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【智博教育原创专题】排列组合的常见题型及其解法大全(包含高中所有的题型)


★绝密 ?备战 2014 专题 主编:冷世平 版权所有,仅供内部使用,谢绝翻印! 1 排列组合的常见题型及其解法 排列组合问题,通常都是出现在选择题或填空题中,问题千变万化,解法灵活,条件隐晦,思 维抽象,难以找到解题的突破口,实践证明,解决问题的有效方法是:题型与解法归类、识别模式、 熟练运用。 ?处理排列组合应用题的一般步骤为: ①明确要完成的是一件什么事(审题) ;②

有序还是无序;③分步还是分类。 ?处理排列组合应用题的规律 ⑴两种思路:直接法,间接法;⑵两种途径:元素分析法,位置分析法。 排列组合知识,广泛应用于实际,掌握好排列组合知识,能帮助我们在生产生活中,解决许多实际 应用问题。同时排列组合问题历来就是一个老大难的问题。因此有必要对排列组合问题的解题规律 和解题方法作一点归纳和总结,以期充分掌握排列组合知识。首先,谈谈排列组合综合问题的一般 解题规律: ⑴使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定,可以分 类来完成这件事时用“分类计数原理”,需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”;那么, 怎样确定是分类, 还是分步骤?“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件, 而“分步” 必须把各步骤均完成才能完成所给事件,所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不 干扰,相互独立,彼此间交集为空集,并集为全集,不论哪类办法都能将事情单独完成,分步计数 原理强调各步骤缺一不可,需要依次完成所有步骤才能完成这件事,步与步之间互不影响,即前步 用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。 ⑵排列与组合定义相近,它们的区别在于是否与顺序有关。 ⑶复杂的排列问题常常通过试验、画 “树图 ”、“框图”等手段使问题直观化,从而寻求解题途 径,由于结果的正确性难于检验,因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。 ⑷按元素的性质进行分类,按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法,要 注意“至少、至多”等限制词的意义。 ⑸处理排列、组合综合问题,一般思想是先选元素(组合),后排列,按元素的性质进行“分类” 和按事件的过程“分步”,始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法,通过解题训练要注意积 累和掌握分类和分步的基本技能,保证每步独立,达到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。 ⑹在解决排列组合综合问题时,必须深刻理解排列组合的概念,能熟练地对问题进行分类,牢记排 列数与组合数公式与组合数性质,容易产生的错误是重复和遗漏计数。 总之,解决排列组合问题的基本规律,即:分类相加,分步相乘,排组分清,加乘明确;有序排列, 无序组合;正难则反,间接排除等;其次,我们在抓住问题的本质特征和规律,灵活运用基本原理 和公式进行分析解答的同时,还要注意讲究一些解题策略和方法技巧,使一些看似复杂的问题迎刃 而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。 【策略 1】特殊元素(位置)用优先考虑 把有限制条件的元素(位置)称为特殊元素(位置) ,对于这类问题一般采取特殊元素(位置) 优先安排的方法。 【例1】 6 人站成一横排,其中甲不站左端也不站右端,有 种不同站法。 【分析】解有限制条件的元素(位置)这类问题常采取特殊元素(位置)优先安排的方法。 【法一】 (优先考虑特殊元素)因为甲不能站左右两端,故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位 置上,有 4 种站法;第二步再让其余的 5 人站在其他 5 个位置上,有 120 种站法,故站法共有 480 种; 2 【法二】 (优先考虑特殊位置)先从除甲外的五个元素中任取两个站在两

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