P ? ?

? 1 ? , y0 ? ,则由点 M , N 为椭圆上的点,可知: ? 2 ?

2 2 ? ? 4 xM + yM = 4 . ? 2 2 ? 4 xN + y N = 4 ?













B



4 ( xM ? xN )( xM + xN ) + ( yM ? yN )( yM + yN ) = 0
又 由 于 M P

- 23 -

B'

? 1? xM + xN = 2 × ? ? ? = ?1, ? 2?
又点 P ? ?

yM + yN = 2 y0 ,

yM ? y N y 1 = ? ,代入上式得: k = ? 0 . xM ? xN k 2

1 ? 1 ? , y0 ? 在弦 MN 的垂直平分线上,所以, y0 = ? k + m . 2 ? 2 ? 1 3 k = y0 . 2 4

所以, m = y0 + 由点 P ? ?

1 ? 1 ? ,所以, , y0 ? 在线段 BB’上(B’、B 为直线 x = ? 与椭圆的交点,如图) 2 ? 2 ?

y B ' < y0 < y B .
也即: ? 3 < y0 < 所以, ?

3.

3 3 3 3 <m< 且m ≠ 0 4 4

点评:解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时,对于消元后的一元二次方程,必须讨论 点评 二次项系数和判别式,有时借助图形的几何性质更为方便. 涉及弦中点问题,利用韦达定理或运用平方差法时(设而不求),必须以直线与圆锥曲 线相交为前提,否则不宜用此法. 从构造不等式的角度来说, “将直线 l 的方程与椭圆方程联立所得判别式大于 0”与“弦 MN 的中点 P ? ?

? 1 ? , y0 ? 在椭圆内”是等价的. ? 2 ?

【例7】 设抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点为 F,经过点 F 的直线与抛物线交于 A、B 】 两点.又 M 是其准线上一点.试证:直线 MA、MF、MB 的斜率成等差数列.

证明 依题意直线 MA、MB、MF 的斜率显然存在,并分别设为 k1 , k2 , k3 点 A、B、M 的坐标分别为 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y 2 ) ,M( ? 由“AB 过点 F(
p ,0) ”得 2
p ,m) 2

l AB : x = ty +

p 2

将上式代入抛物线 y 2 = 2 px 中得: y 2 ? 2 pty ? p 2 = 0 可知
y1 y 2 = ? p 2

?

又依“ y1 2 = 2 px1 及 y 2 2 = 2 px 2 ”可知

- 24 -

x1 +

2 p y1 p 1 = + = ( y1 2 + p 2 ) 2 2p 2 2p

x2 +

2 p y2 p p4 p p 2 = + = + = ( y1 + p 2 ) 2 2 2 p 2 2 py1 2 2 y1 2

因此

k1 + k 2 =

y1 ? m y 2 ? m + p p x1 + x2 + 2 2

=

2 p ( y1 ? m)
2

2 y1 2 (? +
2

p2 ? m) y1

p( y1 + p 2 )
2

p( y1 + p 2 )

=?

2m p

而 k3 =

m 0?m =? p p p ? (? ) 2 2

故 k1 + k 2 = 2k3 即直线 MA、MF、MB 的斜率成等差数列. 【例8】 已知 a =(x,0), b =(1,y) ( a + 3 b) ⊥( a ? 3 b) 】 (1)求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l :y=kx+m(km≠0)与曲线 C 交于 A、B 两端,D(0,-1),且有|AD|=|BD|,试求 m 的取值范围。 解: (1) a + 3 b = ( x,0) + 3 (1, y ) = ( x + 3 , 3 y )

a ? 3 b = ( x,0) ? 3 (1, y ) = ( x ? 3 ,? 3 y )
∵ ( a + 3 b ) ⊥ ( a ? 3 b) ∴ ( a + 3 b) ? ( a ? 3 b) =0 得

∴ ( x + 3 )( x ? 3 ) + 3 y ? (? 3 y ) = 0 ∴P 点的轨迹方程为

x2 ? y2 =1 3

x2 ? y2 =1 3
消去 y,得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0(*)

? y = kx + m ? (2)考虑方程组 ? x 2 2 ? ? y =1 ?3
显然 1-3k2≠0

△=(6km)2-4(-3m2-3)=12(m2+1)-3k2>0 6km 设 x1,x2 为方程*的两根,则 x1 + x 2 = 1 ? 3k 2 x + x2 3km m ∴ x0 = 1 = y 0 = kx0 + m = 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 3km m 故 AB 中点 M 的坐标为( , ) 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

- 25 -

∴线段 AB 的垂直平分线方程为: y ?

m 1 3km = (? )( x ? ) 2 k 1 ? 3k 1 ? 3k 2

将 D(0,-1)坐标代入,化简得:4m=3k2-1
2 ? 2 ?m + 1 ? 3k > 0 故 m、k 满足 ? ,消去 k2 得:m2-4m>0 ?4m = 3k 2 ? 1 ?

解得:m<0 或 m>4 又∵4m=3k2-1>-1 ∴m>-

1 4

1 故 m ∈ (? ,0) ∪ (4,+∞) . 4

【直线与圆锥曲线练习】 直线与圆锥曲线练习】 一、选择题 1.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 A.2 B.
4 5 5
x2 +y2=1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为( 4

)

C.

4 10 5

D.

8 10 5

2.抛物线 y=ax2 与直线 y=kx+b(k≠0)交于 A、B 两点,且此两点的横坐标分别为 x1,x2,直线 与 x 轴交点的横坐标是 x3,则恒有( A.x3=x1+x2 C.x1+x2+x3=0 二、填空题 3.已知两点 M(1, ②x2+y2=3,③ _________. 4.正方形 ABCD 的边 AB 在直线 y=x+4 上,C、D 两点在抛物线 y2=x 上,则正方形 ABCD 的面积为_________. 5.在抛物线 y2=16x 内,通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是 _________. 三、解答题 6.已知抛物线 y2=2px(p>0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两点 A、B,且|AB|≤2p. (1)求 a 的取值范围. (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,
o F B
- 26 -

) B.x1x2=x1x3+x2x3 D.x1x2+x2x3+x3x1=0

5 5 )、N(-4,- ),给出下列曲线方程:①4x+2y-1=0, 4 4

x2 2 x2 +y =1,② - y2=1,在曲线上 存在 点 P 满足 |MP|=|NP|的 所有曲线方 程是 2 2

y A

N x

求△NAB 面积的最大值. 7.已知中心在原点,顶点 A1、A2 在 x 轴上,离心率 e= (1)求双曲线方程. (2)动直线 l 经过△A1PA2 的重心 G,与双曲线交于不同的两点 M、N,问:是否存在直线 l,使 G 平分线段 MN,证明你的结论. 8.已知双曲线 C 的两条渐近线都过原点,且都以点 A( 2 ,0)为圆心,1 为半径的圆相 切,双曲线的一个顶点 A1 与 A 点关于直线 y=x 对称. (1)求双曲线 C 的方程. (2)设直线 l 过点 A,斜率为 k,当 0<k<1 时,双曲线 C 的上支上有且仅有一点 B 到直线 l 的距离为 2 ,试求 k 的值及此时 B 点的坐标.
21 的双曲线过点 P(6,6). 3

直线与圆锥曲线参考答案 一、1.解析:弦长|AB|= 2 ? 答案:C 2.解析:解方程组 ? 即可. 答案:B 二、3.解析:点 P 在线段 MN 的垂直平分线上,判断 MN 的垂直平分线于所给曲线是否存 在交点. 答案:②③② 4.解析: C、 所在直线方程为 y=x+b,代入 y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长, 设 D 利用|CD| 的长等于两平行直线 y=x+4 与 y=x+b 间的距离,求出 b 的值,再代入求出|CD|的长. 答案:18 或 50 5.解析:设所求直线与 y2=16x 相交于点 A 、 B,且 A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得 y12=16x1,y22=16x2,两式相减得,(y1+y2)(y1-y2)=16(x1-x2). 即
y1 ? y 2 16 = ? kAB=8. x1 ? x 2 y1 + y 2
4 ? 5 ? t 2 4 10 ≤ . 5 5

? y = ax 2 k b b ? ,得 ax2-kx-b=0,可知 x1+x2= ,x1x2=- ,x3=- ,代入验证 a a k ? y = kx + b ?

故所求直线方程为 y=8x-15. 答案:8x-y-15=0 三、 6.解: (1)设直线 l 的方程为: y=x-a,代入抛物线方程得(x-a)2=2px,即 x2-2(a+p)x+a2=0

- 27 -

∴|AB|= 2 ? 4(a + p) 2 ? 4a 2 ≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即 4ap≤-p2 又∵p>0,∴a≤-
p . 4

(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点 C(x,y), 由(1)知,y1=x1-a,y2=x2-a,x1+x2=2a+2p, 则有 x=
x1 + x 2 y + y 2 x1 + x 2 ? 2a = a + p, y = 1 = =p. 2 2 2 | a + 2p ? a | 2

∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y-p=-(x-a-p),从而 N 点坐标为(a+2p,0)? 点 N 到 AB 的距离为 从而 S△NAB=
= 2p

1 ? 2 ? 4(a + p) 2 ? 4a 2 ? 2 p = 2 p 2ap + p 2 2 p 时,S 有最大值为 2 p2. 4

当 a 有最大值-

7.解:(1)如图,设双曲线方程为 a2=9,b2=12.

x2 y 2 a 2 + b 2 21 62 62 ? 2 =1.由已知得 2 ? 2 = 1, e 2 = = ,解得 3 a2 b a b a2

所以所求双曲线方程为

x2 y2 ? =1. 9 12

(2)P、A1、A2 的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0) , ∴其重心 G 的坐标为(2,2) 假设存在直线 l,使 G(2,2)平分线段 MN,设 M(x1,y1),N(x2,y2).则有
?12 x1 2 ? 9 y1 2 = 108 ? y ? y 2 12 4 4 ?12 x 2 2 ? 9 y 2 2 = 108 ? 1 = = ,∴kl= ? x1 ? x 2 9 3 3 ? x1 + x 2 = 4 ?y + y = 4 2 ? 1

∴l 的方程为 y=

4 (x-2)+2, 3

?12 x 2 ? 9 y 2 = 108 ? 由? ,消去 y,整理得 x2-4x+28=0. 4 y = ( x ? 2) ? 3 ?

∵?=16-4×28<0,∴所求直线 l 不存在.

- 28 -

8.解:(1)设双曲线的渐近线为 y=kx,由 d=

| 2k | k2 +1

=1,解得 k=±1.

即渐近线为 y=±x,又点 A 关于 y=x 对称点的坐标为(0, 2 ). ∴a= 2 =b,所求双曲线 C 的方程为 x2-y2=2. (2)设直线 l: y=k(x- 2 )(0<k<1 ) ,依题意 B 点在平行的直线 l′上, l 与 l′间的距离为 2 . 且 设直线 l′:y=kx+m,应有
| 2k + m | k +1
2

= 2 ,化简得 m +2 2 km=2.
2



把 l′代入双曲线方程得(k2-1)x2+2mkx+m2-2=0, 由 ?=4m2k2-4(k2-1)(m2-2)=0. 可得 m2+2k2=2 ② 、 ③ 两 式 相 减 得 k= x=
?mk k 2 ?1



2 m, 代 入 ③ 得 m2=

2 , 解 设 m= 5

10 2 5 ,k= ,此时 5 5

= 2 2 ,y= 10 .故 B(2 2 , 10 ).

直线与圆锥曲线 【复习要点】 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置 关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、 函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较 高,起到了拉开考生“档次” ,有利于选拔的功能. 1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题, 实际上是研究它们的方程组成的方 程是否有实数解成实数解的个数问题,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法. 2.当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即 应用弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦 的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵 活转化,往往就能事半功倍.

【例题】 【例9】 已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭圆交于 P 】 和 Q,且 OP⊥OQ,|PQ|=
10 ,求椭圆方程. 2

解:设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0),P(x1,y1),Q(x2,y2)

- 29 -

由?

?y = x + 1 ? 得(m+n)x2+2nx+n-1=0, ?mx 2 + ny 2 = 1 ?

Δ=4n2-4(m+n)(n-1)>0,即 m+n-mn>0,
由 OP⊥OQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0, ∴
2(n ? 1) 2n ? +1=0,∴m+n=2 m+n m?n



又2

4(m + n ? mn) 10 2 =( ) , m+n 2

将 m+n=2,代入得 m·n= 由①、②式得 m= 故椭圆方程为

3 4



3 1 3 1 ,n= 或 m= ,n= 2 2 2 2

x2 3 2 3 1 + y =1 或 x2+ y2=1. 2 2 2 2

【例10】 如图所示,抛物线 y2=4x 的顶点为 O,点 A 的坐标为(5,0),倾斜角为 】

π
4



直线 l 与线段 OA 相交(不经过点 O 或点 A)且交抛物线于 M、N 两点,求△AMN 面积最大 时直线 l 的方程,并求△AMN 的最大面积. 解:由题意,可设 l 的方程为 y=x+m,-5<m<0. 由方程组 ?
? ?y = x + m ,消去 y,得 x2+(2m-4)x+m2=0……………① 2 ? ? y = 4x

∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N, ∴方程①的判别式Δ=(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0, 解得 m<1,又-5<m<0,∴m 的范围为(-5,0) 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4-2m,x1·x2=m2, ∴|MN|=4 2(1 ? m ) . 点 A 到直线 l 的距离为 d=

5+ m 2

.

∴S△=2(5+m) 1 ? m ,从而 S△2=4(1-m)(5+m)2 =2(2-2m)·(5+m)(5+m)≤2(
2 ? 2m + 5 + m + 5 + m 3 ) =128. 3

∴S△≤8 2 ,当且仅当 2-2m=5+m,即 m=-1 时取等号. 故直线 l 的方程为 y=x-1,△AMN 的最大面积为 8 2 . 【例11】 已知双曲线 C:2x2-y2=2 与点 P(1,2)。(1)求过 P(1,2)点的直线 l 的斜率取 】

- 30 -

值范围,使 l 与 C 分别有一个交点,两个交点,没有交点。(2)若 Q(1,1),试判断以 Q 为 中点的弦是否存在. 解:(1)当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=1, 与曲线 C 有一个交点. 当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1), 代入 C 的方程,并整理得 (2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0………………(*) (ⅰ)当 2-k2=0,即 k=± 2 时,方程(*)有一个根,l 与 C 有一个交点 (ⅱ)当 2-k2≠0,即 k≠± 2 时

Δ=[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k)
①当Δ=0,即 3-2k=0,k= ②当Δ>0,即 k<
3 时,方程(*)有一个实根,l 与 C 有一个交点. 2

3 3 ,又 k≠± 2 ,故当 k<- 2 或- 2 <k< 2 或 2 <k< 时, 方程 2 2

(*)有两不等实根,l 与 C 有两个交点. ③当Δ<0,即 k>
3 时,方程(*)无解,l 与 C 无交点. 2 3 ,或 k 不存在时,l 与 C 只有一个交点; 2

综上知:当 k=± 2 ,或 k= 当 2 <k< 当 k>

3 ,或- 2 <k< 2 ,或 k<- 2 时,l 与 C 有两个交点; 2

3 时,l 与 C 没有交点. 2

(2)假设以 Q 为中点的弦存在,设为 AB,且 A(x1,y1),B(x2,y2),则 2x12-y12=2,2x22-y22=2 两 式相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1-x2)=y1-y1 即 kAB=
y1 ? y 2 =2 x1 ? x 2

但渐近线斜率为± 2 ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点,所以假设不正确,即以 Q 为中点 的弦不存在. 【例12】 如图,已知某椭圆的焦点是 F1(-4,0)、F2(4,0), 】 过 点 F2 并 垂 直 于 x 轴 的 直 线 与 椭 圆 的 一 个 交 点 为 B , 且 |F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件:
A y

|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列. (1)求该弦椭圆的方程;
- 31 F1 o F2

B C x B'

(2)求弦 AC 中点的横坐标; (3)设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m, 求 m 的取值范围. 解:(1)由椭圆定义及条件知,2a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5,又 c=4,所以 b= a 2 ? c 2 =3. 故椭圆方程为
x2 y2 + =1. 25 9

(2)由点 B(4,yB)在椭圆上,得|F2B|=|yB|= 据椭圆定义,有|F2A|=

9 25 4 .因为椭圆右准线方程为 x= ,离心率为 ,根 4 5 5

4 25 4 25 ( -x1),|F2C|= ( -x2), 5 4 5 4

由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得
4 25 4 25 9 ( -x1)+ ( -x2)=2× ,由此得出:x1+x2=8. 5 4 5 4 5

设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则 x0=

x1 + x 2 =4. 2

(3)解法一:由 A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.

?9 x12 + 25 y12 = 9 × 25 ? 得? ?9 x 2 2 + 25 y 2 2 = 9 × 25 ?
①-②得 9(x12-x22)+25(y12-y22)=0, 即 9× ( 将 (k≠0) 即 k=
x1 + x 2 y + y2 y ? y2 ) + 25( 1 )?( 1 ) =0(x1≠x2) 2 2 x1 ? x 2

① ②

x1 + x 2 y + y2 y ? y2 1 1 = x 0 = 4, 1 = y0 , 1 =? (k≠0)代入上式,得 9×4+25y0(- )=0 x1 ? x 2 k k 2 2

25 y0(当 k=0 时也成立). 36

由点 P(4,y0)在弦 AC 的垂直平分线上,得 y0=4k+m, 16 25 所以 m=y0-4k=y0- y0=- y0. 9 9 由点 P(4,y0)在线段 BB′(B′与 B 关于 x 轴对称)的内部, 得-
9 9 16 16 <y0< ,所以- <m< . 5 5 5 5

解法二:因为弦 AC 的中点为 P(4,y0),所以直线 AC 的方程为 y-y0=-
1 (x-4)(k≠0) k



将③代入椭圆方程

x2 y2 + =1,得 25 9

(9k2+25)x2-50(ky0+4)x+25(ky0+4)2-25×9k2=0

- 32 -

所以 x1+x2=

50(k 0 + 4) 9k + 25
2

=8,解得 k=

25 y0.(当 k=0 时也成立) 36

(以下同解法一). 【例13】 已知双曲线 G 的中心在原点,它的渐近线与圆 x + y ? 10 x + 20 = 0 相 】
2 2

切.过点 P ( ?4, 0 ) 作斜率为

1 的直线 l ,使得 l 和 G 交于 A, B 两点,和 y 轴交于点 C , 4
2

并且点 P 在线段 AB 上,又满足 PA ? PB = PC . (1)求双曲线 G 的渐近线的方程; (2)求双曲线 G 的方程; (3)椭圆 S 的中心在原点,它的短轴是 G 的实轴.如果 S 中垂直于 l 的平行弦的中点的 轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分,求椭圆 S 的方程. (1)设双曲线 G 的渐近线的方程为: y = kx , 解: 则由渐近线与圆 x 2 + y 2 ? 10 x + 20 = 0 相切可得: 所以, k = ±

5k k2 +1

= 5.

1 . 2 1 x. 2

双曲线 G 的渐近线的方程为: y = ±

(2)由(1)可设双曲线 G 的方程为: x 2 ? 4 y 2 = m . 把直线 l 的方程 y = 则 x A + xB =

8 , 3

1 ( x + 4 ) 代入双曲线方程,整理得 3x 2 ? 8 x ? 16 ? 4m = 0 . 4 16 + 4m x A xB = ? (*) 3
2

∵ PA ? PB = PC , P, A, B, C 共线且 P 在线段 AB 上, ∴

( xP ? xA )( xB ? xP ) = ( xP ? xC )

2



即: ( xB + 4 )( ?4 ? x A ) = 16 ,整理得: 4 ( xA + xB ) + x A xB + 32 = 0 将(*)代入上式可解得: m = 28 .

x2 y2 所以,双曲线的方程为 ? = 1. 28 7
(3)由题可设椭圆 S 的方程为: 的平行弦中点的轨迹.

x2 y2 + = 1 a > 2 7 .下面我们来求出 S 中垂直于 l 28 a 2

(

)

- 33 -

设弦的两个端点分别为 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , MN 的中点为 P ( x0 , y0 ) ,则

? x12 y12 + =1 ? ? 28 a 2 . ? 2 2 ? x2 + y2 = 1 ? 28 a 2 ?
两式作差得:

( x1 ? x2 )( x1 + x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 + y2 )
28 + a2

=0

由于

y1 ? y2 = ?4 , x1 + x2 = 2 x0 , y1 + y2 = 2 y0 x1 ? x2
x0 4 y0 ? = 0, 28 a 2

所以,

所以,垂直于 l 的平行弦中点的轨迹为直线

x 4y ? = 0 截在椭圆 S 内的部分. 28 a 2

a2 1 2 又由题, 这个轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分, 所以, = . 所以,a = 56 , 112 2
椭圆 S 的方程为:

x2 y2 + = 1. 28 56

点评:解决直线与圆锥曲线的问题时,把直线投影到坐标轴上(也即化线段的关系为横坐 点评 标(或纵坐标)之间的关系)是常用的简化问题的手段;有关弦中点的问题,常常用到“设 而不求”的方法;判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具) . 【例14】 设抛物线过定点 A ( ?1, 0 ) ,且以直线 x = 1 为准线. 】 (1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M , N ,且线段 MN 恰被直线 x = ? 弦 MN 的垂直平分线的方程为 y = kx + m ,试求 m 的取值范围. (1)设抛物线的顶点为 G ( x, y ) ,则其焦点为 F ( 2 x ? 1, y ) .由抛物线的定义可知: 解:

1 平分,设 2

AF = 点A到直线x = 1的距离=2 .
所以, 4 x + y = 2 .
2 2

- 34 -

所以,抛物线顶点 G 的轨迹 C 的方程为: x +
2

y2 =1 4

( x ≠ 1) .

(2)因为 m 是弦 MN 的垂直平分线与 y 轴交点的纵坐标,由 MN 所唯一确定.所以,要 求 m 的取值范围,还应该从直线 l 与轨迹 C 相交入手. 显然,直线 l 与坐标轴不可能平行,所以,设直线 l 的方程为 l : y = ? 方程得:

1 x + b ,代入椭圆 k

? 4k 2 + 1 ? 2 2bx + b2 ? 4 = 0 ? ?x ? 2 k ? k ?
由于 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M , N ,所以,? =

? 4k 2 + 1 ? 2 4b 2 ? 4? ? ( b ? 4 ) > 0 ,即: 2 k2 ? k ?

4k 2 ? k 2 b 2 + 1 > 0

(*) ( k ≠ 0) .

又线段 MN 恰被直线 x = ?

1 2bk ? 1? 平分,所以, xM + xN = = 2×?? ?. 2 2 4k + 1 ? 2?

所以, bk =

4k 2 + 1 . ?2 3 3 <k< 2 2

代入(*)可解得: ?

( k ≠ 0) .

下面,只需找到 m 与 k 的关系,即可求出 m 的取值范围.由于 y = kx + m 为弦 MN 的垂 直平分线,故可考虑弦 MN 的中点 P ? ?

? 1 ? , y0 ? . ? 2 ?

在l : y = ?

1 1 1 1 4k 2 + 1 x + b 中,令 x = ? ,可解得: y0 = +b = ? = ?2 k . k 2 2k 2k 2k

将点 P ? ?

3k ? 1 ? , ?2k ? 代入 y = kx + m ,可得: m = ? . 2 ? 2 ? 3 3 3 3 <m< 且m ≠ 0 . 4 4

所以, ?

从以上解题过程来看,求 m 的取值范围,主要有两个关键步骤:一是寻求 m 与其它参数 之间的关系,二是构造一个有关参量的不等式.从这两点出发,我们可以得到下面的另一种 解法:

- 35 -

解法二.设弦 MN 的中点为 P ? ?

? 1 ? , y0 ? ,则由点 M , N 为椭圆上的点,可知: ? 2 ?
2 2 ? ? 4 xM + yM = 4 . ? 2 2 ? 4 xN + y N = 4 ?

两式相减得: 4 ( xM ? xN )( xM + xN ) + ( yM ? yN )( yM + yN ) = 0 又由于 xM + xN = 2 × ? ?

? 1? ? = ?1, ? 2?

yM + yN = 2 y0 ,

yM ? y N 1 = ? ,代入上式得: xM ? xN k

k=?

y0 . 2
B N

? 1 ? 又点 P ? ? , y0 ? 在弦 MN 的垂直平分线上, 所以, ? 2 ?
1 y0 = ? k + m . 2
所以, m = y0 + 由点 P ? ? P M

1 3 k = y0 . 2 4

? 1 ? , y0 ? 在线段 BB’上(B’、B 为直线 ? 2 ?

B'

1 x = ? 与椭圆的交点, 如图) 所以,yB ' < y0 < yB . , 2
也即: ? 3 < y0 < 所以, ?

3.

3 3 3 3 <m< 且m ≠ 0 4 4

点评:解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时,对于消元后的一元二次方程,必须讨论 点评 二次项系数和判别式,有时借助图形的几何性质更为方便. 涉及弦中点问题,利用韦达定理或运用平方差法时(设而不求) ,必须以直线与圆锥曲线相交 为前提,否则不宜用此法. 从构造不等式的角度来说, “将直线 l 的方程与椭圆方程联立所得判别式大于 0”与“弦 MN 的中点 P ? ?

? 1 ? , y0 ? 在椭圆内”是等价的. ? 2 ?

【例15】 设抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点为 F,经过点 F 的直线与抛物线交于 A、B 】 两点.又 M 是其准线上一点.试证:直线 MA、MF、MB 的斜率成等差数列.

- 36 -

证明 依题意直线 MA、MB、MF 的斜率显然存在,并分别设为 k1 , k2 , k3 ,B( x2 , y 2 ) ,M( ? 点 A、B、M 的坐标分别为 A( x1 , y1 ) 由“AB 过点 F(
p ,0) ”得 2
p ,m) 2

l AB : x = ty +

p 2

将上式代入抛物线 y 2 = 2 px 中得: y 2 ? 2 pty ? p 2 = 0 可知
y1 y 2 = ? p 2

?

又依“ y1 2 = 2 px1 及 y 2 2 = 2 px 2 ”可知
x1 +
2 p y1 p 1 = + = ( y1 2 + p 2 ) 2 2p 2 2p

x2 +

2 p y2 p p4 p p 2 = + = + = ( y1 + p 2 ) 2 2 p 2 2 py1 2 2 2 y1 2

因此

k1 + k 2 =

y1 ? m y 2 ? m + p p x1 + x2 + 2 2

=

2 p 2 ( y1 ? m) p( y1 + p )
2 2

2 y1 2 (? +
2

p2 ? m) y1
2

p( y1 + p )

=?

2m p

而 k3 =

m 0?m =? p p p ? (? ) 2 2

故 k1 + k 2 = 2k3 即直线 MA、MF、MB 的斜率成等差数列. 【例16】 已知 a =(x,0), b =(1,y) ( a + 3 b) ⊥( a ? 3 b) 】 (1)求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l :y=kx+m(km≠0)与曲线 C 交于 A、B 两端,D(0,-1),且有|AD|=|BD|,试求 m 的取值范围。 解: (1) a + 3 b = ( x,0) + 3 (1, y ) = ( x + 3 , 3 y )

a ? 3 b = ( x,0) ? 3 (1, y ) = ( x ? 3 ,? 3 y )
∵ ( a + 3 b ) ⊥ ( a ? 3 b) ∴ ( a + 3 b) ? ( a ? 3 b) =0

- 37 -

∴ ( x + 3 )( x ? 3 ) + 3 y ? (? 3 y ) = 0 ∴P 点的轨迹方程为



x2 ? y2 =1 3

x2 ? y2 =1 3
消去 y,得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0(*)

? y = kx + m ? (2)考虑方程组 ? x 2 2 ? ? y =1 ?3
显然 1-3k2≠0

△=(6km)2-4(-3m2-3)=12(m2+1)-3k2>0 6km 设 x1,x2 为方程*的两根,则 x1 + x 2 = 1 ? 3k 2 x + x2 3km m = y 0 = kx0 + m = ∴ x0 = 1 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 3km m , ) 故 AB 中点 M 的坐标为( 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 m 1 3km = (? )( x ? ∴线段 AB 的垂直平分线方程为: y ? ) 2 k 1 ? 3k 1 ? 3k 2 将 D(0,-1)坐标代入,化简得:4m=3k2-1

?m 2 + 1 ? 3k 2 > 0 ? 故 m、k 满足 ? ,消去 k2 得:m2-4m>0 2 ?4m = 3k ? 1 ?
解得:m<0 或 m>4 又∵4m=3k2-1>-1 ∴m>-

1 4

1 故 m ∈ (? ,0) ∪ (4,+∞) . 4

【直线与圆锥曲线练习】 直线与圆锥曲线练习】 一、选择题 1.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 A.2 B.
4 5 5
x2 2 +y =1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为( 4

)

C.

4 10 5

D.

8 10 5

2.抛物线 y=ax2 与直线 y=kx+b(k≠0)交于 A、B 两点,且此两点的横坐标分别为 x1,x2,直线 与 x 轴交点的横坐标是 x3,则恒有( A.x3=x1+x2 C.x1+x2+x3=0 二、填空题 3.已知两点 M(1,
5 5 )、N(-4,- ),给出下列曲线方程:①4x+2y-1=0, 4 4

) B.x1x2=x1x3+x2x3 D.x1x2+x2x3+x3x1=0

- 38 -

②x2+y2=3,③ _________.

x2 2 x2 +y =1,④ -y2=1,在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是 2 2

4.正方形 ABCD 的边 AB 在直线 y=x+4 上,C、D 两点在抛物线 y2=x 上,则正方形 ABCD 的面积为_________. 5.在抛物线 y2=16x 内,通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________. 三、解答题 6.已知抛物线 y2=2px(p>0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两 点 A、B,且|AB|≤2p. (1)求 a 的取值范围. (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N, 求△NAB 面积的最大值. A 离心率 e= 7. 已知中心在原点, 顶点 A1、 2 在 x 轴上, 的双曲线过点 P(6,6). (1)求双曲线方程. (2)动直线 l 经过△A1PA2 的重心 G,与双曲线交于不同的两点 M、N,问:是否存在直线 l,使 G 平分线段 MN,证明你的结论. 8. 已知双曲线 C 的两条渐近线都过原点, 且都以点 A( 2 , 0)为圆心, 为半径的圆相切, 1 双曲线的一个顶点 A1 与 A 点关于直线 y=x 对称. (1)求双曲线 C 的方程. (2)设直线 l 过点 A,斜率为 k,当 0<k<1 时,双曲线 C 的上支上有且仅有一点 B 到直线 l 的距离为 2 ,试求 k 的值及此时 B 点的坐标.
21 3
o F B N x y A

直线与圆锥曲线参考答案 一、1.解析:弦长|AB|= 2 ? 答案:C 2.解析: 解方程组 ? 可. 答案:B 二、3.解析:点 P 在线段 MN 的垂直平分线上,判断 MN 的垂直平分线于所给曲线是否存
2 ? k b b ? y = ax ,得 ax2-kx-b=0,可知 x1+x2= ,x1x2=- ,x3=- ,代入验证即 a a k ? y = kx + b ?

4 10 4? 5 ? t2 ≤ . 5 5

- 39 -

在交点. 答案:②③④ 4.解析: C、 所在直线方程为 y=x+b,代入 y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长, 设 D 利用|CD| 的长等于两平行直线 y=x+4 与 y=x+b 间的距离,求出 b 的值,再代入求出|CD|的长. 答案:18 或 50 5.解析:设所求直线与 y2=16x 相交于点 A 、 B,且 A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得 y12=16x1,y22=16x2,两式相减得,(y1+y2)(y1-y2)=16(x1-x2). 即
y1 ? y 2 16 = ? kAB=8. x1 ? x 2 y1 + y 2

故所求直线方程为 y=8x-15. 答案:8x-y-15=0 三、 6.解: (1)设直线 l 的方程为: y=x-a,代入抛物线方程得(x-a)2=2px,即 x2-2(a+p)x+a2=0 ∴|AB|= 2 ? 4(a + p) 2 ? 4a 2 ≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即 4ap≤-p2 又∵p>0,∴a≤-
p . 4

(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点 C(x,y), 由(1)知,y1=x1-a,y2=x2-a,x1+x2=2a+2p, 则有 x=
x1 + x 2 y + y 2 x1 + x 2 ? 2a = a + p, y = 1 = =p. 2 2 2 | a + 2p ? a | 2

∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y-p=-(x-a-p),从而 N 点坐标为(a+2p,0)? 点 N 到 AB 的距离为
1 2
= 2p

从而 S△NAB= ? 2 ? 4(a + p) 2 ? 4a 2 ? 2 p = 2 p 2ap + p 2 当 a 有最大值-
p 时,S 有最大值为 2 p2. 4

7.解:(1)如图,设双曲线方程为 a2=9,b2=12.

x2 y 2 a 2 + b 2 21 62 62 ? 2 =1.由已知得 2 ? 2 = 1, e 2 = = ,解得 3 a2 b a b a2

所以所求双曲线方程为

x2 y2 ? =1. 9 12

, (2)P、A1、A2 的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0)

- 40 -

∴其重心 G 的坐标为(2,2) 假设存在直线 l,使 G(2,2)平分线段 MN,设 M(x1,y1),N(x2,y2).则有
?12 x1 2 ? 9 y1 2 = 108 ? y ? y 2 12 4 4 ?12 x 2 2 ? 9 y 2 2 = 108 ? 1 = = ,∴kl= ? x1 ? x 2 9 3 3 ? x1 + x 2 = 4 ?y + y = 4 2 ? 1

∴l 的方程为 y=

4 (x-2)+2, 3

?12 x 2 ? 9 y 2 = 108 ? ,消去 y,整理得 x2-4x+28=0. 由? 4 ? y = ( x ? 2) 3 ?

∵Δ=16-4×28<0,∴所求直线 l 不存在. 8.解:(1)设双曲线的渐近线为 y=kx,由 d=
| 2k | k2 +1

=1,解得 k=±1.

即渐近线为 y=±x,又点 A 关于 y=x 对称点的坐标为(0, 2 ). ∴a= 2 =b,所求双曲线 C 的方程为 x2-y2=2. (2)设直线 l:y=k(x- 2 )(0<k<1 ) ,依题意 B 点在平行的直线 l′上,且 l 与 l′间的距离 为 2. 设直线 l′:y=kx+m,应有
| 2k + m | k +1
2

= 2 ,化简得 m +2 2 km=2.
2



把 l′代入双曲线方程得(k2-1)x2+2mkx+m2-2=0, 由Δ=4m2k2-4(k2-1)(m2-2)=0. 可得 m2+2k2=2 ② 、 ③ 两 式 相 减 得 k= x=
?mk k 2 ?1



2 m, 代 入 ③ 得 m2=

2 , 解 设 m= 5

10 2 5 ,k= ,此时 5 5

= 2 2 ,y= 10 .故 B(2 2 , 10 ).

直线与圆锥曲线 【复习要点】 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置 关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、 函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较
- 41 -

高,起到了拉开考生“档次” ,有利于选拔的功能. 1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题, 实际上是研究它们的方程组成的方 程是否有实数解成实数解的个数问题,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法. 2.当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即 应用弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦 的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵 活转化,往往就能事半功倍.

【例题】 【例17】 已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭圆交于 P 】 和 Q,且 OP⊥OQ,|PQ|=
10 ,求椭圆方程. 2

解:设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0),P(x1,y1),Q(x2,y2) 由?
? ?y = x + 1 得(m+n)x2+2nx+n-1=0, ?mx 2 + ny 2 = 1 ?

Δ=4n2-4(m+n)(n-1)>0,即 m+n-mn>0,
由 OP⊥OQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0, ∴
2(n ? 1) 2n ? +1=0,∴m+n=2 m+n m?n 4(m + n ? mn) 10 2 =( ) , m+n 2



又2

将 m+n=2,代入得 m·n= 由①、②式得 m= 故椭圆方程为

3 4



3 1 3 1 ,n= 或 m= ,n= 2 2 2 2

x2 3 2 3 1 + y =1 或 x2+ y2=1. 2 2 2 2

【例18】 如图所示,抛物线 y2=4x 的顶点为 O,点 A 的坐标为(5,0),倾斜角为 】

π
4



直线 l 与线段 OA 相交(不经过点 O 或点 A)且交抛物线于 M、N 两点,求△AMN 面积最大 时直线 l 的方程,并求△AMN 的最大面积. 解:由题意,可设 l 的方程为 y=x+m,-5<m<0. 由方程组 ?
?y = x + m ? ,消去 y,得 x2+(2m-4)x+m2=0……………① ? y 2 = 4x ?

∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N, ∴方程①的判别式Δ=(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0,
- 42 -

解得 m<1,又-5<m<0,∴m 的范围为(-5,0) 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4-2m,x1·x2=m2, ∴|MN|=4 2(1 ? m ) . 点 A 到直线 l 的距离为 d=

5+ m 2

.

∴S△=2(5+m) 1 ? m ,从而 S△2=4(1-m)(5+m)2 =2(2-2m)·(5+m)(5+m)≤2(
2 ? 2m + 5 + m + 5 + m 3 ) =128. 3

∴S△≤8 2 ,当且仅当 2-2m=5+m,即 m=-1 时取等号. 故直线 l 的方程为 y=x-1,△AMN 的最大面积为 8 2 . 【例19】 已知双曲线 C:2x2-y2=2 与点 P(1,2)。(1)求过 P(1,2)点的直线 l 的斜率取 】 值范围,使 l 与 C 分别有一个交点,两个交点,没有交点。(2)若 Q(1,1),试判断以 Q 为 中点的弦是否存在. 解:(1)当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=1, 与曲线 C 有一个交点. 当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1), 代入 C 的方程,并整理得 (2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0………………(*) (ⅰ)当 2-k2=0,即 k=± 2 时,方程(*)有一个根,l 与 C 有一个交点 (ⅱ)当 2-k2≠0,即 k≠± 2 时

Δ=[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k)
①当Δ=0,即 3-2k=0,k= ②当Δ>0,即 k<
3 时,方程(*)有一个实根,l 与 C 有一个交点. 2

3 3 ,又 k≠± 2 ,故当 k<- 2 或- 2 <k< 2 或 2 <k< 时, 方程 2 2

(*)有两不等实根,l 与 C 有两个交点. ③当Δ<0,即 k>
3 时,方程(*)无解,l 与 C 无交点. 2 3 ,或 k 不存在时,l 与 C 只有一个交点; 2

综上知:当 k=± 2 ,或 k= 当 2 <k< 当 k>

3 ,或- 2 <k< 2 ,或 k<- 2 时,l 与 C 有两个交点; 2

3 时,l 与 C 没有交点. 2

(2)假设以 Q 为中点的弦存在,设为 AB,且 A(x1,y1),B(x2,y2),则 2x12-y12=2,2x22-y22=2 两
- 43 -

式相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1-x2)=y1-y1 即 kAB=
y1 ? y 2 =2 x1 ? x 2

但渐近线斜率为± 2 ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点,所以假设不正确,即以 Q 为中点 的弦不存在. 【例20】 如图,已知某椭圆的焦点是 F1(-4,0)、F2(4,0),过点 F2 并垂直于 x 轴的 】 直线与椭圆的一个交点为 B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2)满足条 件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列. (1)求该弦椭圆的方程; (2)求弦 AC 中点的横坐标;
A y

(3)设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m, 求 m 的取值范围. 解: (1)由椭圆定义及条件知, 2a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5, 又 c=4,所以 b= a 2 ? c 2 =3. 故椭圆方程为
x2 y2 =1. + 25 9
F1 o F2

B C x B'

(2)由点 B(4,yB)在椭圆上,得|F2B|=|yB|= 据椭圆定义,有|F2A|=

9 25 4 .因为椭圆右准线方程为 x= ,离心率为 ,根 4 5 5

4 25 4 25 ( -x1),|F2C|= ( -x2), 5 4 5 4

由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得
4 25 4 25 9 ( -x1)+ ( -x2)=2× ,由此得出:x1+x2=8. 5 4 5 4 5

设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则 x0=

x1 + x 2 =4. 2

(3)解法一:由 A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.

?9 x1 + 25 y1 = 9 × 25 ? 得? ?9 x 2 2 + 25 y 2 2 = 9 × 25 ?
2 2

① ②

①-②得 9(x12-x22)+25(y12-y22)=0, 即 9× ( 将 (k≠0)
x1 + x 2 y + y2 y ? y2 ) + 25( 1 )?( 1 ) =0(x1≠x2) 2 2 x1 ? x 2

x1 + x 2 y + y2 y ? y2 1 1 = x 0 = 4, 1 = y0 , 1 =? (k≠0)代入上式,得 9×4+25y0(- )=0 2 2 x1 ? x 2 k k

- 44 -

即 k=

25 y0(当 k=0 时也成立). 36

由点 P(4,y0)在弦 AC 的垂直平分线上,得 y0=4k+m, 16 25 y0=- y0. 所以 m=y0-4k=y0- 9 9 由点 P(4,y0)在线段 BB′(B′与 B 关于 x 轴对称)的内部, 得-
9 9 16 16 <y0< ,所以- <m< . 5 5 5 5

解法二:因为弦 AC 的中点为 P(4,y0),所以直线 AC 的方程为 y-y0=-
1 (x-4)(k≠0) k
x2 y2 + =1,得 25 9



将③代入椭圆方程

(9k2+25)x2-50(ky0+4)x+25(ky0+4)2-25×9k2=0 所以 x1+x2=
50(k 0 + 4) 9k + 25
2

=8,解得 k=

25 y0.(当 k=0 时也成立) 36

(以下同解法一).
2 2 【例21】 已知双曲线 G 的中心在原点,它的渐近线与圆 x + y ? 10 x + 20 = 0 相 】

切.过点 P ( ?4, 0 ) 作斜率为

1 的直线 l ,使得 l 和 G 交于 A, B 两点,和 y 轴交于点 C , 4
2

并且点 P 在线段 AB 上,又满足 PA ? PB = PC . (1)求双曲线 G 的渐近线的方程; (2)求双曲线 G 的方程; (3)椭圆 S 的中心在原点,它的短轴是 G 的实轴.如果 S 中垂直于 l 的平行弦的中点的 轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分,求椭圆 S 的方程. (1)设双曲线 G 的渐近线的方程为: y = kx , 解: 则由渐近线与圆 x 2 + y 2 ? 10 x + 20 = 0 相切可得: 所以, k = ±

5k k2 +1

= 5.

1 . 2 1 x. 2

双曲线 G 的渐近线的方程为: y = ±

(2)由(1)可设双曲线 G 的方程为: x 2 ? 4 y 2 = m . 把直线 l 的方程 y = 则 x A + xB =

8 , 3

1 ( x + 4 ) 代入双曲线方程,整理得 3x 2 ? 8 x ? 16 ? 4m = 0 . 4 16 + 4m x A xB = ? (*) 3
- 45 -

∵ PA ? PB = PC , P, A, B, C 共线且 P 在线段 AB 上,
2



( xP ? xA )( xB ? xP ) = ( xP ? xC )

2



即: ( xB + 4 )( ?4 ? x A ) = 16 ,整理得: 4 ( xA + xB ) + x A xB + 32 = 0 将(*)代入上式可解得: m = 28 . 所以,双曲线的方程为

x2 y2 ? = 1. 28 7

x2 y2 (3)由题可设椭圆 S 的方程为: + = 1 a > 2 7 .下面我们来求出 S 中垂直于 l 28 a 2
的平行弦中点的轨迹. 设弦的两个端点分别为 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , MN 的中点为 P ( x0 , y0 ) ,则

(

)

? x12 y12 + =1 ? ? 28 a 2 . ? 2 2 ? x2 + y2 = 1 ? 28 a 2 ?
两式作差得:

( x1 ? x2 )( x1 + x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 + y2 )
28 + a2

=0

由于

y1 ? y2 = ?4 , x1 + x2 = 2 x0 , y1 + y2 = 2 y0 x1 ? x2
x0 4 y0 ? = 0, 28 a 2
x 4y ? = 0 截在椭圆 S 内的部分. 28 a 2 a2 1 2 = . 所以,a = 56 , 112 2

所以,

所以,垂直于 l 的平行弦中点的轨迹为直线

又由题, 这个轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分, 所以,

椭圆 S 的方程为:

x2 y2 + = 1. 28 56

点评:解决直线与圆锥曲线的问题时,把直线投影到坐标轴上(也即化线段的关系为横坐 点评 标(或纵坐标)之间的关系)是常用的简化问题的手段;有关弦中点的问题,常常用到“设 而不求”的方法;判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具) .

- 46 -

【例22】 设抛物线过定点 A ( ?1, 0 ) ,且以直线 x = 1 为准线. 】 (1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M , N ,且线段 MN 恰被直线 x = ? 弦 MN 的垂直平分线的方程为 y = kx + m ,试求 m 的取值范围. (1)设抛物线的顶点为 G ( x, y ) ,则其焦点为 F ( 2 x ? 1, y ) .由抛物线的定义可知: 解:

1 平分,设 2

AF = 点A到直线x = 1的距离=2 .
所以, 4 x + y = 2 .
2 2

所以,抛物线顶点 G 的轨迹 C 的方程为: x +
2

y2 =1 4

( x ≠ 1) .

(2)因为 m 是弦 MN 的垂直平分线与 y 轴交点的纵坐标,由 MN 所唯一确定.所以,要 求 m 的取值范围,还应该从直线 l 与轨迹 C 相交入手. 显然,直线 l 与坐标轴不可能平行,所以,设直线 l 的方程为 l : y = ? 方程得:

1 x + b ,代入椭圆 k

? 4k 2 + 1 ? 2 2bx + b2 ? 4 = 0 ? ?x ? 2 k ? k ?
由于 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M , N ,所以,? =

? 4k 2 + 1 ? 2 4b 2 ? 4? ? ( b ? 4 ) > 0 ,即: 2 k2 ? k ?

4k 2 ? k 2 b 2 + 1 > 0

(*) ( k ≠ 0) .

又线段 MN 恰被直线 x = ?

1 2bk ? 1? 平分,所以, xM + xN = = 2×?? ?. 2 2 4k + 1 ? 2?

4k 2 + 1 所以, bk = . ?2
代入(*)可解得: ?

3 3 <k< 2 2

( k ≠ 0) .

下面,只需找到 m 与 k 的关系,即可求出 m 的取值范围.由于 y = kx + m 为弦 MN 的垂 直平分线,故可考虑弦 MN 的中点 P ? ?

? 1 ? , y0 ? . ? 2 ?

- 47 -

在l : y = ?

1 1 1 1 4k 2 + 1 x + b 中,令 x = ? ,可解得: y0 = +b = ? = ?2 k . k 2 2k 2k 2k

将点 P ? ?

3k ? 1 ? , ?2k ? 代入 y = kx + m ,可得: m = ? . 2 ? 2 ? 3 3 3 3 <m< 且m ≠ 0 . 4 4

所以, ?

从以上解题过程来看,求 m 的取值范围,主要有两个关键步骤:一是寻求 m 与其它参数 之间的关系,二是构造一个有关参量的不等式.从这两点出发,我们可以得到下面的另一种 解法: 解法二.设弦 MN 的中点为 P ? ?

? 1 ? , y0 ? ,则由点 M , N 为椭圆上的点,可知: ? 2 ?
2 2 ? ? 4 xM + yM = 4 . ? 2 2 ? 4 xN + y N = 4 ?

两式相减得: 4 ( xM ? xN )( xM + xN ) + ( yM ? yN )( yM + yN ) = 0 又由于 xM + xN = 2 × ? ?

? 1? ? = ?1, ? 2?

yM + yN = 2 y0 ,

yM ? y N 1 = ? ,代入上式得: xM ? xN k

k=?

y0 . 2
B N

? 1 ? 又点 P ? ? , y0 ? 在弦 MN 的垂直平分线上, 所以, ? 2 ? 1 y0 = ? k + m . 2
所以, m = y0 + 由点 P ? ? P M

1 3 k = y0 . 2 4

? 1 ? , y0 ? 在线段 BB’上(B’、B 为直线 ? 2 ?

B'

1 x = ? 与椭圆的交点, 如图) 所以,y B ' < y0 < y B . , 2
也即: ? 3 < y0 < 所以, ?

3.

3 3 3 3 <m< 且m ≠ 0 4 4

- 48 -

点评:解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时,对于消元后的一元二次方程,必须讨论 点评 二次项系数和判别式,有时借助图形的几何性质更为方便. 涉及弦中点问题,利用韦达定理或运用平方差法时(设而不求) ,必须以直线与圆锥曲线相交 为前提,否则不宜用此法. 从构造不等式的角度来说, “将直线 l 的方程与椭圆方程联立所得判别式大于 0”与“弦 MN 的中点 P ? ?

? 1 ? , y0 ? 在椭圆内”是等价的. ? 2 ?

【例23】 设抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点为 F,经过点 F 的直线与抛物线交于 A、B 】 两点.又 M 是其准线上一点.试证:直线 MA、MF、MB 的斜率成等差数列.

证明 依题意直线 MA、MB、MF 的斜率显然存在,并分别设为 k1 , k2 , k3 点 A、B、M 的坐标分别为 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y 2 ) ,M( ? 由“AB 过点 F(
p ,0) ”得 2
p ,m) 2

l AB : x = ty +

p 2

将上式代入抛物线 y 2 = 2 px 中得: y 2 ? 2 pty ? p 2 = 0 可知
y1 y 2 = ? p 2

?

又依“ y1 2 = 2 px1 及 y 2 2 = 2 px 2 ”可知
x1 +
2 p y1 p 1 = + = ( y1 2 + p 2 ) 2 2p 2 2p

x2 +

2 p y2 p p4 p p 2 = + = + = ( y1 + p 2 ) 2 2 2 p 2 2 py1 2 2 y1 2

因此

k1 + k 2 =

y1 ? m y 2 ? m + p p x2 + x1 + 2 2

=

2 p ( y1 ? m)
2

2 y1 2 (? +
2

p2 ? m) y1

p( y1 + p 2 )
2

p( y1 + p 2 )

=?

2m p

而 k3 =

0?m m =? p p p ? (? ) 2 2

故 k1 + k 2 = 2k3

- 49 -

即直线 MA、MF、MB 的斜率成等差数列. 【例24】 已知 a =(x,0), b =(1,y) ( a + 3 b) ⊥( a ? 3 b) 】 (1)求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l :y=kx+m(km≠0)与曲线 C 交于 A、B 两端,D(0,-1),且有|AD|=|BD|,试求 m 的取值范围。 解: (1) a + 3 b = ( x,0) + 3 (1, y ) = ( x + 3 , 3 y )

a ? 3 b = ( x,0) ? 3 (1, y ) = ( x ? 3 ,? 3 y )
∵ ( a + 3 b ) ⊥ ( a ? 3 b) ∴ ( a + 3 b) ? ( a ? 3 b) =0 得

∴ ( x + 3 )( x ? 3 ) + 3 y ? (? 3 y ) = 0 ∴P 点的轨迹方程为

x2 ? y2 =1 3

x2 ? y2 =1 3
消去 y,得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0(*)

? y = kx + m ? (2)考虑方程组 ? x 2 2 ? ? y =1 ?3
显然 1-3k2≠0

△=(6km)2-4(-3m2-3)=12(m2+1)-3k2>0 6km 设 x1,x2 为方程*的两根,则 x1 + x 2 = 1 ? 3k 2 x + x2 3km m ∴ x0 = 1 = y 0 = kx0 + m = 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 3km m 故 AB 中点 M 的坐标为( , ) 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 m 1 3km ∴线段 AB 的垂直平分线方程为: y ? = (? )( x ? ) 2 k 1 ? 3k 1 ? 3k 2 将 D(0,-1)坐标代入,化简得:4m=3k2-1

?m 2 + 1 ? 3k 2 > 0 ? 故 m、k 满足 ? ,消去 k2 得:m2-4m>0 2 ?4m = 3k ? 1 ?
解得:m<0 或 m>4 又∵4m=3k2-1>-1 ∴m>-

1 4

1 故 m ∈ (? ,0) ∪ (4,+∞) . 4

【直线与圆锥曲线练习】 直线与圆锥曲线练习】

- 50 -

一、选择题 1.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 A.2 B.
4 5 5
x2 2 +y =1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为( 4

)

C.

4 10 5

D.

8 10 5

2.抛物线 y=ax2 与直线 y=kx+b(k≠0)交于 A、B 两点,且此两点的横坐标分别为 x1,x2,直线 与 x 轴交点的横坐标是 x3,则恒有( A.x3=x1+x2 C.x1+x2+x3=0 二、填空题 3.已知两点 M(1, ②x2+y2=3,③ _________. 4.正方形 ABCD 的边 AB 在直线 y=x+4 上,C、D 两点在抛物线 y2=x 上,则正方形 ABCD 的面积为_________. 5.在抛物线 y2=16x 内,通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________. 三、解答题 6.已知抛物线 y2=2px(p>0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两 点 A、B,且|AB|≤2p. (1)求 a 的取值范围. (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N, 求△NAB 面积的最大值. 7. 已知中心在原点, 顶点 A1、 2 在 x 轴上, A 离心率 e= 的双曲线过点 P(6,6). (1)求双曲线方程. (2)动直线 l 经过△A1PA2 的重心 G,与双曲线交于不同的两点 M、N,问:是否存在直线 l,使 G 平分线段 MN,证明你的结论. 8. 已知双曲线 C 的两条渐近线都过原点, 且都以点 A( 2 , 0)为圆心, 为半径的圆相切, 1 双曲线的一个顶点 A1 与 A 点关于直线 y=x 对称. (1)求双曲线 C 的方程. (2)设直线 l 过点 A,斜率为 k,当 0<k<1 时,双曲线 C 的上支上有且仅有一点 B 到直线 l 的距离为 2 ,试求 k 的值及此时 B 点的坐标.
21 3
o F B N x y A

) B.x1x2=x1x3+x2x3 D.x1x2+x2x3+x3x1=0

5 5 )、N(-4,- ),给出下列曲线方程:①4x+2y-1=0, 4 4

x2 2 x2 +y =1,④ -y2=1,在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是 2 2

- 51 -

直线与圆锥曲线参考答案 一、1.解析:弦长|AB|= 2 ? 答案:C 2.解析: 解方程组 ? 可. 答案:B 二、3.解析:点 P 在线段 MN 的垂直平分线上,判断 MN 的垂直平分线于所给曲线是否存 在交点. 答案:②③④ 4.解析: C、 所在直线方程为 y=x+b,代入 y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长, 设 D 利用|CD| 的长等于两平行直线 y=x+4 与 y=x+b 间的距离,求出 b 的值,再代入求出|CD|的长. 答案:18 或 50 5.解析:设所求直线与 y2=16x 相交于点 A 、 B,且 A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得 y12=16x1,y22=16x2,两式相减得,(y1+y2)(y1-y2)=16(x1-x2). 即
y1 ? y 2 16 = ? kAB=8. x1 ? x 2 y1 + y 2
2 ? k b b ? y = ax ,得 ax2-kx-b=0,可知 x1+x2= ,x1x2=- ,x3=- ,代入验证即 a a k ? y = kx + b ?

4? 5 ? t2 4 10 ≤ . 5 5

故所求直线方程为 y=8x-15. 答案:8x-y-15=0 三、 6.解: (1)设直线 l 的方程为: y=x-a,代入抛物线方程得(x-a)2=2px,即 x2-2(a+p)x+a2=0 ∴|AB|= 2 ? 4(a + p) 2 ? 4a 2 ≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即 4ap≤-p2 又∵p>0,∴a≤-
p . 4

(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点 C(x,y), 由(1)知,y1=x1-a,y2=x2-a,x1+x2=2a+2p, 则有 x=
x1 + x 2 y + y 2 x1 + x 2 ? 2a = a + p, y = 1 = =p. 2 2 2 | a + 2p ? a | 2

∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y-p=-(x-a-p),从而 N 点坐标为(a+2p,0)? 点 N 到 AB 的距离为
1 2
= 2p

从而 S△NAB= ? 2 ? 4(a + p) 2 ? 4a 2 ? 2 p = 2 p 2ap + p 2 当 a 有最大值-
p 时,S 有最大值为 2 p2. 4

- 52 -

7.解:(1)如图,设双曲线方程为 a2=9,b2=12.

x2 y 2 62 62 a 2 + b 2 21 ? 2 =1.由已知得 2 ? 2 = 1, e 2 = = ,解得 2 3 a b a b a2

所以所求双曲线方程为

x2 y2 ? =1. 9 12

(2)P、A1、A2 的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0) , ∴其重心 G 的坐标为(2,2) 假设存在直线 l,使 G(2,2)平分线段 MN,设 M(x1,y1),N(x2,y2).则有
?12 x1 2 ? 9 y1 2 = 108 ? y ? y 2 12 4 4 ?12 x 2 2 ? 9 y 2 2 = 108 ? 1 = = ,∴kl= ? x1 ? x 2 9 3 3 ? x1 + x 2 = 4 ?y + y = 4 2 ? 1

∴l 的方程为 y=

4 (x-2)+2, 3

?12 x 2 ? 9 y 2 = 108 ? 由? ,消去 y,整理得 x2-4x+28=0. 4 y = ( x ? 2) ? 3 ?

∵Δ=16-4×28<0,∴所求直线 l 不存在. 8.解:(1)设双曲线的渐近线为 y=kx,由 d=
| 2k | k2 +1

=1,解得 k=±1.

即渐近线为 y=±x,又点 A 关于 y=x 对称点的坐标为(0, 2 ). ∴a= 2 =b,所求双曲线 C 的方程为 x2-y2=2. (2)设直线 l:y=k(x- 2 )(0<k<1 ) ,依题意 B 点在平行的直线 l′上,且 l 与 l′间的距离 为 2. 设直线 l′:y=kx+m,应有
| 2k + m | k +1
2

= 2 ,化简得 m +2 2 km=2.
2



把 l′代入双曲线方程得(k2-1)x2+2mkx+m2-2=0,

- 53 -

由Δ=4m2k2-4(k2-1)(m2-2)=0. 可得 m2+2k2=2 ② 、 ③ 两 式 相 减 得 k= x=
?mk k 2 ?1



2 m, 代 入 ③ 得 m2=

2 , 解 设 m= 5

10 2 5 ,k= ,此时 5 5

= 2 2 ,y= 10 .故 B(2 2 , 10 ).

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

- 54 -


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