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2011广东文数


2011 年普通高等学校招生全国统一考试(广东 B 卷) 数学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 参考公式:锥体体积公式 V=

1 Sh,其中 S 为锥体的底面积,h 为锥体的高。 3
^

线性回归方程 y ? b x ? a 中系数计算公式 b ?

/>^

^

^

? ( x1 ? x)( y1 ? y)
i ?1

n

? ( x1 ? x)
i ?1

n

,a ? y ?b

^

^

2

样本数据 x1,x2,……,xa 的标准差,

2 1 ? ( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x) ? ( xn ? x) n

其中 x, y 表示样本均值。 N 是正整数,则

an ? bn ? (a ? b)(an?1 ? an?2b ? ……abn?2 ? bn?1 )

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设复数 z 满足 iz ? 1 ,其中 i 为虚数单位,则 z = A. ?i
2

( A ) D. 1

B. i

C. ?1

解:i =-1,所以,-i*i=1,即 z=-i。 点评:本题是概念题,也是送分题。 2.已知集合 A ?

?? x, y ? | x、y 为实数,且 x
B.3 C.2

2

? y 2 ? 1? , B ? ?? x, y ? | x、y 为实数,且

x ? y ? 1? ,则 A ? B 的元素个数为(
A.4

C ) D.1

解:A 为圆,圆心为(0,0);x+y=1,即为 x+y-1=0,表示的是直线。圆心到直线的距离:

| -1 |

12 + 12 ? ? ? ? ? ? 3.已知向量 a ? (1, 2), b ? (1,0), c ? (3, 4) ,若 λ 为实数, (a ? λb) / / c ,则 λ =
A.

=

即直线与圆相交。故选 C。 2 <1 2

( B )

1 4

B.

1 2

C. 1

D. 2

解: a ? λb ? (1 ? λ, 2) ,∵ (a ? λb) ∥ c ,∴ 2 ? 3 ? 4(1 ? λ) 。解得 λ ?

?

?

?

?

?

1 2
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-1-

4 .函数 f ( x) ? A. (??, ?1) 解: 1-x≠0 x+1>0

1 ? lg( x ? 1) 的定义域是 1? x
B. (1, ??)

( C

) D. (??, ??)

C. (?1,1) ? (1, ??)

解得 x∈(-1,1)∪(1,+∞)。

5.不等式 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 的解集是( A. ( ?

D



1 ,1) 2

B (1, ??) D. (??, ? ) ? (1, ??)
2

C. (??,1) ? (2, ??)
2

1 2

解:令 y=2x -x-1,当 y=0,即 2x -x-1=0,(2x+1)(x-1)=0,解得 x1= -

1 x =1。 , 2 2

如图所示,当 x< -

1 或 x>1 时 y>0 成立。 2

?0 ? x ? 2 ? 6. 已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ? 2 给定, M ? x, y ? 为 D 上 若 ? ?x ? 2 y ???? ??? ? ? 的动点,点 A 的坐标为 2,1 ,则 z ? OM ? OA 的最大值为( B )

?

?

A.3

B.4

C. 3 2

D. 4 2

如图所示,阴影部分即为区域 D。 z ? OM ? OA = 2 x+y。即有 2 x+y-Z=0, 可以看成是直线在 y 轴上的截距。 z 当直线经 过 点 H( 2 ,2)的时候 Z 最大。代入点 H 解之得 Z=4。
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???? ??? ? ?

-2-

7.正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么 一个正五棱柱对角线的条数共有( A.20 B.15 D ) C.12 D.10

解:每一个顶点有两个不同在任何侧面且不同在任何底面的顶点,所以 2 条对角线,共有 5 个顶点。所以有 10 条对角线。 8.设圆 C 与圆 x2+(y-3)2=1 外切,与直线 y ? 0 相切.则 C 的圆心轨迹为( A A. 抛物线
2



B. 双曲线
2

C. 椭圆

D. 圆

解法 1:因为圆 C 与 x +(y-3) =1 外切,故与点(0,3)的距离为 r+1。与直线 y=0 相切,所以与 直线 y=-1 的距离是 r+1。即到定点的距离等于到定直线的距离相等。即轨迹为抛物线。

解法 2:设 C 的圆心坐标为(x,y),则 x +(y-3) =r+1,r=y(圆心在 x 轴上方)联立解得 x2=8(y-1)。

2

2

9.如图 1-3,某几何体的正视图(主视图) ,侧视图(左视图)和俯视图分别为等边三角形、 等腰三角形和菱形,则该几何体体积为( C )

2

主视图

2 左视图
B. 4 C.

俯视图

A.

4 3

2 3

D. 2

解:从三个视图可以看出几何体是四棱锥。 从主视图可以解出高 h= (2 3 ) 2 - ( 3 ) 2 =3。底面为菱形,对角线分别为 2 3 和 2,故底 面积 s=1/2* 2 3 *2= 2 3 V=1/3*s*h= 2 3

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10. f ( x), g ( x), h( x) 是 R 上的任意实值函数. 设 如下定义两个函数 ? f ? g ??x ? 和 ? f ? g ??x ? ; 对任意 x ? R , ? f ? g ??x ? ? f ?g (x)? ; ? f ? g ??x ? ? f ?x ?g (x) .则下列等式恒成立的是 ( B )

A. ?? f ? g ? ? h??x ? ? ?? f ? h? ? ?g ? h??(x) B. (( f ? g ) ? h)(x) = (( f ? h) ? (g ? h))( x) C. ?? f ? g ? ? h??x ? ? ?? f ? h? ? ?g ? h??(x) D.

?? f ? g ? ? h??x? ? ?? f ? h? ? ?g ? h??(x)

解:B:左边= ( f ? g )(h( x)) = f (h( x))g (h( x)) 右边= (( f ? h)(x))((g ? h)(x)) = f (h( x))g (h( x))

二、填空题:本大题共 5 小题.考生作答 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.已知 ?an ? 是递增等比数列, a2 ? 2, a4 ? a3 ? 4 ,则此数列的公比 q ? 2 . 解:a4-a3=a2(q -q)=2(q -q)=4,所以 q -q-2=0 解得 q=2 或 q=-1(因为是递增数列,故舍去)
2 2 2

12.设函数 f ( x) ? x 3 cos x ? 1. 若 f (a) ? 11,则 f (?a) ? -9 . 解:f(a)=a cosa+1…………………………………………○ 1 f(-a)=(-a)3cos(-a)+1=-a3cosa+1………………………○ 2 ○+○得 f(-a)=2-f(a)=1-10=-9。 1 2 13.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天打时间 x(单位:小时)与当于投篮命中率 y 之间的关系: 时间 x 命中率 y 1 0.4 2 0.5 3 0.6 4 0.6 5 0.4
3

小李这 5 天的平均投篮命中率为 0.5, 用线性回归分析的方法, 预测小李该月 6 号打 6 小时 篮球的投篮命中率为 0.53. 解: (1) y =

0.4 + 0.5 + 0.6 + 0.6 + 0.4 2.5 = = 0.5 5 5
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(2) x =

1 + 2 + 3 + 4 + 5 15 = =3 5 5

设 y=bx+a

b=

(1 - 3)(0.4 - 0.5)( - 3) - 0.5)+ (3 - 3)(0.6- 0.5)+ (4 - 3)(0.6- 0.5)+ (5 - 3)(0.4- 0.5) + 2 (0.5 2 2 2 2 (1 - 3) 2 + 2 - 3) + 3 - 3) + 4 - 3) + 5 - 3) ( ( ( (

=0.01

a = y - bx = 0.5 - 0.01×3 = 0.47
即 y=0.01x+0.47 y6=0.01x6+0.47=0.53。 (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为 ?

? x ? 5 cos? ? y ? sin ?

(0≤? <??

=和 ?

5 ? ?x ? t 2 4 ?y ? t ?
2 5 ). 5

(t∈R) ,它们的交点坐标为(1,

由第一组方程知 y≥0,由第二组方程组知 x≥0. 化为直角坐标系下的方程则有:

(

x 5

) 2 + y 2 = cos2 θ + sin 2 θ = 1 …………○ 1

y2=

4 2 x …………………………………………○ 5

联立○○,且 x≥0,y≥0 解得 x=1,y= 1 2

2 5 5

15. (几何证明选讲选做题)如图 4,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=4,CD=2,E、F 分别为

AD、BC 上点,且 EF=3,EF∥AB,则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为

7 . D 5
E

C F B

易知 EF 是梯形的中位线。

A

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1 h(3 + 4) = 2 1 SEFCD= h( 2 + 3) = 2 7 即: SABFE: SEFCD= 5
SABFE=

7 h 2 5 h 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2sin ? (1)求 f ? 0 ? 的值; (2)设 ? , ? ? ?0,

?? ?1 x? ?, x? R. 6? ?3

? ? 10 ? ?? 6 ? ?? ? ? ? ? , f ? 3? ? 2 ? ? 13 , f ? 3? ? 2 ? ? 5 , 求 sin ?? ? ? ? 的值. ? 2? ? ?
1 3

解:(1) f (0) = 2 sin( ×0 (2)

π π ) 2sin(- ) -1 = = 6 6 π 1 π π π π 10 f (3α + ) = 2 sin( (3α + ) - ) = 2 sin( α + - ) 2sinα = = 2 3 2 6 6 6 13

, 所 以

sin α =

5 13

同理 f ( β +

π 6 3 ) = 2 sin β = ,所以 sin β = 。 2 5 5 π 因为 α , β ∈ [0, ] ,所以: 2

5 12 , cosα = 1 - sin 2 α = 1 - ( ) 2 = 13 13
同理 cos β =

4 。 5 5 4 12 3 56 × + × = 13 5 13 5 65

sin( α + β ) = sin α cos β + sin β cos α ) =

17. (本小题满分 13 分) 在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分.用 xn 表示编号为 n ? n ? 1, 2,?,6? 的同学 所得成绩,且前 5 位同学的成绩如下:

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编号 n 成绩 xn

1 70

2 76

3 72

4 70

5 72

(1)求第 6 位同学成绩 x6 ,及这 6 位同学成绩的标准差 s ; (2)从前 5 位同学中,随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学成绩在区间 ? 68,75? 中的概率. 解:(1) x =

70 + 76 + 72 + 70 + 72 + x6 360 + x6 = = 75 ,所以 x6 = 450- 360 = 90 6 6

s=

1 2 2 (70 - 75) 2 + 76 - 75) + (72 - 75) 2 + 70 - 75)2 + (72 - 75) 2 + 90 - 75) = 7 ( ( ( 6

(2)前 5 位同学中,成绩没有落在区间[68,75]的只有第 2 位同学 故恰有一位同学的成绩落在区间[68,75]的概率 P=
1 1 C1 ? C 4 4 2 = = 2 10 5 C5

18.(本小题满分 13 分) 图 5 所示的集合体是将高为 2,底面半径为 1 的直圆柱沿过轴的平面切开后,将其中一半 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 沿切面向右水平平移后得到的. A,A′,B,B′分别为CD ,C’D’ ,DE ,D’E’ 的中点,
' O1 , O1' , O2,O2 分别为 CD, C ' D ', DE, D ' E ' 的中点.

(1)证明: O1' , A' , O2 , B 四点共面;
' ' ' (2)设 G 为 A A′中点,延长 AO1' 到 H′,使得 O1' H ' ? AO1' .证明: BO2 ? 平面H ' B'G'

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H
(1)证明: ⌒ ∵A′是C’D’ 的中点
' ∴ AO1' ⊥C D 。同理,BO2⊥DE.

’ ’

又∵C D ∥DE。 ∴BO2∥ AO1 又 AO1 =BO2=1 ∴ A O1 BO2 是平行四边形。所以, O1' , A' , O2 , B 四点共面。证毕。 (2)证明: ’ ’\ ’ ’ 延长 AO1 至 H, HO1=AO1, 令 连结 H H,则四边形 A H HA 是原直圆柱的轴截面。 AH=AA 。 又 ’\ ’ 所以 A H HA 是正方形。 连结 HO1 ,在正方形 A H HA 中 m ∵ O1 是 AH 的中点,G 是 AA 的中点 Rt△H A G≌Rt△HH O ’ ’ ’ ’ ∴∠A H G=∠H HO1
’ ’ ’ ’ 1

’ ’

'

'

'

'

'

'

'

’\ ’

'





’ ' 1 ∴ HO1 ⊥H G………………………………………………………………………………○

又H B

’ ’

’ 2 ⊥B B………………………………………………………………………………○

由○○得: 1 2 HO1
’ ’ ’ 3 ⊥面 H B G……………………………………………………………………………○

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又 O1 O2 ∥HB,且 O1 O2 =HB ∴O1’O2’ BH 是平行四边形,即 HO1’ ∥BO2’ …………………………………………○ 4 由○○得 3 4 HO1’⊥面 H’B’G 证毕。









19. (本小题满分 14 分) 设 a ? 0 ,讨论函数 f ( x) ? ln x ? a(1 ? a) x 2 ? 2(1 ? a) x 的单调性. 解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞)

f ' ( x) =

1 + 2a(1 - a)x x 1 >0 x

(1)若 1-a=0,即 a=1 时, f ' ( x ) =

即此时 f(x)在区间(0,+∞)上增函数。 (2)0<a<1 时 2a(1-a)>0,所以 f ' ( x) =

1 + 2a(1 - a)x >0 x

即此时 f(x)在区间(0,+∞)上递增。 (3)a>1 时 解不等式组

1 + 2a (1 - a)x > 0 x
x>0 解得: 0<x<

2a(a - 1) 2a(a - 1)
1 2a(a - 1) )上, f ' ( x) = + 2a (1 - a)x >0,此时 f(x)递增。 x 2a(a - 1)

即在区间(0,

而在区间( 综上所述

1 2a(a - 1) ,+∞), f ' ( x) = + 2a (1 - a)x <0,此时 f(x)递减。 x 2a(a - 1)

当 0<a≤1 时,f(x)在区间(0,+∞)是增函数;
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当 a>1 时,f(x)在区间(0,

2a(a - 1) 2a(a - 1) )上递增,在区间( ,+∞)上递减。 2a(a - 1) 2a(a - 1)

20. (本小题满分 14 分) 设 b>0,数列 {an } 满足 a1 ? b , an ? (1)求数列 {an } 的通项公式;

nban?1 (n ? 2) . an ?1 ? n ? 1

b (2)证明:对于一切正整数 n , 2an ≤
解:(1) ∵ an ? 整理得

n +1

+ 1.

nban?1 (n ? 2) , a1 ? b >0,所以 an>0。 an ?1 ? n ? 1

n 1 n -1 1 = ? + a n b a n -1 b
设 Cn =

n 1 ,则 C n = C n -1 + an b

○当 b=1 时, C n = Cn-1 + 1 1 即数列{Cn}是公差为 1 的等差数列。C1=

1 1 = =1 a1 b

Cn=C1+(n-1)=n, a n = ○当 b≠1 时 2

n n = =1 Cn n

1 1 1 (C n--1 + t ) , C n = C n--1 + ( - 1)t b b b 1 1 1 令 = ( - 1)t ,解得 t = b b 1- b 1 1 1 即 Cn + = (C n -1 + ) 1- b b 1- b 1 设 Dn= C n + 1- b
令 Cn + t =

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D1= C n +

1 1 1 1 1 1 + = + = = 1 - b a1 1 - b b 1 - b b(1 - b)
1 1 为公比,首项为 的等比数列 b(1 - b) b

即 Dn 是以

故 Dn=

1 1 1 ( )n-1= n b (1 - b) b(1 - b) b 1 1 1 1- bn = n = n (1 - b) b (1 - b) (1 - b) b (1 - b)

Cn=Dn-

n n n(1 - b)b n an = = = Cn 1- bn 1- bn b n (1 - b)
综上所述

1 an=

b=1

n(1 - b)bn 1- bn
(2)证明:

b≠1

○b=1 时,an=1。2an=2,b +1=1+1=2。 1

n+1

b 不等式 2an ≤
○当 b≠1 时 2

n +1

+ 1 成立。

设 n=1 时,当 2a1 = 2 × b +1=b +1 b2+1-2b=(b-1)2≥0 即 2a1≤b1+1+1
1+1 2

1 ×(1 - b)b = 2b 1- b

设 n=m 时,2am=≤b +1 成立 即

m+1

2m(1 - b)b m 2m(1 - b)b m 2m bm m+1 ≤b +1 成立 = = m 2 3 m-1 2 3 m-1 1- b (1 - b)(b + b + b + ... + b ) 1 + b + b + b + ... + b

则有
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2a m+1 =

2(m + 1)(1 - b)b m +1 2(m + 1)b m+1 = = 1 - b m +1 1 + b + b 2 + b 3 + ... + b m 2mbm 2b m+1 + 1 1 + b + b 2 + b 3 + ... + b m 2 3 m -1 + +1 + b + b + b + ... + b b
m+1 m+1+1

≤b b+1=b

+1

即 n=m+1 时也成立

b 故不等式 2an ≤

n +1

+ 1 对一切正整数都成立。证毕。

21. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l : x ? ?2 交 x 轴于点 A,设 P 是 l 上一点,M 是线段 OP

的垂直平分线上一点,且满足 ?MPO ? ?AOP . (1) 当点 P 在 l 上运动时,求点 M 的轨迹 E 的方程; (2) 已知 T (1, ?1) .设 H 是 E 上动点,求 | HO | ? | HT | 的最小值,并给出此时点 H 的坐 标; (3) 过点 T (1, ?1) 且不平行于 y 轴的直线 l1 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点, 求直线 l1 的斜率 k 的取值范围. 解: (1)如图所示。∵∠MPO=∠AOP ∴PM∥AO 设 M(x,y) 则 P(-2,y) M 是 PO 的垂直平分线 ∴|MP|=|MO|

( x + 2) 2 + ( y - y ) 2 = x 2 + y 2 ,化简并整理得
y2=4(x+1)
即 M 的轨迹 E 的方程为 y2=4(x+1) (x≥-1) (2)

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如图,TR⊥直线 l,交 E 于 H,H 是 E 上的异于 H 的任意一点。 H R ⊥直线 l. 又|H’R’|=|H‘O|, 在三角形中,|H R |+|H T|>|R T|>|RT|,即|H O|+|H T|>|RT| |HO|+|HT|=|RT|最小 |RT|=|1-(-2)|=3 即|HO|+|HT|的最小值为 3. 此时 H 的纵坐标为 y=-1,代入 E 的方程解得 x= 即 H 的坐标为( ’ ’ ‘ ’ ’ ’ ’ ’



3 4

3 ,-1) 。 4

(3)直线 l1 的方程为:y=k(x-1)-1, 联立方程得 y=k(x-1)-1 y =4(x+1) 整理得 k2x2-(2k2+2k+4)x+k2+2k-3=0。 当 k=0 时,x= 2

3 ,此时直线与抛物线只有一个交点。 4
2 2 2 2

当 k≠0 时,令(2k +2k+4) -4 k (k +2k-3)>0,解得 k∈R,且 k≠0。 即 l1 的斜率的取值范为: (-∞,0)∪(0,+ ∞)。

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