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2014版学海导航数学(文)总复习(第1轮)同步测控 第50讲 空间角及计算 Word版含答案]


第 50 讲 空间角及计算

1.平面 α 的斜线与 α 所成的角为 30°,则此斜线和 α 内所有不过斜足的直线中所成 的角的最大值为( ) A.30° B.60° C.90° D.150° 2.在边长为 a 的正三角形 ABC 中,AD⊥BC 于 D,沿 AD 折成二面角 B-AD-C 后, 1 BC= a,这时二面角 B-AD-C 的大小为( 2 A.3

0° B.45° C.60° D.90° 3.四面体 ABCD 中,E、F 分别是 AC、BD 的中点,若 CD=2AB,EF⊥AB,则 EF 与 CD 所成的角等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90° )

4.如右图所示,是一个正方体的表面展开图,A、B、C 均为棱的中点,D 是顶点,则 在正方体中,异面直线 AB 和 CD 的夹角的余弦值为( ) A. C. 2 5 10 5 B. 3 5 5 5

D.

5.二面角 α-l-β 的平面角为 120°,A、B∈l,AC?α ,BD?β ,AC⊥l,BD⊥l, 若 AB=AC=BD=1,则 CD 的长为______.

6.把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,形成三棱锥 C-ABD,其正视图与 俯视图如图所示,则侧视图的面积为________.

7.如图所示,AF、DE 分别是⊙O、⊙O1 的直径,AD 与两圆所在的平面均垂直,AD =8,BC 是⊙O 的直径,AB=AC=6,OE∥AD. (1)求二面角 B—AD—F 的大小; (2)求直线 BD 与 EF 所成的角的余弦值.

1.正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为自变量 x,则相邻两侧面所成二面的余 弦值 f(x)与 x 之间的函数解析式是( ) x2-2 x2 A.f(x)= 2 B.f(x)= 2 x x +2 x2 3 C.f(x)= 2 D.f(x)= x 3 x -2 2.在直角坐标系中,设 A(-2,3),B(3,-2),沿 x 轴把直角坐标平面折成大小为 θ 的二面角后,|AB|=4 2,则 θ 的值为________.

3.如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC =PB=PC=2CD,侧面 PBC⊥底面 ABCD, (1)PA 与 BD 是否互相垂直,请证明你的结论;

(2)求二面角 P-BD-C 的正切值; (3)求证:平面 PAD⊥平面 PAB.

. 第 50 讲 巩固练习 1.C 2.C 3.A

4.C 解析:把展开图复原为正方体后示意图如右图所示,∠EGF 为 AB 和 CD 所成的 角,F 为正方体一棱的中点.设棱长为 1, 则 EF=GF= 5 ,EG= 2. 2 10 . 5

所以 cos∠EGF=

5.2 解析:过 B 作 BE 綊 AC,连接 CE、DE. 则∠DBE 即为二面角 α-l-β 的平面角. 易证 CE⊥DE, 所以 CD= CE2+DE2 = AB2+BE2+BD2-2BE· BD· cos∠DBE = 1+1+1-2×1×1· cos120° =2. 6. 1 4

解析:根据这两个视图可以推知折起后二面角 C-BD-A 为直二面角,其侧视图是一 2 1 个两直角边长为 的直角三角形,其面积为 . 2 4

7.解析:(1)因为 AD 与两圆所在的平面均垂直,

所以 AD⊥AB,AD⊥AF,故∠BAF 是二面角 B—AD—F 的平面角. 依题意可知,四边形 ABFC 是正方形,所以∠BAF=45°, 即二面角 B-AD-F 的大小为 45°. (2)连接 OD,则 OD∥EF, 所以∠ODB 为异面直线 BD 与 EF 所成的角. 在 Rt△ABD 中,BD=10,OA=OB=3 2. 因为四边形 ABFC 是正方形,所以 DB⊥AF. 又 AD⊥平面 ABFC, 所以 OB⊥平面 DAO, 所以 OB⊥OD, 82+(3 2)2 DO 82 故 cos∠ODB= = = . BD 10 10 提升能力 1.C 解析:令侧棱长为 a,相邻侧面的二面角为 2θ, ax 1 则 tanθ = 2= ax 1-x 1-x2 1 1- 1-x2 x2 所以 cos2θ = = 2 . 1 x -2 1+ 1-x2 2.60° 3.解析:(1)PA 与 BD 互相垂直,证明如下: 取 BC 的中点 O,连 AO,交 BD 于点 E,连 PO,因为 PB=PC,所以 PO⊥BC. 又因为平面 PBC⊥平面 ABCD,所以 PO⊥平面 ABCD, 由于 Rt△ABO≌Rt△BCD, 所以∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA=90°, 所以 BD⊥AO,所以 PA⊥BD. (2)由(1),易知∠PEO 为二面角 P-BD-C 的平面角, 设 AB=BC=PB=PC=2CD=2a, 则 PO= 3a,OE= 5 a, 5

PO tan∠PEO= = 15, EO 所以二面角 P-BD-C 的正切值为 15. (3)取 PB 的中点 N,连 CN,因为 PC=BC,所以 CN⊥PB.

又因为平面 PBC⊥平面 PAB,所以 CN⊥平面 PAB,取 PA 中点 M,连 DM、MN, 1 则由 MN∥AB∥DC,MN= AB=DC,得 MNCD 为平行四边形, 2 所以 CN∥DM, 所以 DM⊥平面 PAB, 又因为 DM?平面 PAB, 所以平面 PAD⊥平面 PAB.


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