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高考数学


浅析动点到两个定点的距离之和(差)的最值
江苏省泰州市民兴实验中学 马永华 在高三复习过程中经常碰到有关求某曲线上的一个动点到两定点的距离之和 (差) 的最 值.许多同学在面对此类问题时感到束手无策,无从下手。本文就此类最值问题常见题型作 初步探索。 一、直线上的动点到直线外两个定点的距离之和(差)的最值. 例 1 (1)已知点 A(1,1),点 B(3,-2),P 是 x 轴上任意一点,则 PA+PB 的最小值 为 ,此时点 P 的坐标为 ; (2)已知点 A(1,1),点 B(3,2),P 是 x 轴上任意一点,则 PB-PA 的最大值为 ,此 时点 P 的坐标为 . 解析:(1)如图 1,当点 P 在 x 轴上运动时,PA+PB?AB(当且仅当 A,P,B 三点共线 时等号成立)

?(PA+PB)min =AB=

此时,点 P 的坐标为 (2)如图 2,当点 P 在 x 轴上运动时,PB- PA ?AB(当且仅当 A,P,B 三点共线时等 号成立)

?(PB-PA)max =AB= 此时,点 P 的坐标为 变题:(1)已知点 A(1,1),点 B(3,2),P 是 x 轴上任意一点,则 PA+PB 的最小值 为 ,此时点 P 的坐标为 ; 解析:(1)如图 3,作点 B 关于 x 轴的对称点 B?(3,-2),则有 PB=PB?

当点 P 在 x 轴上运动时,PA+PB=PA+PB??AB? (当且仅当 A,P,B?三点共线时等号成立) ?(PA+PB)min =AB?=

此时,点 P 的坐标为 (2)已知点 A(1,1),点 B(3,-2),P 是 x 轴上任意一点,则 PB-PA 的最大值为 ,此时点 P 的坐标为 . 解析:(2)如图 4,作点 B 关于 x 轴的对称点 B?,则有 PB=PB?

当点 P 在 x 轴上运动时,PB- PA= PB?- PA ?AB? (当且仅当 A,P,B?三点共线时等号成立) ?(PB-PA)max =AB?= 此时,点 P 的坐标为 归纳:①当两定点位于直线的异侧时可求得动点到两定点的距离之和的最小值; ②当两定点位于直线的同侧时可求得动点到两定点的距离之和的绝对值的最大值. 若不满足①②时,可利用对称性将两定点变换到直线的同(异)侧,再进行求解.如变 题的方法. 例 2 函数 解析:将函数进行化简得: 的值域为 .

即为动点 P(x,0)到两定点 A(1,1)、B(3,-2)的距离之和.由例 1 可知: 该值域为

二、圆锥曲线上的动点到两个定点的距离之和(差)的最值. (一)直接求解或利用椭圆(或双曲线)的定义进行适当转化后求解.

例 3 (1)已知 A(4,0)和 B(2,2),M 是椭圆

上的动点,则 MA-MB 的

范围是 ; 解析:(1)如图 5,在?MAB 中有 MA-MB<AB,当 M,A,B 三点共线且 MB>MA 即点 M 位于 M2 处时,有 MA-MB=AB,所以 MA-MB?AB;同理在?MAB 中有 MB-MA?AB,即 MB-MA?-AB(当点 M 位于 M1 处时等号成立)

综上所述:-AB?MA-MB?AB

(2)已知 A(4,0)和 B(2,2),M 是椭圆

上的动点,则 MA+MB 的最大值

是 . 解 析 : (2) 如 图 6 , 因 为 点 A 恰 为 椭 圆 的 右 焦 点 , 所 以 由 椭 圆 的 定 义 可 得 MA+MB=10-MF+MB(F 为椭圆的左焦点),同(1)可得 MB-MF?BF(当且仅当点 M 位于 点 M4 处时,等号成立)所以(MA+MB)max =(10-MF+MB)max=10+BF=10+

点评:因为点 A,B 都在椭圆的内部(即两定点都在曲线的同侧),故可直接求出动点 M 到两定点 A, 的距离之差的最值; B 若要求动点 M 到两定点 A, 的距离之和的最值(其 B 中 A 恰为焦点) ,需要利用椭圆的定义转化为动点 M 到两定点 F,B 的距离之差的最值 (点 F 为另一焦点).

例4

(1)已知 F 是双曲线

的左焦点,A(4,1),P 是双曲线右支上的动点,

则 PA+PF 的最小值为 ; 解析:(1)如图 7,在?PAB 中有 PA+PF>AB,当 P,A,F 三点共线即点 P 位于 P1 处时, 有 PA+PF=AF, 所以(PA+PF)min=AF= .

(2)已知 F 是双曲线

的左焦点, A(1, P 是双曲线右支上的动点, PA+PF 4), 则

的最小值为 . 解析:(2)如图 8,设 F2 是双曲线的右焦点,由双曲线的定义可得 PA+PF=PA+2a+PF2=8+ PA+PF2?8+AF2(当 P,A,F2 三点共线即点 P 位于 P2 处时等号成立),

所以(PA+PF)min=8+AF2=13. 点评:本题需要特别关注点与双曲线的位置关系,两定点一定要在动点的轨迹(曲线) 的异侧. (二) 利用圆锥曲线的统一定义将圆锥曲线上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离 进行互化后进行求解.

例 5 (1)已知点 A(2,2),F 是椭圆的右焦点,P 是椭圆 PF+PA 的最小值是 ,此时,点的坐标为 ;

上的动点,则

解析: 如图 9, 设点 P 到右准线的距离为 PP?, 由圆锥曲线的统一定义可知



即 号)

(当且仅当 A,P,P?三点共线,即点 P 位于点 P1 处时取等

此时点 P 的坐标为 P(

,2).

(2) 已知点 A(5, F 是双曲线的右焦点, 是双曲线 2), P 的最小值是 ,此时点的坐标为 .

上的动点, 则

PF+PA

解析: 如图 10, 设点 P 到右准线的距离为 PP?, 由圆锥曲线的统一定义可知



即 号)

(当且仅当 A,P,P?三点共线,即点 P 位于点 P1 处时取等

此时点 P 的坐标为 P(

,2)

点评:此类最显著的特征是动点与焦点距离前有系数 义将动点到焦点的距离转化为到相应准线的距离. 例 6 (1)抛物线

,可以利用圆锥曲线的统一定

的焦点为 F,A(4,-2)为一定点,在抛物线上找一点 M,当

MA+MF 为最小值时,点 M 的坐标为 ; 解析:如图 11, 为抛物线的准线,MM?为点 M 到准线的距离.利用抛物线的定义: MF=MM?,可得 MA+MF= MA+MM??AM?(当且仅当 A,M,M?三点共线时等号成立,即 当点 M 在 M?处时等号成立)

此时点 M 的坐标为 M( (2)P 为抛物线

,-2) 上任一点,A(3,4)为一定点,过 P 作 PP?垂直 y 轴于点 P?,

则 AP+ PP?的最小值为 . 解析:如图 12,延长 PP?交抛物线的准线 于点 P??,

由抛物线的定义: PP?=PF, 所以 AP+ PP?= AP+ PP??-1= AP+PF-1?AF-1(当且仅当 A, P, F 三点共线时等号成立,即当点 P 位于 P1 处时等号成立)

点评:本题需要注意两点:①定点所在位置是抛物线的内部还是外部;②利用抛物线的 定义将动点(在抛物线上)到焦点与到准线的距离进行互化.


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